数学Ⅱ・数学B

(1)

問題選択方法

第１問必答

第２問必答

第３問 !

%%

"

#%

%$

いずれか!問を選択し，

解答しなさい。

第４問

第５問

― １５ ― （２１０５―１５）

(2)

第１問

（必答問題）（配点３０）

〔"〕

 !≦θ＜#πのとき

sin

θ＞!$

cos

%

&θ− π

$'

( ………  となるθの値の範囲を求めよう。

加法定理を用いると

!$

cos

%

&θ− π

$'

(＝

!

^ア

イ

cos

θ＋ウイ

sin

θ

である。よって，三角関数の合成を用いると，は

sin %

&

^θ^＋ ^エ^π

' (

^＜^!

と変形できる。したがって，求める範囲はオ

カ π＜θ＜キク π である。

（数学Ⅱ・数学Ｂ第１問は次ページに続く。）

（注）この科目には，選択問題があります。（１５ページ参照。）

数学Ⅱ・数学Ｂ

― １６ ― （２１０５―１６）

(3)

 '≦θ≦ π

( とし，

k

を実数とする。sinθ と

cos

θ は

x

の(次方程式２５

x

^２−３５

x

＋

k

＝'の解であるとする。このとき，解と係数の関係により

sin

θ＋

cos

θと

sin

θ

cos

θの値を考えれば，

k

＝ケコであることがわかる。

さらに，θが

sin

θ≧

cos

θを満たすとすると，sinθ＝サシ

，

cos

θ＝スセ

である。このとき，θはソを満たす。ソに当てはまるものを，次の!〜&のうちから一つ選べ。

! '≦θ＜ π

１２ " π

１２≦θ＜ π

, # π

, ≦θ＜ π

*

$ π

* ≦θ＜ π

) % π

) ≦θ＜ +

１２π & +１２π≦θ≦ π (

― １７ ― （２１０５―１７）

(4)

〔"〕



t

は正の実数であり，

t

^!^#−

t

⁻^!^#＝−#を満たすとする。このとき

t

^"^#＋

t

⁻^"^#＝タチ

である。さらに

t

^!^#＋

t

⁻^!^#＝

!

^ツテ ^，

^t

⁻

^t

^−１^＝ ^トナニ

である。

数学Ⅱ・数学Ｂ

― １８ ― （２１０５―１８）

(5)



x

，

y

は正の実数とする。連立不等式

!"

#$

log

（３

x

!

y

）≦" ……… 

log

８１

y

x

^３ ≦! ………  について考える。

X

＝

log

３

x

，

Y

＝

log

３

y

とおくと，は

ヌ

X

＋

Y

≦ ネノ ………  と変形でき，は

ハ

X

−

Y

≧ ヒフ ………  と変形できる。

X

，

Y

がとを満たすとき，

Y

のとり得る最大の整数の値はヘである。また，

x

，

y

が，と

log

３

y

＝ヘを同時に満たすとき，

x

のとり得る最大の整数の値はホである。

― １９ ― （２１０５―１９）

(6)

第２問

（必答問題）（配点３０）

a

＞!とし，（

f x

）＝

x

^２−（$a−#）

x

＋$a^２＋"とおく。座標平面上で，放物線

y

＝

x

^２＋#x＋"を

C

，放物線

y

＝（

f x

）を

D

とする。また，lを

C

と

D

の両方に接する直線とする。

 lの方程式を求めよう。

lと

C

は点（

t

，

t

^２＋#t＋"）において接するとすると，lの方程式は

y

＝%

& ア

t

＋イ '

(

x

−

t

^２＋ウ ………… 

である。また，lと

D

は点（

s

，（

f s

））において接するとすると，lの方程式は

y

＝%

& エ

s

− オ

a

＋カ '

(

x

−

s

^２＋キ

a

^２＋ク ………… 

である。ここで，とは同じ直線を表しているので，

t

＝ケ，

s

＝コ

a

が成り立つ。

したがって，lの方程式は

y

＝サ

x

＋シである。

（数学Ⅱ・数学Ｂ第２問は次ページに続く。）

数学Ⅱ・数学Ｂ

― ２０ ― （２１０５―２０）

(7)

 二つの放物線

C

，

D

の交点の

x

座標はスである。

C

と直線l，および直線

x

＝スで囲まれた図形の面積を

S

とすると，

S

＝

a

セソ

である。



a

≧ "

