【論 文】 UDC ：624
．
012．
45 ：531、
224 日本建築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集 第408 号・
1990 年 2 月鉄 筋
コン
ク
リ
ー
ト
造
柱
の
曲 げ
降伏後
の
靱性
に
関
す る
解 析 的研 究
正 会 員 正 会 員平
稲
石
井
久
栄
廣
＊＿
＊ ＊ §1．
序 最 近の超 高 層 鉄 筋コ ン クリー
ト造 建 物を は じめ，
部 材 の塑性変形に立 脚し た設計がな さ れ る建物で は，
1階 柱 脚に大 き な変形 と軸力負担 が強 制さ れ る。
し た がっ て，
柱のヒ ンジ領 域に対し て は， せ ん断 補 強を確 実に す る と と もに，
コ ン ク リー
トの 圧縮靱性を改善し圧壊を 遅延さ せ る目 的で横 補 強 筋 （拘 束 筋〉が配さ れ ること が多い。 しか し な が ら，
軸 力比や拘束効果と変形 能と の関係につ い ては，
その定量的な評 価が な さ れて いる と は言い難い。 本 論 文 では，
曲 げ降 伏 後の変 形の限 界が 圧縮 領 域にお け るコンク リー
トの圧壊に起 因す る柱を対 象に，
限界 変 形時にお け る危 険断面の各種ひずみ，
中立軸位置お よ び 曲率の算定法 を 明 ら かにす る と と もに，
柱の変形 機 構 を 提案し変形 量の算定 式を示し た。
限 界 変形に関して は，
部 材の実 験 結 果の統 計 的 分 析の 観 点か ら，
最 大 耐 力の 80 ％低下時の変 形 をもっ て限界 変 形 とする ことが一
般に行われ て いる が， 耐 震 性 能 上そ の数 値の もつ意 味はあ まり明 確で はない 。一
方，
部 材の 危 険 断 面に着 目し た研 究か ら，
コ ン ク リー
トの限 界 圧 縮 ひずみ，
限 界 曲 率に関 して は多くの提 案が なされて いる。 小 柳，
六郷ら は，
はり断 面のエ ネル ギー
吸 収の大 部 分 を 受 持つ引 張 鉄 筋の 引張ひずみ に限 界が ある （引 張ひずみ が 曲 率の増 加 と と もに増 大し，
最 大 値 となった後，
曲 率 の増 加に対「
して減 少する）こ とか らこ の限 界 点 をは りの 降 伏 終了点と名 付け，
変 形の限 界を定 義し て い る1）。
ま た鈴 木，
中 塚らも 同 点を断 面の モー
メ ン トー
曲 率 関 係上 の終局 限 界点と して と ら えて い る21・
3〕 。 た だ し，
これ ら 提 案さ れ た危 険 断 面の 限 界 圧縮ひずみ，
限 界曲 率と部 材 の限界変形との相関は必 ずし も 明確ではない。
本 論 文では，
柱の曲 げ降 伏 後の変 形に多大な影 響 を与 える引 張ヒン ジ領 域の伸び （引張ヒンジ領 域 内の引 張 鉄 筋の ひずみを高さ方 向に積 分し た値 ）に限 界 点が ある こ と を示 し，
P一
δ上の エ ネル ギー
吸 収 性 状だ けで はな く 軸 力の なす仕 事 量 も含 めた柱 部 材 全 体のエ ネルギー
吸 収 性 状ならびに鉄 筋とコ ン ク リー
トのエ ネルギー
吸 収の分 本論の一
部は引 用 文 献 9 ）〜
10 ｝に発表 したものである。
噸 建設省 建 築研 究所 構造 研究室 長・
工博 鮴 （株 ｝間組 技 術 研 究 所・
工修 “ 9B9 年 6 月．
IO日原稿 受 理，
1989 年11月13日採用決 定） 担がこ の限界点を境に急変す ること か ら，
こ の点 を柱の 変 形の限 界 と定 義し た。
さ ら に，
この引張ヒ ンジ領 域の 伸びの限 界が危険 断 面で は引 張 鉄 筋の 引 張ひずみの限 界 に対 応する ことか ら，一
定 軸 力下の単調 載荷時の危 険 断 面にお け る平面 保 持 を仮 定し た曲 げ解析よ り，
上記の限 界変形時の コ ン クリー
トの圧縮 縁ひずみ， 引 張 鉄 筋の ひ ずみ お よ び曲率とコ ン ク リー
トお よび 鉄 筋の応カー
ひず み関係な らびに軸 力との一
般 的な相 互 関 係 を明ら か に し た。
曲げ降伏後の柱の変形機構に関し ては，
曲げ降 伏 後の ひび割れ状況 お よびコ ン ク リー
トの圧壊状況 な ら びに鉄 筋の降伏 状況の実験結果に基づ き トラス モ デル を提 案 し， かつ変 形 量の算定 式 を示し た。
柱の限界変形は，
前 述の危 険 断 面の各 種ひずみ， 中 立 軸 位 置 をこ の算 定 式に 代入す る こ と に より求め る こ と が で き る。
鉄 筋コ ン ク リー
ト部 材の トラ ス置 換につ い て は，
既に曲 げ降 伏 先 行 型の耐 震 壁に適 用してお り，
曲 げ降 伏 後の耐 震 壁の変 形 性状を極め て よ く説 明 し得る こ と を明ら か に し て い る4〕−
5，。
な お，
本論 文では，
柱そ の も ので は な く高 層 壁 式ラー
メ ン鉄 筋コ ンク リー
ト造 にお け る壁 柱の実 験 結 果7｝を用 い てい る。
壁柱は 偏平な断 面を持つ柱では あるが，
本 論 文で指摘し た事項に関 しては，
柱と壁 柱で本 質 的な差 異 はないと考え て い る。
§2．
安 定 限 界お よ び 危険 断面 の曲げ特 性2．
1 安定 限界 図一1
に壁 柱7）の曲 げ降 伏 後の 部 材 角 1／67rad．
にお け4
ず みltcr）2
．
o O o・
Loscca図
一
