2019.06.28 1-4 数学 B 第６章 図形と式 §1 点と直線 章末問題 練習問題１A - 7 からの結論 ○ ax + by + c = 0 と a'x + b'y + c' = 0 の二直線の関係 → y = mx + n の形に式変形して調べる。 → m = -a/b, m' = -a'/b' であり、また、n = -c/b, n' = -c'/b' なので → 二直線が平行（m = m') のとき
-a/b = -a'/b' すなわち、ab' = a'b または、a:b = a':b' ただし、a:b:c = a':b':c' のとき、二直線は一致。
→ 二直線が垂直（mm'=-1）のとき
-a/b × -a'/b'= aa'/bb' = -1 すなわち、aa' = -bb'(aa' + bb' = 0) または、 a:b = -b':a'
練習問題１B - 6 からの結論 ○ 直線 ax + bx + c = 0 と、任意の点 P(p,q) の間の距離の公式 d = |ap + bq + c|/√(a2 + b2) 問題集 371（前回提出宿題分）点 O(0, 0), 点 A(2, 2√3), 点 B(x, y) が正三角形であるときの点 B の座標。 作図で求めるつもりで計算方法を考えると良いですね。 解法１）作図による方法。OA が x 軸に対して 60 度を成すことに気づけば簡単。
解法２）O,A からの距離が OA に等しい点として解く。OA2 = 42 = 16 なので、AB2 = OB2 = 16 より計算。
なお、OB2 = 42 を書き下した x2 + y2 = 42 は、原点を中心とする半径 4 の円を表し、 AB2 = (x-2)2 + (y-2√3)2 = 42 は点 A（2, 2√3）を中心とする半径 4 の円を表す。 すなわち、コンパスを使って作図し、2 つの円の交点を求めているのと同じ計算である。 解法３）OA の垂直二等分線上にあり、点 O からの距離が 4 である点として求める。 ただし、AB2 = OB2 の条件から垂直二等分線の方程式が得られるので、上と同じ計算に帰着。 垂直二等分線は、結局コンパスで作図しますからね。 解法４）OA の垂直二等分線上にあり、OA からの距離が 2√3 である点を（1B-6 の公式から）求める。 ヒント）今立式しているのが、何か明記しながら進めると混乱しない。 ※ このような問題を見ると、2 直線が 60 度または任意の角度で交差しているとき、その傾きの間に簡単な関 係がないのだろうかと思うかもしれません。そのような関係は、三角関数（第５章）と、その加法定理を 習うと解くことが可能になります。 373 解法１）ヒントには、CA, CB の傾き（m = ｙ/x）が一致することを利用するとあります。 この場合、mCA = (5-4)/(5-2k-1) = 1/(4-2k), mCB = (k-4)/(3-1) = (k-4)/2 ですから、 1/(4-2k) = (k-4)/2 と置くわけです。これを整理して k2 -6k +9 = 0 より、k = 3（重解）です。 解法２）3 点が 1 つの直線上の点なので、y = mx + n を同時に満たします。そのため 5 = m(5-2k) + n k = m･3 + n 4 = m･1 + n が同時に成り立ちます。この連立方程式を解くと、m, n, k の 3 つを同時に求められます。 たとえば、3 番目の式より n = 4 - m なので、これを上 2 つに代入し整理します。
374 考え方）任意の三角形を、デカルト座標平面内で回転させたり平行移動させたりしても長さの関係に変化 はありません。そのため、なるべく計算が簡単になるように座標系を置いてやる※ のがミソです。 具体的には、まず AB の中点が M なので、M が原点になるように置き、かつ、AB を x 軸上、または y 軸上においてやることにします。すると、A(x1, 0), M(0, 0), B(-x1, 0) となります（いま x 軸上 に置きましたが、y 軸上に、A(0, y1), M(0, 0), B(0, -y1) とおいても OK です）。これに対し、二 に任意の三角形を表すためには、点 C は A, M, B を置いた軸上にない任意の点とすれば OK です。 