論 文
衝突振動に関する実験的研究
―フーリェ級数解と実験値との2，3の比較―
渡辺武
村田一正 斎木久政 幡野右 （昭和47年8月31日受理）Experimental Study on Impact Vibration
-Comparison with theoretical
results-TakeshiWATANABE KazumasaMURATA HisamasaSAIKI TsuyoshiHATANO
Synopsis The object of this study is to establish quantitatively the correspondence between our dynamical model and the real system for steady impact vibrations by experimental inveStigationS． The followings are the main points． （1） Solution of the equation of motion is given by a perfect Fourier series method supPle・ mented with a conYergency improvement by means of series transformation， which was introduced by S． Maezawa． （2）An experimental model is a simple mass・spring system with a stop which is set inゴ ‘夕 vibration by a harmonic exciting forcぽ （3）Collision characteristics for force of restitution of the stop are assumed to be com・ posed of three straight line segments enclosing a hysteresis loop． In this paper， only foregoing analytical results are given without proof， but the experimental apparatus and method are described， and results of experiments are compared with Fourier series solutions with good agreement．
1．はしがき
衝突振動は工業上，高速鍛造機，さく岩機，くい打 機，種々の加工機および種々のいわゆるバイブレータ 等に広く利用され，また衝撃ダソバ等の制振機器にも 応用されている。一方カムやリンク機構等の機械装置 r／においては，衝突振動が生ずると，これら装置の性能 や寿命の低下を招いたり，騒音発生の原因ともなる。 したがって，衝突振動に関する理論的ならびに実験 ＋ 山梨大学大学院 粋 日立製作所 ＊＊＊森永乳業 的研究は少なくない1）2）3）4）5）。 しかしながら，これら の理論では，ほとんどが衝突時間をゼロと仮定し，一定 の反発係数を用いて衝突前後の速度関係を規定してい るものぼかりである。現実の衝突振動においては，反 ト ’ 発係数は一定ではなく，衝突物体の弾塑性特性た依存 し，衝突時間も有限な大きさを有する。、、 フーリエ級数解法6）7）によれぽ，これらのことを考 1 ． ．． ． 一 ．． ．∼、 ‘ 二 1．・ 慮した解析が可能であり，前澤および著者の一人は， ’ L tt，t L， べ この方法により解析をおこない8）・9），アナログコンピュ コ ， 「t ’ ， ノ ロ 一タによる解との比較もした10）。 ．・ ・そしてまた，周期解の安定性を論じ：る吉共に秒，・さらにこの解析結果と現実の衝突振動との関係を把握 し，フーリエ級数解法による解析結果の有効性を確認 するために，モデル装置を製作し実験的研究を進めて いる。 本報告では，これらの実験方法および装置について 簡単に説明すると共に，2，3の実験結果を示し理論 値との比較をおこない，考察を加えた。
2．実験方法
ここで取扱う系の力学的モデルは，先にフーリエ級 数解法で解析した場合8）9）10）と同様で図一11こ示すよう に，調和加振力q COS totが働く質量一ぽね系とその 平衡位置から間隔e。のところにある被衝突物Aとか ら構成されている。A「隔「「一一 図一1 力学的モテル
したがって，f（x，x）を質量mが被衝突物Aと衝 突した時の反発力とすれぽ，運動方程式は次式のよう になる。磯＋〃o・＋麺）＝・q・…t （・）