# とする。二つの放物線

C

，

D

と直線lで囲まれた図形の中で

!≦

x

≦"を満たす部分の面積

T

は，

a

＞タのとき，

a

の値によらず

T

＝チツ

であり， "

# ≦

a

≦ タのとき

T

＝− テ

a

^３＋ト

a

^２− ナ

a

＋ニヌである。

 次に，， で定めた

S

，

T

に対して，

U

＝#T−$S とおく。

a

が

"

# ≦

a

≦ タの範囲を動くとき，

U

は

a

＝ネノ

で最大値ハヒフをとる。

― ２１ ― （２１０５―２１）

(8)

第３問

（選択問題）（配点２０）

数列｛

a

n｝は，初項

a

^１が!であり，

n

＝"，#，$，… のとき次の漸化式を満たすものとする。

a

n＋"＝

n

＋３

n

＋１｛$an＋３ⁿ^＋１−（

n

＋"）（

n

＋#）｝……… 



a

^２＝アである。



b

n＝

a

n

３（ⁿ

n

＋"）（

n

＋#）とおき，数列｛

b

n｝の一般項を求めよう。

｛

b

n｝の初項

b

^１はイである。の両辺を３^n＋１（

n

＋#）（

n

＋$）で割ると

b

n＋"＝

b

n＋

ウ

%&

n

＋エ ' (%

&

n

＋オ ' (

−

%

&

^"^カ

' (

n＋１

を得る。ただし，エ＜オとする。

したがって

b

n＋１−

b

n＝

%

&

キ

n

＋エ

−

キ

n

＋オ

' (

⁻

%

&

^"^カ

' (

n＋１

である。

（数学Ⅱ・数学Ｂ第３問は次ページに続く。）

第３問〜第５問は，いずれか２問を選択し，解答しなさい。

数学Ⅱ・数学Ｂ

― ２２ ― （２１０５―２２）

(9)

n

を"以上の自然数とするとき

!!"!

"!!

$

%

キ

k

＋エ −

キ

k

＋オ

&

'

^＝ ^!^ク

$

%

n

− ケ

n

＋コ

&

'

!!"!

"!!

$

%

^!^カ

&

'

k＋１

＝サシ −

スセ

$ %

^!^カ

&

'

n

が成り立つことを利用すると

b

n＝

n

− ソ

タ $

%

n

＋チ &

'

＋スセ

$ %

^!^カ

&

'

n

が得られる。これは

n

＝!のときも成り立つ。

 により，｛

a

n｝の一般項は

a

n＝ツ ⁿ⁻ テ$

%

n

^２− ト &

'＋

$%

n

＋ナ &

'$

%

n

＋ニ &

' ヌ

で与えられる。ただし，ナ＜ニとする。

このことから，すべての自然数

n

について，

a

nは整数となることがわかる。



k

を自然数とする。

a

^３k，

a

^３k＋１，

a

^３k＋２を#で割った余りはそれぞれネ，ノ，ハである。また，｛

a

n｝の初項から第２０２０項までの和を#で割った余りはヒである。

― ２３ ― （２１０５―２３）

(10)

第４問

点

O

を原点とする座標空間に!点

A

（"，"，−$），

B

（!＋!!"，!−!!"，−#）

をとる。"点

O，A，B

の定める平面をαとする。また，αに含まれる点

C

は

!"

OA⊥ !" OC， !" OB・ !" OC

＝２４ ……… 

を満たすとする。



$ $ !" OA # #

＝ア

!

^イ ^，

^$ ^$ ^!" ^OB ^# ^#

^＝ ^ウ

!

^エ ^であり，

!"

OA・ !" OB

＝オカである。

 点

C

は平面α上にあるので，実数

s

，

t

を用いて，

!" OC

＝

s !" OA

＋

t !" OB

と表すことができる。このとき，から

s

＝キク

ケ

，

t

＝コである。し

たがって，

$ $ !" OC # #

＝サ

!

^シ ^である。

（数学Ⅱ・数学Ｂ第４問は次ページに続く。）

数学Ⅱ・数学Ｂ

― ２４ ― （２１０５―２４）

(11)

 !

CB

"＝*

+ ス，セ，ソタ ,

-である。したがって，平面α上の四角形

OABC

はチ。チに当てはまるものを，次の!〜%のうちから一つ選べ。ただし，少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。

! 正方形である

" 正方形ではないが，長方形である

# 長方形ではないが，平行四辺形である

$ 平行四辺形ではないが，台形である

% 台形ではない

!"

OA⊥

!"

OC

であるので，四角形

OABC

の面積はツテである。

 !"

