本書は、工業調査会から発行されていた『Excel で解く配管とポンプの流れ』 （ISBN978-4-7693-4219-9、2008 年 9 月発行）の内容に一部修正を加えて再発行 するものとなります。 本書を発行するにあたって、内容に誤りのないようできる限りの注意を払いました が、本書の内容を適用した結果生じたこと、また、適用できなかった結果について、 著者、出版社とも一切の責任を負いませんのでご了承ください。
Excel は米国 Microsoft Corporation の米国およびその他の国における登録商標で す。その他、本書に掲載されている会社名・製品名は一般に各社の登録商標または 商標です。 本書は、「著作権法」によって、著作権等の権利が保護されている著作物です。本 書の複製権・翻訳権・上映権・譲渡権・公衆送信権（送信可能化権を含む）は著作 権者が保有しています。本書の全部または一部につき、無断で転載、複写複製、電 子的装置への入力等をされると、著作権等の権利侵害となる場合があります。また、 代行業者等の第三者によるスキャンやデジタル化は、たとえ個人や家庭内での利用 であっても著作権法上認められておりませんので、ご注意ください。 本書の無断複写は、著作権法上の制限事項を除き、禁じられています。本書の複写 複製を希望される場合は、そのつど事前に下記へ連絡して許諾を得てください。 オーム社開発部「＜書名を記載＞」係宛、 E-mail（kaihatu@ohmsha.co.jp）または書状、FAX（03-3293-2825）にて
は じ め に
管路とポンプの流れ計算は，機械・化学・建築・土木工学など広い分野を横断する基礎 的なテーマである。そこで用いられるベルヌーイの定理は１８世紀中ごろ発見され，比較 的新しい管路網流れ計算法であるハーディ・クロス法も創案されてからすでに約７０年を 経ている，学問としては歴史のあるテーマである。 一方，これまで管路設備といえば工場部門が主流であったが，最近では民生部門のビル や施設が高層・大型化して，それに付帯する空気調和・衛生用の管路設備が大きな発展を 見せている。さらに，地球温暖化対策の観点から設備の省エネルギー性が重視され，管路 要素の代表格であるポンプの省エネルギーが盛んに行われるようになった。ポンプの省エ ネルギーを確実・効果的に実施するためには，管路流れを精度良く計算することが不可欠 である。このように，管路流れ計算は実用面で重要性を増している新しいテーマでもある。 さて，管路流れ計算は，ベルヌーイの定理と連続の式を連立方程式にして，各管路要素 に流れる流量や発生する圧力損失などを求めるのがその中身である。基本式は単純である が，ベルヌーイの定理には速度の自乗項が入っているので非線形であり，方程式は容易に 解けない場合が多い。これに加えて，流れ計算の対象となる工場・ビルの管路は複雑に入 り組んでおり，この複雑さが計算をさらに難しいものにしている。このような事情で，こ れまでは数値計算やプログラミングの知識，あるいは専用解析ソフトを持たなければ，基 本式から先へは進めなかったのである。 本書では，このような状況を克服するために考案された現場技術者のための新しい管路 流れ計算法を紹介する。この計算法は，パソコン汎用ソフトの標準機能だけを使って複雑 な管路流れを解くことができる。数値計算やプログラミングの知識は不要である。本計算 法は「総管路損失動力最小化の原理」と，マイクロソフト社製表計算ソフト Excel の分析 機能「ソルバー」とを二本柱としている。前者は，「管路系には固有の流れ汎関数があり， 汎関数が最小になるように各管路要素に流れる流量が決まる」という変分原理である。後 者は，オペレーションズ・リサーチ分野の最適化問題を解くために用意された機能である。 複数のポンプが管路網に配置された複雑な管路の流れでも，Excel ワークシート上に所定 の流れ計算表を組み立てそこに汎関数を入力しさえすれば，後は Excel ソルバーが数値計 算機能を駆使してその最小条件を探索計算し，その結果をわれわれに示してくれる。 本書では，内容を大きく基礎・構築・実践・応用編の４段階に分け，１段１段しっかり と積み上げるように新しい計算法を説明した。基礎編の第１章では管路流れの基本事項を， 第２章では流れのエネルギーを説明した。分岐流れの検討では，エネルギー流束を使って その諸性質を明らかにした。構築編の第３章を新しい計算法の理論的根拠の説明に充てた。 この核心部分はささやかな「思考のジャンプ」である。読者諸兄も論理や数式をフォロー ／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／はじめに／はじめに 2011.01.25 14.52.22 Page 3して，計算法を創作する醍醐味を味わっていただきたい。第４章では前章の結果を基にし た管路要素の特性やその部分汎関数を説明した。部分汎関数は見慣れない関数であるが， 計算をやりやすくするための「計算用パーツ」と考えていただければよい。実践編の第５ 章では，Excel ワークシート上で管路流れ計算をするための基本的な約束事を解説した。 第６章は「ゴールシーク」と「グラフ・近似式機能」について説明した。これらの機能は 本計算法のサブツールとして欠かせないものである。第７章では簡単なものから複雑なも のへと例題を並べ，詳細な説明を加えた。最後の応用編の第８章では，気体流れへの適用 について解説した。尚，Excel は執筆時点での最新バージョンである Excel２００７を用いた。 著者は，財団法人省エネルギーセンター主催の技術講座「Excel で解く配管流れ」の講 師を十数回経験した。この経験を踏まえて本書の構成を工夫し，読者が理解し難い箇所は 詳しく説明した。内容については十分チェックをしたつもりではあるが思わぬ思い違いが 残っているとも限らない。万一，そのような箇所にお気づきの場合は，ぜひご指摘いただ ければと考えている。なお，本書の執筆には，巻末に掲げた参考文献や他の多くの関連書 籍を参考にさせていただいた。ここに各著者に感謝の意を表する次第である。 最後に，著者は約３０年間工場勤務を経験した技術者である。７年前の雑誌「化学装置」 への投稿がきっかけとなりこの計算法が生まれ，そして念願の専門書を書くチャンスをい ただいた。特に，工業調査会の一色取締役には，この計算法の誕生から本書出版までのす べての場面で有益な助言やご指導を頂いた。ここに記して深い感謝の意を表したい。 ２００８年５月 板東 修
オーム社からの再発行にあたって