1）実験装置 さて，この運動方程式に対する実験装置として図一2 に示すような模型を製作した。すなわち，鋳鉄製フレ ームに先端が鋼球の振動体（質量m）がコイルばね le1と板ぽね〃2によって支持されており，振動体と距 ec e。を隔ててポリウレタンゴム製の被衝突物．4が固 定されている。そして加振力q COS totは，偏心板カ ム③の回転により，4本のガイドポストで案内された カムホロア②を介してコイルバネ〃1が変位させられ ることにより得られるようになっている。また角振動 数ωはシリースモータ（600∼3000rpm可変）を使 用し変化させたが，低速度の範囲では，スライダック の調節により変化させた。 図一3に実際に製作された装置の写真を示す。 また実験装置の諸元は表一1に示すとおりである。 2）測定方法 この実験では大別してつぎの3つの測定をおこなっ た。 a）まず，振動体の変位および衝撃力は，振動体の中 ］・・130＿干＿ 370⊃
500−一一一一＿1 ①フライホィール②カムホPtア ③偏心板カム ④ガイ ドポスト ⑤軸受 ⑥カム回転軸 ⑦カムホロア用スプリ ング⑧コイルばねkl⑨振動体⑩シリースモータ⑪ 鋳鉄製フレーム ⑫板ばねk，⑬ポリウレタソ製被衝突物 A ⑭被衝突物固定台 ⑮板ばね固定金具 図一2 実験装置組立図 漂灘 加振力検出用 ピックアツプ ぜ 図一3 製作された装置の写真 に組込まれたチタソ酸バリウム型の加速度ピックア ップと接続された広帯域振動計（国際機械振動研究 所製VM−4200型）を使用し，変位，加速度と，振 動計の操作盤のスイッチを切換え操作することによ り測定される。また，振動計よりブラウン管オッシ ロスコープに各波形を取出し観測すると共に，直記 式の電磁オッシログラフ（共和電業製ラピコーダ RMB−13型）でそれらを記録する。b）加振力4cos碗は偏心量rの板カムの回転によ
るコイルばねk、のたわみにより生ずる，すなわち， カムの回転角速度（角振動数）をωとすれぽ， kirCOS totで与えられるので，カムホロアの動き衝突振動に関する実験的研究 表一1実験装置の諸元 表一2
＼＼1記号已値（単位）
備 考 Xnl ・・＋・ 振動体mの 重 量mg＝w
＊456（g重） ＊＊475（g重） 振動体の単体の実測重量 （310g）お よびピックアップの実測重量（30g） にコイル，板両ばねの換算重量を考慮 した場合 Xl X2 9，3カム硫司
4．75（mm） 1実測値（設計徹・mm） コイルばね 定 数 ばね定数 k1 k＝k1十ゐ2 0．67（kg／cm） ＊LOO（kg／crn） ＊＊1．37（kg／crn） 実測値（設計値は0．72kg／cm） 取付状態での実測値で，同一のコイル ばねと2種の板ばねとの組合せ．寸法 は脚注参照 ㌶π X2 ×3 み 固有角振動 数 加振力最大 振 幅 鋤一G
q＝felr 456（rpm） 527（rpm） 0，318（kg重） XOI＋1 mとkが＊印の組合せの場合の実測値 mとkが＊＊印の組合せの場合の実測値 （注）板ばね，コイルぽねの寸法 （1）板ばね：厚さS＝2＊mm，2．5＊＊lnm （2） 幅b＝40mm 有効長さ1＝350mm コイルばね：線径d＝3mm コイル径D＝40mm 有効巻数Na＝17．5 7cosぴを測定すれぽよい。したがって，カムホロ ア上にa）でのべたピックアップとは別の加速度ピ ヅクアップを取Nけ，振動計（リナソ製VM−02型） と接続させ，カムホロアの変位を測定する。ブラウ ン管オシPスコープでその波形を観測し，正しい波 形であることを確かめて後，a）の諸量と同時に直 記式の電磁オッシログラフに記録する。 c）加振力の角振動数ωはカムの回転角速度であるか らフライホイールに記されたマークをストPボスコ ープ（管原研究所va S−8A型）で観測し計測する。 以上のべた測定装置全体の写真を図一4に示す。 3） 実験装置の減衰比の測定 このようにして構成された実験装置の減衰比は実 際につぎのように測定した。 振動体を自由振動させ，これに組込まれたピッ 広帯域 振動計 図一4 振動計 スライダック （MV−−02型） 測定装置の写真 クアップにより2）−a）の方法で電磁オッシログラフ にその振動の減衰の様子を記録させ，この記録により，第n番目の全振幅Xn，第n＋1番目の全振幅
