電気回路学

電気回路学 Ⅱ

エネルギーインテリジェンスコース

5

セメ

山田 博仁

1.

講義担当教員

　　　山田 博仁　‥　前半

(

過渡現象、ラプラス変換、時間域、周波数域解析

)

　　　大寺 康夫　‥　後半担当

(

フーリエ変換、信号波解析、歪波交流

)

担当

2.

教科書および参考書

　　

1)

電気回路　

-

三相、過渡現象、線路

-

　喜安 善市、斉藤 伸自 著、朝 　　倉書店

2)

フーリエ解析　大石 著　岩波書店

3.

成績評価

　　・ 講義点と定期試験の両方を勘案して行う

　　・ 講義点は、出席状況、演習、レポートなどで評価する　　

4.

オフィスアワー

　　　随時、場所

: 2

号館

203

号室　 ( 事前に電話または

E-mail

により予約の こと

)

　　　

E-mail: [email protected]

、電話 ( 内線

): 7101

5.

連絡および講義資料のダウンロード

: http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe/

連絡事項

講義日程と内

　日程

(

回目

)

　　　　　　講義内容　　　　　　教

容

科書の章との対応

　　　　　　 　　　　　　　

1)

　　　　　　

2)

4/8 　 (

第

1

回

) 　 RL, RC

回路の過渡現象　　　　　　　

2.1, 2.2

　　　　

-

4/15 (

第

2

回

) 　 RLC

回路の過渡現象　　　　　　　

2.3, 2.4

　　　　

-

4/22 (

第

3

回

)

　ラプラス変換　　　　　　

　　

5.1, 5.2

　　　　

-

5/9(

土

)(

第

4

回

)

過渡現象とラプラス変換　　　　　　　

6.1

～

6.2

　　　

-

5/13 (

第

5

回

)

　過渡現象とラプラス変換の続きと演習　　　　　　　　

6.3

　　　　　　

-

5/20 (

第

6

回

)

　過渡関数波、周期波、時間域・周波数域解析　

5.3

～

5.5,

7.1 　 -

5/27 (

第

7

回

)

　微分、積分回路、二次系の伝達特性　　　　　　　

7.2

～

7.4

　　　

-

6/3 　 (

第

8

回

) 　 RLC

回路、インパルス・ステップ・任意波形応答

7.5, 7.7

～

7.9 　 -

6/10 (

第

9

回

)

　前半のまとめ

6/17 (

第

10

回

)

フーリエ変換　　　　　　　

　 4.1, 4.2

6/24 (

第

11

回

)

　フーリエ変換、信号波解析　　　　　　

4.3

7/1 　 (

第

12

回

)

　フーリエ変換と演習　　　　　　 　　　

4.5

7/8 (

第

13

回

)

　歪波交流　　　　　　

　　

3.1, 3.2

7/15 (

第

14

回

)

　歪波交流回路の計算と演習　　　　　　

3.4

7/22 (

第

15

回

)

　まとめと演習 　　　　　 　　 定期試験　 山

田

大 寺 先 生

過渡現象と は ?

スイッチを入れて、回路が定常状態に移行するまでの現象、あ るいは定常状態にあった回路のスイッチを切った後の現象を扱 う

i(t) R

E

S t = 0

時刻

t = 0

でスイッチ

S

を閉じる

t > 0

において回路を流れる電流

i(t)

は、

t < 0

において回路を流れる電流

i(t)

は、

i(t) = 0

  R t E i 

回路素子が、電源と抵抗のみからなる電気回路では、

この場合、過渡現象は現れない

(

スイッチを入れた瞬間に定常状態になる

)

時刻

: t

アクセルペダルを踏む

ス ピ ー ド

0

定常状態 過渡現象

0 t 0

R E i(t)

定常状態

過渡現象と は ?

t = 0

において回路を流れる電流

i(t)

は

?

i(– 0) = 0  

R i  0  E

t = 0

における扱いに関しては、

t = 0

でスイッチを閉じる直前および直後の

時刻を

t = – 0 , + 0

で表すと、

このように、「スイッチを閉じる」といったようなある事象の直前および直 後の時刻において取り得る初期値の値が異なる場合、直前の初期値を第

1

種 初期値、直後を第

2

種初期値と呼んで区別することがある。

である。

0 t 0

R E i(t)

定常状態

2)

コイル

L

を流れる電流

i

と両端の電圧

v

との関係、

dt L di v 

i

v L

1)

抵抗

R

を流れる電流

i

と両端の電圧

v

との関係、

Ri v 

i

v R

R v i  1

0 0

1 vdt i

i  L 

^t



回路素子を流れる電流と両端の電圧との関 係

3)

キャパシタ

C

を流れる電流

i

と両端の電圧

v

との関係、

dt C dv i 

0 0

1 idt v

v  C 

^t



i

v C

ただし

i

₀ は、

t = 0

の時にコイルに流れていた電流

ただし

v

₀ は、

t = 0

の時のキャパシタの両端の電圧

覚えよう

!

