電気回路学Ⅱ 講義日程と内容

電気回路学Ⅱ

通信工学コース 5 セメ

山田 博仁

講義日程と内 容

　日程 ( 回目 ) 　　　　　　講義内容　　　　　　教 科書の章との対応

　　　　　　 　　　　　　　 1) 　　　　　　 2)

4/16 ( 第 1 回 ) 　 RL, RC 回路の過渡現象　　　　　　　

2.1, 2.2 　　　　 -

4/23 ( 第 2 回 ) 　 RLC 回路の過渡現象　　　　　　　

2.3, 2.4 　　　　 -

4/30 ( 第 3 回 ) 　ラプラス変換　　　　　　

　　 5.1, 5.2 　　　　 -

5/7 　 ( 第 4 回 ) 　過渡現象とラプラス変換　　　　　　　 6.1 ～ 6.2 　　　 -

5/14 ( 第 5 回 ) 　過渡現象とラプラス変換の続きと演習　　　　　　　　 6.3

　　　　　　 -

5/21 ( 第 6 回 ) 　過渡関数波、周期波、時間域・周波数域解析　 5.3 ～ 5.5,

7.1 　 -

5/28 ( 第 7 回 ) 　微分、積分回路、二次系の伝達特性　　　　　　　 7.2 ～

7.4 　　　 -

6/4 　 ( 第 8 回 ) 　 RLC 回路、インパルス・ステップ・任意波形応答 7.5, 7.7 ～ 7.9 　 -

6/11 ( 第 9 回 ) 　歪波交流、周期波　　　　　　　 　

3.1, 3.2

6/18 ( 第 10 回 ) 　複素フーリエ級数、歪波交流回路の計算　　　　　 3.4

6/25 ( 第 11 回 ) 　パルス信号のフーリエ変換　　　　　　　

4.1, 4.2

7/2 　 ( 第 12 回 ) 　特異な信号のフーリエ変換　　　　　　　 　 4.3, 4.5

7/9 　 ( 第 13 回 ) 　演習問題

7/16 　 ( 第 14 回 ) 　まとめ

過渡関数波

過渡関数波とは ?

単位ステップや単位インパルスを、時間微分或いは積分した関数で表され る一連の波形を過渡関数波と呼ぶ。

単位ステップと単位インパルス

0 t 1

a

0 a t

図 (a) の波形を時間 t で微分すると図 (b) の波形を得る。

(a)

(b)

a → 0 の極限を考えると、図 (a) の波形は単位ステ

ップ u

(t) となり、図 (b) の波形は単位インパルス u

(t) となる。

即ち、

ℒ

[

]

^[

^]

^[

^]

�₋₁(+0)

のこと

過渡関数波

単位ダブレット

0 a 2a t

(a) (b)

a → 0

(d)

0 a 2a t 図 (a) の三角波を時間微分すると、図 (b) のような正および負の方形波が続 いて現れる波形となる。これを　　　　で表せば、　　　　の時間積分は 0 となるが、　　　の 1 次モーメント　　　　を考えると、図 (d) のよう にその時間積分は − 1 となることが分かる。そこで、 a → 0 の極限を考 えて、 　　　　　　　　を考えると、図 (c) のように高さは無限に高く、

幅が無限に小さい正と負のインパルスが、 t = 0 の時刻に同時に存在する 波形となる。これを単位ダブレット u

(t) と呼び、その 1 次モーメントは−

1

となる。

(c)

0 a 2a t 0 t

+∞

–∞

単位ダブレット

また、単位ダブレットは単位インパルスを時間微分した ものであるから、そのラプラス変換は、　　　　　　となる。

[

]

[

]

1 p.99 (5.13) より

ℒ

[

]

^[

^]

過渡関数波

高次の特異波形

単位インパルス u

(t) を k 回微分した特異な関数を u

(t) で表す。それは

、正負のインパルスが時刻 t = 0 に同時に k + 1 個 発生する波形である

。

また、単位マルチプレットのラプラス変換は、　　　　　　となる。

その k 次モーメントは、

であり、有限確定値をとる。

単位ダブレット

t で微分 t で微分

t = 0 で同時 0 t

+∞

–∞

u

(t)

0 t +∞

–∞

u

(t)

0 t +∞

–∞

u

(t)

単位トリプレット

ℒ

[

]

単位カルテット

singlet doublet triplet quartet quintet sextet septet ⁞

multiplet

過渡関数波

単位ランプ

0 t 1

u

(t)