κn＋1を実測し，この減少の程度を減衰比ζ一log（tanθ） ／π＝3．19×10“4と算定した。ここにθは表一2のよう な表を作って，xnを縦軸， Xn＋1を横軸にして，点を プロットした場合，この点列が，一直線上にある，こ の直線の傾き角である。 なおこの方法の詳細については文献12）を参照された いo 以上の測定結果が示すようにζが非常に小さいの で，本実験装置は運動方程式（1）に対する実験装置とし ての条件を満しているものと考えられる。 4） 被衝突物Aの材質の選定および反発力特性の 測定 a）さて運動方程式では反発力f（x，めを質量mの 振動体が，被衝突物Aと衝突した時の反発力と定 めた。したがって，f（x，めがどのような特性を 持つか実験的に把握する必要があり，そのために は被衝突物Aの材質の選定が重要な問題となる。 先に発表した「履歴特性を持つ物体の定常衝突振動 の解析」8）9）1°）（第1報，第2報）の結果と比較する ために，ここでは，履歴特性を持つといわれるポリ ゥレタンゴム（実験ではバンドウ化学製，バンコラ ンB277）を被衝突物Aとして選定した。 b）本実験のようにくりかえし衝突をおこなう物体闘（’R び b ）
s
（ 反発 K2 力 K3 ） 0 C ズーε。（ X3−eo 駕max°ε0 表一3 間隔eoに対するq／keoの値 （mm） x−e。（変形量） 図一5反発力特性 （三角形の場合） 4．75 k1 （kg／cm） 0．67 4＝kir （kg） 0．318k
（kg／cm） 1．0 1．37 eo （mm） 5．30 4．00 3．20 2．65 3．85 2． 95 2．35 keo （kg） O．53 0，40 0．32 0．265 0．53 0．405 0．32 q／ke・（，9fU） 0．6 0．8 1．0 1．2 0．6 0．8 1．0 456 527 図一6反発力特性（四角形の場合） に働く反発力f（x，めの特性は本来，動的に測定 がなされるべきであるが，第1段階としてここでは， 振動体（先端鋼球）と被衝突物A（ポリウレタソゴ ム，形状は図一2参照）を実験時と同様な取付状態 で，ばね試験機（東京衡機製FSP20B，山梨県立機 械金属指導所設備）を用い，変形量とその時の荷重 とから負荷増加過程（loading）の反発力f（x， D の特性を静的に測定した。その結果，近似的に線形 ばねに等しく，そのばね定数が，K2＝＝ 120 kg／cm であると算定した。また負荷除去過程（unloading） の特性は今回の実験では静的にも満足すべき測定値 rが得られなかった。しかしながら，後の理論値との比 較の問題もあるので，ここでは，2，3の文献13）14）15） を参考に，図一5に示すように直線になると仮定した。 またその勾配K3についても，それらの文献13）14）15） にある特性図によれぽ，振動体のもつエネルギの1／2 が衝突によって消費されることになるので，K3＝ 2K2 ・240 kg／cmと仮定した。したがってこの場 合，反発係数εは前述の解析結果1°）が示すように， ε＝VK／K3＝VO．5≒0．71となる。3，実験結果
はじめにどのような順序で実験を進め，実験値を得 たか簡単に説明する。まず実験では加振力4COS硯を 与えるカムの偏心量rを一定にしておき，振動体と被 衝突物Aとの間隔eoを表一3に示すように変えて，そ 3．5 3．0 2．5 ξ 2・o l、ぎ ξ 1，5 理 砦 r 1．0 0．5 ．5 ▲ ．0 ● K、／ん＝120 ．5 K、／兎＝240 ω0＝456 ▲ （b） ．0 （a） ム A ● o ● △ ●o ム ● o 5 轟 ム● 怐@oo … ： ● ●o @● o●o o ．0 o o o 。（c） o ：9；＾ ⑰ 5 Oo 0 9／keo＝・1．2 ＝1．0 ＝・O．8 0．5 0．75 1．0 1．25 1．5 1．75 振動数比 9 図一7 実験による共振曲線 （ばね定数k＝1．Okg／cmの場合） 3．0 Q．5 ・￠ノ輪一1．0 2．0 κ2／兎＝88 j3／ん＝176 @ ωo＝527 ● 。￠庵・＝o・8 。1．5 ● ● @ ●● 怐 ■。κ ● ooo xx据x ●． ● E●● @ oo盾潤Yメ OOx X8・・ @ ・・ 其 響1．0 X田 0．5 Xo 0．5 0．75 1．0 1．25 1．5 1．7 振動数比9 図一8 実験による共振曲線 （ばね定数k・＝1．37kg／cmの場合） れそれ異った加振力比q／leeoを得るようにした。 こうして，r， eoを定めておいて，カム回転角速度 ωを，25rpmの間隔で増加させて，実験の範囲（250 ∼750rpm）で最大のωのところから逆にごんどは減 少させて，初めの出発点まで往復した。そして，各ω衝突振動に関する実験的研究
←
加振力 ψ 衝撃力 妾1 変 位 （a）図一7の（a）点におけるもの←
（b）図一7の（b）点におけるもの←