回路素子を流れる電流と両端の電圧との関 係

コイルを流れる電流は、瞬時には変化できない

!

dt L di v  i

v L

何故なら、瞬時に変化するということは、

 

を意味し、

dt di

その場合、左式の関係より、コイル

L

の両端には

±∞

の電圧が生じることになる。

キャパシタの両端の電圧は、瞬時には変化できない

!

dt C dv i  i

v C

何故なら、瞬時に変化するということは、

 

を意味し、

dt dv

その場合、左式の関係より、キャパシタ

C

には

±∞

の 電流が流れることになる。

ブザー

子供の頃、こんな回路のびっく 高電圧 り箱を作ったことがありません か

?

車は急には止まれない

!

RC 直列回路の過渡現 象

時刻

t = 0

でスイッチ

S

を閉じる。

t > 0

において回路を流れる電流

i(t)

は、





 i t dt

t C Ri

E 1 ( )

)

(

を解いて求められる。

積分方程式

C

R

E S

i(t) t = 0

なお積分範囲は、 – ∞ から現在の時刻

t

までである。

電荷

q(t)

と電流

　 i(t)

との関係

dt t t dq

i ( )

)

( 

を用いて書き直し、

) 1 ( 0

) , ( )

(    

 t

C t q dt

t R dq E

まず、

E = 0

とした同次方程式の特解は、

を用いて、

1  0

 C

Rs

の根

s   RC 1

と得られるから、

A

を任意の定数

e

st

q  (s

は定数

)

を代入した特性方程式

RC t

e q 

^

として、

E = 0

の時の一般解は、 ^RC

t

f

t Ae

q ( ) 

^ によって与えられる。

次に、

( )  0 dt

t dq

が

E ≠ 0

時の特解であることは明らかである。

(

定常状態

)

とした時の式

(1)

の解は、

q ( t )  EC

であるから、

EC

q

_p



RC 直列回路の過渡現 象

スイッチ

S

を閉じる時刻

t = 0

以前に、キャパシタ

C

が 電荷

q

₀ を蓄えていたとすれば、上式より、

C R

E S

i(t) t = 0

従って、式

(1)

の解として、 ^RC

t f

p

q EC Ae

q t

q ( )    

^ を得る。

上式で、任意定数

A

は初期条件によって定められる。つまり、

A EC q

q ( 0 ) 

₀

 

の関係が成り立つ。従って、

A  q

₀

 EC

と定まり、

  ^{, 0 ( 2 )}

)

( t  q  q  EC  q

₀

 EC e

^

t   

q

^RC

t f

p

従って電流は、 となる。

dt t t dq

i ( )

)

( 

より、

  ^{, 0 ( 3 )}

) 1

(

₀ ⁰

   



 

  











^

e

^

t

RC q R

e E EC RC q

dt t dq

i

^RC

t RC

t

と得られる。もちろん

t < 0

では、

i(t) = 0, q(t) = q

₀ である。









 









^t

i t dt  idt 

^t

idt  q 

^t

idt

0 0

0

( 0 )

) (

スイッチ

S

を閉じる直前および直後の時刻を

t = – 0, + 0

で表わすと、

であり、

t = – 0, + 0

の初期値を各々、

第

1

種初期値、第

2

種初期値と呼ぶ。

RC 直列回路の自由振 動

上の回路で、時刻

t = 0

でスイッチ

S

を閉じる。

t > 0

において、キャパシタ

C

に蓄えられていた電荷

q

₀ が、抵抗

R

を通じ

て放電される場合を考える。式

(3)

に

E = 0

を代入すると、

t = 0

C S R

i(t) +

- q

₀

or

) 4 ( 0

, )

(  

⁰

e

^

t   

RC t q

i

^RC

t

によって自由振動電流が与えられる。

また、電荷

q(t)

は、

) 5 ( 0

, )

( )

( )

( )

( )

(

₀

0 0 0

0

      





^















  

 ^{i t dt i t dt i t dt q i t dt q e t}

t

q

^RC

t t t

t となる。

ここで、

τ = RC

と置くと、 ^{ }

t t

e q t

q RC e

t q

i ( )  

^{0 }

, ( ) 

