電気回路学 Ⅱ
コミュニケーションネットワークコース
5
セメ山田 博仁
1.
講義担当教員山田 博仁 ‥ 前半
(
過渡現象、ラプラス変換、時間域、周波数域解析)
大寺 康夫 ‥ 後半担当(
フーリエ変換、信号波解析、歪波交流)
担当2.
教科書および参考書
1)
電気回路-
三相、過渡現象、線路-
喜安 善市、斉藤 伸自 著、朝 倉書店2)
フーリエ解析 大石 著 岩波書店3.
成績評価・ 講義点と定期試験の両方を勘案して行う
・ 講義点は、出席状況、演習、レポートなどで評価する
4.
オフィスアワー随時、場所
: 2
号館203
号室 ( 事前に電話または)
E-mail: [email protected]
、電話 ( 内線): 7101
5.
連絡および講義資料のダウンロード: http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe/
連絡事項
講義日程と内
日程
(
回目)
講義内容 教容科書の章との対応
1)
2)
4/11 (
第1
回) RL, RC
回路の過渡現象2.1, 2.2
-
4/18 (
第2
回) RLC
回路の過渡現象2.3, 2.4
-
4/25 (
第3
回)
ラプラス変換
5.1, 5.2
-
5/2
休講5/9
(
第4
回)
過渡現象とラプラス変換6.1
～6.2
-
5/16 (
第5
回)
過渡現象とラプラス変換の続きと演習6.3
-
5/23 (
第6
回)
過渡関数波と周期波形のラプラス変換5.3
～5.5
-
5/30 (
第7
回)
時間域、周波数域解析7.1, 7.2
-
6/6
(
第8
回)
微分、積分回路、RLC
直並列回路7.3
～7.5
-
6/13 (
第9
回)
インパルス、ステップ、任意波形に対する応答7.7
～7.9
-
6/20 (
第10
回)
フーリエ変換
4.1, 4.2
6/27 (
第11
回)
フーリエ変換、信号波解析4.3
7/4 (
第12
回)
フーリエ変換と演習4.5
7/11 (
第13
回)
歪波交流3.1, 3.2
7/18 (
第14
回)
歪波交流回路の計算と演習3.4
7/25 (
第15
回)
補講および定期試験期間 山田
大 寺 先 生
過渡現象と は
?
スイッチを入れて、回路が定常状態に移行するまでの現象、あ るいは定常状態にあった回路のスイッチを切った後の現象を扱 う
E R
S
i(t)
t = 0
時刻t = 0
でスイッチS
を閉じるt > 0
において回路を流れる電流i(t)
は、t < 0
において回路を流れる電流i(t)
は、i(t) = 0
R t E i
回路素子が、電源と抵抗のみからなる電気回路では、この場合、過渡現象は現れない
(
スイッチを入れた瞬間に定常状態になる)
時刻:t
アクセルペダルを踏むス ピ ー ド
0
定常状態 過渡現象
0 t 0
R i(t) E
定常状態
過渡現象と は
?
t = 0
において回路を流れる電流i(t)
は?
i(– 0) = 0
R i 0 E
t = 0
における扱いに関しては、t = 0
でスイッチを閉じる直前および直後の時刻を
t = – 0 , + 0
で表すと、0 t 0
R i(t) E
定常状態
このように、「スイッチを閉じる」といったようなある事象の直前および直 後の時刻において取り得る初期値の値が異なる場合、直前の初期値を第
1
種 初期値、直後を第2
種初期値と呼んで区別することがある。である。
2)
コイルL
を流れる電流i
と両端の電圧v
との関係、dt L di v
i
v L
1)
抵抗R
を流れる電流i
と両端の電圧v
との関係、Ri v
i
v R
R v i 1
0 0
1 vdt i
i L
t
回路素子を流れる電流と両端の電圧との関 係
3)
キャパシタC
を流れる電流i
と両端の電圧v
との関係、dt C dv i
0 0
1 idt v
v C
t
i
v C
ただし
i
0 は、t = 0
の時にコイルに流れていた電流ただし
v
0 は、t = 0
の時のキャパシタの両端の電圧コイルを流れる電流は、瞬時には変化できない。
dt L di v i
v L
回路素子を流れる電流と両端の電圧との関 係
キャパシタの両端の電圧は、瞬時には変化できない。
dt C dv i i
v C
何故なら、瞬時に変化するということは、
を意味し、dt di
その場合、左式の関係より、コイル
L
の両端には±∞
の電圧が生じることになる。
何故なら、瞬時に変化するということは、
を意味し、dt dv
その場合、左式の関係より、キャパシタ
C
には±∞
の 電流が流れることになる。ブザー
子供の頃、こんな回路のびっく 高電圧 り箱を作ったことがありません か
?
