電気回路学Ⅱ 信号波解析

電気回路学Ⅱ

通信工学コース

5

セメ

山田 博仁

信号波解析

電気通信系或いは制御系のように、電気エネルギーよりは むしろ情報を対象にする系では、非常に複雑に変化する波 を扱うことになる。このような系での電圧或いは電流を、

信号波

(signal)

と呼んでいる。

例

)

電話を通じて会話する時、電話線に流れる電流波形のようなもの

パルス (pulse) 信 号

ある有限の時間範囲にのみ信号が存在し、それ以外ではゼロか無視できる ほど小さい値であるような信号をパルス信号

(pulse)

と呼んでいる。

0

< ∫

−∞

+∞

| � |

²

�� <

∞ 従って、信号のエネルギーは有限

パルス信号の例

パルス信号のフーリエ変 換

パルス信号のフーリエ変換

周期関数において定義されていたフーリエ級数を、周期性の無いパルス信 号にも適用してみる

� ( � ) = ∑

�=− ∞

∞

�

_�

�

^{���0�}

= ∑

�=− ∞

∞

�

^{���0�}

� ∫

−�/2

�/2

� ( � ) �

^{−�� �0�}

� �

ここで、周期

T

を無限に大きくして、

T → ∞

の極限を考えると、

f(t)

は繰 り返しのない波形となり、即ち周期性の無い場合にも拡張できる。

t

周期

: T

f(t) f(t)

この時、であるから、

T → ∞

で

ω

₀

→ 0

である。

= A

_n

フーリエ変 換

二つの隣り合う振動成分周波数の差が連続的に変化することになるの で、これが

0

に収束することは、

nω

₀ が

n

の変化で連続的に変化するこ とになる。そこで、

nω

₀

= ω

と書く。また、

ω

₀

→ dω

より、

とフーリエ積分で表される。上式を書き直すと、以下の式が得られる。

� ( � � )= ∫

−∞

∞

� ( � ) �

^{− ���}

� �

� (� )=

1 2

� ∫

−∞

∞

� ( � � ) �

^{�� �}

� �

F(jω)

を

f(t)

のフーリエ変換

(Fourier transform)

、

F(jω)

から

f(t)

を得 る変換をフーリエ逆変換と言う。

フーリエ変換 フーリエ逆変換

前出の

An

と同様に、

F(jω)

を 周波数スペクトルと呼び、

f(t)

に含まれる周波数成分の分布を表している。

= F(jω)

パルスのフーリエ変 換

例

4.1.1

孤立した方形波

(

パルス

)

のフーリエ変換を求める

� (� ) =

{

^{0�− ∞0−��00<<<���<<<+�−∞�00}

t

₀

t -t

₀

E

f(t)

フーリエ変換の定義に従い

0 π 2π 3π 4π

-π

-2π ωt

₀

F(jω)

2Et

₀

正規パルスのフーリエ変 換

例

4.1.3

正規パルス

(

ガウス信号波形

)

のフーリエ変換を求める

正規パルス

(

ガウス信号波形

)

のフーリエ変換はまた正規パルスとなる

� ( � ) =�

^{−� �2}

� ( _{� �} ) ₌ √ ^{� / ��}

^−�2/4�

t f(t)

0 1

∫

−∞

+∞

� ( � ) �� = ∫

−∞

+∞

�

^{−� �2}

�� = √ ^�

は区分的に滑らかで連続で、

正規パルス(ガウス波形)

　　　　 　　　　 　　　　

である。

フーリエ変換を求めると、

各種パルス信号の周波数スペクトル F(j

ω)

エネルギー密度スペクト ル

パルス信号は連続スペクトル 周期波は離散

(

線

)

スペクトル 信号の持つエネルギーを、式

(3.2)

の定義式に基づいて計算してみる

積分の順序を入れ替えて、

となる。

これは、孤立波形についてのパーシバルの公式

(Parseval formula)

と呼ばれる。

エネルギー密度スペクト ル

0 π 2π 3π

-π

-2π f

|F(jω)|

²

t

₀

t -t

₀

|f(t)|

²

この面積は等し く、信号のエネ ルギーを表す

|F(jω)|

² をエネルギー

(

密度

)

