2019.05.30 1-4 数学 B 第１章 数と式の計算 §２ いろいろな数と式 章末問題 章末問題 A 解説 １(1) カッコを外して、分母、分子で同じ文字をバンバン消していく。 (2) 最初の 2 項を通すると、第 3 項と同じ分母になる。 (3) とりあえず一気に通分してよし。分子を展開して整理すると自然に綺麗な形だけ残る。 (4) 第 1 項と第 2 項を因数分解するのが先。第 3 項の割り算は逆数の掛け算に直す。 続いて、分母と分子にある同じ整式で約分していく。 (5) 分子、分母をさきに通分（展開はしなくて OK)し、可能であれば因数分解する。 繁分数を分子÷分母（すなわち、分子×分母の逆数）として書きなおしてから約分していく。 ２(1) 通分することで有理化が同時に行われる。 (2) 有理化が行われる条件ではあるが、その前に、約分で式を簡単に直す方が速い。 (3) 式を展開せずに、まず通分した形で式を書いてみること。分母は {(√3-1)(√3+1)}2 として計算する。 分子は、X4 = (x2)2 として計算する。このとき、(a+b)2 + (a-b)2 = 2a2 + 2b2 の関係で整理できる。 (4) (3) と同様に。分母は {(√3-1)(√3+1)}3 として計算する。分子は、X6 = (x2)3 として計算する。
なお、(a+b)3 + (a-b)3 = 2a3 + 4ab2 の関係で整理できる。
３(1) 式を整理、(a+b)(a-b)の形に帰着。与式 = (√5 + [√3 - √2])(√5 - [√3 - √2]) として計算。 (2) 丁寧に計算すること。 (3) まず、負数のルートについて、i を使って表し直すこと。その後通分すると実数化できる。 (4) 通分することで実数化できる。 ４(1) 4 < 5 < 9 より、√5 は 2 と 3 の間であることに注意して絶対値の記号を外し、分母を有理化する。 (2) それぞれの絶対値を求めてから差を取る。和、差に関しては、||±||≠|+| なので注意。 (3) ||/||=|/| なので、分子分母の絶対値を先に求める。 章末問題 B 解説 １(1) 通分して、分子を展開してから整理して因数分解する。分母の a2-b2 を因数分解する。 (2) はじめに第 1 項と第 2 項で通分する。次いで、これと第 3 項を通分する。 (3) 考え方としては、単純な分数が分母にあるだけならその逆数を掛けるだけで済むので、 帯分数の形（a + b/c) を仮分数の形（ (ac+b)/c ）に書きなおす。 末端から整理していく。はじめに整理するのは、A = x - 1/x の部分である。A = (x2 - 1)/x 次に、x + 1/A = x + A-1 のように書き直してから通分する。 計算の途中で、分母がゼロにならないように気をつける部分は割愛しても大丈夫。 (4) 分母の帯分数を仮分数の形に直し、それぞれの項の繁分数を整理する。 (5) 分母の帯分数を仮分数の形に直し、それぞれの項の繁分数を整理する。その後通分する。 ２(1) 先に各項を有理化する。 (2) 有理化する。分母 = (1 + √2) + √3 なので、はじめに (1 + √2) - √3 を分母分子に掛ける。 ３ √(a2 - x2) に、x = 2√(a - 1) を代入すると、x の文字が消えて、a についての多項式になる。
√(b2) = |b| の関係を用いて√を外すことができるが、絶対値を忘れないこと。
答えは、絶対値記号を用いるより、場合分けで式を示すこと。
問題集 50～52、57～61 解説 50 (1) カッコを外して、分母、分子で同じ文字をバンバン消していく。 (2) 通分する前に、第 2 項の分母を因数分解してみて下さい。 (3) 高次の式はなるべく因数分解し、割り算は逆数の掛け算にする。 (4) 繁分数の分子、分母をそれぞれ整理してから計算する。それぞれ通分したときに、分子分母が共通の分 母を持つ形に変形できるから、約分できる。 はじめから繁分数の分母分子に x(x+1) を掛けてもよい。なお、繁分数の分母分子に同じ式を掛けると きに、分子や分母が帯分数であるとき、掛け忘れがないように気を付けること。 すなわち、
1
1+
1 𝑎 のような繁分数の分母分子ともに b を掛ける場合は、𝑏
𝑏+
𝑏 𝑎 である。分母の分母を消 すつもりで、分母分子に a を掛けて、𝑎
𝑎+
𝑎 𝑎 とする（（1+1/a)×a = a+1 である）ところを、ついa
1+
𝑎 𝑎 としてしまわないように。基本は、帯分数を仮分数の形1
1+
1 𝑎 = 𝑎+11
𝑎 に直してから約分してい くと、このようなミスが少ない。 51 (1) √の中の平方数を外に出すことで簡単にできる。 (2) はじめのカッコの中を、(√6 - √3) = √3(√2 - 1) と変形してやると、残りの計算が楽になる。 (3) 2 つ目の分数の分母が 2 + √2 = √2(√2 + 1) と変形してやると 1 つ目の分数の分子と約分できる。 (4) 普通に通分する。 52 (1) 絶対値の問題である。|| をつけないときの計算結果が負になるので、式の符号を逆転する。 (2) (2√6)2 = 4×6 = 24 ＜ 25 = 52 だから、2√6 ＜ 5 であることに注意する。 (3) 実数の二乗は必ず正の値を返す。従って、a が正であろうが負であろうが、|a|2 = a2 としてよい。 (4) 2 ＜ √5 ＜ 5 である（二乗して確認すると、4 ＜ 5 ＜ 25）から、√5 - 2 は正、√5 - 5 は負。 