2019.04.26 1-4 数学 B １章 数と式の計算 §1 整式の計算 章末 練習問題 １A, １B 【授業目標】 ・ これまでの復習をしながら、なるべく多くの問題を解いてみる。 ・ 理解があいまいだったところを洗いだし、その部分の理解を深める。 [解答や解法を示す場合、必要な言葉や説明を補い、解く過程や計算の過程を省略せずに書くこと] p17 1A 1 整式の加減
→ 縦にならべて筆算をしても OK. a2、ab など同じ文字次数の項毎に計算しても OK. 2 整式の乗法・式の展開 → 式の展開の基本は分配法則。式の変形を丁寧に省略せずにノートに書きながら解く。 → 展開後は、文字種ごとに降順に整理する。 → 式変形をしたり、一部を文字で置き換えると展開が簡単になるものもある。 例 (1) 与式 = [(a+b)(a-b)]2、 (3) 与式 = ([3a+2b]-5)([3a+2b]+1) 3 因数分解 → 式を着目する（ことに自分で決めた）文字で、整理する（係数をまとめたり、降順にならびかえる）。 → 知っている因数分解の（展開の）公式に帰着させても良い。 例(2) → (5)、(6) も文字で整理してからたすき掛けに持ち込むことができる。 定数項が（別の文字の 2 次以上の）多項式である場合は、定数項を因数分解する。 (ax+b)(cx+d) を展開したときに現れる定数項は、bd と積の形になっているため。 4 整式の除法 → 余りを知るためだけであれば、剰余の定理が利用できるが、最後に等式で示す必要があるので、 商と余りの両方を知らなければならない。実際に筆算などを利用して割り算の計算をする。 → 整式の除法では、余りは、割る整式よりも次数が低くなくてはならない。 割られる整式の係数が小さい場合でも、次数が大または同じ間は、商に分数を用いても割り算を続ける。 5 最大公約数、最小公倍数 → (2) ～ (4) の整式は、あらかじめ因数分解してから相互に比較する。 6 整式の除法 → 与えられた関係を式で示し、これを展開、整理する。 7 整式の除法 → 商を Q(x)として、与えられた関係を式で示してから考察すると良い。 p18 1B 4,5 整式 A、最小公倍数などの整式について、因数分解をしてから比較せよ。 ただし、このとき、最小公倍数はすべての因数を含んでいるのだから、最大公約数も因数の一つである。 6 商の整式の形を知らなくても、剰余の定理を用いると解ける。 ただし、解を示すときには、先に P(x)が 1 次の整式であることを導く必要がある。 7 はじめに x2-3x+2 を因数分解する。Q(x) = (x2-3x+2)R(x) + S(x) と置いて、問題文の条件を考えてみよ。
【本日の宿題】
新基礎数学問題集 pp.3～7、番号 1～34
提出は、5/7 の授業です。また、これまでの宿題で未提出のところがある人は、この際にすべてやって下さい。 （過去宿題分を含む場合は、表紙にその旨と、いつの分であるのかを記載してください。）コメント ・4/23 の授業で説明した「互いに素」について、再掲 自然数 a, b が互いに素 ←→ a と b の最大公約数が 1 である。記号では、 a ⊥ b と記述することもある。 整式 A(x), B(x) が互いに素 ←→ A と B の最大公約数が定数項である（1 でなくともよい）。 例 x と (x+1) は互いに素。最大公約数は、1。 4x と 6(x+1) も互いに素。最大公約数は、2 で定数項。 ※ 前回配布に「 → (x+1) は x で割り切れない（割れて、商として 1 は立つが、余りが +1 となる）」 と書きましたが、1 次の整式同士なので、（2 つの素数間の比較のように）この考え方で良いのですが、 （合成数同士の比較のように）高次の整式一般には、互いに素ではないために、割り切れる必要があるわけ ではありません。 例 1 次の整式同士のとき。A = 2(x+1) と B = 3(x+1) を比較する。A÷B = 3/2、余りはゼロ。割り切れた。 これは、共通の因数 (x+1) を持つからであり、最大公約数も (x+1) である。 最大公約数が定数項ではないので、互いに素ではない。 例 A = 2x2+2x = 2x(x+1) は、B = 3x2 では割り切れない。A÷B = 3/2 余り 2x。割り切れない。 A、B はともに共通の因数として x をもつ。最大公約数 = x で定数項ではない。 これらは互いに素ではない。 例 A = 2x2+2x = 2x(x+1)、B = 2x2+8x+8 = 2(x+2)2 のとき、最大公約数は 2 で定数項。A と B は互いに素。 ・ 最大公約数の略語として、一般に認められているもの。（大○のような勝手な記号などは、使用しないこと） GCD（Greatest Common Divisor）、GCM（Greatest Common Measure）など
他に、GCF（Greatest Common Factor）、HCF（Highest Common Factor）の例もある。 factor は係数なので、因数が整式となるような場合には適切ではないかもしれない？ ・ 最小公倍数の略語 LCM（Least Common Multiple）
・ G.C.D. や L.C.M. のように略語であることを明示するピリオド/フルストップを付ける時もあります。 U.S.A. を USA と書くように、ピリオドを省略してもよいが、G.C.D のような中途半端な省略は不可。 （略語として書いていても、ピリオド付きの言葉を読むときは、省略する前の元の形で読みましょう。 G.C.D. は「ジーシーディー」ではなく「Greatest Common Divisor」と読むように心掛けて下さい。） このあたり、奥が深そうです :-p
・a3 + b3 = (a+b)(a2 -ab +b2) という因数分解の途中式を書いて欲しいという質問がありました。
