解析学
2006/07/12,
西岡1
http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/ 〜 nishioka/
1 関数
実数のある部分集合
D ⊂ R
に属する数x
にたいし, ある数f (x)
が ただ一つ 対応すると き,その対応を関数と呼ぶ.1.1
関数の極限D
内部の点x 0
にたいし, limx → x
0,x ∈ D f (x) = a
であるとき, 関数f
はx 0
で極限a
をも つ という. (ここでf (x 0 )
の値とa
にはなんの関係も無いことを注意せよ.)1.2
関数の連続性関数
f
がx 0
で極限値a
をもち,しかもf (x 0 ) = a
のとき,f
はx = x 0
で連続 といい,D
の全ての点x
で連続な関数をD
で連続な関数 という.注意
1.1.
連続の定義をε-δ
論法を使って厳密に述べてみよう.関数
f
はx = x 0
で連続”とは,任意のε > 0
にたいし,あるδ > 0
があり,| x − x 0 | ≤ δ ⇒ | f (x) − f (x 0 ) | ≤ ε
となる事である.¦
連続関数はいろいろ都合の良い性質を備えている:
定理
1.2.
有限な閉区間[a, b]
で連続な関数には,最大値と最小値がある.¦
定理
1.3 (中間値の定理).
閉区間[a, b]
で定義された連続関数f
がf (a) < f(b)
を満たしてい る. このときa < c < b
である任意のc
にたいし,f (x) = c
となるx ∈ (a, b)
が存在する.¦
2 微分
2.1
微分の定義f
をD
で定義された関数とする.D
の内部の点x 0
にたいし,(2.1) lim
h → 0
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
が存在するとき,
f
はx 0
で微分可能 と言い, (2.1) =f 0 (x 0 ) = df
dx (x 0 )
と記述する.f 0 (x 0 )
をx 0 ∈ D
の関数と見たとき,f
の導関数 と呼ぶ.1
[email protected] 2
号館11
階21138
号室注意
2.1. x
がx 0
からx 0 + h
まで変化するとき,f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
は直線L(h)
の傾きとなる.h → 0
なら,直線L(h)
は点
x = x 0
における曲線f(x)
の接線L
に近づくので,L(h)
の傾きは 接線の傾き= f 0 (x 0 )
に近づく.¦
注意
2.2. (i)
微分可能な関数と連続関数とのギャップは大きく,至る所で微分が出来ないが連 続な関数が存在する.(ii) (2.1)
の意味をより詳しく見るため,h > 0
としてf + 0 (x 0 ) ≡ lim
h → 0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
およびf − 0 (x 0 ) ≡ lim
h → 0
f (x 0 − h) − f (x 0 )
− h
とおく. すると
(2.1)
で要求していることは,f + 0 (x 0 ), f − 0 (x 0 )
がともに存在し, 両者が一致する ことである.¦
2.2
微分の公式a, b, C
を定数とする.d dx
(
a f (x) + b )
= a f 0 (x). d dx
(
f (x) g(x) )
= f 0 (x) g(x) + f(x) g 0 (x).
d dx f (
g(x) )
= f 0 ( g(x) )
· g 0 (x). d dx
( f (x) g(x) )
= f 0 (x) g(x) − f (x) g 0 (x) ( f (x) ) 2 .
2.3
平均値の定理定理
2.3. f
を 区間[a, b]
で連続, (a, b)で微分可能な関数とする.(i) (Rolle
の定理) f (a) = 0 = f(b)
なら,f 0 (c) = 0
となる点c ∈ (a, b)
がある.(ii) (
平均値の定理)
次を満たす点z ∈ (a, b)
がある:f(b) − f (a)
b − a = f 0 (z). ¦
注意
2.4 (ロピタルの定理).
