12. 最大・最小問題 - 九州大学（KYUSHU UNIVERSITY）

§ 12. ^{最大・最小問題}

有界閉集合：無限に広がっていない（有界），境界をすべて含む集合（閉集合）．

（きちんとした定義は教科書 §7，p. 205に委ねることにする．）

例 12.1. 円の内部または境界からなる集合

{(x, y)2R² ; (x a)²+ (y b)² 5r²} (r >0) は有界閉集合．円周 {(x, y) ; (x a)²+ (y b)² =r²}も有界閉集合．

定理 12.2. 有界閉集合A上で連続な函数fはAで最大値も最小値もとる．

以下現れる函数は連続であるとする．

例 12.3. g(x, y) :=x³+y³ 3xy= 0の条件下でf(x, y) = xyの極値を調べる．

F(x, y, ) := xy (x³+y³ 3xy)とおくと，

Fx =y 3 x²+ 3 y, Fy =x 3 y²+ 3 x, F = (x³+y³ 3xy).

ゆえに，Fx =Fy =F = 0 () 8>

<

>:

y= 3 (x² y) · · · ¹ x= 3 (y² x) · · · ²

x³+y³ 3xy= 0 · · · ³

x, yの一方が0なら，3 より他方も0．原点は :g(x, y) = 0の特異点であるが，

は原点の近くで第3象限以外の3個の象限に現れるので，f(x, y) =xyは原点の近 くで正にも負にもなる．ゆえにf(0,0) = 0は極値ではない．

 以下xy6= 0とする． 1 ， 2 より 6= 0であって，

x² y

y = y² x

x

⇣= 1 3

⌘.

分母を払うとx³ =y³を得て，x=yを得る．これを 3 に代入すると，x²(2x 3) = 0 となって，x = ³₂ = yを得る．このとき = ²₃ である．f(³₂,³₂) = ⁹₄ は，g(x, y) = 0 の条件下における最大値であって，極大値でもある．実際，曲線 と，境界も込め た第1象限との共通部分 ₊は有界閉集合である（宿題参照）ので，f(x, y)は ₊で 最大値をとる．f(0,0) = 0であるので，この最大値は必ず ₊の内部で達している ので，極大値でもある．さらに ₊以外の(x, y) 2 ではf(x, y) < 0であるから，

f(³₂,³₂)は 全体でのfの最大値でもある．

【変数や条件が多い場合の極値問題】

定理 12.4. g(x) = 0の下で函数f(x)がg = 0の通常点aで極値をとるなら，新た に変数 2Rを増やして，F(x, ) :=f(x) g(x)を考えるとき，9↵2R s.t.

Fxj(x,↵) = 0 (j = 1, . . . , n), F (x,↵) = 0.

1

例 12.5. 条件x²+ (y 1)²+ (z 2)² = 3a² (a >0)の下でのf(x, y, z) = x+y+z の極値を求めよう．

F(x, y, z, ) := x+y+z (x²+ (y 1)²+ (z 2)² 3a²) とおくと，

Fx = 1 2 x, Fy = 1 2 (y 1), Fz = 1 2 (z 2) であるから，Fx =Fy =Fz =F = 0 ()

1 = 2 x= 2 (y 1) = 2 (z 2) · · · ¹ , x²+ (y 1)²+ (z 2)² = 3a² · · · ²

1 より出るx=y 1 =z 2 = 1

2 を 2 に代入して， =± 1

2a．したがって (x, y, z) = (±a, ±a+ 1, ±a+ 2) （複号同順）．

さて，x² + (y 1)²+ (z 2)² = 3a² (a > 0)を０みたす点の集合 は球面であり，

有界閉集合である． には特異点はないので（各自確かめよ），f が 上でとる最 大値，最小値はそれぞれ極大値，極小値でもある．

定義 12.6. (1) なめらかな3変数函数g, hに対して，

✓gx gy gz

hx hy hz

◆

をgとhの Jacobi行列という．

(2) 空間曲線 : g = h = 0上の点でそこでのJacobi行列が

eeeeeeeeeeeeeeeeeefull rank でないとき，

すなわち階数が1または0のとき，その点を の特異点という．特異点でない点を 通常点という．

定理 12.7. 条件g(x, y, z) = h(x, y, z) = 0の下での3変数函数f(x, y, z)が，曲線 :g =h= 0上の通常点(a, b, c)で極値をとるなら，新たに変数 , µを増やして

F(x, y, z, , µ) :=f(x, y, z) g(x, y, z) µh(x, y, z) を考えるとき，実数↵, が存在して，点(a, b, c,↵, )において

Fx =Fy =Fz =F =Fµ= 0.

証明. 点(a, b, c)でdet

✓gy gz

hy hz

◆

6

= 0と仮定しよう（他の場合も同様である）．陰 函数定理から，(a, b, c)の近くで，g(x, y, z) = h(z, y, z) = 0からy='(x)，z = (x) と解ける．H(x) :=f(x,'(x), (x))はx=aで極値をとるので，H⁰(a) = 0．ゆえに

fx(a, b, c) +fy(a, b, c)'⁰(a) +gz(a, b, c) ⁰(a) = 0.