RC
直列回路の過渡現 象時刻
t = 0
でスイッチS
を閉じる。t > 0
において回路を流れる電流i(t)
は、
i t dt
t C Ri
E 1 ( )
)
(
を解いて求められる。積分方程式
C
R
E S
i(t) t = 0
なお積分範囲は、 – ∞ から現在の時刻
t
までである。電荷
q(t)
と電流i(t)
との関係dt t t dq
i ( )
)
(
を用いて書き直し、) 1 ( 0
) , ( )
(
t
C t q dt
t R dq E
まず、
E = 0
とした同次方程式の特解は、を用いて、
1 0
C
Rs
の根s RC 1
と得られるから、A
を任意の定数e
stq (s
は定数)
を代入した特性方程式RC t
e q
として、
E = 0
の時の一般解は、 RCt
f
t Ae
q ( )
によって与えられる。次に、
( ) 0 dt
t dq
が
E ≠ 0
時の特解であることは明らかである。(
定常状態)
とした時の式(1)
の解は、q ( t ) EC
であるから、EC
q
p
RC
直列回路の過渡現 象スイッチ
S
を閉じる時刻t = 0
以前に、キャパシタC
が 電荷q
0 を蓄えていたとすれば、上式より、C R
E S
i(t) t = 0
従って、式
(1)
の解として、 RCt f
p
q EC Ae
q t
q ( )
を得る。上式で、任意定数
A
は初期条件によって定められる。つまり、A EC q
q ( 0 )
0
の関係が成り立つ。従って、
A q
0 EC
と定まり、 , 0
)
( t q q EC q
0 EC e
t
q
RCt f
p となる。
従って電流は、
dt t t dq
i ( )
)
(
より、 , 0 ( 2 )
) 1
(
0 0
e
t
RC q R
e E EC RC q
dt t dq
i
RCt RC
t
と得られる。もちろん
t < 0
では、i(t) = 0, q(t) = q
0 である。
t
i t dt idt
tidt q
tidt
0 0
0
( 0 )
) (
スイッチ
S
を閉じる直前および直後の時刻をt = – 0, + 0
で表わすと、であり、
t = – 0, + 0
の初期値を各々、第
1
種初期値、第2
種初期値と呼ぶ。RC
直列回路の自由振 動上の回路で、時刻
t = 0
でスイッチS
を閉じる。t > 0
において、キャパシタC
に蓄えられていた電荷q
0 が、抵抗R
を通じて放電される場合を考える。式
(2)
にE = 0
を代入すると、t = 0
C S R
i(t) +
- q
0or
0 ,
)
(
0e
t RC
t q
i
RCt
によって自由振動電流が与えられる。
また、電荷
q(t)
は、0 ,
) ( )
( )
( )
( )
(
00 0 0
0
i t dt i t dt i t dt q i t dt q e t
t
q
RCt t t
t となる。
ここで、
τ = RC
と置くと、 t t
e q t
q RC e
t q
i ( )
0 , ( )
0 と表わされ、τ
を時定数と呼ぶ。C R
E S i(t)
t = 0
- q
0r +
過渡現象の時定数
時定数
(time constant) τ
の意味τ
は、初期値の1/e
になる時刻0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1 2 3 4 5
t
e
e 1
t
t = 0
において関数 に引いた接線が横軸と交わる点が
t = τ
に相当 t
e
消費エネル
抵抗
R
で消費されるエネルギーW
ギーは、
C q R q
q e R
dt q e
R dt RC e
R q dt Ri W
t
t t
2 ) 0 ( 2
) 0 ( 2
) 0 (
) 0 ( )
0 (
2 2
0 2 2
0 2 2
2 0
2 2
2 0
2
となる。
これは、キャパシタ
C