平均値の定理を使うと数学では許されない0/0
の計算が出来ることがある. 関数
f, g
を 定理2.3
の条件をみたすものとする.f (a) = 0 = g(a), g 0 (a) 6 = 0
と すると,(2.2) lim
b → a
f (b)
g(b) = f 0 (a) g 0 (a) . ¦
2.4
高階微分とTaylor
展開関数
f
の導関数f 0 (x)
にたいし,その微分と導関数f 00 (x)
を考えることができる.f 00 (x)
を ２階微分／２階導関数と呼ぶ．さらに3
階微分f 000 ,
さらにはn
階微分f (n)
も考えることが 出来る. この高階微分の重要な応用として, Taylor展開がある.定理
2.5 (Taylor
展開). 関数f
は 区間(a, b)
でn + 1
階まで微分可能とする. 点c, x ∈ (a, b)
にたいし,次が成立: ある点y
がありf (x) = f (c) + f 0 (c)
1! (x − c) + f 00 (c)
2! (x − c) 2 + · · · + f (n) (c)
n! (x − c) n + R n+1 ,
ここで,| y − c | < | x − c |
でありR n+1 ≡ f (n+1) (y)
(n + 1)! (x − c) n+1 . ¦ (2.3)
3 いろいろな関数
3.1
合成関数と逆関数f, g
をD
で定義された関数とする.I. g
のとる値がD
に属しているとき, 新しい関数f ( g(x) )
が得られる. これを
f
とg
との 合成関数と呼ぶ.II.
あるE ⊂ R 1
があり,y ∈ E
にたいしては常にf (x) = y
となる
x ∈ D
が唯一つ存在するとき,このx
をf − 1 (y)
と書き,f − 1 (y), y ∈ E
を
f
の逆関数と呼ぶ. 当然f (
f − 1 (y) )
= y, f − 1 ( f (x) )
= x
が成立している.逆関数の微分は,つぎの通り:
(3.1) (
f − 1 (x) ) 0
= 1
f 0 ( f(x) ).
3.2
代表的な関数よく使われる初等関数を列挙する:
I.
代数関数: a (a 6 = 0)
を実定数としてf (x) ≡ x a , x ∈ R 1 . II.
指数関数:f (x) ≡ e x , x ∈ R 1 . ( f (x) = exp { x }
とも書く. )ここで
e = 2.71828 · · ·
は ネイピア数(
オイラー数 や 自然対数の底 とも言われる)と呼ばれる.
III.
対数関数:
指数関数f (x) = exp { x }
の逆関数f − 1 (y)
はy > 0
にたいして定義されて いる.x, y
を入れ替えたこの逆関数は, とくに,f − 1 (x) = log x, x > 0,
と記述し,対数関数と 呼ぶ.IV.
三角関数: sinx, cos x, tan x, x ∈ R.
例
3.1.
微分の例.a, b, c
は( )
内の条件を満たす定数とする.d
dx c = 0. d
dx x a = a x a − 1 , (a 6 = 0). d
dx e ax = a e ax (e=
ネイピア数, a6 = 0).
d
dx b ax = ( a log b )
b ax , (a 6 = 0, b > 0). d
dx log | x | a = a
x , (a 6 = 0).
d
dx sin ax = a cos ax, (a 6 = 0). d
dx cos ax = − a sin ax, (a 6 = 0).
d
dx tan ax = a
cos 2 ax , (a 6 = 0). d
dx arcsin x = 1
√ 1 − x 2 , ( − 1 < x < 1). ¦
例
3.2. Taylor
展開:(i)
指数関数exp { x }
の0
を中心としたTaylor
展開は,(3.2) exp { x } = 1 + x + x 2
2! + · · · + x n n! + · · · . (ii)
対数関数log(1 + x)
のx = 0
を中心としたTaylor
展開は(3.3) log(1 + x) = x − x 2
2 + · · · + ( − 1) n x n n + · · · . (iii)
三角関数のx = 0
を中心としたTaylor
展開は,sin x = x − x 3 3! + x 5
5! · · · + ( − 1) n − 1 x 2n − 1
(2n − 1)! + · · · . (3.4)
cos x = 1 − x 2 2! + x 4
4! + · · · + ( − 1) n − 1 x 2n
(2n)! + · · · . ¦ (3.5)
例
3.3. (Taylor
展開の応用): (3.2), (3.3) のTaylor
展開を使うと, 複素数にたいして, 指数 関数,対数関数が定義出来る:a, b
を実数,i
を虚数単位とする.exp { a + ib } = exp { a } (
cos b + i sin b )
, log (
a + ib )
= log (√
a 2 + b 2 ) + iθ
ここで
θ
は次の実数:
もしa 6 = 0
ならtan θ = b
a ;
もしa = 0
ならθ = π 2 .
