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11.1. (中間値の定理) (再)

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Academic year: 2021

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(1)

微分積分学概論

AI

要約

NO.11

連続関数の性質

定理

11.1. (中間値の定理) (再)

関数

f

が閉区間

[a, b]

で連続

(すなわ

ち、[a, b] の各点で連続)とする。このとき

f (a)

と

f(b)

の中間の値

γ

にたいして、

f(c) = γ

をみたすような

c ∈ [a, b]

が存在する。

定理

11.2 (

最大値の定理

).

有界閉区間

[a, b]

上の連続関数は必ず最大 値を持つ。

この定理は位相空間論においては「コンパクト集合の像はコンパクトである」と

いう定理

(あるいはその系の「コンパクト集合上の連続関数は最大値を持つ」という

定理)に一般化される。

問題

11.1.

閉区間

[0, 1]

上で定義された実数値連続関数

f(x)

が、任 意の

x ∈ [0, 1]

において

f(x) ̸ = 0

を満たしたとする。このとき、ある

ϵ

0

> 0

が存在して、

∀ x ∈ [0, 1]

にたいして

| f(x) | > ϵ

0 を満たすことを証明しなさい。

参照

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