に初めに蓄えられていた静電エネルギーに等しい。そ れが全て抵抗R
で消費されて熱となる。RC
直列回路の過渡現RC
直列回路に直流電圧E
を突如印加した時の電流 象i(t)
は、キャパシタの初 期電荷q
0 が0
であるとすると、RC t
R e t E
i ( )
であり、同様に電荷q(t)
については、
RCt
e EC
t
q ( ) 1
である。この様に、
RC
直列回路においては、スイッチを入れた直後はE/R
の電流 が流れるが、キャパシタC
が充電されていくに従って電流が減少して行き、十分に時間が経てば
(t → ∞)
、q(t)
はEC
に近づき、電流は0
に近づく。
十分に時間が経過した後の状態を定常状態
(steady state)
と呼び、その状態を表 わす項を定常項と呼ぶ。上のケースでは、i(t)
およびq(t)
の定常項は各々0
およびEC
である。また、定常状態になるまでの間を過渡状態(transient)
と呼 び、この状態を表わす項を過渡項と呼ぶ。上のケースでは、i(t)
およびq(t)
の 過渡項は各々RC t
R e
E
RCtECe
および である。過渡項は
t → ∞
において消滅する。上のケースで時定数
τ = RC
は、充電される速さ、あるいは過渡項消滅の早さ の目安と考えられる。RL
直列回路の過渡現 象L R
E S
i(t) t = 0
時刻
t = 0
でスイッチS
を閉じる。t > 0
において回路を流れる電流i(t)
は、dt t L di t
Ri
E ( )
) (
を解いて求められる。微分方程式
まず、
E = 0
とした同次方程式の一般解を求めるために、A
を任意の定数として、st
f
Ae
i
i
を代入すると、R Ls 0
の関係より、L
s R
となる。従って、R Ae L
i
t
f
,
である。このi
f は、過渡項であり、t → ∞
で0
に収束する。次に、
E ≠ 0
の時の特解を求めるが、これは定常項を求めるもので、 0
dt
di
としてよい。即ち、
R i E
i
s
である。従って、求める電流は、 t f
s
Ae
R i E
i t
i ( )
となる。ここで、
A
は積分定数で、初期条件によって定まる。RL
直列回路の過渡現 象L R
E S
i(t) t = 0
スイッチ を閉じた瞬間の時刻
t = 0
においても、0 ,
1 )
(
e
t
R i E
i t i
t f
s
が有限である限り、電流は
0
である。図の回路において、
t < 0
ではスイッチが開いて いるから電流は流れない。dt t di ( )
従って、初期条件としては、
t = 0
においてi = 0
即ち、 i(0) = 0 である。この初期条件から、
R
A E
であり、電流は、 となる。第一項が定常解、第二項が過渡解である。また、
τ
は時定数である。RL
直列回路の自由振 動L R
E i
0R
0S t = 0
t > 0
での回路L R
E i(t)
R
0S
t < 0
での回路(
例2.2.1)
が流れていた。時刻
t = 0
でスイッチS
を閉じると、右のような回路となり、左の回路において、当初はスイッチ
S
が開いており、コイルL
には電流0
0
R R
i E
t = 0
dt t L di t
Ri ( )
) (
0
で与えられる。回路の動作を表わす微分方程式は、
R Ae L
i t i
t
f
, )
この解は、
(
であり、初期条件としの0
0
R R
i E
を用いると、0
)
00
( R R
i E A
i
が得られ、従って、
R e L
R R t E i
t
, )
(
0
が
t > 0
での 自由振動電流を与える。消費エネル
抵抗
R
で消費されるエネルギーW
ギーは、2 0 0
2 2 0 0
2 2 0 0
2 0
2
0 2
2 1
2 R i e Li
dt e
i R dt R e
R R E dt Ri W
t t
t
となる。これは、コイル