この本は工業調査会の業務停止に伴い，世に出て２年足らずで絶版となりましたが，オ ーム社のご厚意で再発行の運びとなりました。人間でいうと生き返った訳で，こんな小さ な書物にも波瀾万丈の一生があるのかと感じ入った次第です。再発行を機に，これまで気 になっていた字句・図の訂正を行いました。 最後に，このような幸運な機会を与えていただいた読者の皆様，建築設備フォーラム管 理人野呂田様，オーム社開発部の方々，そして，いつも私を支えてくれている家族に感謝 したいと思います。 ２０１１年２月 板東 修 ／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／はじめに／はじめに 2011.01.25 14.52.22 Page 4目
次
は じ め に……… 3［基礎編］
第１章
管路流れの基本
……… 9 １．１ 流体の性質 ……… 9 １．２ 層流と乱流 ……… 11 １．３ 連 続 の 式 ……… 15 １．４ ベルヌーイの定理とその実用式 ……… 17第２章
管路流れとエネルギー
………21 ２．１ 管路の損失水頭 ……… 21 ２．２ 流れが運ぶエネルギーと動力収支 ……… 23 ２．３ ポンプと管路流れ ……… 27 ２．４ 全水頭の一意性 ……… 33［構築編］
第３章
新しい管路流れ計算法の概要
……… 35 ３．１ 管路流れの一般的な解法 ……… 35 ３．２ 総管路損失動力最小化の原理と汎関数 ……… 38 ３．３ 一般管路系の流れ汎関数導入 ……… 41 ３．４ 汎関数の修正と部分汎関数 ……… 44 ３．５ Excel ソルバーと新しい管路流れ計算法 ……… 47第４章
管路要素特性とその部分汎関数
……… 51 ４．１ 支 流 ……… 51 ４．１．１ 直管（ダルシー・ワイスバッハの式）……… 511
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／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／目次／目次 2011.01.25 11.42.52 Page 5４．１．２ 直管（ヘーゼン・ウイリアムスの式）……… 54 ４．１．３ 局部管 ……… 55 ４．２ 流出・流入 ……… 59 ４．２．１ 自然流出入と固定流出入 ……… 59 ４．２．２ 自然流入 ……… 60 ４．２．３ 自然流出 ……… 62 ４．２．４ 固定流出入 ……… 63 ４．３ ポ ン プ ……… 63
［実践編］
第５章
新しい計算法と Excel
……… 69 ５．１ 新しい計算法の流れ ……… 69 ５．２ 計算用管路図と記号 ……… 69 ５．３ 流れ計算表 ……… 72 ５．４ ソルバー操作…【例題１．０】固定流出入のある２ループ管路 ……… 73 ５．４．１ 管路図と計算表 ……… 74 ５．４．２ ソルバー実行 ……… 76 ５．４．３ 計算結果の検討 ……… 80 ５．５ 新しい計算法と管路図 ……… 82第６章
Excel の便利な計算機能
……… 85 ６．１ ゴールシーク ……… 85 ６．２ グラフ・近似曲線機能 ……… 88 ６．３ 最小二乗法とソルバー ……… 93第７章
液体管路流れ例題
……… 97 ７．１ 【例題１．１】自然流出入のある２ループ管路 ……… 97 ７．２ 【例題１．２】自然流出入のある３ループ管路 ……… 101 ７．３ 【例題１．３】管路網（ダルシー・ワイスバッハの式）……… 104 ７．４ 【例題１．４】管路網（へーゼン・ウイリアムスの式）……… 110 ７．５ 【例題１．５】ポンプのある管路 ……… 114 ７．６ 【例題１．６】ポンプと分岐のある管路 ……… 116 ７．７ 【例題１．７】ポンプと分岐のある管路（速度水頭を考慮）……… 120 ／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／目次／目次 2011.01.25 11.42.52 Page 6７．８ 【例題１．８】並列運転ポンプと管路網 ……… 123 ７．９ 【例題１．９】直列運転ポンプと管路網 ……… 127
［応用編］
第８章
気体の管路流れ
……… 133 ８．１ 常圧気体の管路流れ ……… 133 ８．１．１ 常圧気体の流れと汎関数 ……… 133 ８．１．２ 【例題２．１】空気調和用ループダクトの流れ ……… 138 ８．２ 一般的な気体管路流れ ……… 141 ８．２．１ 気体管路流れの基本式 ……… 141 ８．２．２ 気体管路流れの汎関数 ……… 144 ８．２．３ 【例題２．２】圧縮空気管路流れ ……… 145 補足：Excel２００３以前のバージョンを使っている読者のために ……… 152 参考文献 ……… 155 索引 ……… 1571
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／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／目次／目次 2011.01.25 11.42.52 Page 7本書で取り上げた Excel のワークシート類は，オーム社の Web ページよりダウンロー ドできます。 http://www.ohmsha.co.jp/ の「書籍連動／ダウンロードサービス」の『Excel で解く配管とポンプの流れ』ページ からダウンロードしてください。 ※ダウンロードサービスは，やむを得ない事情により，予告なく中断・中止する場合が あります。 ／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／目次／目次 2011.01.25 11.42.52 Page 8
軸力 p 受圧面上 液体自重 自由表面 噴流 （a）自重による圧力 （b）ピストンによる圧力 （c）流れによる圧力 平板
第
１
章
［基礎編］
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管路流れの基本
最初の章では管路流れの基本事項について述べる。先ず，流体の性質や層流・乱流に触 れたあと，連続の式，ベルヌーイの定理について述べる。単位はすべて国際単位系（SI 単位）を用いる。流体の性質
流体の性質に入る前に，常に流体に伴う圧力について触れておこう。圧力はさまざまな 形で流体内に発生する。例えば，図１．１の（a）のように自由表面を持つ静止した液体内で はその上部にある液体の自重による圧力が，（b）のピストン内の流体では軸力 F による圧 力が発生する。ピストン内の圧力はどの向きの作用面に対しても垂直に働く。（c）の噴流 に向き合う平板表面では，流れの向きを変える力の反力としての圧力が発生する。圧力は 作用面単位面積当たり垂直に作用する力の大きさで表す。圧力の SI 単位はパスカル Pa 図１．１ 圧力の種類1
