5.2.1 定積分の定義と存在 以下本節では断らない限り y =f(x)を閉区間 I = [a, b] ={x∈R

浪川 幸彦 July 3, 2007

5 積分

5.2 定積分

 ここではリーマンによる定積分の厳密な定義（の仕方の一つ）と，それと不定積分とを関 連づける「微分積分学の基本定理」を学ぶ。すでに知っている定積分の基本性質とともに，

幾つかのより高度な定積分の技法を学ぶ。

5.2.1 定積分の定義と存在

 以下本節では断らない限り y =f(x)を閉区間 I = [a, b] ={x∈R; a≤x ≤b} 上で有界 な関数とする。

Definition 5.2.1 (Text p.177f ). １）区間 I を小区間に細分し，その分点を a = x0 <

x1 < x2 <· · ·< xn=b とする。この分割 ∆ に対し，

Ik= [xk−1, xk], ∆kx=xk−xk−1 (k = 1,2, . . . , n)

とおき，

|∆|= max

1≤k≤n∆kx を分割 ∆ の幅とよぶ。

２）各 Ik から任意に点 ξk を取って作った和

R[∆;{ξk}] =

n

X

k=1

f(ξk)∆kx

を ∆,{ξk} に関するリーマン和という。

３）ある数 A があって，分割の幅を 0 に近づけるとき，分割や点の選び方に拠らずリーマ

1

ン和が A に限りなく近づくとき，正確に言えば，いかなる ε >0 に対しても δ >0 が存在 して |∆| < δ ならば |R[∆;{ξk}]−A| < ε となるとき，関数 f は区間 I 上で（リーマン）

積分可能（または 可積であるという。この値 A を f の I 上の定積分とよび Z b

a

f(x)dx

で表す。

 これは一般的な定義であるが，このままでは使いにくいので，リーマン和を上下から挟み 打ちにすることを考える。分割 ∆ に対し，Ik での f の値の上限，下限を各々 Mk.mk と おき，

S[∆] =

n

X

k=1

Mk∆kx, s[∆] =

n

X

k=1

mk∆kx

を作ると，明らかに

s[∆]≤R[∆;{ξk}]≤S[∆]

が成り立つ。

Proposition 5.2.2.  分割すべてを動かすとき，s[∆] には上限 s が，S[∆] には下限 S が 存在する。明らかに s≤S. 前者を f の I 上の下積分，後者を 上積分とよぶ。

Idea of proof. 分割を「細かく」するときにs[∆]は大きくなり（正確には下回らない），S[∆]

は小さくなる（正確には上回らない）。また任意に二つの分割を取るとき，それらよりも「細 かい」分割が必ず存在する。

Theorem 5.2.3 (Darboux).  関数 f が区間 I 上で積分可能であるための必要十分条件 は s=S である。このときその値は定積分に等しい。

Corollary 5.2.4.  関数 f が区間 I 上で積分可能であるための必要十分条件は，任意の ε >0 に対し， P

k(M_k−m_k)∆_kx < ε をみたす分割 ∆ が存在することである。

Example. I = [0.1]で

f(x) =

( 1 (x∈Q

0 (x /∈Q

と定義すると，任意の分割に対し，S = 1, s= 0 であるから，f は積分可能ではない。

Remark. 別の定義，特にルベーグ積分に拠れば，これは積分可能で，その定積分は0になる。

Theorem 5.2.5.  関数 f が区間 I 上で単調であれば，積分可能である。

Idea of proof. 単調増加としよう。M_k=f(x_k), m_k =f(x_k−1) であるから X

k

(M_k−m_k)∆_kx≤X

k

(M_k−m_k)|∆| =|∆|X

k

(f(x_k−f_k−1) =|∆|(f(b)−f(a)).

Theorem 5.2.6 (Text p.179).  関数 f が区間 I 上で連続であれば，積分可能である。

Idea of proof. 有界閉区間上の連続関数は「一様連続」であるという Weierstrassの定理に よる。

5.2.2 定積分の基本性質

 ここに掲げた基本性質は，前項の定積分の厳密な定義に従って，容易に証明される。それ らの多くは皆さんに既知のものである。

Proposition 5.2.7.  関数 f が区間 I 上で積分可能であれば， I に含まれる任意の閉区 間上で積分可能である。

Proposition 5.2.8 (区間加法性).  関数 f が区間 [a, b], [b, c] (a < b < c) 上で積分可能 であれば， [a, c] 上でも積分可能で

Z c

a

f(x)dx= Z b

a

f(x)dx+ Z c

b

f(x)dx.