1 ひび割 れ状 況お よ び引 張 鉄 筋 位 置と 圧縮 縁 位 置の高さ方向の ひずみ分 布η
τ（kg／ 2） 20 Ol 0 丶
＿
＾ 1一一一
A−
＜D戸
1
丶
l
N・
・
1N ・．
・、
、飆
3
1．
02
．
0
3．
O R （x10−
t rad．
） 図一
2 平 均せ ん 断応 カー
部 材 角 関 係の正 側 加 力包 絡 線η v（ ）20
10 o／
私
。3
陶ノ
弄
∵
Ne．
21．
0
2．
0
3．
0
4．
OR
（xlO『
t rad．
） 図一
3 引張ヒ ンジ領域の鉛 直方 向の伸び量（v）と部 材角の関 係T） る代 表 的な ひび割れ状 況な ら びに引 張 鉄 筋お よ び 圧縮 縁 位 置の高さ方 向の ひずみ分布を示す。
壁 柱 脚部には，
引 張ひずみお よ び 圧 縮ひずみ が集中してい る。
この ひずみ の集 中 範囲 を そ れ ぞ れ引 張ヒンジ領 域お よび 圧 縮ヒ ンジ 領域と呼ぶ こ とにする と，
壁 柱の変 形の ほ と ん どは こ の 引張 ヒン ジ領 域の伸びと圧 縮ヒ ンジ領 域の縮み に よ り生 じ ていると 言え る。
図一
2に壁 柱の平 均せ ん断 応 カー
部 材 角 関 係の正 側 加 力 包 絡 線 を，
図一
3に壁 柱の （正側 加 力包 絡 線 上の ）変 形に伴う引 張ヒ ンジ領 域の鉛 直方 向の 伸び量 （ωを示す。
伸 び 量 〔v）は部 材 角にお お むね比 例 的で あ る が，
伸びに は限 界 （図一
3中の○ 印 〉 が あり， その 限 界点 は，
図一
2に示し た包 絡 線 上で の急 激な耐 力 低 下 開 始 時 （図一2
中の○ 印 ）に一
致してい る。
こ こで は，
引 張ヒンジ領 域の伸びの限 界 以 降，
引 張ヒ ン ジ領 域が縮み ながら も軸 力を保 持し得た試 験 体 No．
4 を取り上 げ，
部 材のエ ネルギー
吸 収 性 状を検 討する。 変 形 に伴うエ ネル ギー
吸収 性状の変 化を 図一4
に， 図一5
には その 増分 を概 略 的に示す。
柱部材の吸収エ ネル ギー
は， 片持ば り形式の加 力 方 法 である ことよ り下 式に基づいて算 出した。
△w
』 ＝P
△ δ．十N4
δ四………・
………
（ユ） ただし， △既協・
：部材角 AR 間の外 力 仕 事の増 分 △品 ：水平力作 用 点の水 平 変 位の増 分A
δ． ：軸 力 作 用 点の軸 方 向 変 位の増 分P
：水平 力N
：軸力 ム レVin＝
ムS
了十 △C …・
・
・
…
7・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt
（2）一
22
一
W叫τ 鯉 3，
0 2，
0 LO 0ΣP△ δレ 〆
ノ
♂ 〆ノ／ 〆 ∠ ニ ー ド 引張ヒンジ領域の伸 びの限界
一
π 〆 Σ △WDUτ ΣPS
τ Pt R一
LO 図一
4 外 力 仕事お よ び吸 収エ ネル ギー
と部 材 角の関 係7）（試 験 体No．
4） dWeeT dR （t．
blrad．
）引張ヒ ン ジ領域の伸び の限 界 跏 100 0｝
矧 糧噛
計
農
、，辷
．
一昌
△7−
C7 △W四
7刪
噌
一
曹
一
N △δ圓一
P一
△ δ隲，
噛
■
「 鹽
．
一
1
一曹
，
1．
0，
一
＿
＿
＿＿
＿
＿
．
2．
O＿
＿
＿
ざぎ73
・
R （翼10’
3rad，
図一
5 外力仕 事および吸 収エ ネル ギー
の増 分 量と部材角の 関 係1）（試験体No，
4｝ ただし，
ム隅。 ：部 材 角AR
聞の内力仕 事の増 分 （＝AW
， 。、）AS
， ：引張鉄 筋の吸収エ ネルギー
の増分AC
；AS
，以 外の 要 素 （主 として圧 縮 側コ ン ク リー
ト）の吸 収エ ネルギー
の増 分 な お，
引 張 鉄 筋の吸 収エ ネル ギー
は，
引 張 鉄 筋 位 置の高 さ 方 向の ひずみ分 布に基づき， 図一
17に示 し た鉄 筋の 応 カー
ひずみ関 係 より求め た。 エ ネルギー
吸 収 性 状は，
引 張ヒ ンジ領 域の伸びの限 界 点 を 境に急 変し ている。
す な わ ち，
限 界 点 以 降では，
限 界点 以 前に大き なエ ネルギー
吸 収 をして いた引 張 鉄 筋が 縮み 始 め， 吸収して いたエ ネルギー
を放 出し始める。
ま た，
壁柱が軸 方 向に縮み始め，軸 力によ る付 加エ ネルギー
が著しく増 大 する。 そ れ らの結 果 として，
圧 縮 側のコ ン ク リー
トの負 担するエ ネルギー
が急 増し て い る。一
方，
限 界 点 以 前の引張ヒ ンジ領 域が伸びてい る間は，
部 材の 鉄筋お よ びコ ンク リー
トのエ ネルギー
吸収の負 担 率は， ほ ぼ一
定で あ り，
安 定してい る と言える。
な お，
水 平 耐 力は， 引張 鉄 筋に縮み を生 じ た後， 大き な耐 力 低下 を示 してい る。
以 上の検 討に基づ き，
引 張ヒ ンジ領 域の伸び の限 界 点 を安 定 限 界 と定 義 し， 以 後， こ の安 定 限 界 時に おける各種ひずみ， 変形 等 を論じ る。
2．
2
危 険 断 面の曲 げ解 析 安 定 限 界 時において，危 険 断 面の引 張 鉄 筋の ひずみ は，
引 張ヒンジ領域の伸び と同様に最大と なっ てい る （図一
一
6
中の○印参照）。 し た がっ て，
こ こ で は，
平 面保 持を 仮 定し た危 険 断 面の一
定 軸力下で の 曲げ解析を行い，