→ 右辺から左辺になる展開公式を、左右を入れ換えて因数分解の公式にしています。覚えるのが速いです。 → 初見でこの順を再現するのは難易度が高いと思いますが、無理やり途中式を作るためには、
それぞれ、足し合わせた時に打ち消されてゼロになる対の項を足してから文字 a、b で括ります。 与式 = a3 + b3
= [a3 - a2b + ab2] + [b3 + a2b - ab2] : -a2b と+a2b、+ab2と-ab2 が対で消える項
= a(a2 -ab +b2) + b(a2 -ab +b2)
= (a+b)(a2 -ab +b2)
です。ただ、お気づきのように、右辺を分配して展開したものを逆に辿っただけの関係です。
→ もし忘れたら。2 つの整式の積で a3 がでてくるので、(a+F(a,b))×(a2+G(a,b)) であると考えられます。
b についても同様のことが言えるので、一つの候補として (a+b+P(a,b))×(a2+b2+Q(a,b))と仮置きし、
（新基礎数学問題集 pp.3～7 宿題分のヒント） 共通 「与式 =」などを省略しない。説明書きを添え、解く過程や計算の過程を省略せずに示す。 1～3 整式 A と整式 B を見比べながら、同じ次数の項ごとに係数を計算してもよい。 x について降べきに整理する場合、別の文字がある場合、同じ x の次数の項の係数はカッコで括り、 別の文字の次数についても同様に降べきで整理する。 4 (1)～(3) のような問題は、先に符号についての判断を行うとよい。 5 問題文に「展開公式を用いて」と書いてある。 文字の置き換えなどにより、展開公式を適用できる形に式変形し、あらためて計算すること。 文字を置き換えは、はじめに宣言すること。また、最後に元の文字に戻すこと。 6 「計算せよ」なので、公式と対応づけをするような文字の置き換えまでは不要。 とはいえ、公式を利用する場合は、「公式より … … なので」と書いてから問題を解くように すると、ミスが減ったり、見直しをするときに自分でも分かりやすかったりする。 また、（x+y+z)2 = ((x+y)+z)2 のように別の（よく覚えている）公式に帰着させても良い。 7 共通する文字の部分をカッコで括ると計算が速くなる。 8 (1) 共通の因数で括る (2) a について整理し、同じ次数の係数をカッコにまとめてみる。 (3) 8=23、27=33 と立方数である。 (4) もっともオーソドックスには、x で整理し、x についての定数項を因数分解してからたすき掛け。 また、第 3 項までを因数分解してみると、A2-z2 の形に持ち込めることが分かる。 9～10 たすき掛けで係数を求める。 10(2) たすき掛けをする際、x の定数項が -2y2 であり、x の 1 次の項が y2 を含まないから、 b, d の候補は、y と -2y または -y と 2y である。 11 (1) 16x4 = (4x2)2 (2) (x-y) を A などで置き換えてみる。 (3)～(4) オーソドックスには、x で整理し、x についての定数項を因数分解してからたすき掛け。 12 余りだけではなく、商も必要なので実際に割り算の計算を行う。 13 「求める整式を P(x) と置くと、P(x) = … となるので」 関係式を書き表し、展開、整理する。 14 (2)～(4) は因数分解してから相互に比較すること。 15 代入して式の値を求める。 16 割る側の整式 B(x) が x の 1 次式だから、剰余の定理を利用することができる。 (3),(4) は代入すべき数値に注意すること。 17,18 因数定理より、P(x) が (x+1) で割り切れる ←→ P(1) = 0 などの関係を用いる。 19 因数定理を利用する。すべての因数を代入によって見つける必要はなく、適当に代入して 一つでも因数がみつかったら、それで割り算してよい。 CHECK の問題を間違えたら、解答例に⇒ で示された、BASIC の関連問題を解きなおしてみること。 STEP UP では、例題も解いて、問題の解き方の流れ（見落としていた考え方）をつかもう。 28 (7) まず展開をして、a の降べきの順で整理する。各項の係数に共通の因数が見えてくるので、括る。 x2-y2 = (x+y)(x-y) の因数分解の公式を利用する。 29 要所で指定された式変形を取り入れながら、「与式左辺の式変形結果が与式右辺になる」ことを示す。 与式左辺 = [a3+b3] + c3 - 3abc = [a+b]3 + c3 - 3ab([a+b]+c) = ([a+b]+c]3 - …
30 例題を参考に（4/23 の授業でもやったように）「定数項の約数（÷最高次の約数、という分数）」を 代入しながら因数定理を利用する。 31 例題を参考に、x2-y2 の形に持ち込めるような式変形を考える。 この際、4 次の項と定数項の係数が合うように 2 次式を二乗するような変形をしている。 すなわち、例題(1) では、x4 と 4 がそれぞれ、(x2)2、22 であることを利用して、 与式 = x4 + 4 = (x2+2)2 - 4x2 と式変形してから因数分解している。 また、例題(2) では、x4 と 1 がそれぞれ、(x2)2、12 であることを利用して、 与式 = x4 + 1 + x2 = (x2+1)2 - 2x2 + x2 と式変形してから因数分解している。 32 例題を参考に、2 次式で割ったときの余りを 1 次式 ax+b と置き、問題文の条件を式に表してみる。 33 右側ヒントを参考に、P(x) を Q(x)を用いて表す。 なお、「x2+1 という 2 次式で割った余り」は、1 次以下の式にならないといけないことに注意する。 34 問題文に与えられた関係を式で表すと、適当な整式 S(x)、Q(x)を用いて、以下のようになる。 P(x) = (x-2)･S(x) + 5 = (x-2)･{(x+3)Q(x) + 3} + 5