単位インパルス u

(t) を k 回積分して得られる関数を u

(t) で表す。 1 回積分したものは、図 (a) の単位ステップ u

(t) で、 2 回積分したものは 図 (b) に示すように、時刻 t = 0 から直線的に増加する波形であり、 3 回 積分したものは図 (c) に示すように、時刻 t = 0 から放物線的に増加する 波形となる 。これら一群の関数を単位ランプと呼ぶ。

(a) 単位ステップ u

(t) (b) 単位半無限ランプ u

(t) 0 t

1

u

(t)

1

(c) 単位放物線ランプ u

(t) 0 t

1

u

(t)

1

t で積分 t で積分

過渡関数波

単位ランプのラプラス変換は、

となる。

例 5.3.1 例 5.3.2

f(t) が t = a で連続なら、

の関係が成り立つ。

u

(t)sinωt u

(t) sinωt

時刻 t = 0 に突然現れる正弦波

単位インパルス u

(t) を用いて

ℒ

[

]

[ ^∫

]

[ ^∫

^∫

]

過渡関数波のまと め

0 t 1

u

(t)

(a) 単位ステップ u

(t) (b) 単位半無限ランプ u

(t) 0 t

1

u

(t)

1

(c) 単位放物線ランプ u

(t) 0 t

1

u

(t)

1 単位インパルス

0 t

+∞ u

(t)

単位ダブレット 0 t

+∞

–∞

u

(t)

t で積分 t で微分

t で積分 t で微分 t で積分

t で微分

t で積分 t で微分 0 t

+∞

–∞

u

(t)

t で積分

t で微分 単位トリプレット

これらのラプラス変換は、

で与えられる s 1

s

ℒ

[

]

周期関数のラプラス変

時間的に繰り返す波形 ( 周期関数 ) のラプラス変換 換

∞

− から時刻 t = 0 まで f(t) = 0 で、 t > 0 では周期 T をもって同じ波形 が繰り返されるようなとき、その波形 f(t) を、 0 < t < T の 1 周期の間で のみ f(t) に等しく、それ以外の全ての時刻 t では 0 になる波形 f

(t) を もって表せば、

となる。従ってラプラス変換 F(s) は、変位定理を用いて、

ただし、

F

(s) を、ウェイデリッチによる定常ラプラス変換と呼ぶ。

あるいは、 である。

f

(t)

0

t

f(t)

ℒ

[

]

[

]

1−�^−��

周期関数のラプラス変 換

例 5.4.1

図に示すように、 t < 0 で 0 、 t >

0 では方形波が繰り返すような波形 のラプラス変換 F(s) は、

として、

0 t 1

従って、

f

(t)

展開定理

展開定理

F(s) のラプラス逆変換を求めるにあたり、 F(s) を部分分数に展開し、展開

式の各項についてラプラス逆変換するのが便利。例えば、

(1) F(s) が 1 位の極のみからなるとき

と書ける。

ここで、 s

(j = 1, 2, ‥‥ , n) は F(s) の 1 位の極であり、 C

(j = 1, 2, ‥‥ , n) は極 s

の留数である。

従って、 より、 F(s) のラプラス逆変換は、

となる。

ℒ

[ ^{� − 1 �}

] ^=�

� ( _� ) _{= ℒ}

[ ^{� ( � )} ] ⁼ ∑

�=1

�

[ ^�

�

] ⁼ ∑

�=1

�

[ ^{( � − �}

) � ( �) �

]

ℒ⁻¹

ℒ ℒ ℒ

展開定理

展開定理

(2) F(s) が 2 位以上の極をもつとき

と書ける。

ここで、 F

(s) はもはや、 s

に極を持たない有理関数であり、 C

(j = 1, 2,

‥‥ , k

) は定数であり、

となる。

F(s) を部分分数に展開 (s = s

でローラン展開 ) して、

s

以外の極 s

, s

, ‥‥ , s

についても、同様のことを F

(s) について行えばよい。

であり、

ℒ

ℒ

展開定理を用いたラプラス逆変

例 5.5.1 換

のラプラス逆変換を展開定理を用いて求める。表 5.1 の (20) に同じ

まず、部分分数に展開

展開定理を用いて各係数を求めると、

従って、 となる。

時間領域解析

E

S t = 0

Z e(t) Z

等価 0 t

E

e(t)