スペクトルと呼ぶ

同様のことは、周期波の線スペクトルについても言えて、

⟨ ^{| � |}

²

⟩ ⁼ ∑

�=− ∞

∞

| ^�

_�

|

²

周期波の電力に対して、以下の関係式が成り立つ。

周期波におけるパーシバルの公式に相当

連続スペクトルと線スペク トル

パルス信号のフーリエ変換

� ( � � )= ∫

−�/2

�/2

�

₁

( � ) �

^{− � � �}

��

周期信号のフーリエ級数

�

_�

= 1

� ∫

−�/2

�/2

�

₂

( � ) �

^{−�� �0�}

��

T/2 t f

₂

(t)

−T/2 0

周期

T

の信号波形

f

₂

(t)

と、時間

− T/2 ~ T/2

においては

f

₂

(t)

と全く同 じ波形でそれ以外の時刻ではゼロであるパルス信号

f

₁

(t)

を考える。

周期

T

パルス

t f

₁

(t)

0 T/2

−T/2

連続スペクトルと線スペク トル

�

_�

=

1

� � ( ^���

0

)

時間

− T/2 ~ T/2

においては

f

₁

(t)

と

f

₂

(t)

とは全く同じ波形であるから、

ω = nω

₀

(n = 0, 1, …)

では、

が成り立つ。

即ち、

f

₂

(t)

の線スペクトル

A

_n は、

f

₁

(t)

の連続スペクトルの

nω

₀ に おける値に

1/T

を乗じた値に等しい。つまり、線スペクトルの包絡線 が連続スペクトル曲線に一致。

0 ω

1

� � ( � � )

ω

₀

nω

₀

A

_n

連続スペクトルと線スペク

例

4.1.4

方形パルスと方形パルス列

( トル

方形波

)

のスペクトル比較

T → ∞

の極限では 連続スペクトルと なり、

F(jω)

と一 致

時間シフト波形のフーリエ 変換

例

4.1.5

方形パルスを時間

T

だけ正の方に動かした波形のフーリエ変換

t t

₀

f(t)

T t

₀

� (� ) =

{

^{� �00− ∞�−+��<0�<0<�<�<��<−∞+��0 0}

即ち、時間を動かす前の波形のフーリエ変換を

F

₀

(jω)

とすれば、

F(jω) =

F

₀

(jω)e

^−jωT となる。スペクトルの大きさは変わらない。

一般的には、波形

f(t)

を時間

T

だけ遅らせた波形

f(t−T)

のフーリエ変換 は、

e

^−jωT の因数を掛けたものとなり、

e

^−jωT を遅延演算子と呼ぶ。

時間シフト波形のフーリエ 変換

例

4.1.6 (2m+1)

個の方形パルスが間隔

T

で続いて現れた波形のフーリエ変換

t f(t)

T

(2m+1)

個

T T

1

個だけの方形パルスを

f

₁

(t)

で表すとすれば、図の波形

f(t)

は、

� ( _� ) ₌ ∑

�=−�

�

�

₁

( _{� + ��} )

従って、

f(t)

のフーリエ変換

F(jω)

は

f

₁

(t)

のフーリエ変換

F

₁

(jω)

によって

� ( _{� �} ) = �

₁

( _�� ) ∑

�=−�

�

�

^{���� と与えられる。}

孤立パルスと周期パルス波との関 係

ここで三角関数の公式から

^sin ( � − 1 ) � − sin ( � +1 ) � =− 2 sin � cos � �

であるから、

� = � � / 2 , �=2 �

_{とすると、}

m =1

のとき、

k =2

であるから、

sin ( � � / 2 ) − sin ( 3 � � / 2 ) =− 2 sin ( � � / 2 ) cos ( � � )

従って、

^{1 +2 cos} ( � � ) =sin ( 3 � � / 2 ) / sin ( � � / 2 )

