解析 I ・講義ノート

(1)

解析

I

^{・講義ノート}

第５回

(2020

^年

6

^月

16

^日

(

^火

)

^配信分

)

(2)

第５回本題

教科書

§ 5

を一通り読んだ皆さんの中には、

§ 3

^{の中間値の定理、}

ワイエルシュトラスの定理に続き、ここでも、ロルの定理、平均値の定理と

(

^{その前後も含めて}

)

やや抽象的な記述が続いているのに戸惑っている人もいるのではないでしょうか？

結論だけ見ると当たり前に見えるこれらの定理たちが、なぜわざわざ取り上げるに足る定理なのかと言うと、皆さんもよく知っている初等関数のような、実はかなりよい条件をたくさん満たしている関数とは違って、

§ 3

^{では「閉区間}

[a, b]

^で連続」^{、ここでは}

「閉区間

[a, b]

^{で連続かつ開区間}

(a, b)

で微分可能」と言う、たっ

たこれだけの条件しか満たさない

(

或いは実はもっといろいろよい条件を満たしているのかもしれないけれども、少なくとも現段階ではそう言う情報は無い

)

関数についても、同じ結論が得られるからです。

(3)

一般に、数学における定理や公式には、仮定もしくは条件がついていて、それを満たさないものについては、結論が成り立つかどうかは保証されません。つまり、この仮定もしくは条件は取扱説明書であって、使用にあたっては、これを熟読し、使用してよいのかどうか確かめてから使わないと、大事故を引き起こす危険性があるわけです。

これが数十頁にもなると、とても読む気がしなくなりますが、

だからこそ、専門性の高い特別な事例につき、強い力を発揮することもあるわけで、それは一概に悪いことではもちろんありません。

ですが、たった一行の説明書なら、確認作業もすぐ終了し、いつでも

(

と言うのは言葉の綾ですが

)

使えると言う利便性がありますし、他と組み合わせて使える応用範囲も広いわけです。

(4)

これら四つの定理の主張を、改めてまとめて書いてみると…

関数

f (x)

^は閉区間

[a, b]

^{で連続で、}

f (a) = α, f (b) = β

^とする。

中間値の定理

α < β (β < α)

^{のとき、任意の}

γ ∈ (α, β )((β, α)) (

^中間値

)

^に対し、

f (c) = γ

^をみたす

c ∈ (a, b)

が、少なくとも一つ存在する。

ワイエルシュトラスの

(

^{最大値最小値の}

)

^定理

f (c

₊

) = max

_x_∈_[a,b]

f (x) (

^最大値

)

^、

f (c

₋

) = min

_x_∈_[a,b]

f (x) (

^最小値

)

^をみたす

c

₊

, c

₋

∈ [a, b]

が、少なくとも一つずつ存在する。

さらに

f (x)

^は開区間

(a, b)

^{で微分可能とする。}

ロルの定理

α = β

^のとき、

f

^′

(c) = 0

^をみたす

c ∈ (a, b)

が、少なくとも一つ存在する。

平均値の定理

f

^′

(c) = β − α

b − a (

^平均値

(

^変化率

))

^をみたす

c ∈ (a, b)

^{が、少なくとも一つ存} 在する。

ロルの定理は平均値の定理の特別な場合ですが、平均値の定理の証明にはロルの定理が必要でした。

(5)

たとえば、関数

f (x) = − x ² + 1

^を閉区間

[ − 2, 2]

^{で考えると、}

もちろん連続です。

x ² ≥ 0

^より

f (x) ≤ 1

^なので、

x = 0 ∈ [ − 2, 2]

^{のとき等号成立}

で最大値

f (0) = 1

^{をとります。}

一方

x ² ≤ 4 (x ∈ [ − 2, 2])

^より

f (x) ≥ − 3

^なので、

x = ± 2 ∈ [ − 2, 2]

のとき等号成立で最小値

f ( ± 2) = − 3

^をとり

ます。

これらの事実の内、最大値並びに最小値の存在だけなら、具体的に計算しなくてもわかると言うのが、ワイエルシュトラスの定理が主張していることです。

(6)

さらに、この

f (x)

^は開区間

( − 2, 2)

で微分可能で、導関数は

f ^′ (x) = − 2x

^です。

f (x)

^{が最大値をとる}

x = 0 ∈ ( − 2, 2)

^では、

f ^′ (0)= 0

^です。こ

れがロルの定理が主張していることです。

一方

f (x)

^{が最小値をとる}

x = ± 2 ̸∈ ( − 2, 2)

^では、

f ^′ ( ± 2) = ∓ 4 ̸ = 0(

^複号同順

)