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／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／１章／１章 2011.01.25 11.51.18 Page 9圧力 せん断応力 運動 固体 せん断応力 流動 流体速度 作用面 固体 （a）固体摩擦 （b）流体摩擦 （c）圧力とせん断応力の方向 圧力 容器 流体 圧力 ［＝N／m２］である。圧力には絶対圧力とゲージ圧力の２通りの表し方がある。絶対圧力は 絶対真空を，ゲージ圧力は大気圧（＝０．１０１３MPa）を基準とした圧力で，ふたつの圧力 表示の間には， （ゲージ圧力）＝（絶対圧力）−（大気圧） の関係がある。この定義によって，ゲージ圧力表示では大気圧より高い圧力は正，大気圧 より低い圧力は負の値をとる。絶対圧力とゲージ圧力を区別する時には，それぞれの圧力 単位の後に絶対（absolute）の abs，ゲージ（gage）の g を付ける。 さて，物体には固体，液体，気体の３形態があり，その内の液体と気体を総称して流体 という。固体とは違い，流体は決まった形を持たない。例えば図１．２では，容器の中の液 体は容器から圧力を受け容器と同じ形に成形される。容器に接していない液体面は重力に よって水平・平滑に保たれる。気体はもっと自由度があり，容器に完全密封しないと四方 八方に拡散してしまう。また，気体と液体とでは圧縮性も違う。圧力をかけると気体の体 積は小さくなるが，液体の体積はほとんど変わらない。つまり，圧力上昇で気体の密度は 大きくなるが，液体の密度はほとんど変わらない。例えば水の場合，圧力が０．１MPa か ら１００MPa に上昇しても密度は５％ 弱しか増えない。この意味で気体を圧縮性流体，液 体を非圧縮性流体という。 図１．３（a）のように固体どうしをすり合わせると，すり合わせ面に摩擦力が働く。流れ ている流体も同様で，（b）のように流体と固体，あるいは速度の異なる流体どうしの間に せん断応力の形の流体摩擦力が働く。また，流体はどんなに小さいせん断応力に対しても 図１．２ 流体を成形する圧力 図１．３ 摩擦とせん断応力
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管路流れの基本 ／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／１章／１章 2011.01.25 11.51.18 Page 10△y τ v V0 V0 上面固体 流体 τ 下面固体
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連続的に変形する。この性質を粘性という。せん断応力の単位は圧力と同じ［Pa］であ るが，（c）のように作用面に対して平行に働く。粘性は自然のあらゆるところで見ること ができる。例えば水溜りを小枝でかき混ぜると小さな流れができる。しかし，かき混ぜる のを止めてしばらくすると元の静止した水溜りに戻る。これは，水が流れに逆らう粘性を 持っている証拠である。粘性を持つ流体を粘性流体，持たない流体を非粘性流体という。 図１．４では互いに平行で間隔Δy［m］の固体面の間に流体があり，上面（固体）がゆ っくりと速度 V０［m／s］で右に動いている。流体は上面の運動に引きずられて流動し，そ の速度は下面の０から上面の V０まで直線的に変化するとしよう。このとき，上下面およ び流体内で発生する粘性せん断応力τは次式で表される。 τ＝μ V０ Δy （１．１） 粘性せん断応力τが速度こう配［＝V０／Δy］に比例するこの関係をニュートンの粘性則， 比例定数μ［Pa・s］を粘性係数という。そして，この粘性則に従う水や空気などをニュー トン流体，そうでない高分子溶液などを非ニュートン流体という。液体の粘性係数は温度 が上がれば低下するが，気体の粘性係数は逆に増加する。層流と乱流
管内を流れる粘性流体の流れの状態は大きく２種類に分類される。これに関する有名な 実験として，上流に色素を添加しガラス管を通る流れの様子を観察するレイノルズの実験 がある（図１．５）。管内速度が小さいあいだは，添加口から出た色素は管軸に平行に流れ 明瞭な線を作る。層状の整然とした流れを形成しているので層流という。速度がある値を 超えると色素の線は途中で乱れ管全体に拡散する。この状態を乱流という。流れが層流と なるか乱流となるかを判断する無次元数がレイノルズ数 Re［―］で，円管路流れの場合 は次式で定義される。 １．２ 層流と乱流 図１．４ 粘性によるせん断応力1
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／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／１章／１章 2011.01.25 11.51.18 Page 11色素添加口 （a）層流 流れ 管 管 （b）乱流 平均速度 粗い管 滑らかな管 流れ 層流 乱流 Re＝ Vd ν （１．２） ここで，V ：管内平均速度［m／s］ d：円管内径［m］ ν：動粘性係数（＝μ／ρ）［m２／s］ ρ：密度［kg／m３］ Reが約２，０００以下では層流，約４，０００以上が乱流とされている。２，０００∼４，０００は層流 から乱流，または乱流から層流に変わる遷移領域である。 層流と乱流とでは，管内の速度分布が違う。管内速度分布を図１．６に示した。層流，乱 流ともに管壁で静止（速度＝０）し，管中心付近で最大速度を持つが以下の点で異なって いる。層流では管内全域がニュートンの粘性則に支配され放物線状の速度分布を持つ。こ の流れはハーゲン・ポアズイユ流れと呼ばれる。速度分布は管表面粗さに影響されず，平 均速度は最大速度の１／２になる。乱流では管壁近くで速度が急激に増加し管中心付近で平 坦になる。速度分布は管表面粗さの影響を受け，滑らかな管は粗い管よりも中央付近が平 坦になる。平均速度は最大速度の約０．７５∼０．８５倍になる。 図１．５ レイノルズの実験 図１．６ 管内速度分布