従って、

m =2

のとき、

k =4

であるから、

^sin ( 3 � � / 2 ) − sin ( 5 � � / 2 ) =− 2 sin ( � � / 2 ) cos ( 2 � � )

従って、 ^{2 cos(2� �) =}

{

^{sin(5� � /2)−sin(3� �/2)}

}

^{/sin(� �/2)}

従って、

m =m

のときも同様に、

�_2�+1( � �)=�₁( � �)sin

{

⁽²�+1)� � /2

}

^/sin(� �/2)

この様子を図示すると、

孤立パルスと周期パルス波との関

方形波の数を増すに従

係

い線スペクトルに移行

sin ��

sin �

は、

k

が奇数 大きくなると、で

π

の 整数倍になる

x

で 値

k

を示し、その 他の

x

では殆ど

0

となる関数

孤立パルスと周期パルス波との関

m =∞

のとき、

係

変数

ω

に対する周期インパルス列

u(ω)

を考える。

個々のインパルスの大きさ

(

高さ

)

は ∞ で幅 は

0

であるが、面積は

1

と仮定する。ま た、インパルスの間隔を

ω

₀ とすると、

u(ω)

のスペクトルはフーリエ級数の係数であるか ら、

�

_�

= 1

�

₀

∫

−�₀/2

�₀/2

� ( � ) �

^{−��� �}

� � = 1

�

₀

∫

−0 +0

� ( � ) � � = 1

�

₀ ただし、

k

は整数

ω ω

₀

面積 = 1

0

A₀ A₁ A₂ A_-1

一方、インパルスが

1

個だけ

ω = 0

に現れる関数を

u

₀

(ω)

で表せば、

ω = kω

₀ に生ずるインパルスは

u

₀

(ω − kω

₀

)

である。従って、

� ( _� ) ₌ ¹

�

₀

∑

�=− ∞ +∞

�

^{�� � �}

= ∑

�=− ∞ +∞

�

₀

( ^{� − � �}

₀

)

の関係がある。ただし、

T = 2π/ω

₀

�

_∞

( � � )= �

₁

( � � ) �

₀

∑

�=−∞

+∞

�

₀

( ^{� − � �}

₀

)

従って、 となり、変数

ω

を

f

に替えれば、

�

_∞

( � � )= 1

� �

₁

( � � ) ∑

�=−∞

+∞

�

₀

( ^{� − � �}

₀

)

^となる。

F

_∞

(jω)

は、

f = kf

₀ に生起す るインパルス列であり、各 インパルスの面積は、

(1/T)F

₁

(jk2πf

₀

)

で与えられ る。

フーリエ変換の諸公 式

(1)

重ね合せ

F(jω)

が

f(t)

のフーリエ変換であるとき、

或いは と記すことがある

�₁ � ₁

(

�

)

+�₂ � ₂

(

�

)

↔�₁�₁

(

� �

)

+�₂�₂

(

� �

) (2)

符号反転

^� ( − � ) ↔ � ( − � � )

(3)

尺度変更

^� ( �� ) ↔ � ( � � / � ) / | � |

(4)

遅延

^{� ( �}

⁻

^{� )}

^↔

^{� ( � � ) �}

^{−� � � � (�)�� �0�↔�}

{

^�

⁽

^�−�0

⁾ }

(5)

微分 ^�

�� (�)

� �^� ↔( � �)^��( � �) �^� � (�)↔( �)^� �^�� ( � �)

� �^�

(6)

積分

∫

−∞

+∞

� ( � ) � �

↔

� ( � � ) / � �

ただし、

=0

のとき

(7)

相乗積分

∫

−∞

+∞

�

₁

( � ) �

₂

( �

−

� ) � �

↔

�

₁

( � � ) �

₂

( � � )

ただし、 ^{� 1}

⁽

^�

⁾

^{↔ �1}

⁽

^{� �}

⁾

^{, � 2}

⁽

^�

⁾

^{↔ �2}

⁽

^{� �}

⁾

(

拡大定理

)

(

移動定理

)

またフーリエ変換には、以下の性質がある

フーリエ変換の諸公式の証 明

(1)