計算上、座標を置く必要があるので、C(x2, y2) などと置いておきましょう。添え字付きの x, y で はなく a, b, c などの文字を用いてももちろん OK です。 あとは、証明したい等式の左辺と右辺を別々に計算して一致することを示します。 ※ 空間内の特定の直線は、y = mx + n で表されます。つまり m, n の 2 つのパラメータだけで一 つの直線を特定することができるわけです。これを平行移動してよければ、n の値は任意に自由に 選ぶことができ、原点を通る直線で代表して表現すると y = mx と、1 つのパラメータで表すこと ができます。このように、なるべく少ないパラメータで表現しておくと計算が簡単になります。 375 考え方）任意の三角形を、なるべく計算が簡単になるように座標上に示します。問題文に示したように、x 軸上に、線分 B, C を取り、これと無関係に y 軸上に点 A を取ると、（直角三角形でも、二等辺三 角形でもないような）任意の三角形を表します。 次に、それぞれの頂点から対辺（およびその延長）上におろした垂線が 1 つの点 P（垂心）で交わ ることを証明するためには、点 A からの垂線と点 B からの垂線の交点が、点 A からの垂線と点 C か らの垂線の交点と一致することを示せば良いです。ここで、線分 B, C が x 軸上にあり、点 A が y 軸上にあるので、点 A から直線 BC への垂線は y 軸に一致します。だから、AB に直交して点 B を通 る直線の y 切片が、AC に直交して点 C を通る直線の y 切片と一致することを示せば OK です。 376 考え方）任意の三角形を、なるべく計算が簡単になるように座標上に示します。374、375 と同様に独立な パラメータ 3 つで表していることに注意してください。作図をしてみると分かりますが、374 と同 じように線分 BC の中点が x = 0 となるように選んでいますので、線分 BC の垂直二等分線は y 軸 に一致します。なので、線分 AB の垂直二等分線の y 切片の値と、線分 AC の垂直二等分線の y 切 片の値が一致することを示せば OK です。 別解）題意（平面上の 3 点の座標を指定し、これに基づいて証明せよ）には反していますが、垂直二等分 線の性質から、証明するべき内容は明らかに成立します。辺 AB の垂直二等分線は、頂点 A、B から の距離の等しい点の軌跡です。また、辺 BC の垂直二等分線は、頂点 B、C からの距離の等しい点の 軌跡です。すなわち、この交点は、3 つの頂点 A、B、C からの距離がすべて等しいのです。従っ て、辺 AC の垂直二等分線は頂点 A、C からの距離の等しい点の軌跡なので、この点を通ります。 例題、378(1) 指定された直線 L に関して、点 A と対称な点 B の座標 直線が線分 AB の垂直二等分線となっていることを用いる。 (2) 指定された点 P に関して、点 A と対称な点 B の座標 点 P が線分 AB の中点となっている。つまり、B は、AP を 2:1 に外分する点。 379 「第一象限にある」 ←→ 4 つの頂点がすべて、x > 0, y > 0 の範囲にあるということ。 まず点 A, B を作図してみること。点 D, C は線分 AB と直交し、点 A, B を通る直線上にある。 また、各辺の長さが線分 AB と同じになっていること。 → 前回ハンドアウト資料の 2 ページ目の作図を参照。 380 点 A および直線 L を作図してみること。直線 L の作図に当たっては、x 切片（y = 0 の時の x の値)と、y 切片（x = 0 の時の y の値）の 2 点を選ぶと容易である。 AH は、直線 L と直交しているので傾きが判り、さらに点 A を通るので、直線 AH の式が書ける。