F 一 ←一一｝ 一 一 一 一 ’ 一一一一一一 ｛ ’一一 p一一一一一一 一一一 一一一一 一 一” 一 一一 一→一←一一≠ （c）図一7の（c）点におけるもの 図一9 変位および衝撃力の波形 加振力 衝撃力 変位 加振力 衝撃力 変 位 に対する変位，衝撃力波形を前述の方法〔2）−a）〕で 電磁オッシログラフに記録すると共に振動計のメータ の指示による振幅 〔片振幅≒（Xm。。−Xmi。）／2〕を測定 した。 ， 1） こうして実験で得られた共振曲線を図一7，図一8 に示す。図一7はぽね定tw、le−1．0の場合，図一8が為一 1．37の場合である。これを見るとよく知られている ように共振点は線形振動では振動数比2＝1．0付近 であるが（9・＝tU／㎡砺），このような大きな非線形 性を有する衝突振動では9−1．5（図一7の場合），ρ＝ 1．4（図一8の場合）付近になることがわかる。そして 振動数比9により共振曲線は3つのブランチ（branch） より成立っていることがわかる。なお，図一8の場合， 第3のブランチの共振曲線は実験装置の回転角速度ω に制約があるため得られなかった。 2）つぎに図一7の共振曲線上の3っのブランチに おける振動体の変位，衝撃力の波形を観察したので， 一例を図一9（a），（b），（c）に示す。（a）は図一7上の（a）点の 変位，衝撃力，加振力の波形で（b），（c）も同様に図一7の （b），（c）点のものである。定常の衝突振動において，加 振力の一・周期の間に振動体が被衝突物Aと衝突する 回数により，1回当り（Type I），2回当り（Type H）， 当らない場合等々に分類すれば，図一9（a），（b），（c）に示 す波形のように，図一7の共振曲線上で2の小さい第 1のブランチにおいてはType n の2回当り，つぎの第2のブランチではType Iの1回当り，Ωがも
っと大きくなると衝突をともなわない振動をすること が実験により観測された。 3）なお衝撃力と9との関係については，実験で はそのピーク値を測定した結果，共振曲線とよく似た 関係があると判断されたが，この点についての実験が 十分でないと思われるので，本報告では割愛する。 4．理論値との比較 実験値と理論値との比較をする前に反発力ゾ（X，め の特性についてのべる。先に発表した解析8）9）1°1で は，反発力f（x，めが図一5のように三角形になる場 合8）1°）と，さらに一般的な四角形になる場合9）1°）（図 一6）とを取扱った。したがって，反発力f（x，めの 動的特性の測定を実際におこない，その結果により， 理論値との比較を，どちらの場合についてすべきか 決定しなけれぽならない。しかしながら，2−4）で述 べた理由で，今回は反発力と変形量との関係が三角形 で近似できると仮定し，2，3の共振曲線について，理 論値と比較をした。 1） 図一10（a），（b），（c），（d）にばね定数ゐの小さい方 の場合（〃＝1．Okg／cm）について示す。一が理論 値，○が実験値である。K2／le＝120， K 3／le 一＝ 240で， （a），（b），（c），（d）はそれぞれ4海θo＝0．6，0．8，1．0，1．2 である。 ’ 、 なお解析8）9）10）は，実用上最も重要であると思われるType Iについておこなわれたので，ここでは
Type Iおよび当らない場合についてのみ論じ， TyPe nについては論じていない。5．6 4．0 壽．鯉 1，1・lt’ii．。 違 曇 1・° 1、6 一理論値O実験値 o o o o o o 0．8 1．0 1．2 振動数比2 1．4 1．6 4．0 ξ3．o l押 ’ID田2・o 曇1．o 田 0 一理論値゜実験値 o o o ．6 0．8 1．0 1．2 1．4 1．6 振動数比2 図一11理論値と実験値の比較のための共振曲線ll （ばね定数k＝1．37kg／cmの場合， K2／k＝88， K3／k＝176， g／keo＝0．6） （a） K2／k＝120， K3／k＝240， g／keo＝0．6 5．む す び 5．0 4．0 遥多 ξ吃・ 翼工゜ 5．0 1 0 一理論値 B実験値 o α o o O o 0．6 0．8 ．0 1．2 1．4 1．6 4．0・ 遥さo l．ぶ f2．o 薫1・ 振動数比2 （b） K2／k＝ 120， K3／k ＝＝ 240， q／keo＝O．8 0 一理論値゜実験値 0 o o 0 o ∼0．6 ．8 1．2 1．4 工6 1．8 5．0 4．0 …3．
嘱