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管路流れの基本 ／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／１章／１章 2011.01.25 11.51.18 Page 12管中心 レイノルズ応力 粘性せん断応力 （a）層流 （b）乱流 粘性底層 τ τ τ 瞬間速度 管軸方向 時間的平均速度 半径方向 時間的平均速度 時間 速度変動 速度変動 V Vr 0 流体の混合作用 一方，管内せん断応力分布は層流，乱流ともに管中心がゼロの直線分布をとる（図１．７）。 層流の場合は速度分布が放物線状になることから，ニュートンの粘性則に従ってせん断応 力が直線分布になることは理解できる。しかし，乱流のせん断応力は速度分布と粘性則だ けでは説明できない分布である。これは流れの中で起きている不規則な流体の混合によっ て説明される。図１．６では乱流の速度分布を滑らかな曲線で表しているが，これは時間的 平均速度をつないだ線であって，短い時間間隔で観察すると流体のどの部分も微小な空間 的時間的不規則速度変動をしている。図１．８はある点での管軸方向（流れ方向）と半径方 向の速度変動の模式図である。乱れはすべての方向にあり，隣り合う流体どうしは激しく 混ざり合っている。乱流混合作用の結果として，粘性せん断応力とは別のせん断応力が発 生している。これをレイノルズ応力といい，その大きさは流体密度や速度変動の大きさに 比例している。もう一度図１．７の乱流のせん断応力分布に戻ると，管壁近くの速度がゼロ から直線的に増加する粘性底層では粘性せん断応力が主となるが，その他の領域ではレイ ノルズ応力が主となる。この２種類のせん断応力の合計が図に示した直線分布になってい る。また，粘性底層の厚さは０．１mm のオーダーできわめて薄い。このため管内表面が粗 い管では粘性底層は存在せず，すべての領域でレイノルズ応力が支配的となる。このよう に，管内せん断応力分布は層流・乱流ともに同じ形をしているがその中身はまったく異な っている。 １．２ 層流と乱流 図１．７ 管内せん断応力分布 図１．８ 乱流における速度変動と混合作用
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／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／１章／１章 2011.01.25 11.51.18 Page 13整流板 TOTOマニュアル1） 整流網 （a）古い蛇口 （b）最近の蛇口 ここで，２５A 管（d ＝０．０２７６m）内を温度２０℃，圧力０．４MPa の水が流れているとし て，レイノルズ数 Re の大きさを確認してみよう。通常，水の慣用管内平均速度は，０．５ ∼３．０m／s の範囲に設計されるが，ここでは下限値の０．５m／s としよう。動粘性係数は１．００ ×１０−６m２／s であり， Re＝Vd ／ν＝０．５×０．０２７６／（１．００×１０−６）＝１３，８００＞４，０００ となる。管径を細く，速度も小さく設定したにもかかわらず乱流になっている。このこと から，通常の水の管内流れは乱流と考えてよい。 一般的に流れの状態（速度，圧力など）は時間とともに変化する非定常流であるが，す べての点の流れの状態が時間とともに変化しない流れを定常流という。乱流であっても， 流れの状態の時間的平均値に変化がなければ定常流とみなされる。本書では定常流を扱う。 最近は層流や乱流をうまく利用している設備も多い。層流の特性を利用した身近な例で は蛇口がある。一昔前まで，ビジネスホテルの浴室で蛇口を開けて浴槽に湯を入れる時， 大きな音がしていた。図１．９（a）のように蛇口から出る湯は乱流状態で，周りの空気を巻 き込んで白くなり，それが浴槽本体やその中の湯と衝突して大きな音を出していた。とこ ろが，最近は蛇口を開けてもこの騒音がほとんど出ない。（b）のように蛇口から流れ出た 湯はきれいな透明で，浴槽の湯と一体になったかのようにつながる。湯面の乱れも少ない。 蛇口流れに手を当ててもほとんど圧力を感じない。蛇口の構造図を見ると，出口に整流板 と整流網が装着されている。湯は蛇口を出る直前で整流されかつ速度を極力小さく抑えら れている。その結果として見事な層流を実現している。 乱流の特性を逆に利用したものとして，流動抵抗低減剤（DR 剤）がある。水に適量の DR剤を注入すると，水中で DR 剤の棒状ミセルが形成され，これが前述の乱流混合作用 を抑制してレイノルズ応力を小さくする。DR 剤は空気調和用循環水管路等に活用され， 大きなポンプ省エネ効果を上げている。 図１．９ 蛇口出口の流れ
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管路流れの基本 ／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／１章／１章 2011.01.25 11.51.18 Page 14ρ1Q1＝ρ2Q2 （a）流体一般 断面1 断面2 ρ1Q1 ρ2Q2 Q1＝Q2 （b）液体 断面1 断面2 Q1 Q2
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連 続 の 式
管路流れでは，流れの大きさを流体の平均速度 V ［m／s］だけでなく，流量 Q ［m３／s］ でも表す。流量は単位時間に管路断面を通って流れる流体の体積である。流体を必要とす る負荷設備は，流体の速度ではなくその体積（または質量）を要求する場合がほとんどで ある。例えば，熱交換器に冷却水を供給する場合，入口の流速ではなく流量を指定される。 流量が少なすぎると伝熱面の熱伝達率が低下したり，冷却水出口温度が高くなったりして 熱交換器の伝熱性能が落ちるからである。管路内断面積を A［m２］とすれば流量 Q は， Q＝AV （１．３） となる。この式は平均速度の定義式でもある。管路を管径 d の円管とすれば下式となる。 Q＝πd ２ ４ V （１．３a） 流体工学では，質量保存則を連続の式で表す。質量保存則とは，考えている物体や系内 にある物質の質量の総和が不変であることをいう。質量がエネルギーに変わる核分裂がな ければ質量保存則は守られる。図１．１０（a）は単管路の流れである。管路を断面１から２の 方向に流体が流れているとしよう。定常な流れでは断面１と２に挟まれた管路内の流体の 質量は時間とともに変化することはないから，単位時間に断面１から入る流体の質量と断 面２から出る流体の質量は等しくなければならない。このことを式で表すと， ρ１Q１＝ρ２Q２ （１．４） ここで，ρi：断面 i における密度［kg／m３］ Qi：断面 i における流量［m３／s］ となる。式（１．４）を連続の式という。液体の場合はρ１＝ρ２であり，図１．１０（b）のように， １．３ 連 続 の 式 図１．１０ 単管路の連続の式1