従って、直線 L と直線 AH の交点（連立方程式の解）が、H の座標となる。 A, H ともに座標がわかるので、AH の長さが求まるが、１B - 6 から算出した直線と任意の点の間 の距離の公式から求めたものと同じになるはずである。 例題 解法１）まず、邪道です。「定数 k がどのような値であっても定点を通る」という結論が述べられてい る。ならば、k の値を変えて何本か（最低 2 本の）直線を作図してみれば、その点がわかる。 まず、y の係数である 3-k = 0 となるように k を選んでやると y 軸に平行な直線が引け、この交 点の x の値が決まる。また、x の係数が 0 となるように k を選んでやると x 軸に平行な直線が 引け、この交点の y の値が決まる。この値が（x1, y1）と求まったとしよう。「k の値に依存せず いつも同じ点を通ること」を示すためには、「その定点の座標（x1、y1）を代入すれば、k の値に 関係なく直線の方程式が成立する」ということである。そこで直線の式の左辺に（x1、y1）を代入 すれば良い。すると、式を整理したときに、k の文字が消えてゼロになるはずです。 解法２）真面目に解くと、この問題集の解説の通りとなる。すなわち「ある定点の座標（x1、y1）を代入す れば、k の値に関係なく直線の方程式が成立する」ことを利用する。k に係わらず成り立つという のは、恒等式の考え方になる。 まず、直線の方程式をいちど展開してから k に関して整理すると、k についての方程式が得られ る。k の 1 次の項の係数と、k の 0 次の項（定数項）とが、ともに常にゼロになる場合のみ、k の 値に無関係に常に成立する。つまり、「k の 1 次の項の係数と、k の 0 次の項（定数項）とがとｍ にゼロになるような x, y の値の組み合わせがあること」または「連立方程式が実解をもつこと」 が「k の値に係わらずこの直線が定点を通る」ということに対して必要十分である。 題意より、どの定点を通るのかを示す必要はありません。が、k について式を整理するところで終 わるのではなく、これが恒等式として成立するような x, y の組み合わせが実際にあることを示す 必要があります。つまり、実際に連立方程式の解を求めておく必要があるということです。 382(1) 具体的に 2 直線の交点 A の座標を数値として求め、これを、k を含む方程式に代入しても良いです。し かし、例第、381 と解いてきた考え方を一般的に表してやる方がよいでしょうね。なお、解答例の 文言をただ写すだけでは、証明や説明にはなっていませんので注意です。 ① 点 A は 2 直線の交点なので、点 A の座標を代入すると、y = 3x + 1 つまり、y -3x -1 = 0 を 満たす。また、x -2y -4 = 0 を満たす。 ② だから、点 A の座標を、k を含む方程式に代入すると、k の恒等式として成立（= 0 と置いた 方程式左辺の k の次数ごとの係数が全て 0 になっている）しており、k の値に無関係に 0 になる。 ③ すなわち、この方程式が k の値に無関係に点 A を通る図形を表している。 ④ この方程式の x, y の次数が最高で 1 次であるから、これは直線の方程式である。 (2) この方程式が表す直線が 点 A を通ることはすでに分かっている。点 B（5,1) も通るのであるから、x,y = 5,1 を代入して、k を求め、式を整理すればよい。 (3) ある直線に垂直であるという条件で傾きが指定されている。y = mx + n の形に直し、mm' = -1 の関係 を用いるか、ax + by + c = 0 の形に直し、aa' = -bb'(aa' + bb' = 0) または a:b = -b':a' の 関係を用い、k の値を決める。 383(1) 「定数 k の値に関係なく」 → 「k について整理した式の各係数が 0 になるような組み合わせがある」 たとえば L1：x + ky = 1 は、y = 0 のとき k に無関係に 1 の値を取る。これは、k(y) + (x-1) = 0 が、k の 1 次の係数 y がゼロ、k の定数項 x-1 がゼロのとき恒等式となるということである。 L2 も同様に（L1とは別の x, y の値で）k についての恒等式が成立する条件がある。 (2) y = mx + n の形に式変形してから、m = m', かつ n ≠ n' から求めても良い。また、ax + by + c = 0 の形に直し ab' = a'b または、a:b = a':b'（ただし a:b:c ≠ a':b':c'）から求めても良い。 (3) y = mx + n の形に直し、mm' = -1 の関係を用いるか、ax + by + c = 0 の形に直し、aa' = -bb'(aa'