一方，xの近くで恒等的にg(x,'(x), (x)) = 0かつh(x,'(x), (x)) = 0であるから g_x(a, b, c) +g_y(a, b, c)'⁰(a) +g_z(a, b, c) ⁰(a) = 0,

h_x(a, b, c) +h_y(a, b, c)'⁰(a) +h_z(a, b, c) ⁰(a) = 0.

2

(X, Y, Z) = (1,'⁰(a), ⁰(a))は斉次連立一次方程式 8>

<

>:

f_x(a, b, c)X+f_y(a, b, c)Y +f_z(a, b, c)Z = 0 g_x(a, b, c)X+g_y(a, b, c)Y +g_z(a, b, c)Z = 0 h_x(a, b, c)X+h_y(a, b, c)Y +h_z(a, b, c)Z = 0

の非自明な解である．ゆえに係数行列式は正則ではない．仮定より，係数行列中の 下2行の2⇥3行列の階数が2であるから，(a, b, c)において，↵, 2Rが存在して

(fx, fy, fz) = ↵(gx, gy, gz) + (hx, hy, hz)

と書ける． ⇤

例 12.8. x+y+z = 4，xy+yz+zx= 5の条件下でのf(x, y, z) :=xyzの最大最 小（極大極小）．

解. g(x, y, z) :=x+y+z 4，h(x, y, z) =xy+yz+zx 5とおくと，Jacobi行列 は

✓gx gy gz

hx hy hz

◆

=

✓ 1 1 1

y+z z+x x+y

◆

であり，これが階数1であるためには，

y+z =z+x=x+y，すなわちx=y=zであり，g(x, y, z) = 0よりz =y=z = 4 となるが，h(x, y, z) = 0をみたさない．ゆえに :g(x, y, z) =h(x, y, z) = 0上には3

特異点はない．

 そこでF(x, y, z) :=xyz (x+y+z 4) µ(xy+yx+zx 5)とおくと，

8>

<

>:

Fx =yz µ(y+z) Fy =zx µ(z+x) Fz =xy µ(x+y)

(F = (x+y+z 4) F_µ= (xy+yz+zx 5) ゆえにFx =Fy =Fz =F =Fµ= 0 ()

8>

<

>:

yz = +µ(y+z) · · · ¹

zx= +µ(z+x) · · · ²

xy= +µ(x+y) · · · ³

(x+y+z = 4 · · · ⁴

xy+yz +zx= 5 · · · ⁵

x 6= yと仮定すると， 1 2 より得るz(y x) = µ(y x)から，z = µ．同様に y 6= zと仮定すると，2 3 より得るx(z y) = µ(z y)から，x = µ．そして z 6=xと仮定すると， 1 3 より得るy(z x) =µ(z x)から，y =µ．したがっ

て，x, y, zのすべてが異なるということはない．

(i)x=yのとき，4 は2x+z = 4，5 はx²+ 2xz = 5となる．z = 4 2xを後者に代 入すると，3x² 8x+ 5 = 0，すなわち，(3x 5)(x 1) = 0となり，x= 5

3,1．この ときz = 2

3,2．あとはx, y, zの対称性により，極値を与える点の候補は⇣5 3, 5

3, 2 3

⌘，

3

(1,1,2)でのみ考えてよい．f⇣5 3, 5

3, 2 3

⌘= 50

27，f(1,1,2) = 2．  さて :g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = 0上の点は，

x²+y²+z² = (x+y+z)² 2(xy+yz+zx) = 6 をみたすので，原点を中心とする半径p

6の球面上にある．閉集合であることは明 らかであるので， は有界閉集合．ゆえにf(x, y, z)は 上で最大値と最小値をと る． に特異点がないことより，最大値・最小値は極値候補の中にある．ゆえに 50 は最小かつ極小，2が最大かつ極大である． 27

定理 12.9 (逆写像定理). :x= (x, y)7! u= (u, v)はなめらか¹で，そのJacobi 行列J (x) =

✓ux uy

vx vy

◆

はx=x0で正則であると仮定する．このとき，u0 := (x0) の近くで定義されたなめらかな :u7!xで， の逆写像になっているものが存在 する．すなわち， はx0の近傍からu0の近傍へのなめらかな全単射であって， 

( (u)) =u, ( (x)) = x, J ( (x)) =J (x) ¹.

証明. 4変数のベクトル値函数F(u,x) = u+ (x)を考える²．そのJacobi行列 JF(u,x)は2⇥4行列で

J_F(u,x) = E J (x) （Eは2⇥2の単位行列）

となる．右側の2⇥2行列J (x)について，detJ (x0) 6= 0であるから，陰函数定 理より(u0,x0)の近くで，なめらかな により，F(u,x) = 0からx = (u)と解 ける．このとき，u= ( (u))であるから，合成函数（写像）の微分により，E = J ( (u))J (u)が成り立つ．ゆえにu= (x)において，J ( (x)) =J ( (x)) ¹ が成り立つ．

 またG(x) := ( (x)) xとおくと，

JG(x) = J ( (x))J (x) E =O （零行列）．

G(x, y) = (G1(x, y), G2(x, y))とすると，これはx=x0の近くでG1, G2が定数，す なわちGが定ベクトルであることを示している．ゆえにG(x) =G(x0) = 0．よって ( (x)) = xであり，すでに示したことからJ ( (x)) =J (x) ¹が成り立つ． ⇤

1u, vはx, yのなめらかな函数．

2ここではuは独立変数．

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