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／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／１章／１章 2011.01.25 11.51.18 Page 15断面１ 断面２ V1 A1 V2 A2 管路 節点 ρ3Q3 ρ4Q4 ρ1Q1 ρ2Q2 管路 Q１＝Q２ （１．５） となる。１本の管路では，どの断面においても流量は等しい。この式を液体管路流れの連 続の式という。これはまた，式（１．３）の表現を用いると， A１V１＝A２V２ （１．５a） となる。管断面積と速度は反比例の関係になり，管断面積が小さくなると速度は大きくな る（図１．１１）。 図１．１２は４本の管路が１点で接合している流れである。この接合点を節点と呼ぶ。節 点での質量保存を考える。定常な流れでは節点において流体が蓄積することはないから， 節点における質量保存式は， ρ１Q１＋ρ２Q２＝ρ３Q３＋ρ４Q４ （１．６） となる。左辺が節点への流入質量，右辺が節点からの流出質量であり，定常流れでは両辺 は等しくなる。流体を液体とすると， Q１＋Q２＝Q３＋Q４ （１．７） となる。流量保存式と呼びたいところであるが，これも連続の式である。 速度と同じように流量も方向を持っている。ある方向の流量を正と決めればその逆方向 は負になる。図１．１２では矢印方向の流れを正としているので Q１∼Q４はすべて正である。 式における流れの向きの表現は，前式の右辺を左辺に移項した式にするとよく判る。 Q１＋Q２−Q３−Q４＝０ （１．７a） この式では Q１，Q２を正としているから，すべての流れを節点への流入と捉えている。 しかし，Q３と Q４は流出であり，向きが逆であるから負符号が付く。 図１．１１ 液体流れの平均速度と管断面積 図１．１２ 複数管路の流れ
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管路流れの基本 ／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／１章／１章 2011.01.25 11.51.18 Page 16流線 V p Z 基準高さ p ρ V2 ＋gZ＋ e＝ 12
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ベルヌーイの定理とその実用式
図１．１３のような定常な流れがあるとしよう。図中の曲線は，その接線がその点におけ る流れの方向と一致する線であり，これを流線という。さて，管路流れで重要な働きをす るベルヌーイの定理を考えてみよう。この定理は粘性のない非圧縮性流体の定常流れにつ いて，ふたつのことをいっていると解釈できる。 一つ目は，流れている流体が単位質量当たり持つエネルギー（比エネルギー）e［J／kg］ は次式で表すことができるとしている。 e＝１ ２V ２＋gZ ＋ p ρ （１．８） ここで， V：流体速度［m／s］ g：重力加速度［m／s２］ Z：流体の位置高さ［m］ p：流体の圧力［Pa］ 右辺第１項が運動エネルギー，第２項が位置エネルギー，第３項が圧力エネルギーを表 す。位置高さの基準はどこをとってもよい。また圧力は絶対圧力，ゲージ圧力のいずれを 用いてもよい。運動する質点の持つエネルギーは運動エネルギーと位置エネルギーの２種 類であったが，流体にはこれに圧力エネルギーがプラスされている。圧力エネルギーは流 体（連続体）特有のエネルギー表現である（２．２節参照）。 二つ目は，流れにおけるエネルギー保存則で，外部とのエネルギーのやりとりのない流 １．４ ベルヌーイの定理とその実用式 図１．１３ 流線と比エネルギー1
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／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／１章／１章 2011.01.25 11.51.18 Page 17運動エネルギー 圧力エネルギー 位置エネルギー e 断面１ 断面２ 流線 Z：中心高さ 基準高さ V：平均速度 p：中心圧力 d 中心線＝管軸座標 れでは，流線に沿って比エネルギーは一定であるとしている。周囲の条件によって流体の 持つ３種類のエネルギーの大きさが変化することはあってもその総和は変わらない。図 １．１４の中心位置高さが変わらない流路の中心を通る流線を考える。断面１，２での流れを 比較すると，流路が狭くなった断面２では速度が速くなり，運動エネルギーが大きくなる。 しかし，運動エネルギーが増えた分だけ圧力エネルギーが小さくなり，比エネルギーに変 化はない。 ベルヌーイの定理は，実際の管路内流れにも適用できる。その場合は図１．１５のように Vとして管内断面平均速度，Z および p として管断面中心における値を用いる。比エネ ルギー e は， e＝１ ２αV ２＋gZ ＋ p ρ （１．９） となる。αは図１．６で示したような管内速度分布を考慮するための運動エネルギー補正係 図１．１４ エネルギーの内訳 図１．１５ 管路流れの速度，位置高さ，圧力
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管路流れの基本 ／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／１章／１章 2011.01.25 11.51.18 Page 18数で，乱流の場合は１．０１∼１．１０，層流の場合は２となる。前述のように通常の管路流れ は乱流であるから，本書ではα≒１とする。したがって式（１．９）は式（１．８）と同じ形にな る。このように流れの状態（速度，位置高さ，圧力）を管軸座標との関係だけで表す流れ を一次元流れという。 液体の管路流れ計算では，比エネルギー e ではなく，e を g で割った水頭（ヘッド）表 現が使われる。 h＝ e g ＝ V２ ２g ＋Z ＋ p ρg ＝hV＋Z ＋hp （１．１０） ここで， hV＝ V２ ２g （１．１０a） hp＝ p ρg （１．１０b） 水頭はポンプの揚程と同じ長さの単位を持つ。式（１．１０）の右辺第１項を速度水頭 hV，第 ２項を位置水頭 Z ，第３項を圧力水頭 hp，その合計を全水頭 h という。水頭は単位重量 当たりのエネルギーといういい方もされる。 ここで速度水頭 hVの大きさを確認してみよう。流れる水の管内平均速度を慣用速度 ０．５∼３．０m／s の上限値３．０m／s とすると， hV＝V２／（２g）＝（３．０）２／（２×９．８）＝０．４６m となる。通常，水系の管路内の圧力水頭は１０m（≒０．１MPa）以上あるから，特別に圧力 が低い場合を除けば，速度水頭は無視してよい大きさになる。 気体の管路流れ計算では，e にρをかけた圧力表現が使われる。 pT＝ρe＝ ρV２ ２ ＋p （１．１１） 気体は密度が小さいので位置エネルギーは省略している。ρV２／２を動圧，p を静圧 p T を全圧［Pa］という。全圧は送風機の性能特性を表す際に用いられる。ただし，この関 係式は気体の圧力変化が３％ 以内の非圧縮性流体とみなせる場合にだけ成り立つことに留 意する必要がある（８．１節参照）。 実際の管路流れでは，図１．１６のように流体が流れる間に粘性や流れの乱れによってエ ネルギーを失う。失うエネルギーを水頭で表したものを損失水頭Δhという。逆に，ポン プなどからエネルギーを与えられる場合もある。ポンプから与えられるエネルギーを水頭 で表したものをポンプ全揚程 H という。全水頭を使って図１．１６の管路流れのエネルギー 保存則を式で表すと，点１から点２まで流れる間に H を与えられΔhを失うから， １．４ ベルヌーイの定理とその実用式