57 (1) 割り算は、逆数の掛け算に直し、分母分子で同じ文字をバンバン… (2) 高次の整式は因数分解し、割り算を逆数の掛け算に直す。 (3) すべての項の分母は因数分解できる。因数分解してから通分する。 (4) (a-c) と (c-a) など、文字順が逆になっているだけのものは同じ仲間。(c-a) = -(a-c) などとしてやると、(a-b)(b-c)(c-a) を共通の分母として通分できる。 (5) 高次の整式を因数分解し、割り算を逆数の掛け算に直してから、同じ整式を約分で落とす。 58 繁分数の整理について、丁寧に計算すること。50(4) の注意もよく読んでみてください。 59 分数間の掛け算や割り算ではなく、和、差を求めるので仮分数を帯分数に直してから計算すると速い。 つまり、問題文に指示されているように、予め、それぞれの分数を分母で割って、商と分数の形に直し てから計算する。すると、整式間の和、差と、分子の小さい分数間の和、差に帰着できるので、通分等 において大きな数値を扱わないで済む。 60 2 つの根号を含む整式を分母にもつ場合は、a,b が正の整数であるとき、(√a＋√b)(√a-√b) = a2 - b2 が有理数であることから、一段階で簡単に有理化できた。3 つ以上の根号をもつ式については、たと
えば √a + √b + √c の場合、2 つの根号をカッコで括り、((√a + √b) + √c)((√a + √b) - √c) の計算を行う（a, b, c のルートのいずれかの符号を変えたものは、3 通りあるが、計算が簡単になる もの、やや面倒なものとがあるが、実質すべて正しい結果を与えるので、あまり気にしなくてよい）。 計算結果は(√a + √b)2 - (√c)2 となり、第 1 項は a + b + 2√(ab) であるので、混合が一つ減る。
61 (1) = a + bi, = c + di と置き、各式の右辺、左辺が等しくなることを示す。 (2) では、|(+)|2 = ( + )( + )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ の関係を用いる。(1) で確認した ( + )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (̅ + ̅) の関係を適用 して式変形（分配則に従った式の展開）を行う。なお、| + | と ||+|| の間には一般的な関係がな いので、注意すること。つまり、複素数の積の絶対値は、複素数の絶対値の積に等しい（ || = ||・ || ）ことをすでに知っているので、(2) の左辺 = |(+)|2 を、|(+)2| に等しいものとしてもよい が、これを展開しても求められない。
PLUS では二重根号を開く問題が出てきます。根号の中の式を (a+b)2 や (a-b)2 に帰着させるので、要は因数 分解の応用です。
62 a > 0, b > 0 なので、A = √a、B = √b と置くと、(A + B)2 = A2 + B2 + 2AB である。
(A + B)、√(A2 + B2 + 2AB) がともに正なので、√((A + B)2) = (A + B) = √(A2 + B2 + 2AB) である。
63 (1) (a - b)2 = 3 - 2√2 として、a2 + b2 = 3、2ab= 2√2 になるような a, b を探す。但し (a - b) > 0 (2) (a + b)2 = 5 + 2√6 として、a2 + b2 = 5、2ab= 2√6 になるような a, b を探す。 (3) (a - b)2 = 7 - 4√3 = 7 - 2√12 として、a2 + b2 = 7、2ab= 2√12 になるような a, b を探す。 (4) (a - b)2 = 27 - √200 = 27 - 2√50 として、a2 + b2 = 27、2ab= 2√50 になるような a, b を探す。 (5) (a + b)2 = 2 + √3 = 2 + 2√(3/4) として、a2 + b2 = 2、2ab= 2√(3/4) になるような a, b を探す。 (6) (a + b)2 = 4 + √7 = 4 + 2√(7/4) として、a2 + b2 = 4、2ab= 2√(7/4) になるような a, b を探す。 64 (1) (a - b)2 = (1 + x) - 2√x として、a2 + b2 = (1 + x)、2ab= 2√x になるような a, b を探す。 (2) (k + j)2 = 1 + 2√(a(1-a)) として、k2 + j2 = 1、2kj= 2√(a(1-a)) になるような k, j を探す。
65 与式の分母の二重混合を外すために、(a - b)2 = 6 - 2√5 として、a2 + b2 = 6、2ab= 2√5 になるよう
な a, b を探す。すると、a, b = 1, √5 または、√5, 1 となる。√5 > 1 なので、a - b が正となるよ うに a, b = √5, 1 とする。つまり、与式 = 8/(√5 -1) となる。これを有理化すると 2√5 + 2。 2√5 = √20 だから、4 < 2√5 < 5、よって、6 < 2√5 + 2 < 7 である。 従って、a = 6、b = 2√5 + 2 - a = 2√5 - 4 このようにして、1/a + 1/b を計算することができる。1/b の計算では有理化し、全体で通分する。