OA⊥

!"

OD，

!"

OC・

!"

OD

＝'!)かつ

z

座標が&であるような点

D

の座標は

* +

^ト ^＋

^!

ナニ

，ヌ −

!

^ネ

ノ

，&

, -

である。このとき ∠COD＝ハヒ °である。

(点

O，C，D

の定める平面をβとする。αとβは垂直であるので，三角形

ABC

を底面とする四面体

DABC

の高さは

!

^フ ^{である。したがって，}

四面体

DABC

の体積はヘ

!

^ホ ^である。

― ２５ ― （２１０５―２５）

(12)

第５問

以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて２９ページの正規分布表を用いてもよい。

ある市の市立図書館の利用状況について調査を行った。

 ある高校の生徒７２０人全員を対象に，ある!週間に市立図書館で借りた本の冊数について調査を行った。

その結果，!冊も借りなかった生徒が６１２人，!冊借りた生徒が５４人，

"冊借りた生徒が３６人であり，#冊借りた生徒が１８人であった。$冊以上借りた生徒はいなかった。

この高校の生徒から!人を無作為に選んだとき，その生徒が借りた本の冊数を表す確率変数をXとする。

このとき，Xの平均（期待値）はE（X）＝アイ

であり，X^２の平均は

E（X^２）＝

ウエ

である。よって，Xの標準偏差はσ（X）＝

!

^オ

カ

である。

（数学Ⅱ・数学Ｂ第５問は次ページに続く。）

数学Ⅱ・数学Ｂ

― ２６ ― （２１０５―２６）

(13)

 市内の高校生全員を母集団とし，ある!週間に市立図書館を利用した生徒の割合（母比率）をpとする。この母集団から６００人を無作為に選んだとき，その!週間に市立図書館を利用した生徒の数を確率変数Yで表す。

p＝０．４のとき，Yの平均はE（Y）＝キクケ，標準偏差は（σ Y）＝

コサになる。ここで，Z＝ Y− キクケコサ

とおくと，標本数６００は十分に大きいので，Zは近似的に標準正規分布に従う。このことを利用して，Yが２１５以下となる確率を求めると，その確率は０．シスになる。

また，p＝０．２のとき，Yの平均はキクケの ! セ

倍，標準偏差は

コサの

!

^ソ

" 倍である。

― ２７ ― （２１０５―２７）

(14)

 市立図書館に利用者登録のある高校生全員を母集団とする。!回あたりの利用時間（分）を表す確率変数をWとし，Wは母平均m，母標準偏差３０の分布に従うとする。この母集団から大きさnの標本W^１，W^２，…，Wnを無作為に抽出した。

利用時間が６０分をどの程度超えるかについて調査するために U^１＝W^１−６０，U^２＝W^２−６０，…，Un＝Wn−６０とおくと，確率変数U^１，U^２，…，Unの平均と標準偏差はそれぞれ

E（U^１）＝E（U^２）＝ … ＝E（Un）＝m− タチ σ

（U^１）＝（σ U^２）＝ … ＝（σ Un）＝ツテである。

ここで，t＝m−６０として，tに対する信頼度９５％の信頼区間を求めよう。この母集団から無作為抽出された１００人の生徒に対してU^１，U^２，…，

U^１００の値を調べたところ，その標本平均の値が５０分であった。標本数は十分大きいことを利用して，この信頼区間を求めると

トナ．ニ ≦t≦ ヌネ．ノになる。

数学Ⅱ・数学Ｂ

― ２８ ― （２１０５―２８）

(15)