引εOa ） 5
．
e4，
03．
o2．
o1噛
O O LO 2．
0 3．
0 4．
O R （翼且O−
，rad．
）．
図d6 危 険 断面 （壁 柱 脚 部 ）にお け る引張鉄 筋 の ひずみ と部 材 角の関係η C囑
D bL
x
’
ttD 図一
ア 解析 対 象柱 断 面お よび断．
面の ひずみ分 布 張 鉄 筋の引張 ひずみに限界が生 じ る メ カニ ズム を数式的 に説 明し，
安定限 界 時 （引 張 鉄 筋の ひずみ の最 大 時 ）に お け る コン ク リー
トの圧 縮 縁ひずみ，
引 張 鉄 筋の ひずみ，
、
中 立 軸 位 置お よ び曲率の算 定 法 を示す。
なお，
既に鈴 木，
申塚ら は一
般 的な鉄 筋コ ンクリー
ト 造 曲 げ 部 材 断 面を対象に，
引 張 鉄 筋の ひずみが最 大と な る メ カニ ズム を 図 式 的に説 明Z〕 してい る。
さ ら に，
フ レ ス トレ ス ト鉄 筋コ ンク リー
ト造は り断 面におい て，
コン ク リr トの応 カー
ひずみ関 係に最 大 耐 力 以 前は放 物 線 を，
最 大 耐力 以 後は直 線 を 用い，
PC 鋼 材お よび引 張鉄筋の 応 カー
ひ ずみ関 係に は ひずみ硬 化 を も考慮
し た場 合のPC
鋼 材の最 大 引 張ひずみ時にお け る曲率等の算定式を 導い てい る3 〕。
ただし，
圧縮 鉄 筋は降 伏を仮 定してお り，
圧縮鉄 筋の ひずみ硬 化は考 慮さ れて い ない 。ま た
，
小 柳，
六郷ら はコ ンク リー
トの応 カー
ひずみ関 係に後述の著 者らと同一
表 示の関 数を用い，
引張 鉄 筋お よび 圧縮鉄 筋の応 カー
ひずみ関 係 を完 全 弾 塑 性 （ひずみ 硬 化は考慮され てい ない）とし た場 合の引 張 鉄 筋の最大 ひ ず み 時 に お け る各 種ひ ず．
み等の 算定 式．
を．
導い て い るu。本論 文では
，
柱に おいて は圧 縮 鉄 筋 もか な りの ひずみ を 受 ける こ と か ら，
引 張 鉄筋およ び 圧縮 鉄 筋と もひ ずみ 硬 化 を考 慮 し，
コ ン ク リー
トの応 カー
ひずみ関係に は コ ン ク．
リー
トの引 張応 力を無視す る以 外は， コ ン ク リー
ト の応 力を表す関 数 表 示に，
特に制 隈 を設けて いない関 数 を用い て いる。 A） 基 本 式図
一
7に示 す 柱 断 面 が一
定 軸 力 下で単調載荷を受舛
る 場 合 を想 定す る。 断面の平面 保 持 を仮定し，
中 立 軸は常 に断 面 内にあ る もの と する。軸 方向 力の つ り あい より （3 ）式 が
，
平面 保 持の仮定 より （4
＞〜
（6
）式 が 成 立 する1
）。’
舮幕
調
乱
一
E。
・
’
”…… …一 一
（・・ e。c十
寄
）
ec一
嗇
…………
（・）Xnl
一
轟
d
・………・
・
・
………・
……
（・）・一 ε
謡
∵・
…………・
…一 ・
…一 ・
・
・
・
… （・） ただし， 属 ：軸 応 力 ［N／（bD
）］（圧 縮を 正） N ；軸 力 （圧 縮を 正） b，
D ：柱幅お よび柱せい Pt：引 張 鉄 筋 比［αt／（bD
）〕 P，：圧縮鉄 筋 比［αc／（bD
）］d，
：圧 縮 縁よ り引 張 鉄 筋まで の距 離の柱せ い に 対する比d’
Ct ；圧 縮 縁よ り圧 縮 鉄 筋まで の距 離の柱せい に 対 する比 Xnt：圧 縮 縁より中 立軸まで の距 離の柱せい に対 す る比 a。 ：引 張 鉄 筋の応 力 （引 張を 正） asc ：圧縮鉄 筋の応 力 （圧縮を 正） ε。 ；コ ン ク リー
ト圧 縮 縁ひずみ （圧 縮を 正 ｝ ε。 ：引張 鉄 筋の ひずみ （引 張 を正） εs， ：圧 縮 鉄 筋の ひずみ （圧縮を 正）f
（e）： コ ンク リー
トの応 力 （圧 縮を正 ）を表す関 数で，
ε≦0
の場 合f
（ε）＝
0，
ε＞0の場 合f
（ε）＞0とする。
ε ；コ ン ク リー
トの ひずみ （圧 縮 を 正） φ ：曲率 こ こ で，
鉄 筋の応 カー
ひずみ関係を図一8
に示すよう に 3 本の 直線に モデル化す る と，
引 張 鉄 筋およ び圧 縮 鉄 ao σ7【
E5h」
ε冨
【
86L‘
巳 y‘
斈し卩
引 張 鉄 筋 庄 縮鉄 筋 ε 7も
．
ε曲
t ε E搴
弓
E5h‘
幽
σ 7艦
a5c 図一
8 鉄 筋 の応 カー
ひずみ関 係筋の応 力は
，
そ れ ぞ れ （7 ）一
（9 ）式お よび （10 ）〜
（12） 式で表さ れ る。
σ 、
＝
σ。t＋E。ht（ε。一
ε。。 、） （ε。 。t≦ε。）・
…・
・
一 …
（7 ＞σ。
罵
ayt （eyt ≦ε。くε。h∂…・
………・
く8）ao
＝
Estεo （0≦εo＜εyt）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（9＞σ。 ，
＝
σ。。＋E。hC（ε。c−
e。n，） （ε蹴 ≦ε。∂・
……
（lo） σ。。＝
・
a。c （Eyc≦ε。
，くε。hc）………・
……
くll） σ。，；E
。 ，ε。 。 （0≦ε。
。
〈εy。
）・
…一 一 ……・
（12） た だし，E
。t，E
。c ：引 張お よ び圧 縮 鉄 筋の弾 性 域ヤング係数Esht，
EShC
：引張お よ び 圧縮 鉄 筋の ひずみ硬 化 域の ヤ ング係 数 σ。t，σ y。：引 張および圧 縮 鉄 筋の降伏 応力 εyt，
