II 2007/01/15,

基礎数学

II

2007/01/15,

[email protected]

http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/ ^～ nishioka/

1

実数のある部分集合

D ⊂ R

x

,

f (x)

¹ ,

.

1.1

D

x ₀

, lim _{x → x}

_{,x ∈ D} f (x) = a

,

f

x ₀

a

. (

f (x 0 )

a

.)

1.2

関数

f

x 0

a

,

f (x 0 ) = a

,

f

x = x 0

, D

x

D

注意

1.1.

ε-δ

“ 関数

f

x = x ₀

ε > 0

δ > 0

| x − x 0 | ≤ δ ⇒ | f(x) − f (x 0 ) | ≤ ε

. ¦

連続関数はいろいろ都合の良い性質を備えている

:

定理

1.2.

[a, b]

,

. ¦

定理

1.3 (

).

[a, b]

f

f (a) < f(b)

.

a < c < b

c

, f (x) = c

x ∈ (a, b)

.

¦

2

2.1

f

D

. D

x 0

,

h lim → 0

f (x ₀ + h) − f (x ₀ ) (2.1) h

1 一般に複数の値が対応するときには“ 多価関数 ”と呼び,通常の関数と区別する.

が存在するとき

,

f

x 0

, (2.1) = f ⁰ (x 0 )

³

= df

dx (x 0 )

´

.

f ⁰ (x ₀ )

x ₀ ∈ D

f

注意

2.1. x

x 0

x 0 + h

, f (x ₀ + h) − f (x ₀ )

h

L(h)

.

h → 0

L(h)

点

x = x 0

f (x)

L

, L(h)

= f ⁰ (x 0 )

. ¦

注意

2.2. (i)

.

(ii) (2.1)

, h > 0

f ₊ ⁰ (x 0 ) ≡ lim

h → 0

f (x 0 + h) − f (x 0 ) h

f ₋ ⁰ (x ₀ ) ≡ lim

h → 0

f(x 0 − h) − f (x 0 )

− h

とおく

.

(2.1)

,

f ₊ ⁰ (x ₀ ), f ₋ ⁰ (x ₀ )

,

. ¦

2.2

a, b, C

:

³

a f(x) + b

´ ₀

= a f ⁰ (x).

(2.2)

³

f (x) g(x) ´ ₀

= f ⁰ (x) g(x) + f (x) g ⁰ (x). (積の微分公式) (2.3)

³ f (x) g(x)

´ ₀

= f ⁰ (x) g(x) − f (x) g ⁰ (x)

¡ g(x) ¢ 2 . (

) (2.4)

³ f ¡

g(x) ¢´ ⁰

= f ⁰ ¡ g(x) ¢

· g ⁰ (x). (

, § 4.1

. ) (2.5)

3

微分は, 関数

f (x)

,

(

)

,

.

3.1

まず

,

:

定理

3.1 (

). f

[a, b]

, (a, b)

. f (a) = 0 = f (b)

, f ⁰ (c) = 0

c ∈ (a, b)

. ¦

証明 前に述べた 定理

1.2

,

f (x)

[a, b]

M

m

. f (a) = 0

, M ≥ 0

m ≤ 0

.

Step 1. M > 0

:

ある点

y ∈ (a, b)

,

f

M

, f (y) = M .

h > 0

,

f(y + h) − f (y) ≤ 0, f (y − h) − f (y) ≤ 0

2.2

f ₊ ⁰ (y) = lim

h → 0

f (y + h) − f(y)

h ≤ 0,

f ₋ ⁰ (y) = lim

h → 0

f (y − h) − f (y)

− h ≥ 0,

0 ≥ f ₋ ⁰ (y) = f ⁰ (y) = f ₊ ⁰ (y) ≤ 0 ⇒ f ⁰ (y) = 0.

Step 2. M = 0

m < 0

:

新しく

,

g(x) ≡ − f (x)

.

g

− m > 0

, g(a) = 0, g(b) = 0

.

g

Step 1

,

z ∈ (a, b)

,

− f ⁰ (z) = g ⁰ (z) = 0 ⇒ f ⁰ (z) = 0.

Step 3. M = m = 0

:

f (x) ≡ 0

.

,

c ∈ (a, b)

, f ⁰ (c) = 0.

前述の“ ロルの定理 ”から次の“ 平均値の定理 ”が証明できる

:

定理

3.2 (

). f

[a, b]

, (a, b)

.

z ∈ (a, b)

f (b) − f (a)

b − a = f ⁰ (z). ¦

.

命題

3.3.

(a, b)

f ⁰ (x) = 0 ⇒

(a, b)

f (x) =

. ¦

平均値の定理

3.2

0/0

.

命題

3.4 (

).

f, g

, f (a) = 0 = g(a), g ⁰ (a) 6 = 0

.

x→a lim f (x)

g(x) = f ⁰ (a) g ⁰ (a) . ¦ (3.1)

注意

3.5 (経済での用語).

産量を

q

,

K(q)

.