正規分布表

y

z z 0

O 次の表は，標準正規分布の分布曲線における右図の灰

色部分の面積の値をまとめたものである。

z

^０ ^０^．^００ ^０^．^０１ ^０^．^０２ ^０^．^０３ ^０^．^０４ ^０^．^０５ ^０^．^０６ ^０^．^０７ ^０^．^０８ ^０^．^０９０．００．０００００．００４００．００８００．０１２００．０１６００．０１９９０．０２３９０．０２７９０．０３１９０．０３５９０．１０．０３９８０．０４３８０．０４７８０．０５１７０．０５５７０．０５９６０．０６３６０．０６７５０．０７１４０．０７５３０．２０．０７９３０．０８３２０．０８７１０．０９１００．０９４８０．０９８７０．１０２６０．１０６４０．１１０３０．１１４１０．３０．１１７９０．１２１７０．１２５５０．１２９３０．１３３１０．１３６８０．１４０６０．１４４３０．１４８００．１５１７０．４０．１５５４０．１５９１０．１６２８０．１６６４０．１７０００．１７３６０．１７７２０．１８０８０．１８４４０．１８７９０．５０．１９１５０．１９５００．１９８５０．２０１９０．２０５４０．２０８８０．２１２３０．２１５７０．２１９００．２２２４０．６０．２２５７０．２２９１０．２３２４０．２３５７０．２３８９０．２４２２０．２４５４０．２４８６０．２５１７０．２５４９０．７０．２５８００．２６１１０．２６４２０．２６７３０．２７０４０．２７３４０．２７６４０．２７９４０．２８２３０．２８５２０．８０．２８８１０．２９１００．２９３９０．２９６７０．２９９５０．３０２３０．３０５１０．３０７８０．３１０６０．３１３３０．９０．３１５９０．３１８６０．３２１２０．３２３８０．３２６４０．３２８９０．３３１５０．３３４００．３３６５０．３３８９１．００．３４１３０．３４３８０．３４６１０．３４８５０．３５０８０．３５３１０．３５５４０．３５７７０．３５９９０．３６２１１．１０．３６４３０．３６６５０．３６８６０．３７０８０．３７２９０．３７４９０．３７７００．３７９００．３８１００．３８３０１．２０．３８４９０．３８６９０．３８８８０．３９０７０．３９２５０．３９４４０．３９６２０．３９８００．３９９７０．４０１５１．３０．４０３２０．４０４９０．４０６６０．４０８２０．４０９９０．４１１５０．４１３１０．４１４７０．４１６２０．４１７７１．４０．４１９２０．４２０７０．４２２２０．４２３６０．４２５１０．４２６５０．４２７９０．４２９２０．４３０６０．４３１９１．５０．４３３２０．４３４５０．４３５７０．４３７００．４３８２０．４３９４０．４４０６０．４４１８０．４４２９０．４４４１１．６０．４４５２０．４４６３０．４４７４０．４４８４０．４４９５０．４５０５０．４５１５０．４５２５０．４５３５０．４５４５１．７０．４５５４０．４５６４０．４５７３０．４５８２０．４５９１０．４５９９０．４６０８０．４６１６０．４６２５０．４６３３１．８０．４６４１０．４６４９０．４６５６０．４６６４０．４６７１０．４６７８０．４６８６０．４６９３０．４６９９０．４７０６１．９０．４７１３０．４７１９０．４７２６０．４７３２０．４７３８０．４７４４０．４７５００．４７５６０．４７６１０．４７６７２．００．４７７２０．４７７８０．４７８３０．４７８８０．４７９３０．４７９８０．４８０３０．４８０８０．４８１２０．４８１７２．１０．４８２１０．４８２６０．４８３００．４８３４０．４８３８０．４８４２０．４８４６０．４８５００．４８５４０．４８５７２．２０．４８６１０．４８６４０．４８６８０．４８７１０．４８７５０．４８７８０．４８８１０．４８８４０．４８８７０．４８９０２．３０．４８９３０．４８９６０．４８９８０．４９０１０．４９０４０．４９０６０．４９０９０．４９１１０．４９１３０．４９１６２．４０．４９１８０．４９２００．４９２２０．４９２５０．４９２７０．４９２９０．４９３１０．４９３２０．４９３４０．４９３６２．５０．４９３８０．４９４００．４９４１０．４９４３０．４９４５０．４９４６０．４９４８０．４９４９０．４９５１０．４９５２２．６０．４９５３０．４９５５０．４９５６０．４９５７０．４９５９０．４９６００．４９６１０．４９６２０．４９６３０．４９６４２．７０．４９６５０．４９６６０．４９６７０．４９６８０．４９６９０．４９７００．４９７１０．４９７２０．４９７３０．４９７４２．８０．４９７４０．４９７５０．４９７６０．４９７７０．４９７７０．４９７８０．４９７９０．４９７９０．４９８００．４９８１２．９０．４９８１０．４９８２０．４９８２０．４９８３０．４９８４０．４９８４０．４９８５０．４９８５０．４９８６０．４９８６３．００．４９８７０．４９８７０．４９８７０．４９８８０．４９８８０．４９８９０．４９８９０．４９８９０．４９９００．４９９０

― ２９ ― （２１０５―２９）

(16)

問題と解答は、独立行政法人大学入試センターホームページより転載しています。

ただし、著作権上の都合により、一部の問題・画像を省略しています。