です。端点はロルの定理の守備範囲外です。

0

x- 6

y

y = −x²+ 1

−2 2

−3 1

(7)

今、

f (x)

^{を考える範囲を閉区間}

[ − 2, 0]

^{に狭めても、}

f (x)

^はも

ちろん連続で、開区間

( − 2, 0)

^{で微分可能です。}

x = − 2

^から

x = 0

^{までの平均変化率は}

f (0) − f ( − 2)

0 − ( − 2) = 1 − ( − 3)

0 − ( − 2) = 2

ですが、

x = − 1 ∈ ( − 2, 0)

^{でちょうど}

f ^′ ( − 1) = 2

^{になります。}

これが平均値の定理の主張していることです。

0 -

x 6

y

y = −x²+ 1

−2

−3

1

(8)

代わりに、関数

g (x) = − 2 | x | + 1

^を閉区間

[ − 2, 2]

^{で考えても、}

もちろん連続です。

2 | x | ≥ 0

^より

g (x) ≤ 1

^なので、

x = 0 ∈ [ − 2, 2]

^{のとき等号成}

立で最大値

g (0) = 1

^{をとります。}

一方

2 | x | ≤ 4 (x ∈ [ − 2, 2])

^より

g (x) ≥ − 3

^なので、

x = ± 2 ∈ [ − 2, 2]

のとき等号成立で最小値

g ( ± 2) = − 3

^をとり

ます。

ここでもやはり、最大値並びに最小値の存在だけなら、具体的に計算しなくても、ワイエルシュトラスの定理が保証してくれます。

(9)

さらに、この

g (x)

^は開区間

( − 2, 2)

^上

x = 0

^{以外では微分可能}

で、導関数は

f ^′ (x) = 2 (x ∈ ( − 2, 0)), − 2 (x ∈ (0, 2))

^です。

しかし、

f (x)

^{が最大値をとる}

x = 0 ∈ ( − 2, 2)

^{では、残念なが}

ら微分不可能で、

f ^′ (0)

は存在しません。微分不可能な点はロルの定理の守備範囲外です。

0

x- 6

y

y =−2|x|+ 1

−2 2

A AA

AA

−3 A

1 接線ではない！

(10)

たとえば、地表すれすれからボールを真上に投げ上げたとき、

途中から重力に負けて落ちて来ますが、このときの高さ

y

^を時刻

x

に関する関数と考えると、

(

高校の物理でも学んだように

)

^２次

関数

y = − a(x − b) ² + c

になります。微分可能で、最初と最後が同じ高さなので、途中で一瞬だけ動きが止まりますが、それは一番高いところにいる瞬間です

(

^{ロルの定理}

)

^。

地表 -

時刻空 6

最高点

！

(11)

東京大阪間

(

^{およそですが}

)500km

^を

2.5

時間で走る新幹線は、平

均時速

200km

ですが、発車直後や停車直前は当然ゆっくり走るの

で、逆に時速

200km

より速く走っている時間帯も当然あるわけです。

従って、加速または減速する途中で、ちょうど時速

200km

^の瞬

間が、この場合

(

仮に途中駅で一切停車しなかったとしても

)

^少な

くとも２回はあることが、

f (x) (

^位置情報

)

^{についての平均値の定}

理を用いなくても、

f ^′ (x) (

^速度

)

についての中間値の定理から導かれそうに思えますが、そのためには

f ^′ (x)

^が連続

(

^{運転がそこそこ}

滑らか

)

であることが前提として必要です。

この前提が満たされなくても、

f ^′ (x)

^{が存在しさえすれば}

(

^速度

が計れさえすれば

)

^{ちょうど時速}

200km

の瞬間があることを保障するのが、平均値の定理と言うわけです。

(12)

２回あることを示すには、時速

200km

を超えている時間帯で、

時間を区切って適用すれば大丈夫です。

東京 -

時刻新大阪 6

！！

微分可能だが導関数は連続でないような関数については、次回お話します。

(13)

次に、続いて教科書

§ 5

で扱われている逆関数について、教科書と被る部分も多いのですが、後の利用に備えて、少し整理しておきましょう。

合成関数の微分の公式

(f ◦ g ) ^′ (x) = f (g(x)) ^′ = f ^′ (g(x))g ^′ (x)

に、あらかじめ

x

^と

y

^{を入れ替えた}

x = f (y )

^の逆関数

y = f ⁻ ¹ (x)

^を、

g(x) = f ⁻ ¹ (x)

^{として代入すると、}

1 = (x) ^′ = (f ◦ f ⁻ ¹ ) ^′ (x) = f (f ⁻ ¹ (x)) ^′ = f ^′ (f ⁻ ¹ (x))(f ⁻ ¹ ) ^′ (x)