₀ ^と表わされ、

τ

を時定数と呼ぶ。

C R

E S i(t)

t = 0

- q

₀

r +

過渡現象の時定数

時定数

(time constant) τ

の意味

τ

は、初期値の

1/e

になる時刻

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1 2 3 4 5

 t

e

^

e 1

 t

t = 0

において関数　　　に引い

た接線が横軸と交わる点が

t = τ

に相当

 t

e

^

消費エネル

抵抗

R

で消費されるエネルギー

W ギー

は、先に求めた

 

) 6 2 (

) 0 ( 2

) 0 ( 2

) 0 (

) 0 ( )

0 (

2 2

0 2 2

0 2 2

2 0

2 2

2 0

2

 C 

q R q

q e R

dt q e

R dt RC e

R q dt Ri W

t

t t



 



 





 







 

 

 



 















となる。

これは、キャパシタ

C

に初めに蓄えられていた静電エネルギーに等しい。そ れが全て抵抗

R

で消費されて熱となる。

0 ,

)

(  

⁰

e

^

t  RC

t q

i

^RC

t

と、

τ = RC

の定義を用いて、

確認

)

キャパシタ

C

に蓄えられる静電エネルギー

W

は、キャパシタ両端の 電圧を

V

、キャパシタに蓄えられている電荷を

Q

とすると、

Q = CV

より、

C CV Q

QV W

2 2

2 1 2

1 2

1  



ただし、時刻

t = 0

にキャパシタ

C

に蓄えられている電荷を

q(0)

とした。

RC 直列回路の過渡現

RC

直列回路に直流電圧

E

を突如印加した時の電流

象 i(t)

は、キャパシタの初 期電荷

q

₀ が

0

であるとすると式

(3)

より、

) 7 ( )

(

^RC

 

t

R e t E

i 

^ であり、

) 8 ( 1

)

(    

 



 



^RC

t

e EC

t

q

である。

この様に、

RC

直列回路においては、スイッチを入れた直後は

E/R

の電流 が流れるが、キャパシタ

C

が充電されていくに従って電流が減少して行き

、十分に時間が経てば

(t → ∞)

、

q(t)

は

EC

に近づき、電流は

0

に近づく

。十分に時間が経過した後の状態を定常状態

(steady state)

と呼び、その状態を表 わす項を定常項と呼ぶ。上のケースでは、

i(t)

および

q(t)

の定常項は各々

0

および

EC

である。また、定常状態になるまでの間を過渡状態

(transient)

と呼 び、この状態を表わす項を過渡項と呼ぶ。上のケースでは、

i(t)

および

q(t)

の 過渡項は各々

RC t

R e

E

^ _RC^t

ECe

^

および である。過渡項は

t → ∞

において消滅する。

上のケースで時定数

τ = RC

は、充電される速さ、あるいは過渡項消滅の早さ の目安と考えられる。

同様に電荷

q(t)

については式

(2)

より、

RL 直列回路の過渡現 象

L R

E S

i(t) t = 0

時刻

t = 0

でスイッチ

S

を閉じる。

t > 0

において回路を流れる電流

i(t)

は、

) 9 ) (

) (

(  

dt t L di t

Ri

E  

を解いて求められる。

微分方程式

まず、

E = 0

とした同次方程式の一般解を求めるために、

A

を任意の定数として、

st

f

Ae

i

i  

を代入すると、

R  Ls  0

の関係より、

L

s   R

となる。従って、

R Ae L

i

t

f



^

,  

である。この

i

_f は、過渡項であり、

t → ∞

で

0

に収束する。

次に、

E ≠ 0

の時の特解を求めるが、これは定常項を求めるもので、

 0

dt

di

としてよい。

即ち、

R i E

i 

_s



である。従って、求める電流は、 ^

t f

s

Ae

R i E

i t

i ( )    

^ となる。

ここで、

A

は積分定数で、初期条件によって定まる。

RL 直列回路の過渡現 象

L R

E S

i(t) t = 0

スイッチ を閉じた瞬間の時刻

t = 0

においても、

) 10 ( 0

, 1

)

(    



 



 





 e

^

t

R i E

i t i

t f

s 

が有限である限り、電流は

0

である。

図の回路において、

t < 0

ではスイッチが開いて いるから電流は流れない。

dt t di ( )

従って、初期条件としては、

t = 0

において

i = 0

即ち、 i(0) = 0 である。

この初期条件から、

R

A   E

であり、電流は、

となる。

第一項が定常解、第二項が過渡解である。また、

τ

は時定数である。

RL 直列回路の自由振 動

L R

E i

₀

R

₀

S t = 0

t > 0

での回路

L R

E i(t)

R

₀

S

t < 0

での回路

(

例

2.2.1)