4 積分
4.1
不定積分-
定義と例不定積分は微分の逆である: 関数
f (x)
に対して(4.1) F 0 (x) = f (x)
を満たす関数
F(x)
をf (x)
の原始関数 とよぶ.注意
4.1.
いまC
を任意定数とする. 関数F(x)
がf(x)
の原始関数なら,F(x) + C
も原始 関数である.¦
原始関数を 関数
f (x)
の不定積分 といい,以下の記号で表す:∫
f (x) dx = F(x) + C. ( f (x)
を被積分関数,C
を積分定数 という.) 不定積分の定義(4.1)
と 例3.1
より次が判る:例
4.2.
不定積分の例.a, b, c
は( )
内の条件を満たす定数とする.∫
x a dx = 1
a + 1 x a+1 + C (a 6 = − 1).
∫ a
x dx = log | ax | + C (a 6 = 0).
∫
e ax dx = 1
a e ax (a 6 = 0).
∫
b ax dx = 1
a log b b ax + C (a 6 = 0, b > 0).
∫
sin ax dx = 1
a cos ax + C (a 6 = 0).
∫
cos ax dx = − 1
a sin ax + C (a 6 = 0).
4.2
不定積分の公式a, b
を定数とする.(i) ∫ {
a f (x) + b g(x) } dx = a
∫
f (x) dx + b
∫
g(x) dx.
(ii) (置換積分) g 0 (t)
が連続のとき,x ≡ g(t)
とおくと:∫
f (x) dx =
∫ f (
g(t) ) g 0 (t) dt.
(iii) (部分積分) f 0 (x), g 0 (x)
が連続なとき,∫
f (x) g 0 (x) dx = f (x) g(x) −
∫
f 0 (x) g(x) dx.
4.3
定積分関数
f (x)
は連続とし,x
軸上にa < b
をとる. 区間[a, b]
内のn + 1
個の点a = x 0 < x 1 <
x 2 < · · · < x n − 1 < x n = b
を次の通り定める:x 0 = a, x 1 = a + b − a
n , x 2 = a + 2 · b − a n ,
· · · , x k = a + k · b − a n , · · · x n − 1 = a + (n − 1) · b − a
n , x n = a + n · b − a n = b
とおく. このときS n ≡ f (a) (x 1 − a) + f (x 1 ) (x 2 − x 1 ) + · · · + f (x n − 1 ) (b − x n − 1 )
=
n ∑ − 1
k=0
f (x k ) (x k+1 − x k ) =
n − 1
∑
k=0
f (x k ) 1 n (4.2)
とおく.
定理
4.3 (Darboux
の定理).f (x)
が区間[a, b]
で連続なら, limn →∞ S n
が存在する.¦
この
S
を∫ b
a
f (x) dx
と表し,f (x)
の定積分という.注意
4.4.
次ページの図から,次の関係が判る:f (a) (x 1 − a) = f (a) 1
n =
左端の長方形の面積,f (x 1 ) (x 2 − x 1 ) = f(x 1 ) 1
n =
左から2
番目の長方形の面積,.. .
f (x n − 2 ) (x n − 1 − x n − 2 ) = f (x n − 2 ) 1
n =
右から2
番目の長方形の面積,f (x n − 1 ) (b − x n − 1 ) = f (x n − 1 ) 1
n =
右端の長方形の面積,これより
S n =
影を付けた長方形の面積の和 となるので,∫ b a
f (x) dx = lim
n →∞ S n
= x
軸,直線x = a,
直線x = b,
関数f (x)
で囲まれた部分 の面積.¦
定理
4.5 (微積分の基本定理).
区間[a, b]
で連続な関数f (x)
にたいし,その原始関数の一つを
F(x)
とすると,∫ b
a
f (x) dx = F (b) − F (a), ¦
注意
4.6.
定積分を使うと,§ 4.2
で述べた 部分積分の公式 は次のように書き換えられる:∫ b a
f (x) g 0 (x) dx = f (b) g(b) − f (a) g(a) −
∫ b a
f 0 (x) g(x) dx ¦
参考文献: 戸田 暢茂,基礎微積分,学術図書出版, 1996年, 1854円; ISBN 87361-204-7