より、逆関数の微分の公式

(f ⁻ ¹ ) ^′ (x) = 1

f ^′ (f ⁻ ¹ (x))

が得られました。

(14)

さて、三角関数は一般に一対一ではないので、一対一になるように定義域を

x =











sin y (y ∈ [ − ^π ₂ , ^π ₂ ]) cos y (y ∈ [0, π]) tan y (y ∈ ( − ^π ₂ , ^π ₂ )) cot y(:= _tan ¹ _y ) (y ∈ (0, π))

のように制限して、

y =











Sin ⁻ ¹ x (x ∈ [ − 1, 1]) Cos ⁻ ¹ x (x ∈ [ − 1, 1]) Tan ⁻ ¹ x (x ∈ R)

Cot ⁻ ¹ x (x ∈ R)

により逆三角関数を定義しました

(

^教科書

53

^〜

55

^頁参照

)

^。

(15)

0

x- 6

y

y = Sin⁻¹x

−1 1

−^π₂

π 2

y = Cos⁻¹x π

0

x- 6

y

y = Tan⁻¹x

−^π₂

π 2

π y = Cot⁻¹x

(16)

一方、それぞれの定義域の範囲では、

(sin y) ^′ = cos y =

√

1 − sin ² y (cos y) ^′ = − sin y = − √

1 − cos ² y (tan y) ^′ = _cos ¹

₂

_y = 1 + tan ² y

(cot y) ^′ = − _sin ¹

²

_y = − 1 − cot ² y

なので、逆関数の微分の公式から、

(Sin ⁻ ¹ x) ^′ = √ ¹

1 − sin

²

(Sin

⁻¹

x) = ^√ ¹

1 − x

²

(x ∈ ( − 1, 1)) (Cos ⁻ ¹ x) ^′ = ¹

− √

1 − cos

²

(Cos

⁻¹

x) = − ^√ ₁ ¹ ₋ _x

2

(x ∈ ( − 1, 1)) (Tan ⁻ ¹ x) ^′ = ¹

1+tan

²

(Tan

⁻¹

x) = _1+x ¹

₂

(Cot ⁻ ¹ x) ^′ = ¹

− 1 − cot

²

(Cot

⁻¹

x) = − _1+x ¹

²

が得られます

(

^教科書

57

^頁の問

)

^。

(17)

一方、双曲線関数

(

^教科書

41,45

^頁参照

)

^も

x = cosh y

^は一対一

ではないので、一対一になるように定義域を

x =











sinh y(:= ^e

^y

⁻ ₂ ^e

⁻^y

) (y ∈ R)

cosh y(:= ^e

^y

^+e ₂

⁻^y

) (y ∈ [0, + ∞ )) tanh y(:= ^e _e

^y_y

⁻ _+e ^e

⁻₋^y_y

) (y ∈ R)

coth y(:= _e ^e

^y_y

^+e ₋ _e

⁻₋^y_y

) (y ∈ ( −∞ , 0) ∪ (0, + ∞ ))

のように制限して、

y =











sinh ⁻ ¹ x (x ∈ R)

Cosh ⁻ ¹ x (x ∈ [1, + ∞ )) tanh ⁻ ¹ x (x ∈ ( − 1, 1))

coth ⁻ ¹ x (x ∈ ( −∞ , − 1) ∪ (1, + ∞ ))

により逆双曲線関数を定義します。

(18)

0 - x 6

y

y = sinh⁻¹x

1

y = Cosh⁻¹x

0

x- 6

y

y = tanh⁻¹x

−1 1

y = coth⁻¹x

(19)

一方

cosh ² y − sinh ² y = 1

より、それぞれの定義域の範囲では、

(sinh y) ^′ = cosh y =

√

sinh ² y + 1 (cosh y) ^′ = sinh y =

√

cosh ² y − 1 (tanh y) ^′ = ¹

cosh

²

y = 1 − tanh ² y (coth y) ^′ = − _sinh ¹

²

_y = 1 − coth ² y

なので、逆関数の微分の公式から、

(sinh ⁻ ¹ x) ^′ = √ ¹

sinh

²

(sinh

⁻¹

x)+1 = ^√ ¹

x

²

+1

(Cosh ⁻ ¹ x) ^′ = √ ¹

cosh

²

(Cosh

⁻¹

x) − 1 = ^√ ¹

x

²

− 1 (x ∈ (1, + ∞ )) (tanh ⁻ ¹ x) ^′ = ¹

1 − tanh

²

(tanh

⁻¹

x) = ₁ ₋ ¹ _x

₂

(coth ⁻ ¹ x) ^′ = ¹

1 − coth

²

(coth

⁻¹

x) = ₁ ₋ ¹ _x

₂

が得られます。

(20)

