電気回路学Ⅱ 講義日程と内容

電気回路学Ⅱ

通信工学コース

5

山田 博仁

講義日程と内 容

　日程 ( 回目 ) 　　　　　　講義内容　　　　　　教 科書の章との対応

1)

2)

4/16 (

1

)

RL, RC

2.1, 2.2

-

4/23 (

2

)

RLC

2.3, 2.4

-

4/30 (

3

)

5.1, 5.2

-

5/7

(

4

)

6.1

6.2

-

5/14 (

5

)

6.3

-

5/21 (

6

)

5.3

5.5,

7.1

-

5/28 (

7

)

7.2

7.4

-

6/4

(

8

)

RLC

7.5, 7.7

7.9

-

6/11 (

9

)

3.1, 3.2

6/18 (

10

)

3.4

6/25 (

11

)

4.1, 4.2

7/2

(

12

)

4.3, 4.5

7/9

(

13

)

7/16

(

14

)

ひずみ波交

電気回路では、様々な要因

(

流 )

(

)

(

)

が重畳されたものとなることが多い

周期 T の波に周期 T/3 の波 ( 第3 高調波 )が重畳された波形

そのような波形をひずみ波交流と呼ぶ

(基本波 )

� ( _� ) ₌ ∑

�=0

∞

�

sin ( ^{��� +} _∅

)

:

:

:

: n

: n

�

=1 /3, ∅

= �

ひずみ波交 流

周期 T の波に周期 T/3 の波 ( 第3 高調波 )が重畳された波形 基本波と

n

なる一方で、電力系や音声伝送系では位相関係はあまり重要ではなく、高調波 の振幅比のみに着目することが多い

高調波の振幅比のみを見れば、

前のスライドの波形も左の波形 も同じ

�

=1 /3, ∅

=0

エネル ギー

波のエネルギー

ある波の瞬時値を

f(t)

2

f(t)

(1Ω

)

従って、

f(t)

(

)

的波動など、そのエネルギーは無限大となってしまう しかし、時間平均をとれば有限であり、

( 平均 ) 電力

周期

T

(

)

電力

であり、

t

T t

正でかつ有限な平均電力を有する波形を、電力信号と呼ぶ

エネル ギー

ひずみ波交流の電圧

e(t)

i(t)

n = 1, 2, 3, …

� ( _� ) _{= �}

₊ ∑

�=1

∞

√ ^{2 �}

^sin ( ^{��� +} _∅

)

� ( _� ) _{= �}

₊ ∑

�=1

∞

√ ^{2 �}

^sin ( ^{��� +} _∅

^{− �}

)

と表すことにすれば、

E

I

n

� = 1

� ∫

0

�

� ( � ) � ( � ) �� = �

�

+ ∑

�=1

∞

�

�

cos �

ひずみ波交流の電力は、各調波電力の和に等しい

1

T

実効値と力 率

�

= √ ^{� 1 ∫}

^�

^{( � ) �� = √ �}

^{+ �}

^{+ ⋯}

�

= √ ^{� 1 ∫}

^�

^{( � ) �� = √ �}

^{+ �}

^{+ ⋯}

従って、ひずみ波交流の電圧および電流の実効値は、直流成分は

0

(0

)

電圧の実効値 電流の実効値

実効値とは、平均電力が等しくなる直流に相当する電圧或いは電流値のこと

また、ひずみ波交流の有効電力、皮相電力は、

皮相電力

= �

�

= √ ⁽

^∑

^�

^{)( ∑}

^�

⁾

となり、力率は

力率

有効電力

= ∑

�=1

∞

�

�

cos �

ひずみ 率

本来は基本波成分のみの正弦波交流に対して、何らかの要因で高調波成分 が含まれるようになってしまった信号波形に対して、以下の量が用いられ

る ひ

波形率

(form factor)=(

)/(

)

(peak factor)=(

)/(

)

リップル率

(ripple factor)

ブリッジ構成による全波整流回路

E₀

全波整流波形

E

周期波

周期波

(periodic wave)

T

返す波形

が全ての

t

T

(period)

� (� )=� (� +�� ),�=0,±1,±2⋯

様々な周期波の例

(a)

(b)

(c)

周期波のフーリエ級数展 開

我々が通常扱う周期波

f(t)

� ( _� ) _=�

₊ ∑

�=1

∞

( ^�

^{cos �}

^{� + �}

^{sin �}

^� )

�₀= 1

�

∫

−�/2

�/2

� (�) ��

�_�= 2

�

∫

−�/2

�/2

� (�)cos�_�� �� (�=1, 2,⋯)

�_�= 2

�

∫

−�/2

�/2

� (�)sin �_�� ��(�=1, 2,⋯)

}

フーリエ ( 三角 ) 級数

ここで、

b

, b

, a

ただし

f(t)

t

1

て、基本周期

T

n

例題 3.2.

1

より までを基本周期とする関数

f(x)

� ( _� ) _=�

₊ ∑

�=1

∞

( ^�

^{cos �� + �}

^{sin ��} )

( ₁ )

上式の両辺を から まで積分すると、

−

∫

�

� ( � ) �� = �

∫

−�

�

�� + ∑

�=1

∞

( ^�

^∫

�

cos ���� + �

∫

−�

�

sin ���� ) ^{=2 � �}

∴�₀= 1 2�

∫

−�

�

� (�)��

次に、式

(1)

(m

)

例題 3.2.

1

0

例題 3.2.

1

�_�= 1

�

∫

−�

�

� (�)cos����

同様に、式

(1)

(m

)

従って、 ^��= 1

�

∫

−�

�

� (�)sin����

ここで変数変換、 を行うと、 に対して で、これが半周期 に等しく、かつ であるから、基本周期

T

f(t)

−

∫

�

� (�)cos�� ��=� �_� 従って、

高調波成分の大き さ

ところで、

b

f(t)

�=tan⁻¹(^��/�_�)

従って、

f(x)

b

となるところから、第

n

� ( _� ) = ∑

�=1

∞

�

sin �

�

� ( _� ) _=�

₊ ∑

�=1

∞

�

cos �

�

さらに、

f(x)

b

b

のように、フーリエ・サイン

(

)

一方、

f(x)

a

のように、フーリエ・コサイン

(

)

方形波のフーリエ ( 三角 ) 級数

0 t 1

-1

-T/2 T/2

{

奇関数なので、フーリエ係数の内の

b

b

従って、方形波のフーリエ

(

)

6 �

� �+ 4

5 � sin 10 �

� �+¿⋯

� (� )=∑

�=1

∞ 2(1−(−1)^�)

� � sin 2� �

� �= 4

� sin 2�

� �+ 4

3 � sin ¿

鋸波 ( 直線波 ) のフーリエ ( 三 角 ) 級数

� (� )= 2

� � (−�/2<� <� /2)

奇関数なので、フーリエ係数の内の

b

b

0 t 1

-1

-T/2 T/2

4 �

� � + 2

3 � sin 6 �

� � +¿ ⋯

� (� )=∑

�=1

∞ 2(−1)^�+1

� � sin 2� �

� �= 2

� sin 2 �

� � − 1

� sin ¿

従って、鋸波のフーリエ

(

)

三角波のフーリエ ( 三角 ) 級数

� (� )=1−4

|

|

� (−� /2<�<� /2)

偶関数なので、フーリエ係数の内の

a

また、図から直流成分は無いことが分かるが、敢えて計算をすると、

0 t 1

-1

-T/2 T/2

三角波のフーリエ ( 三角 ) 級数

従って、三角波のフーリエ

(

)

一方、