』2° 選・・ 振動数比9 （c） K2／克＝120， K3／k＝240， q／keo＝1．0 0 1 1 攪_値 ﾀ験値 o へ一 o o o o o 0 ⑲ 0 o 0．6 0．8 1． 1．2 1．4 1．6 1．8 ナ辰重力数上巳 ∫2 （d） K2／k＝120， K，／克＝240， q／keo＝1．2 図一10 理論値と実験値の比較のための共振曲線1 （ばね定数k・＝＝ 1．Okg／cmの場合） 図一10によると，理論値と実験値とは反発力プ（x， ab）の特性について前述の仮定があるにもかかわらず， よく一・致していることがわかる。しかもType lの存 在する9の範囲もよく一一致しているどいえる。 2），図一11にぽね定数ゐの太きい場合（le・＝ユ．、37 kg／ cm）を示す。 K 2／・k ＝88，．K3／k ・176， q／舵o−O．6で ある。 以上定常衝突振動についてのフーリエ級数解法によ る解析結果と，現実の衝突振動との関係を把握するた めに，モデル実験装置を製作し，2，3の実験をおこ なったので，その方法について説明すると共に理論値 と実験値との比較をした。その結果，反発力f（x，め の履歴特性については，静的に負荷増加過程（loading） のみ測定し，負荷除去過程（unloading）はある仮定さ れた反発係数（すなわち衝突によるエネルギの履歴損 失の割合）から得られた勾配で直線的に変化するもの とし（図一5），理論的共振曲線を算出したが，実験値 と理論値は良好な一致をすることが認められた。 終りに，本研究は機械工学科前澤成一郎教授の指導 によりなされたことを記し，同教授に謹しんでお礼申 上げます。また有益な討論をいただき，かつ実験装置 の面で便宜を与えられた同澤登助教授に深謝致しま す。ぽね試験機の借用に関しては，山梨県立機械金属 指導所矢崎係長，図面の調整では前澤研究室の橘田技 官s実験装置の製作では機械工場の神保，茅野の各氏 ほか，多数の方々のお世話になりました。ここに記し て感謝致す次第です。 なお本研究の一部は山梨工業会研究助成資金による ものであることを付記します。 文 献 1）W．｝1．PARK；Trans． ASME J． of Eng． for Industry（Nov．1967）p．587 2） A．E． KOBRINSKII；Dynamics of mechanisms wi’t’h elastic conections and impact systems， （露原著から英訳），1969，11iffe Books Ltd・ 3）入江敏博，深谷健一；機械学会論文集，37巻299号 （昭和46−7），P．1287 4）川井良次，小寺忠；機i械学会論文集，35巻274号 （昭和44−6），P．1233 5） 横山恭男，小泉邦雄；精密機i械，36巻11号 （昭和45−11），P．731 6） 前澤成一郎；機械学会論文集，26巻167号 （昭和35−7），P．884衝突振動こ関する実験的研究 7） 8） 9） Maezawa， S；Proc．10 th Japan Nat． Congr． for Appl． Mech．（1960）p．405 Maezawa， S． and T． Watanabe；Proc．21th Japan Nat． Congr． for ApPl． Mech．（1971）（印刷中） 前澤成一郎，渡辺武；第21回応用力学連合講演会，講 演論文抄録集（昭和46−10） P．105 前澤成一郎，渡辺武；、機械学会総会講演会，講演論文 集，No72C−3（昭和47−4）， P．93 10）Maezawa， S． and T． Watanabe；Proc・6th・Inter・ national conference on Nonlinear Oscillations， Poznan，（1972−9）（国際会議で講演後論文集印刷中） 11）前澤成一郎，渡辺武；機械学会全国大会，（昭和48−10） （講演発表予定） 12）亘理厚；機械振動の測定と解析，機械学会誌，65巻 522号（昭和37−7）P．1021 13）William R． S． Fan；Proc・Internationar Auto・ Safety Conf．， Detroit（1969）p．1075 14）中山邦弘，塑性と加工，10巻99号（昭和44−4），P288 15）M．E． Gigliotti；Design criteria for Plastic Package−Cushioning materials−Plaster Report 4， Plastic（December 1961） 関係文献（本文に引用番号のないもの） 16）C．MHarris and C． E・Crede；Shock and Vibration Handbook Vo1．1，1961，McGRAW−HILL Book Company， New York 17）小畑耕郎，皆川盛保，鈴木虎三；電気試験所彙報，20 巻7号，P．502 18）桜井良文，小畑耕郎；振動・衝撃の計測，1966，朝倉 書店，東京