(4) 解法１）L1 と L2 の交点なので、 L1 および L2 の式を連立方程式として解く。たとえば、代入法を用 いて、まず y を求める※。すなわち、L 1 より x = 1 - ky とし、これを L2 に代入して整理する。 y = (k - 1)/(k2 + k - 2) となる（問題文より、k ≠ 1, -2 なので、分母はゼロではない）。 x = 1 - ky にこの y を代入して整理すると x = (2k - 2)/(k2 + k -2) である。ここで、x と y を 見比べると、分母は共通で分子も(k-1) が共通因子なので、常に x : y = 2 : 1 である。すなわ ち、2y = x （または y = (1/2)･x )となる。 ※ 教科書の解答例では、y の項を消すために、L1×2 - L2×k を行って、x についての式に帰着さ せ、まず x を求めている。本質的に差があるわけではない。 別解）邪道ですが、問題文に「直線上を動く」と書いてあります。k の値を変えて 2 回交点を求める作 業を行えば、その直線が判る筈です。例えば、k = 0 の時、L1：x = 1, L2： x + 2y = 2 より、 (x, y) = (1, 1/2) が一つ目の交点、k = -1 の時、L1：x - y = 1, L2： 2y = 2 より、(x, y) = (2, 1) が二つ目の交点です。ここから、y = (1/2)･x と求めることができます。簡単！ （解法１では、「直線関係になる」ことまで自分で求めることができましたが、ここではその過程 を放棄しています。なので数学の解き方としては邪道と表現しておきました。とはいえ、問題文に 「直線上を動く」と明記されているので、文句を言われる筋合いはありません。このような解法を 防ぐためには「k の値が変化するとき、2 直線の交点が辿る奇跡を求めよ」とすべきでした。） 別解２）「k の値に係わらず、連立方程式の解は y = ax + b の関係にある」より、k の恒等式として 解き、a, b を決めることもできます。 （解答例） L1：x + ky = 1 , L2：(k + 1)x + 2y = 2 → 連立方程式の解において、y1 = ax1 + b が k の値に無関係に成り立つ。 従って、連立方程式の解においては、 L1より、x1 + k(ax1 + b) = 1 → x1(1 + ka) + kb - 1 = 0 L2より、(k + 1)x1 + 2(ax1 + b) = 2 → x1(k + 1 + 2a) + 2b -2 = 0 が成立する。この連立方程式から、x1 を消して整理する。L1より x1 = (1 - kb)/(1 + ka) なので これを L2 に代入して、(1 - kb)(k + 1 + 2a) + (2b -2)(1 + ka) = 0
(k + 1 + 2a) - kb(k + 1 + 2a) + (2b -2) + (2b -2)ka = 0 k + 1 + 2a - k2b - kb - 2kab + 2b - 2 + 2kab - 2ka = 0
(-b)k2 + (1 - b - 2ab + 2ab - 2a)k + (1 + 2a + 2b -2) = 0
(-b)k2 + (1 - b - 2a)k + (-1 + 2a + 2b) = 0 これが k の恒等式として成り立つためには、 (-b) = 0 (1 - b - 2a) = 0 (-1 + 2a + 2b) = 0 である必要がある。この 3 式は、b = 0、a = 1/2 で成立する。 従って、k の値に係わらず、直線 L1 と L2 の交点は、y = (1/2)･x の関係にある。 （教科書 練習問題 １A-1 追記） 解法３の続き）作図をすると明らかなように、この 3 点は直角二等辺三角形になっています。なお、任意の直 角三角形は外心が斜辺の中点にあります。（逆に、円の直径 AB と、円周上の任意の点 P を結ぶと、∠APB は直 角になります。）このことに気づくと、すぐに答えを導くことが可能になります。
（解答例）A（0,6）、B(6,-2)、P(7,5) のとき、AP の傾きは-1/7、PB の傾きは 7 なので、AP⊥PB である。よっ て、この三角形の外心（3 点からの距離の等しい点）は AB の中点 M(3,2)である。