Eyc ：引 張お よ び 圧縮 鉄筋の降 伏ひず み ε。ht，
ε。hC ：引 張お よ び圧 縮 鉄 筋の ひずみ硬 化 開 始ひ ずみ B） 引張 鉄 筋の ひずみ の ε。 に よ る表 示 引 張 鉄 筋の ひずみ ε。
は，
ε，の みの 関 数と し て （13） 式の よ うに表 すことがで き る。
ε。＝
9（εc）一 ・
・
…一 ・
……・
…・
………・
……・
…
（13）以 下で は
，
まず，
引 張 鉄 筋および圧 縮 鉄 筋の ひず み が，
と もに，
降 伏 棚あ るい はひずみ硬 化 域に存在して いる場 合につ いて，
g（εc＞を示 す。（
7
）式，
（10 ）式，
お よ び （4 ）式を （3
）式に順 次 代入 し，
σ。，
σ。 。および εsc を 消 去す る。 結 果と して，
g （ε∂は，
（14 ）式に示 し たA
が，
A
＝ Oの場 合 （す な わ ち，Esht＝
Eshe＝
Oの場 合）は，
（15
）式で表さ れる。
ま た，
A
≠0の場 合は， g （e。） ei二次方程 式の解 とな り，
ε。＞0
の条 件 より （16＞式で表すこと ができ る。dCi
A
＝
ρ・E・
ht＋ τ P・E
…’
… ’
… ’
’
’
’
’
”t”…
（14 ） A；
Oの場 合d
・r
∫（・）d・9（・c）
＝
Ot
＋ ρ，σ。，−
P。a，．一
・ ・’
’
”… … …
（ユ5＞ A≠0の場合一B
（εc）十 B（εc＞ 2−
4AC （εc） 9 （ε，）；………
（16〕 2A た だ し，
B
（ε∂＝
可＋P，σ一 ρ、σ ，，＋ρ、E
。ht（Ec一
ε。h∂一
・・E ・
h・
1
（
2dCi l−
dl
）
e，一
・。h。1
−
（17）c
（Ec）一
「
m
＋P，a。、一
・。ayc−
P，E 。
htesht−
P ・E・h・1
（
−
d
。11d
，）
・一
嗣 ］
×E・
− dlfECf
（・）d・…一 ・
……・
・
…・
（18）引 張 鉄 筋の ひずみ が降 伏 棚の領 域に存 在す る
場
合，
あ る い は弾 性 域に存在す る場 合は，
その存 在 範 囲に応じて一
24
一
（7 ）式の 代 り に （8）式 ある い は （9）式 を 用 い て g（ε。｝を誘 導 する。 圧 縮 鉄 筋に関して も 引 張 鉄 筋と同様 な取 扱いが 必要で あ る。 結 果と して，
これ らα）場 合の g（ε。）も〔15 ）式ま たは （16 ｝式で表さ れ る。
た だ し，
（14） 式， （17）式お よ び （18 ＞式におい て，
下 記の置き換え を行 う。
（i） 引 張 鉄 筋 が 降 伏 棚に存在す る場 合・
Eεht＝
Oとする。
（ii＞ 引 張 鉄筋 が 弾 性 域に存 在す る場 合
Esht＝Est
かつ σyt＝
εSht＝O
とす る。
（iii） 圧 縮 鉄 筋が降 伏 棚に存 在す る場 合
Esh。
；
Oとす る。
（
iv
） 圧 縮 鉄 筋 が 弾性 域に存 在す る場合EShe＝Esc
か つ σyc＝ ε ．．
itC＝ O とする。C
） 安 定 限 界 時にお け るコ ンク リー
ト圧縮 縁ひずみ， 引 張 鉄 筋の ひずみ，
中 立 軸 位 置お よ び曲率 コ ン ク リー
ト圧縮 縁ひずみ ε。の増分 に対す る引 張 鉄 筋の ひず み ε。の増 分を検 討 する。
（3）式 をε，で微分し，
一
定 軸 力であ ること ［（19
）式］を考 慮 し，
（20）式 を得 る。
妬
π
＝
o’
… ’
… … ’
””… … … ”… ’
”
（19 ）器
喜
・
…………一 ・
……・
……・
…・
一・
…一
（・・） た だ し，
α；
可＋P
，σ。−
P，σ。 ，＋（ε、＋ε。）・
（
d
砺dCl
d
σ 。， Ptd ε。 ＋P・
ifd
εs。）
・
・
一 …・
・
……・
（・・）β
一d
・f
（・。）一
（
d
・ ・、a。−
P。a。，一
（Ec＋e。）・Pc
（
dCi1−
d，）
謝
・
・
……・
・
一 …一
（22） ・ を表・ （・・〉式 中・籌
｛
舞
・躑 ・ 接線 ・Utk
を表し て お り，
鉄 筋の通 常の使 用 範 囲 （最 大強度 以 前の 範 囲 〉に おい て は，
常に接線 剛性は ゼロ以 上と な る。
ま た柱にあ る 程 度の軸応力 （圧縮 鉄 筋の負 担 圧縮応力よ り 大きい軸 応力）が作 用す れ ば（孫〉 ρ cσ。c），
（21
）式に お い て常に a＞0 が成立する。 し た が っ て，
（20 ）式に お け る εc の増 分に対する εD の増 分の正負はβの 正負だ け に依 存する。 こ こ で，
（22）式に示し たβを ε。
の みの関 数と して （23）式で表す。
β＝
d，lf
（εc）−
h（εc）1
・
………・
……・
・
…・
…・
…・
・
（23） 以下では，
まず，
引 張 鉄 筋お よ び圧 縮 鉄 筋の ひずみ が と もに，
降伏棚ある い は ひずみ硬 化 域に存 在する場 合に つ い て h（ε。
）を示す。
（22 ）式に （7）式， （10）式， （4 ） 式および （15）式ま たは （16）式 を順 次 代入 し，
（24）式 ま た は （25 ）式 を得る。
A ＝
0の場 合 ［A は，
（14） 式 参照］ん（ε∂＝ 価＋P
，
a ．厂 P。
・、、
）／d，…・
…・
・
……
∴・
・
（24 ） A≠0の場 合 ［A
は，
（14
）．
式参照］D
（εc）B