以上で得られた導関数を列挙すると、

√ 1

1 − x

²

(x ∈ ( − 1, 1)) − ^√ ₁ ¹ ₋ _x

2

(x ∈ ( − 1, 1))

1 1+x

²

(x ∈ R) − _1+x ¹

²

(x ∈ R)

√ 1

x

²

+1 (x ∈ R) ^√ ¹

x

²

− 1 (x ∈ (1, + ∞ ))

1 1 − x

²

(x ∈ ( − 1, 1)) ₁ ₋ ¹ _x

₂

(x ∈ ( −∞ , − 1) ∪ (1, + ∞ ))

となり、基本的な有理関数、無理関数が並びます。

これらは、この講義でも後で扱う積分の内、特に置換積分において、大変重要な役割を果たします。

逆双曲線関数

sinh ⁻ ¹ x, Cosh ⁻ ¹ x, tanh ⁻ ¹ x, coth ⁻ ¹ x

^を具体的

に求め

( log

^{を用いて表し}

)

、それらを微分することで、今回求めた微分の公式を、確かめてみましょう。

(21)

第４回練習課題の解答

x ̸ = 0

^のとき、

g ^′ (x) = (x ² ) ^′ sin 1

x + x ²





sin 1 x





′

= 2x sin 1

x + x ²





− 1

x ² cos 1 x





= 2x sin 1

x − cos 1

x

解析 I ・講義ノート

I

(2020

6

16

(

)

)

§ 5

§ 3

(

)

§ 3

[a, b]

[a, b]

(a, b)

(

)

(

)

f (x)

[a, b]

f (a) = α, f (b) = β

α < β (β < α)

γ ∈ (α, β )((β, α)) (

)

f (c) = γ

c ∈ (a, b)

(

)

f (c

) = max

f (x) (

)

f (c

) = min

f (x) (

)

c

, c

∈ [a, b]

f (x)

(a, b)

α = β

f

(c) = 0

c ∈ (a, b)

f

(c) = β − α

b − a (

(

))

c ∈ (a, b)

f (x) = − x 2 + 1

[ − 2, 2]

x 2 ≥ 0

f (x) ≤ 1

x = 0 ∈ [ − 2, 2]

f (0) = 1

x 2 ≤ 4 (x ∈ [ − 2, 2])

f (x) ≥ − 3

x = ± 2 ∈ [ − 2, 2]

f ( ± 2) = − 3

f (x)

( − 2, 2)

f ′ (x) = − 2x

f (x)

x = 0 ∈ ( − 2, 2)

f ′ (0)= 0

f (x)

x = ± 2 ̸∈ ( − 2, 2)

f ′ ( ± 2) = ∓ 4 ̸ = 0(

)

f (x)

[ − 2, 0]

f (x)

( − 2, 0)

x = − 2

x = 0

f (0) − f ( − 2)

f (x) = − x ² + 1

x ² ≥ 0

x ² ≤ 4 (x ∈ [ − 2, 2])

f ^′ (x) = − 2x

f ^′ (0)= 0

f ^′ ( ± 2) = ∓ 4 ̸ = 0(

f ^′ ( − 1) = 2

f ^′ (x) = 2 (x ∈ ( − 2, 0)), − 2 (x ∈ (0, 2))

f ^′ (0)

y = − a(x − b) ² + c

f ^′ (x) (

f ^′ (x)

f ^′ (x)

(f ◦ g ) ^′ (x) = f (g(x)) ^′ = f ^′ (g(x))g ^′ (x)

y = f ⁻ ¹ (x)

g(x) = f ⁻ ¹ (x)

1 = (x) ^′ = (f ◦ f ⁻ ¹ ) ^′ (x) = f (f ⁻ ¹ (x)) ^′ = f ^′ (f ⁻ ¹ (x))(f ⁻ ¹ ) ^′ (x)

(f ⁻ ¹ ) ^′ (x) = 1

f ^′ (f ⁻ ¹ (x))

sin y (y ∈ [ − ^π ₂ , ^π ₂ ]) cos y (y ∈ [0, π]) tan y (y ∈ ( − ^π ₂ , ^π ₂ )) cot y(:= _tan ¹ _y ) (y ∈ (0, π))

Sin ⁻ ¹ x (x ∈ [ − 1, 1]) Cos ⁻ ¹ x (x ∈ [ − 1, 1]) Tan ⁻ ¹ x (x ∈ R)

Cot ⁻ ¹ x (x ∈ R)

(sin y) ^′ = cos y =

1 − sin ² y (cos y) ^′ = − sin y = − √

1 − cos ² y (tan y) ^′ = _cos ¹