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／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／１章／１章 2011.01.25 11.51.18 Page 19ポンプ ポンプによって与えられる 全水頭（ポンプ全揚程）：H 粘性や流れの乱れによって 失う損失水頭： hΔ h1 1 h2 2 h２＝h１＋H −Δh （１．１２） ここで，h１，h２：点１，２における流れの全水頭［m］ H：ポンプ全揚程［m］ （＝吐出口全水頭 hD−吸込み口全水頭 hS） Δh：管路損失水頭［m］ となる。これが管路流れに関するベルヌーイの定理の実用式になる。簡単な式ではあるが， この式からさまざまな結論を導くことができるので流体工学では重要な式である。 図１．１６ 管路流れの全水頭変化
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管路流れの基本 ／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／１章／１章 2011.01.25 11.51.18 Page 20拡大管 エルボ 弁 直管 局部管
第
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章
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管路流れとエネルギー
この章では Excel を使った新しい管路流れ計算法を創り出すために必要な基本事項や動 力面からの検討，そして，計算結果から管路節点全水頭，圧力，ポンプ軸動力などの値を 導き出すために不可欠な関係式について説明する。 まずベルヌーイの定理の実用式を実際の液体管路流れに適用するため，管路の損失水頭 について説明する。次に管路系のエネルギー・動力収支を全水頭とエネルギー流束を用い て表し，それをポンプやループ管路流れに適用する。最後に，管路流れの基本的な性質の ひとつである全水頭の一意性を確認する。管路の損失水頭
本書では図２．１のように，管を管径が一定でまっすぐな直管と，それ以外の管（以下 “局部管”という）に分ける。局部管には，曲り管，拡大・縮小管，弁，オリフィスなど が含まれる。 図２．１ 直管と局部管1
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／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／２章／２章 2011.01.25 11.48.44 Page 21V1 V1＞V2 V2 V1 2 2g h＝ζ Δ V2 d L 2g h＝λ Δ V d L 図２．２の管径 d の円形直管内を平均流速 V で流体が流れるとき，管長 L［m］の間で 失う損失水頭Δhは主に流体摩擦によるものであり，ダルシー・ワイスバッハの式 Δh＝λL d V２ ２g （２．１） で表される。直管の損失水頭は速度水頭と管長に比例し，管径に反比例する。比例定数λ ［−］を管摩擦係数という。λはレイノルズ数 Re［−］と，管径 d ［m］と管内表面粗さ ε［m］の比ε／d （＝相対粗さ）で決まる（４．１節参照）。 局部管では流体摩擦損失の他に，管断面形状・寸法や流れ方向の変化に起因する渦や２ 次流れによる損失水頭が発生する。通常，局部管の損失水頭は次式で表される。V は局 部管端部における平均流速である。 Δh＝ζ V ２ ２g （２．２） 局部管の損失水頭も速度水頭に比例し，比例定数ζ［−］を損失係数という。図２．３に 拡大管の損失水頭式を示した。拡大管のように両端の流速が異なる場合には，大きい方の 流速を用いる。また，長い局部管の場合はその摩擦損失を無視できない。そこで，管路流 れの実務計算では局部管の管路中心線に沿う長さを直管長さに含める策がとられる場合が 多い。 実際の管路系では，図２．４のように１本の管路は直管と局部管とで構成されている。各 部分の流れの相互作用が無視できれば，１本の管路全体の損失水頭は各部分の損失水頭の 和になる。 図２．２ 直管の損失水頭 図２．３ 拡大管の損失水頭
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管路流れとエネルギー ／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／２章／２章 2011.01.25 11.48.44 Page 224 Q Q
Σ
i＝1 拡大管 h2Δ 直管Δh1 エルボ h3Δ 直管 h4Δh
iΔ
h
＝
Δ
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Δh＝ iλi Li di Vi２ ２g ＋j ζj Vj２ ２g （２．３） １本のつながった管路では，直管・局部管の区別なくそこに流れる流量 Q は同じであ るから，損失水頭は，支流損失水頭係数 K ［s２／m５］を使って次のようにまとめることが できる。 Δh＝KQ２ （２．４） ここで，K ＝KS＋KL （２．５） KS：直管の損失水頭係数［s２／m５］ KL：局部管の損失水頭係数［s２／m５］ KS＝ i ８λiLi gπ２d i５ （２．６） KL＝ i ８ζi gπ２d i４ （２．７） ここでは管の損失水頭の概要を述べた。詳しい説明は第４章で行う。流れが運ぶエネルギーと動力収支
流れる流体はエネルギーを運ぶ媒体でもある。例えば，峡谷のダムに蓄えられた水は水 車に供給されると発電機を介して電力を発生する。図２．５で流れる流体が運ぶエネルギー について考える。ある管断面を通って流体が単位時間に運ぶエネルギー F は，これまで に出てきた用語を組み合わせて，［単位質量の流体が持つエネルギー］と［単位時間に通 過する流体質量］の積として表すことができる。積の前項は比エネルギー e（＝gh），後項 はρQ になる。したがって F は， F＝eρQ ＝ρgQh （２．８） と書ける。F をエネルギー流束といい，動力［J／s＝W］の単位を持つ。 ２．２ 流れが運ぶエネルギーと動力収支 図２．４ 組み合わせ管路の損失水頭1