（εc）−
B（εc） t
−
4AC （εc〕h
（ε。）＝E
d
，、
2Ad ，・
一・
・
・
…
一…
−t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（25） ただし，
B （ε，）は，
（17）式，
C
（ec）は （1．
8）式 参 照。D
（ε，｝＝
瓦＋P，atr厂 P，σy。−
P 、E．
． 、ε．
ht一
・。E
。hC｛
・（
−
dCi1d
，）
Ec−
e。hc｝
・
…・
（・・）E
一 幽一
幽（
1−−
99drc
’）
・
………一 吻
引 張 鉄 筋 あるい は圧 縮 鉄 筋の ひずみ が弾性域あ るいは降 伏 棚の領 域にある場合のh
（εc）は，
（14 ）式，
（17
）式，
〔18）式，
（26）式お よび （27）式において，B
）項に示 した （i）〜
（iv）の取 扱いを す ること に よ り， （24
）式 ま た は （25）．
式で表す こと がで きる。
（23 ）式 を （20） 式に代 入 し て （28）式を得る。噐
一d
’lf
（E
・・1
）＝
e
h
！〈！ee！）｝一 ・
一 一 ……・
…一
・
・
（・8
） た だ し， a＞0
ε。
の増 分に対 する ε。の増 分の正負は，
コ ンク リー
ト の応 カー
ひ ずみ関 係を表す関 数 ノ（ε∂と （24 ）式 ま た は （25） 式に示し た関 数h
（ε，）の大 小に よ り定まる。
すな わ ち，
f
（ε。）＞h
（εc）の場合 ：引 張 鉄 筋の引 張ひずみ は増 大f
（ε∂〈h
（ε，）の場合 ：引張鉄筋の引張ひずみ は減少 ま た，一
般的なコ ン ク リー
トお よび 鉄 筋の応 カー
ひず み関係お よび柱に作 用す る軸 力 を考えれ ば，
引 張 鉄 筋の ひずみ が最 大と な る条件は，
（29 ）式で表され る。
ノ（εc）＝h
（εc）・
一
一
一
一
一
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（29 ＞ こ の条 件を満た すコ ンク リー
トの圧 縮 縁ひずみ （安 定1 限 界 時の コ ンク リー
トの 圧縮 縁ひずみ ）をε 。，
SL とする と，
安定限 界時の引張 鉄 筋の ひずみ ε。、
SL （3 ε。，
MAX ）は，
（13 ）式に おい て εc の 代わ りに上 記の ε。
．
SL の値を代入 する こ と により与え ら れ る。
また，
安定 限界時にお け る 中 立 軸 位 置x。1．
SL および曲 率φs、 は，
そ れ ぞ れ（
5 ）式 と （6） 式に おい て，
ε。の代り に ε、，
SL の値を，
ε。の代 り に ε。、
。L の値を代入 す るこ とに よ り与え られ る。
D） 安 定 限 界 時にお け る各種ひずみ等の略 算 的な解 こ こ では，
鉄 筋は すべ て同一
材 料 とし，
引張 鉄 筋 量＝
圧縮 鉄 筋量 を仮 定す る。
ま た，
鉄 筋の応 カー
ひずみ関 係 を完 全 弾 塑 性と し て扱い ， 主 筋の 降伏 後の変 形 領 域を検 討の対 象とする。 以 上の仮 定に よ り， Ptayt＝
＝Pcayc
Esht＝
＝
Eshc＝
0 が成 立する。
こ の場 合，
（14
）式のA
は，
0とな る の で，
（24 ）式に上記の関係 を 代 入 して下式が得られ る。
h
（ε、）＝
現／d
，………・
………・
tt……
（30 ） σf2
血
山係
cO
εc，
SL 図一
9 安定 限 界 時コ ン ク リー
ト圧 縮 縁ひずみ ε。．
SL と コ ン ク リー
トの応 カー
ひずみ曲 線お よ び軸応 力 との相 関 関係 こ の場 合， 安 定限界 時の コ ン クリー
トの圧 縮 縁ひずみ ε。．
SL は，
関 数 σ＝ ノ（ε∂ と 直線．
σ＝
・
属／di
の交 点の εc 座 標にな り （図一
9 参照）， 小柳， 六郷らの導い た結果 1） と一
致す る。
安 定限界 時の 引 張 鉄 筋の ひずみ ε
。
，
SL は， （15）式に 上 記の関係を代入 して下式で表さ れ る。
ε0、
SL＝
・・∬
G乱 ∫（・）・・ 瓦．
一
εc、
SL∬
° 乱 ∫（・）d
・7 （a
／d
，）・ds・＝
（
a
／d
，）、c，
sLE・
・
SL… ”鹽
’
（31） 安 定 限 界 時の 曲 率 φ3L お よ び中 立 軸 位置 Xnl，
SL は， （31 ）式 をそれ ぞれ （6）式お よ び （5）式に代入 して 以 下の ように表すことがで きる。妬
一
篇
讐
＿ 畑 ，…・
……・
…
（・2・ 一跨
畿
……・
…・
・
……・
・
……
（33
・E
） 適 用 例 こ こ で は，
以 下に記し た柱 の断面形状，
コ ン ク リー
ト と鉄 筋の応 カー
ひずみ関係 （図一
8 参照）お よ び軸 応 力 を用い，
ε、の増 加に対する関 数f
（ε。）と関 数h
（ε，）の値 の 変化，
な らび に ε。 と ε。
。
の値の 変化につ い て検 討す る。
d
，＝
1−
dCt
＝
O．
9 ρt＝
P．t・
LO ％ Est＝
Esc＝
2．
1×106
kg
／cmZ Esht；EshC＝4．2
×104
kg
／cm2 ε．t＝
εy，＝
0．
2
％ εSht＝
εshc＝
1．
5％ 瓦／f
ち＝
0．
3ft
＝
300 kg／cm2 ：コンク リー
トの最 大 耐 力 な お，
’
コ ンク リー
トの応 カー
ひず み関係 は，
図一