重ね合せ ^{�1 � 1}

⁽

^�

⁾

^{+�2 � 2}

⁽

^�

⁾

^↔�1�1

⁽

^{� �}

⁾

^+�2�2

⁽

^{� �}

⁾

(2)

符号反転

^� ( − � ) ↔ � ( − � � )

ℱ

[ � (

−

� ) ] = ∫

− ∞

∞

� (

−

� ) �

^{− � � �}

��

t → −t’

に変数変換すると、積分範囲は ∞ → −∞

, −∞ → ∞

、

dt = −dt’

従って、

ℱ

[ ^{� (}

⁻

^{� )} ] ⁼⁻ ∫

∞

−∞

� ( �

^′

) �

^{+ � � �′}

� �

^′

= ∫

−∞

∞

� ( �

^′

) �

^{+� � �′}

� �

^′

= � (

−

� � )

フーリエ変換の諸公式の証 明

(3)

尺度変更

^� ( �� ) ↔ � ( � � / � ) / | � |

(

拡大定理

)

ℱ

[ ^{� ( �� )} ] ⁼ ∫

−∞

∞

� ( �� ) �

^{− � � �}

��

at → t’

に変数変換すると、積分範囲は −∞ → −∞

, +∞ → +∞

、

dt = (1/a) dt’

従って、

ℱ

[ ^{� ( �� )} ] ⁼

¹

_� ∫

−∞

∞

� ( �

^′

) �

^{− � � �}

′

�

� �

^′

=

1

� � ( � � / � ) a > 0

の時、

従って、

ℱ

[ ^{� ( �� )} ] ⁼ ∫

−∞

∞

� ( �� ) �

^{− � � �}

�� =

1

� ∫

∞

− ∞

� ( ^�

^′

) ^�

^{− � � �}

′

�

� �

^′

=−

1

� � ( � � / � ) a < 0

の時同様に、

at → t’

に変数変換すると、積分範囲は

−

∞ →

+∞ , +∞ → −∞

、

dt = (1/a) dt’

従って、

a > 0

及び

a > 0

の場合をまとめると、

^ℱ [ ^{� ( �� )} ] ^{= 1}

| � | ^{� ( � � / � )}

フーリエ変換の諸公式の証 明

(4)

遅延

^{� ( �}

⁻

^{� )}

^↔

^{� ( � � ) �}

^{−� � � � (�)�� �0�↔�}

{

^�

⁽

^�−�0

⁾ }

(

移動定理

)

ℱ

[ ^{� ( �}

⁻

^{� )} ] ⁼ ∫

−∞

∞

� (�

−

� ) �

^{− � � �}

��

t−τ → t’

に変数変換すると、積分範囲は −∞ → −∞

, +∞ → +∞

、

dt =dt’

従って、

ℱ

[ ^{� ( � ) �}

^{� �0�}

] ⁼ ∫

− ∞

∞

� ( � ) �

^{� �0�}

�

^{−� � �}

�� = ∫

− ∞

∞

� ( � ) �

^{−�(�−�0)�}

�� = � { ^{� ( �}

⁻

^�

0

) }

一方、

相乗積分 ( たたみこみ積 分 )

∫

−∞

+∞

�

₁

( � ) �

₂

( �

−

� ) � �

を相乗積分、畳み込み積分

(convolution)

などと呼び、

�

₁

( � ) ∗ �

₂

( � ) = ∫

−∞

+∞

�

₁

( � ) �

₂

( �

−

� ) � �

などと記す

例

4.2.1

相乗積分の公式の証明

ℱ

[ ^�

1

( � ) ∗ �

₂

( � ) ] ⁼ ∫

− ∞ +∞

�

^{− � � �}

∫

− ∞ +∞

{ ^�

1

( � ) �

₂

( �

−

� ) � � } ^��

積分の順序を変更して、

が得られる。

例

4.2.2

∫

−∞

�

� ( � ) � � = � ( � ) ∗ �

₋₁

( � )

と表すことができる。

ここで、

u

_-1

(t)

は単位ステップ関数