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／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／２章／２章 2011.01.25 11.48.44 Page 23ある断面を通って 流体が単位時間に 運ぶエネルギー 単位質量の流体が 持つエネルギー 単位時間に通過する 流体質量 エネルギー流束 F gh ρQ F 管路断面 断面 1 断面 2 エネルギー流束 管路 ρQ 1 2 p ρ V2＋gZ＋ 1 Σ 1 2V 2＋gZ ρQ 1 2 p ρ V2＋gZ＋ 2 厳密なエネルギー流束は，運動方程式，連続の式，そして熱力学の関係式から導き出さ なければならないが，非粘性流体で内部エネルギーを考慮しなければ，結論はここに示し た関係式（２．８）と同じになる。この視点に立てば，ρgVh はエネルギー流束密度と解釈で きる。１．４節では，ベルヌーイの定理に現れた３種類の項を「流れる流体が単位質量あた り持つエネルギー」と説明した。運動エネルギーと位置エネルギーに関しては正しいが， 圧力エネルギーに関しては正しくない。これらの項を，エネルギー流束の視点から「流れ る流体が単位質量あたり運ぶエネルギー」と解するのが正しい。ただし，これは理論的な 解釈の話であり，本書の範囲では，この解釈の差が計算結果に反映することはない。管路 流れにおける比エネルギー（単位質量の流体が持つエネルギー）とエネルギー流束との関 係を図２．６に示した。 記号は断面１・断面２に囲まれた空間にある流体の持つエネル ギーの総和をとるという意味である。 エネルギー流束 F を使うと，管路流れのエネルギー・動力収支を明瞭に表現できる。 簡単な例から始めよう。図２．７では，流体が管路の断面１から断面２に流れ，その間で損 失水頭Δhが発生しているとする。（a）は全水頭表現で，断面１，２での全水頭を h１，h２ とすると，両断面間での損失水頭Δhは定義から h１−h２となる。これをエネルギー流束 Fで表すと（b）のようになる。断面１，２でのエネルギー流束を F１，F２とした。定常流れ では両断面間における損失動力（＝損失水頭によって失う動力）W１―２は，エネルギー保存 則と式（２．８）から， 図２．５ エネルギー流束 図２．６ 比エネルギーとエネルギー流束
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管路流れとエネルギー ／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／２章／２章 2011.01.25 11.48.44 Page 241 3 h1 h3 h2 分岐点Y 支流1 Q1 支流2 Q2 支流3 Q3 1 2 3 F1 F3 F2 分岐点Y Q1 Q2 Q3 （a） （b） 2 1 2 （a） （b） 1 2 h1 h2 F1 F2 h＝h1−h2 Δ W1−2＝F1−F2 Q W１―２＝F１−F２＝ρgQh１−ρgQh２＝ρgQ（h１−h２）＝ρgQΔh （２．９） と表すことができる。 次に図２．８の分岐流れを考える。支流１が，分岐点 Y で支流２と支流３に分岐してい る。（a）は全水頭表現，（b）はエネルギー流束表現である。断面１∼３での全水頭を h１∼h３， エネルギー流束を F１∼F３とした。簡単のため，分岐による損失や各支流での損失はない とすると，三つの断面に囲まれた部分のエネルギー保存則は（b）をもとに， F１＝F２＋F３ （２．１０） となる。左辺は断面１から入る動力，右辺第１，２項は断面２，３から出て行く動力である。 定常流れであるから，両辺は等しくなる。上式を全水頭の関係式として表すと，式（２．８） の関係を用いて， ρgQ１h１＝ρgQ２h２＋ρgQ３h３ （２．１１a） となる。これと同時に連続の式 Q１＝Q２＋Q３ （２．１１b） も成り立っている。式（２．１１a）と式（２．１１b）から次式が導き出される。 h１＝h２＝h３ （２．１２） 分岐による損失がなければ，分岐前後の支流全水頭はすべて等しくなる。あるいは支流の 全水頭は分岐によって変化しないと言ってもよい。この結果はエネルギー保存則に反する と思うかも知れないが，そうではない。全水頭は流れている流体が単位質量あたり運ぶエ ２．２ 流れが運ぶエネルギーと動力収支 図２．７ 管路流れの損失水頭と損失動力 図２．８ 分岐流れ
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／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／２章／２章 2011.01.25 11.48.44 Page 25流線 h 1 2 3 h h 分岐点Y h 1 2 3 1 2 3 管軸座標 （b） （a） 分 岐 点 Y Δh2 Δh1 h1 Δh3 支流1 Q1 Δh1 支流3 Q3 Δh3 支流2 Q2 Δh2 h2 h1 h3 ネルギーに対応する量であり，運ぶエネルギーの総量に対応していない。このことは，図 ２．９のように管路の流れを，同じ全水頭を持つ複数の流線の束と考えれば理解できる。分 岐は流線の束分けのようなものであり，流れの損失や外部とのエネルギーのやり取りがな ければ，１本の流線の全水頭は一定であるというベルヌーイの定理はここでも成り立って いる。これは２．４節で説明する全水頭の一意性につながる性質である。この分岐流れの全 水頭の性質は理由も確認せずに受け入れがちであるが，よく検討してみるとなるほどと思 う性質である。このように，分岐のある管路流れは全水頭とエネルギー流束の両方から捉 えると理解しやすい。 最後に図２．１０の支流損失のある分岐流れを考える。支流１∼３で損失水頭Δh１∼Δh３を 失うとする。（a）は全水頭表現で，断面２，３における全水頭 h２，h３は， h２＝h１−Δh１−Δh２ （２．１３a） h３＝h１−Δh１−Δh３ （２．１３b） となる。この関係は管軸座標と各支流損失水頭の関係を示した（b）で確認できる。 （a）をもとに動力収支は， ρgQ１h１＝ρgQ２h２＋ρgQ３h３＋ ３ i＝１ρgQiΔ hi （２．１４） となる。式（２．１４）は概念的にとらえやすい形をしている。その詳細は次節で検討する。 図２．９ 分岐は流線の束分け 図２．１０ 支流損失のある分岐流れ
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管路流れとエネルギー ／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／２章／２章 2011.01.25 11.48.44 Page 26（a） （b） ポンプ Q hS hD ポンプ全揚程：H＝hD−hS S D S D ポンプ ポンプ理論動力：Wt FS FD
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ポンプと管路流れ