Remark. a < b に対し，形式的に Ra

b f(x)dx =−Rb

a f(x)dx と定めれば，上記命題の大小関

係の条件は不要である。

Proposition 5.2.9 (線形性). 関数f, gが区間I 上で積分可能であれば，f±g, αf (α定数), f g も I 上で積分可能で，α, βを定数とするとき

Z b

a

(αf(x) +βg(x))dx=α Z b

a

f(x)dx+β Z b

a

g(x)dx.

Proposition 5.2.10. 関数 f が区間 I 上で積分可能で，かつ m ≤ f(x) ≤ M であるとす る。さらにφ(x) が区間 [m, M] で連続であれば，合成関数φ◦f は I 上で積分可能である。

 とくに f が積分可能であれば，|f(x)|,(f(x))^p, a^f(x) などは積分可能である。

Proposition 5.2.11 (単調性). 関数 f, g が I 上で積分可能で，かつf(x)≤g(x)であれば，

Z b

a

f(x)dx≤ Z b

a

g(x)dx.

 さらに f, g が連続であれば，等号は f(x)≡g(x) の場合のみ成り立つ。

Corollary 5.2.12. 関数 f が区間 I 上で積分可能で，かつ f(x)≥0 であれば，

Z b

a

f(x)dx≥0.

 さらに f が連続であれば，等号は f(x)≡0 の場合のみ成り立つ。

Corollary 5.2.13.

Z b

a

f(x)dx

≤ Z b

a

|f(x)|dx Z b

a

|f(x) +g(x)|dx ≤ Z b

a

|f(x)|dx+ Z b

a

|g(x)|dx

5.2.3 微分積分学の基本定理

関数f は区間I 上で有界かつ積分可能であるとする。I 上の関数

F(x) = Z x

a

f(t)dt (a ≤x ≤b)

を考える。

Theorem 5.2.14. F(x) は区間 I で連続である。

Theorem 5.2.15. さらにf が x=x0 で連続であるとすると，F(x) は x=x0 で微分可能 で F⁰(x0) =f(x0) である。

Corollary 5.2.16. f が I で連続であれば，F(x) は f の不定積分である。

Theorem 5.2.17. f が I 上で積分可能で，かつそこで不定積分 G(x) を持つとすると，

Z b

a

f(x)dx= [G(x)]^b_a =G(b)−G(a)

Idea of proof. 任意の分割を考える。G(x) に対し平均値の定理を用いると各小区間において

G(x_k)−G(x_k−1) =f(ξ_k)∆_kx, x_k−1 ≤ξ_k ≤x_k).

よって

G(b)−G(a) =X

k

(G(xk)−G(xk−1) =X

k

f(ξk)∆kx.

分割の幅を 0 に近づければ，右辺は定積分に収束する。

Remark. ここに与えた証明は f の連続性を仮定しておらず，教科書よりも強い命題である。

連続性を仮定すれば，その前の系を用いることで証明は終わっている。

5.2.4 定積分の計算

置換積分や部分積分を用いる定積分の公式をまとめておく。

Proposition 5.2.18 (置換積分). 関数f は区間[a, b]上で連続，かつx=x(u)をuの関数で [α, β]において微分可能かつその微分が連続であり，しかも a≤x(u)≤b, x(α) =a, x(β) =b であるとするとき，

Z b

a

f(x)dx= Z β

α

f(x(u))dx dudu.

Proposition 5.2.19 (部分積分). 関数 u, v は区間 [a, b] 上で微分可能かつその微分が連続 であるとするとき，

Z b

a

uv⁰dx= [uv]^b_a− Z b

a

u⁰vdx

Example 1. [Text p.182 (4.6) - (4.8)] 三角関数の直交性 Example 2. n ≥2のとき，

Z π/2

0

sinⁿxdx= Z π/2

0

cosⁿxdx=

( n−1

n · ⁿ⁻³_n−2 · · · · · ¹₂ · ^π₂ (n even)

n−1

n · ⁿ_n−2⁻³ · · · · · ²₃ (n odd) Example 3. [Text p.184 (4.10)]

Exercise 6. 次の公式を示せ：

Z 1

−1

(1−x²)ⁿdx= 2²ⁿ⁺¹(n!)² (2n+ 1)!

Hint. 上の例３（の m =n の場合）を変形するか，同様にやる。

Exercise 7. Pn(x) をルジャンドル多項式

Pn(x) = 1 2ⁿn!

dⁿ

dxⁿ(x² −1)ⁿ (n = 0,1,2,3, . . .) とするとき，次を示せ：m, nを非負整数とするとき

Z 1

−1

Pm(x)Pn(x)dx= 2

2n+ 1δmn.

ただし δmn = 1 (m=n),0 (m6=n) (Kronecker のデルタ）。

Hint. 直前の練習問題の結果を用いる。

重ねてのお詫び：再試験の返却

 今週も再試験の返却ができませんでした。次週になります。

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