10を参 照 され たい。
結果を 図一
10に示す。 図一
10中，
横 軸は コ ン ク リー
トの圧 縮 縁ひずみ ε。 （％〉を， 左 側 縦 軸は関 数f
（ε。）と300 曾
§
3
蹴『
neloo
噛
3（
渓）
。
°
・
・
り
・
り
2 o o 1 2 t“
3L 3 et （％） 図一
10 安 定 限 界 時コ ン ク リー
ト圧 縮 縁ひずみ E。
．
s、と 関 数 ∫〔εc）および関 数h（εc）と の相 関 関 係h
（ε。》の値 （kg
／cm2 ）を， 右側縦軸は引 張 鉄 筋の ひずみ ε。（％）お よび圧縮鉄 筋の ひずみ εs。（％）を表し て い る。
コ ン ク リ
ー
トの応カー
ひずみ関 係 を 表 す 関 数∫（ε∂の ひずみ軟 化 域での負こ う配 部 分と関 数h
（ε。｝の交 点 （図一
10におい て精 算 解と して表 示）の ε。
座 標が 引張 鉄 筋 に最 大ひずみを 与え る時の コ ンク リー
トの圧 縮 縁ひずみ ε。，
SL （安 定 限 界 時の コ ンク リー
トの圧縮 縁ひ ず み）にな る ［交 点に おい て，
／（e。
）＝h
（ε，
）とな るこ と か ら，
（28 ）式 ・おい ・盤
一
・・（・、−
ec，
sL）が成 立・ ・］． なお，
図一10
に は，
鉄 筋の応 カー
ひずみ関 係を完 全 弾 塑 性と し た場 合の （30）式によ る 略算 解も 示 して いる。 こ の略 算 解 と前 述の精 算解と を 比べ る と ， 鉄 筋の ひ ず み 硬 化の影 響により両 者は厳 密に は一
致 し ない。
本解 析 例 で は，
特に圧 縮 鉄 筋の ひずみ 硬 化 （圧縮鉄筋の接 線 剛 性 の存在） がこ の差異に か な り影響し てい る。 2．
3 コ ンク リー
トの応 カー
ひずみ関 係および軸 力 比が 柱の変形性 能に及ぼす影 響前述の ように
，
（31）一
（33＞式に示 し た略 算解は厳密 に は精 算 解と一
致し ないが，
柱の主 筋 量が少な く， 圧 縮 鉄 筋の ひずみ硬 化が小さい場合に は大きな差 異は な いも の と考えら れ る。
以下 では， 略算解 （31
）〜
（33）式 を基 に， コ ンクリー
トの応 カー
ひずみ関 係お よび軸力比 が柱 の 変 形 性 能に及ぼ す影 響につ い て検 討 を行う。
（31
）一
（33 ）式は，
図一
9に示した面 積Si， S2，Ss
と 以下の関 係 を 用い て， （34 ）〜
（36
）式の よ うにS
，，
S
，，
S3
の面 積 比 とεc，
SL で表すこ と がで き る。Si
十s
，＝
（瓦／d
，）εc、
SLs
・＋s
・一广
糺 ∫（・）d
・s
，− s
， ・・ 5L＝Sl
＋s
， ε・ SL’
… ’
”… ’
… ’
… ’
’
’
’
”鹽
（34）S2
十S3
diSL
＝s
汁s
、 ε… ／（d
，D
）”… … … … ’
価 ）Si
十S2
za1…＝
s
，＋s
、d
・”… ”… ’
… ’
… … ’
””
（36＞一
26
一
σ！f
‘ 1．
0 ηo O ε c，
SLI．
ec，
SL2 s l； 図一
11 簡略 化し たコ ンク リー
トの応 カー
ひずみ曲 線と安定限界 時コ ンクリー
ト圧 縮 縁ひずみ εqsLさ ら に， コ ンク リ
ー
トの応 カー
ひずみ関 係 を 図一
11に 示す よ うに 3 本の直線に モデル化 （仮 定 ：Si《S2，
S4） し，
コンク リー
トの最 大 耐 力fZ
で無 次 元 化する。
ま た，d
，＝1
を仮 定す る。 こ の 場 合，
（34）一
〔36
） 式 中 ・隷 瑠 掛
1
慧
・， 勤 比 … 表・ こと が で き，
（34 ）〜
（36 ）式は以 下のよ うに な る。・。
，
SL−
（1
牛
1
鄭 、……・
一 …．
…・
・
……
… 〈・・） （1／ij。）＋12
εq
’
・L／D…’
…’
……鹽
’
鹽
………’
（38
） diSL；
x・
，
SL−
（1／k
，． 、・
…一 ・
…・
…・
………
（・9） た だ し， η。＝ ＝瓦／∫卸軸力比 し た がっ て， 軸 力 比が 同 じであ れ ば，
コ ンク リー
ト強 度お よびひずみ軟化 域で の負こう 配の大 小に か か わ ら ず， 安 定限 界 時の中 立 軸 位re
Xn、，
SL は一
定 と なる。
また， 軸力 比が同じであ れば，
安定限 界 時の曲 率 φSL および引 張 鉄 筋の ひ ずみ ε。，
∫L は安 定 限 界 時の コ ン ク リー
トの 圧 縮 縁ひずみ ε。，
s。 に比 例す る。一
般 的に限 界変形を大き く する ために は，
軸 力 比 を 小さ く抑え る と と もに，
拘束 に よ り ひずみ軟 化 域で の負こう配を小さ くする こ．
と が 有 効であ る と言わ れてい る が，
軸 力 比 を小さ く する ことは， （34＞式， （・5 ＞式 中・9
？
iigi
．g
， ・ ・ び9fil
−
gllgl
［・・ わ ち，
（37
）式，
（38） 式 中の （1〆ηe）］，
ならびに ε、．
Sl．
を大 き く する こ とに相 当す る。 ま た，
負こ う．
配を小さ くする こと は，
εasL を大き く す ること に相当し，
両 者は，
結 果 と して， 安 定 限 界 時の 引 張 鉄 筋の ひずみ ε。．
肌 お よ び曲 率ΦSL を大き く す ること に な る。 これ らの関 係 を （34）一