ポンプは羽根車やピストンの回転・往復運動によってそこを通る流体にエネルギーを与 える。図２．１１のポンプ流れについて考える。（a）は全水頭表現，（b）はエネルギー流束表 現である。前述のようにポンプ全揚程 H は， H＝hD−hS （２．１５） である。ポンプ理論動力 Wtは，ポンプが管路内１次元流れに与えた目に見える形でのエ ネルギー増加であり， Wt＝FD−FS＝ρgQhD−ρgQhS＝ρgQ（hD−hS）＝ρgQH （２．１６） となる。 次に図２．１２で分岐管路にポンプを組み込んだ管路系を考える。（a）は全水頭とエネルギ ー流束の両方を書き込んだ。ポンプは支流１の中間にある。断面１の全水頭を h１，ポン プ全揚程を H ，支流１∼３での損失水頭をΔh１∼Δh３とすると，分岐点 Y，断面２，３にお ける全水頭 hY，h２，h３は， hY＝h１−Δh１＋H （２．１７a） h２＝h１−Δh１＋H −Δh２ （２．１７b） h３＝h１−Δh１＋H −Δh３ （２．１７c） となる。この全水頭の関係を（b）に示した。この管路系の動力収支は，これまでの検討結 果から， F１＋ρgQ１H＝F２＋F３＋ ３ i＝１ρgQiΔ hi （２．１８） と書ける。左辺はこの管路系に入る動力で，第１項は流入によるもの，第２項はポンプに よるものである。右辺は管路系から出る動力で，第１，２項は流出口２，３から流出に伴っ て出て行く動力，第３項は支流１∼３での損失水頭によるものである。前式をポンプ理論 動力（＝ρgQ１H）を中心にした形に書き換えると， ２．３ ポンプと管路流れ 図２．１１ ポンプ流れ1
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／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／２章／２章 2011.01.25 11.48.44 Page 27F1 F2 Y 1 2 ポンプ F3 3 支流1 Q1 h1Δ 支流3Q3 h3Δ 分 岐 点 全水頭 h （a） 1 2 3 Y H （b） 管軸座標 支流2 Q2 h2Δ H− h1 h1 Δ h2 Δ h3Δ ρgQ１H＝ρgQ２h２＋ρgQ３h３＋ ３ i＝１ρgQiΔhi−ρgQ１h１ （２．１９） となる。左辺はポンプ理論動力であり，ポンプが流体に与える有効な動力である。右辺は 管路系内の流れによって消費される動力のさまざまな形態を示している。右辺第１，２項 には流出全水頭が入っているから流体を持ち上げ・加圧・増速して点２，３から外部に流 出することによって消費される動力を示している。これを流出消費動力と呼ぶ。第３項は 流体が支流１∼３を流れる際に摩擦損失等によって消費される動力で，支流消費動力と呼 ぶ。右辺最後の項は点１から流入する流れが流体に与える動力で，ポンプを助ける動力に なる。図２．１３に示したように，左辺のポンプが流体に与える有効な動力と，右辺の流れ る流体が消費する動力とが一致する点が，ポンプの運転状態を示す運転点（Q１，H ）に なる。 式（２．１９）からポンプ省エネルギーの基本的な対策を導くことができる。ポンプ省エネ ルギーは主にポンプ理論動力を小さくすることであるから， i）流出消費動力漓を減らす……右辺第 １，２ 項 ii）支流消費動力滷を減らす……右辺第３項 等の対策が考えられる。漓はポンプに課せられた機能に基づくものであり，工夫して減ら すことはできるが，なくすことはできない。滷は無駄な消費動力であり極力減らしたい。 どちらの対策が効果的かは，漓，滷の全体に占める割合によって決まる。 図２．１２ 分岐とポンプのある管路流れ
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管路流れとエネルギー ／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／２章／２章 2011.01.25 11.48.44 Page 28ポンプ ポンプ （a）高低差の大きな管路 （b）水平に広がった管路 ρgQ1H ρgQ1H Y 1 3 支流1 支流2 支流3 ρgQ1h1 ρgQ1h1 ポンプ 2 ρgQ2h2 ρgQ2h2 ρgQ3h3 ρgQ3h3 ρgQ2 h2Δ ρgQ2 h2Δ ρgQ3 h3Δ ρgQ3 h3Δ ρgQ1 h1Δ ρgQ1 h1Δ 式（２．１９）に支流の損失水頭式を代入すると Wt＝ρgQ１H＝ρgQ２h２＋ρgQ３h３＋ ３ i＝１ρgKi Qi３−ρgQ１h１ （２．２０） となる。この式をもとに代表的な２種類の管路系の流れを考えてみよう。まず，空気調和 設備の冷温水管路系に見られる図２．１４のような密閉循環管路系である。この系には，名 前が示す通り外部との流出入がないから，動力の中身は支流損失動力項だけになり， Wt＝ i ρgKiQi３ （２．２０a） となる。この式を解釈すれば，密閉循環系では一見奇妙なことであるが，流体を高所に揚 げるという動作が見かけ上は動力を要しないものになり，ポンプ理論動力は管路の支流損 失水頭だけに費やされることになる。図２．１４（a）高低差の大きな管路でも，（b）横に広が った管路でも，密閉循環系であれば管路の高低差に関係なくこの性質を持つ。これは次の ２．３ ポンプと管路流れ 図２．１３ 分岐とポンプのある管路流れの動力収支 図２．１４ 密閉循環管路系
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／エクセルで解く配管とポンプの流れ（下訂）／２章／２章 2011.01.25 11.48.44 Page 29揚水タンク ポンプ GL Q Q ポンプ 給水タンク ボイラ （b）揚水ポンプ （a）ボイラ給水ポンプ ように考えるとよい。仮にポンプで流体を高所に揚げたとしても，揚げた流体を外部に出 すことがなければエネルギーが系外に出ることはない。密閉循環系では，高所に揚げられ た流体はエネルギーを持ったまま復路を通ってポンプに戻ってくる。したがって，ポンプ は流体が管路を流れる際に失う損失エネルギーだけを補給してやれば，流れは絶えず循環 することができる。もちろん，この式はポンプが定常運転をしているときの動力式であり， 定常運転に入る前の管路を流体で満たすための運転や起動の際の動力は対象外であること は言うまでもない。この管路系ではポンプ理論動力のすべてを支流消費動力として費やさ れ，それは式（２．２０a）で示されているように厳密に流量の３乗に比例する。空調用冷温水 などの密閉循環管路系において，流量削減が大きなポンプ省エネ効果を生む理由がここに ある。 次に，図２．１５で（a）ボイラ給水ポンプ，（b）揚水ポンプの管路系を考える。これらの系 では相対的に支流損失動力は小さいので，流出消費動力が支配的な管路系と考えてよい。 したがって，Wtは下式で近似できる。 Wt ρgQhout＝ρgQ