が流れていた。時刻

t = 0

でスイッチ

S

を閉じると、右のような回路となり、

左の回路において、当初はスイッチ

S

が開いており、コイル

L

には電流

0

0

R R

i E

  t = 0

) 11 ) (

) ( (

0  

dt t L di t

Ri 



で与えられる。

回路の動作を表わす微分方程式は、

R Ae L

i t i

t

f

 



^

,  )

この解は、

(

であり、初期条件としての

0

0

R R

i E

 

を用いると、

0

)

0

0

( R R

i E A

i    

が得られ、従って、





 

  

 

^

R e L

R R t E i

t





, )

(

0

が

t > 0

での 自由振動電流を与える。

消費エネル

抵抗

R

で消費されるエネルギー

W ギー

は、先に求めた

) 12 2 (

1 2

2 0 0

2 2 0 0

2 2 0 0

2 0

2

0

2

e dt R i e dt R i e Li  

R R R E dt Ri W

t t

t

 



 



 



 



 





 



 

 

 



 



^{ }

^

^

となる。

これは、コイル

L

に初めに蓄えられていた電磁エネルギーに等しい。それ が全て抵抗

R

で消費されて熱となる。

 

 

  

 

^

R e L

R R t E i

t





, )

(

0

より、

0

0

R R

i E

 

と

確認

)

コイル

L

に蓄えられる電磁エネルギー

W

は、コイルに流れる電流を

I

、コイル内の磁束を

ϕ

とすると、

ϕ = LI

より、

LI L I

W

2 2

2 1 2

1 2

1    



( 復習 ) 線形常微分方程式の標準的解 法

)

1

(

) 1 ( 1 ) (

0

y a y a y' a y f t

a

ⁿ



^n

  

_n



_n



定係数の線形常微分方程式の一般形として、

を考える。ただし、

線形集中定数回路の問題は、実定係数の線形微分方程式を解く問題に帰着する。

m m m

dt y y

^{( )}

 d

) , , 1 , 0 ( ,

0

0 a i n

a 

_i

 

また、 は定数とする。

この方程式が

t = t

₀ における初期条件、

y(t

₀

), y’(t

₀

), ‥‥ , y

^(n-1)

(t

₀

)

を定めれ ば、ただ一つの解を持つこと

(

解の存在定理

)

は、数学的に証明されてい る。

(a)

同次方程式の解

この方程式の解法は、まず右辺の

f(t)

を

　 0

と置いた同次

(

斉次

)

方程式の解を 求める。

1

0

) 1 ( 1 ) (

0

y  a y

^

  a

_

y'  a y 

a

^{n n}



_{n n}

f(t) = 0

と置いた同次

(

斉次

)

方程式

の解は、指数関数以外にない。それを、

y = e

^st

, (s

は定数

)

としてとして代入すると、

1

0

1 1

0

s

ⁿ

 a s

^n

  a

_n

s  a

_n



a 

特性方程式 を得る。

この特性方程式の

n

個の根、

s

₁

, s

₂

, ‥‥ , s

_n の間に等根が無ければ、

t s t

s t

s

y e y e

_n

e

y 

¹

, 

²

,  , 

が、互いに一次独立な

n

個の特解である。

( 復習 ) 線形常微分方程式の標準的解

従って一般解は、任意の定数

k

_i

(i = 1, 2, 法 ‥‥ , n)

による一次結合

t s n t

s t

s

k e k e

_n

e k t

y ( ) 

1 ¹



2 ²

  

によって与えられる。

ここで、任意定数

k

_i は初期条件によって定まる。またもし、特性方程式が重 根を有し、

s

₁

= s

₂

= ‥‥ = s

_m ならば、それらに対する

m

個の特解を

t s m t

s t

s

te t e

e

¹

,

¹

,  ,

^{1 1} とすればよい。

(b)

非同次の場合

f(t) ≠ 0

の場合、上の微分方程式は非同次

(

非斉次

)

形という。この場合は、

補関数

y

_c

(t) (

同次方程式の一般解に同じ

)

と、特解

y

_p

(t)

を求め、一般解

y(t) y

は、

( t )  y

_c

( t )  y

_p

( t )

によって与えられる。

多項式や指数関数、正弦関数などの簡単な関数形の

f(t)

に対しては、簡単に 解が求まるが、それ以外の

f(t)

に対しては、簡単に解が求まるとは限らず、

未定係数法、定数変化法、演算子法などを用いなければならない。

一般に、受動回路網についての補関数は、

t → ∞

で

0

に収束する。十分に 時間が経つと

y

_c は小さくなり、

y

_p のみが残る。このような状態が定常状 態であり、

y

_c の値が無視できない場合を過渡状態である。また、

y

_c は励 振がなくても存在するので、自由振動項、

y

_p は励振に関わるので、強制振 動項と呼ばれる。