(i)

(average cost) = K(q)

q :

1

(ii)

(marginal cost) = K ⁰ (q) :

1

,

この“ 限界費用 ”の数学的意味を考えてみよう

.

3.2

,

q < c < q + 1

K(q + 1) − K(q) = K(q + 1) − K(q)

q + 1 − q = K ⁰ (c).

つまり生産量を

q

q + 1

,

K ⁰ (c)

, K ⁰ (c)

K ⁰ (q)

. ¦

3.2

関数

f

f ⁰ (x)

,

f ⁰⁰ (x)

: f ⁰⁰ (x) = lim

h → 0

f ⁰ (x + h) − f ⁰ (x)

h .

f ⁰⁰ (x)

(

)

さらに,この

f ⁰⁰ (x)

f ⁰⁰⁰ (x)

f ⁰⁰⁰ (x) = lim

h → 0

f ⁰⁰ (x + h) − f ⁰⁰ (x)

h .

これを繰り返して

, n

f ⁽ⁿ⁾

: f ⁽ⁿ⁾ (x) = lim

h → 0

f ^{(n − 1)} (x + h) − f ^{(n − 1)} (x)

h .

この高階微分を使うと

,

3.2

.

定理

3.6 (

).

f

(a, b)

n + 1

.

c, x ∈ (a, b)

,

:

y

f(x) = f (c) + f ⁰ (c)

1! (x − c) + f ⁰⁰ (c)

2! (x − c) ² + · · · + f ⁽ⁿ⁾ (c)

n! (x − c) ⁿ + R n+1

(3.2)

ここで

, | y − c | < | x − c |

R n+1 ≡ f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (y)

(n + 1)! (x − c) ⁿ⁺¹ . ¦ (3.3)

注意

3.7. (3.3)

R n+1

, (3.2)

f (x)

. ¦

4

4.1

f, g

D

.

(i) g

D

,

f ¡ g(x) ¢

が得られる

.

f

g

.

(ii)

E ⊂ R ¹

y ∈ E

f (x) = y

となる

x ∈ D

,

x

f ^{− 1} (y)

, f ^{− 1} (y), y ∈ E

を

f

.

f ¡

f ^{− 1} (y) ¢

= y, f ^{− 1} ¡ f (x) ¢

= x

.

逆関数の微分は

,

:

¡ f ^{− 1} (x) ¢ ₀

= 1

f ⁰ ¡ f (x) ¢.

(4.1)

4.2

/

よく使われる初等関数を列挙する

:

(i)

: a (a 6 = 0)

f (x) ≡ x ^a , x ∈ R ¹ . (ii)

: f (x) ≡ e ^x , x ∈ R ¹ . ( f (x) = exp { x }

. )

ここで

e = 2.71828 · · ·

(

)

.

(iii)

:

f (x) = exp { x }

f ^{− 1} (y)

y > 0

. x, y

,

, f ^{− 1} (x) = log x, x > 0,

,

(iv)

x, cos x, tan x, x ∈ R.

例

4.1 (

). a, b, c

( )

.

(i) ¡

c ¢ ₀

= 0.

(ii) ¡

x ^a ¢ ₀

= a x ^{a − 1} , ( a 6 = 0 ).

(iii) ¡ e ^ax ¢ ₀

= a e ^ax , (e=

, a 6 = 0 ).

(iv) ¡

b ^ax ¢ ₀

= ¡ a log b ¢

b ^ax , ( a 6 = 0, b > 0 ).

(v) ¡

log | x | ^a ¢ ₀

= a

x , ( a 6 = 0 ).

(vi) ¡

sin ax ¢ ₀

= a cos ax, ( a 6 = 0 ).

(vii) ¡

cos ax ¢ ₀

= − a sin ax, ( a 6 = 0 ).

(viii) ¡

tan ax ¢ ₀

= a

cos ² ax , ( a 6 = 0 ). ¦

例

4.2 (

). (i)

e ^x

0

, e ^x = 1 + x + x ²

2! + · · · + x ⁿ n! + · · · . (4.2)

(ii)

log(1 + x)

x = 0

log(1 + x) = x − x ²

2 + · · · + ( − 1) ⁿ x ⁿ n + · · · . (4.3)

(iii)

x = 0

sin x = x − x ³ 3! + x ⁵

5! + · · · + ( − 1) ^{n − 1} x ^{2n − 1}

(2n − 1)! + · · · . (4.4)

cos x = 1 − x ² 2! + x ⁴

4! + · · · + ( − 1) ^{n − 1} x ²ⁿ

(2n)! + · · · . ¦

(4.5)

5

5.1

関数の増減の判定条件が

,

3.2

:

5.1. (a, b)

,

f (x)

. (i) x ∈ (a, b)

f ⁰ (x) = 0 ⇒

(a, b)

f (x)

. (ii) x ∈ (a, b)

f ⁰ (x) > 0 ⇒

(a, b)

f (x)

(iii) x ∈ (a, b)

f ⁰ (x) < 0 ⇒

(a, b)

f(x)

. ¦

5.2. x > 0

, log(1 + x) > x − x ²

2

.

f (x) = log(1 + x) − x + x ²

2

. f ⁰ (x) = 1

1 + x − 1 − x = x ²

1 + x > 0 if x > 0.