（39
）式お よ び図一9
な ら び に図一11
は，
極 めて明 瞭 に示 してい る。 §3．
曲げ降伏 後の変 形 機 構 3．
ユ 柱の トラス置 換 前 述し た よ うに，
曲げ降伏先 行 型の柱で は，
曲 げ 降 伏 後 柱 脚 部に引 張お よび 圧 縮ヒン ジ領域が形 成さ れる。 引 張ヒ ンジ領 域にお ける曲 げひ び割れお よ び曲げ せ ん断ひ欄 図
一
12 柱の ヒン ジ領域の モ デル化 加 筋 向1
→’
剛 材 剛 材＼
＼
剛 域 剛材 剛 甘 a一一
一
課 3 コ ンク リ の劉 嚠 変断面材 鬮曽
尸
の塑性領域・
η，
d鶯
b e b c 中立 軸 図一
13 柱の トラス モデルおよび変 形機構 1材 び割れ は， お お む ね柱脚部断 面の圧縮重心位置に向かい 進 展し，
こ の斜めひび割れ に挟 まれたコ ン クリー
ト部 分 が一
種の斜め ブレー
ス を形 成する （図一
1参照〉。
こ の 斜め ひび割 れは， 危 険 断 面の中 立 軸 位 置 近 傍においてお お むね進 展が止る こと か ら，
中 立 軸 位 置における部 材の 鉛 直 方 向の変 位は な い もの と仮 定し，
図一
12に示すモ デル に柱の ヒ ンジ領 域 を置 換 する。 さらに モデル におい て，
各 引 張 弦 材の伸びの方 向が図一
12中のA
点に向か う もの と仮 定する と （その他の 変形 成分が 曲 げ降 伏 後の 柱の全 体 変 形に及ぼす 影 響が少ない と仮 定 する と），
図一
12に示 した変 形 機 構は，
図一
13に示 す トラス モ デル に置き換える こと がで きる。．
ただ し， 図一
13中の引 張 弦 材は変 断 面 材 として扱い， その断 面 積は後 述の よ うに 引張 弦 材の存 在 応 力の分 布が部 材 中の引 張 鉄 筋の高さ方 向 （y方 向 ）の応 力 分 布に一
致す る ように与えら れ る も の とする。 図一
13に示 し た変形機構よ り，
柱の部 材角R
は 次 式 で表さ れ る。
R −
（・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
く40 〔1
，一
コσ川｝D 〉 ただし，
v 引張 側 柱 頂 部の鉛 直変 位 v→∬
・…一 …一 ・
………・………・
・
…
（41＞ εη：高さy＝
ηh
で の引 張 弦 材 （引 張 鉄 筋）の ひず み ε。；
∫； 1 （σ。）fs
：引張 鉄 筋の応 カー
ひずみ関 係 を表す関数 v （d，
−
x。
1）D（x10”
rsd．
〕 4，
0 3．
0 2、
o 1．
o No．
1 N・》
No．
4 No．
2R昌
（d■
−
x。
1）D O R＿
0 2＿
0 3」
0 4rO R （x1o．
：
rad．
）・
の関係 図一14
R と （d一 Xn，
）D y＝
η T η （d「麗魔
112）DT 冒 Q” ηh1
・・
η・
h2QR To T冒
o 図一
15 斜めひび割れ面お よ び柱脚 部 断 面に作用 す る 力 σ。
：高さ y＝
vh で の 引張弦材 （引 張 鉄 筋 ）の 応 力η
＝
∬／h
（o≦η≦1
） hl 柱の高さ x。， ：圧 縮 縁よ り中立軸まで の距 離の柱せい に対 す る 比d
，：圧縮縁よ り引 張 鉄 筋まで の距離の柱せいに 対す る比図
一14
に部 材角R
（水 平 変 位 ／柱 高さ）と v／1
（d、−
x。1）DI
の 関係の壁 柱の実 験 結 果 7）を示す 。 ほ ぼ曲 げ 降 伏 後 最 終 破 壊に至る まで （40 ）式が成 立し ており，
曲げ降 伏 後の柱の変形機構が上 記の トラス モデル で表し得るこ と を示し て い・
る。 3．
2 部 材 角の算 定図
一
15に，
斜め ひび割れ面および柱 脚 部 断 面に作用 す る力を 示す。
な お， 柱 脚 部 断 面の 圧縮重心位置は圧縮 領 域の 中心位置と仮 定 し た。 図一
15中の記 号は以下の と お り であり，
ひび割れ面で の骨材の イン ター
ロ ッ キン グおよ び鉄 筋の ダウェ ル ア ク ショ ンは無 視した。T。
，
T． ：柱 脚 部断 面お よ び高さ 馴コ
功 にお け る引 張 鉄 筋に作用 する張 力の合 力T
．h，
Tw
：柱脚部断 面お よ び斜めひび割れ面の中間部 縦 筋に作用 する張 力の合 力Qw
：斜め ひび割れ面の せん断 補 強 筋に作用 す る 張 力の合 力Q
， ：斜め びび割れ 面 柱 脚 圧縮 領 域の水 平 力CR
：斜めひび割れ面柱脚圧 縮 領 域の鉛 直 力この斜め ひ び割れ面におい て
，
曲 げ 降伏後は すべ て の せ ん断 補 強 筋お よ び中 間 部の縦筋が降伏あ るい は降 伏に 近い応 力レベ ル にある と仮 定す る。
ま た， 柱脚 部の中 間 部縦筋のひずみ硬 化に よる引 張 応 力の 上 昇は，
引 張 鉄 筋 の ひずみ硬 化に よる応 力上昇に比べ小さいものと して無 視 すれ ば，
（42）式お よび （43
）式が成立する。Qw
＝
＝bh
ρwσtvy η・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
一
・
・
・
…
一
一
・
…
（42） 】「w＝
Ta，o・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
9
（43） ただし， b