これまでに、ある時刻でスイッチを閉じたり開いたりした時の過渡現象を扱っ てきたが、

例えスイッチの無い回路であっても、励振の波形がそのように変化する場合、

同じ現象と言える。複雑な信号波形を扱う場合、過渡現象が連続的に起こって

いると考えられるので、過渡現象というよりも波形伝送の問題として捉える。

回路網関数

微積分方程式とラプラス変換

静止の状態にある ( 全ての初期条件を 0 とした ) 回路に励振を加えたとき

、応答のラプラス変換と励振のラプラス変換との比を回路網関数という。

( 応答のラプラス変換 ) = ( 回路網関数 )×( 励振のラプラス変換 )

全ての初期条件を 0 (i(0) = 0, q(0) = 0) と置いてしまえば、励振 e(t) および 応答 i(t) は、それぞれのラプラス変換 E(s) および I(s) に ( ほぼ )1 対 1 対 応する。従って、 e(t) および i(t) で考える代わりに E(s) および I(s) で考 えて、これらラプラス変換したものも励振および応答と呼んでいる。

また、全ての初期条件を 0 としたとき、 Z(s) = E(s)/I(s) をインピーダンス

関数、 Y(s) = I(s)/E(s) をアドミタンス関数と呼んでいたが、より一般的に

は次のように定義する。

回路網関数 (network function) の代わりにシステム関数 (system function) 、伝

達関数 (transfer function) などと呼ぶこともある。

回路網関数は、対象としている回路網の構造を与えれば一意に定まる。

回路網関数

回路網関数には、 ( 電圧 )/( 電流 ) を表すインピーダンス関数 (impedance function) 、 ( 電流 )/( 電圧 ) を表すアドミタンス関数 (admittance

function) 、さらにまた励振と応答が同じ節点対 ( 端子対 ) で測られるとき駆

動点関数 (driving-point function) 、異なる節点対 ( 端子対 ) で測られるとき 伝達関数と呼ばれる。

V

(s) 回路網 V

(s)

I

(s) I

(s)

例えば以下の回路網において、

V

(s)/I

(s), V

(s)/I

(s) は、駆動点インピーダンス関数 I

(s)/V

(s), I

(s)/V

(s) は、駆動点アドミタンス関数

V

(s)/I

(s), V

(s)/I

(s) は、伝達インピーダンス関数

I

(s)/V

(s), I

(s)/V

(s) は、伝達アドミタンス関数 である。

複素記号演算との関 係

回路網関数を H(s) とすると、 s を jω で置き換えた H(jω) は、複素記号 演算で得られるインピーダンスやアドミタンスと一致する。即ち、ラプラ ス変換による演算で定義される回路網関数 H(s) は、複素記号演算で定義さ れる回路網関数 H(jω) を拡張したもので、 s ↔ jω で相互に置き換わる。

( ラプラス変換 )

( 初期条件の導入 ) E(s

)

e(t

)

)

周波数域解析 時間域解析

微分方程式またはラプラス変換による時間域解析のプロセスを下図に示す。

線形電気回路の時間域解析

時間域解析と周波数域解 析

線形電気回路の解析にラプラス変換を用いれば、初期条件も導入しながら、

多くの関数のラプラス変換がラプラス変換表を用いて機械的に行える。そ の後、 s 関数の代数演算によって応答のラプラス変換を求め、ラプラス変 換表を用いてラプラス逆変換を行えば、時間応答が求められる。

時間域解析と周波数域解析

時間 t の関数としての励振 e(t) に対する回路網の応答 i(t) を求めること を、時間域解析 (time domain analysis) と呼んでいる。これに対し、 e(t),

i(t) のラプラス変換 E(s) と I(s) の関係を求めることを周波数域解析

(frequency domain analysis) と言う。周波数域解析では、一般的には初期

条件を考慮しない。全ての初期条件を 0 として扱う。

ラプラス変換による演算法は、ヘビサイド (Oliver Heaviside) によって導入 されたヘビサイドの演算子法を数学的に明確にする過程で変形されたもの

。

周波数域解析における重ねの

周波数域解析における重ね合わせの理と初期条件 理

周波数域解析で初期条件を扱う必要のある場合には、初期条件に関連した 項を強制振動項と同格に扱い、強制振動の一成分であると考える。

RLC 直列回路を例に見てみると、回路方程式のラプラス変換は、

で表されるから、即ち、

が成り立つ。

即ち、 を各々独立した励振と見なした場合の応答 に対して、重ね合わせの理が成り立つ。

従って、