定理

5.1

, x > 0

,

x > h > 0

f (x) > f(h) ≥ f (0) = 0.

5.2

極値は

,

f (x)

.

定義

5.3. (i)

,

f (x)

a

:

| x − a |

f (x) ≤ f (a).

(ii)

,

f (x)

a

:

| x − a |

f (x) ≥ f (a). ¦

3.6

,

:

5.4 (極値の判定 1).

f (x)

2

(i) f ⁰ (a) = 0

f ⁰⁰ (a) < 0 ⇒ f (x)

a

. (i) f ⁰ (a) = 0

f ⁰⁰ (a) > 0 ⇒ f (x)

a

. ¦

5.5 (極値の判定 2). n

f (x)

2n

(i) f ⁰ (a) = 0, · · · , f ^{(2n − 1)} (a) = 0

f ⁽²ⁿ⁾ (a) < 0 ⇒ f (x)

a

.

(ii) f ⁰ (a) = 0, · · · , f ^{(2n − 1)} (a) = 0

f ⁽²ⁿ⁾ (a) > 0 ⇒ f(x)

a

. ¦

5.3

テイラーの定理

3.6

,

3.4

:

5.6 (

2).

f, g

n

,

f (a) = 0, f ⁰ (a) = 0, · · · , f ^{(n − 1)} (a) = 0,

g(a) = 0, g ⁰ (a) = 0, · · · , g ^{(n − 1)} (a) = 0, g ⁽ⁿ⁾ (a) 6 = 0.

このとき

x lim → a

f (x)

g(x) = f ⁽ⁿ⁾ (a) g ⁽ⁿ⁾ (a) . ¦

5.4

テイラーの定理

3.2

,

: f (x)

,

3.6

f (c + h) = P _n (h) + R _n+1 . P _n (h) ≡ f (c) + f ⁰ (c) h

1! + f ⁰⁰ (c) h ²

2! + · · · + f ⁽ⁿ⁾ (c) h ⁿ n!

R n+1 ≡ f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (y) h ⁿ⁺¹

(n + 1)! , c < y < c + h, (5.1)

である

.

, f (c + h)

P n (h)

c<y<c+h max

¯ ¯ R _n+1 ¯ ¯ = max

c<y<c+h

¯ ¯

¯ f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (y) (n + 1)! h ⁿ⁺¹

¯ ¯

¯ (5.2)

となる

.

5.7. √

4.1

,

. ¦

f (h) ≡ √

4 + h

.

f

, n = 2

(5.1)

: 4 < y < 4+h

√ 4 + h = √ 4 + 1

2

√ 1 4

h 1! + − 1

2 1 2

1 4 ^3/2

h ² 2! + 1

2 1 2

3 2

1 y ^5/2

h ³ 3!

= 2 + h 4 − h ²

64 + h ³

16 y ^5/2 ; P 2 (h) = 2 + h 4 − h ²

64 , R 3 = h ³ 16 y ^5/2 . h = 0.1

√

4.1

, (5.2)

.

√ 4.1 ∼ 2 + 1 4

1 10 − 1

64 1

100 = 2.02484 · · · ,

¯ ¯誤差 ¯ ¯ ≤ max

4<y<4.1

1 16 y ^5/2

1

10 ³ = 1 16 4 ^5/2

1

1000 = 1 512000 .

5.5

(4.2), (4.3)

,

,

,

.

Step 1. i

. (4.2)

x → ix

: e ^ix = 1 + ix − x ²

2! − i x ³ 3! + x ⁴

4! + i x ⁵ 5! − x ⁶

6! + · · ·

=

³ 1 − x ²

2! + x ⁴ 4! − x ⁶

6! + · · ·

´ + i

³ x − x ³

3! + x ⁵ 5! + · · ·

´

一方

, (4.4)

(4.5)

i sin x = i

³ x − x ³

3! + x ⁵ 5! + · · ·

´ , cos x =

³ 1 − x ²

2! + x ⁴ 4! + · · ·

´

なので,

e ^ix = cos x + i sin x (

) (5.3)

となる

.

Step 2. r

,

e ^r cos x = a, e ^r sin x = b

.

(5.3)

e ^r+ix = e ^r cos x + i e ^r sin x = a + ib.

対数関数の定義を思い出すと

,

log ¡

a + ib ¢

= r + i x.

(5.4)

ここで

cos x 6 = 0

,

a ² + b ² = e ^2r ¡

cos ² x + sin ² x ¢

= e ^2r , b

a = e ^r sin x

e ^r cos x = sin x

cos x = tan x θ = tan x

arctan θ

.

x = arctan b a

, (5.4)

log ¡ a + ib ¢

= log ¡p

a ² + b ² ¢

+ i arctan b

a

. ¦