：柱 幅 Pw ：せ ん断 補 強 筋 比 σ，、，，：せ ん断 補 強 筋の降 伏 応 力（42＞式お よ び （43 ）式に示 した関 係 を考 慮す る と， 柱 脚 部 断 面の圧縮重心位置ま わ りの モ
ー
メン トのつ り あ い条 件よ り （44）式 が得ら れ る。T
・
… T・一
、，艶鑰
。・ ・…・
・
・
…一 ・
・
……・
（44 ＞ 引 張 鉄 筋の 応力は下 式で表され る。
T
。 ρ、，σ、，、h2
σ・
＝
pm
，bD
＝
a・−
M
，｛2
d
，一
。 m ）D ・ η 2’
”… ’
（45 ） ただ し，
Pt：引 張 鉄 筋 比 o。：柱脚 断 面での 引 張 鉄 筋の応 力こ こ で
，
引 張 鉄 筋の応カー
ひず み関 係 を表す関 数fs
を 図一
16の よ うに仮 定す る。
こ の 場合，
引 張 鉄 筋が降 伏 して いる領 域の ひずみ は （46 ）式で与え ら れ る。 な お，
大変形を検 討の対 象と し た場 合，
全体変形に及ぼす 弾 性 ひずみ の影 響は極め て小さ い こ と か ら，
以 下では 塑性ひ ずみ の みを検討の対 象と した。 きEn− 『
晝
讐
・ e・h−
・・一
意
・・……・
…
（・・） た だ し，
Pt。σtrvh17； P、（2d 、
一
。．）D2… ’
… ”… … ’
’
”鹽
’
”
（47） ε。 ：引 張 鉄 筋の降 伏ひずみ εSh ：引 張 鉄 筋の ひずみ硬 化 開 始ひずみ ε。
：σ。に対応す る柱 脚 断 面の引張鉄筋の ひずみ σy ：引張 鉄 筋の降 伏 応 力 E。：引張 鉄 筋の弾性ヤング係 数 E。h ： ひずみ硬 化 域にお け る 引張鉄筋の ヤング係 数 σo σ y0
ε yε．。h
ε 。
ε 図
一
16 引 張 鉄 筋の応 カー
ひずみ関 係一一
．
28
一
引張 ビ ンジ領域の高 さ は，
引張鉄筋の降 伏 領 域 高さ に一
致す ること か ら （46
）式に おい て εn＝
esへ，
η茜
η．と 置 きか える と 引張ヒンジ領域の高さ は下式で表され る。
・y
−
（ε゜卆
臨・
・
…一 ・
……一 ………・
（・8
） ただし，
ηs ：柱 高さh
に よ り無 次元化し た引 張 鉄 筋の 降 伏 領 域 高さ 引 張ヒ ンジ領 域の伸 び v は， σuw−
ay＝
＝
Es
εy の関 係 を 仮 定して，
（41）式に （46）式 を代入 し，
（49 ）式と なる。
・
一
・ズ
・…− D
（IEt
：
：−
E
£tt2
°＋Esh） 瑞編
i
互
X 2d ，−
XnL・
t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
一
・
・
．
・
（49 ） 部 材 角は （40）式に （49）式を代入し て （50 ＞式で表 さ れ る。
・
一
（！
−
E
’！°；
＋ eshEEt2
） 瓦驚
靱
語 蒹
・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（50
） 安 定 限界 時の部材 角の算 出手 順は以 下の と お りで あ る。 まず，
（29）式の条 件 より定 まる εc．
SL を （13
＞式に 代入 して ε。，
SL を求め る。 さ らに，
（5） 式の ε。，
ε。に，
ε。
．
。。，
ε 。．
。L を代入 しx。 、．
SL を求める。こ の ε。，
SL と Xhl，
SL を，
（50 ）式の ε。と コCn】に代入 す るこ とにより安 定 限 界 時の 部 材 角 を算 出する。
3．3
実 験 結 果との比 較 こ こで は，
前 節に示し た方 法に基づ き算 定し た引張 ヒ ンジ領 域 内の ひずみ分 布 ［（46）式 ］ と壁 柱の実験結 果ア〕 との比 較 検 討を行う。 な お，
部 材 角の算 定 式 （50＞式は，
（46 ）式の ひずみ分 布を基に誘 導さ れ た もの で あ る か ら，
引張ヒン ジ領 域の ひずみ分 布 が一
致 すること は，
部材角 の算定式
（50）式の有 効 性 を示すこと に も な る。一
般に，
繰 り返 し載 荷 を受け る鉄 筋の応 カー
ひ．
ずみ曲 線の包 絡 線は， 引 張 側 あるいは圧縮 側のいずれ か一
方 向 で繰り返さ れる場 合に は， ほ ぼ単調載 荷時の応 カー
ひず み関 係に一
致す る。
し た がっ て， 軸力の小さい耐 震 壁 や 柱の引 張 鉄 筋は，
大き な圧 縮ひずみを受けずに繰り返さ れ る た め，
繰り返 し載荷の場 合に おい て も図一
16に示 し た鉄 筋の応カー
ひずみ関 係と して単 調 載 荷 時の鉄 筋の 応 カー
ひ ずみ 関係を あて は め るこ と がで きる4 ，−
G；。
し か し な がら，
圧 縮 側において受け る 圧縮ひずみ が大きい場 合には，
バ ウ シ ンガー
効 果の影響 を 無視で き な くな る（壁 柱 試験 体ηで は ， 軸 力 比尻／σs； o．
34 ）。 そこで壁 柱 実 験 で実 測さ れた引 張 ヒ ンジ 領 域 内の ひずみ履 歴を基に，
Ramberg−Osgood
モ デル に よ り，
包絡 線上で の引 張 鉄 筋の応 力 を 推定 （図一
17 中の黒丸 ）し，
壁 柱の引 張 鉄 筋の応 カー
ひずみ関係を図一17
に示 す実 線に モデル化 し た。
この モ デル を基に，
（46 ＞式によ り算 定し た引 張ヒ ンジ領 域 内の ひずみ分 布と実 験 値 （安 定 限 界 時）との比び E5
