早稲田大学大学院理工学研究科
博士論文審査報告書
論文題目
Some non-abelian extensions over Z
p-extensions p-class field towers and
Z
p拡大上の非可換拡大と p 類体塔
申請者
藤井 俊 Satoshi FUJII
数理科学専攻 数理哲学・数学史研究
2005 年 6 月
Zp拡大の理論は代数体のイデアル類群を扱うために 1950 年代に岩澤健吉氏によって 創始された. 類体論により, 代数体kのイデアル類群のSylow p部分群A(k)は最大不分岐 アーベルp拡大L(k)のガロア群Gal(L(k)/k)と同型である. 岩澤氏は,Zp拡大K/k上の 最大不分岐アーベルpro-p拡大L(K)/Kを考察し, ガロア群XK = Gal(L(K)/K) ( 岩澤 加群と呼ばれる)へのΓ = Gal(K/k)の作用を見ることにより深い理論が眠っていること を探しだしたのであった. このことは,分裂完全系列
1−→XK −→Gal(L(K)/k)−→Γ−→1
を考察していることに他ならない. knをK/kの第n層, すなわち[kn:k] =pnとなるただ 一つのK/kの中間体とする. 1959 年に出版された論文に於いてZp拡大の理論の大きな 結果の一つである岩澤類数公式;「K/kにのみ依存する非負整数λ(K/k),µ(K/k)と整数 ν(K/k)が存在して, #A(kn) =pλ(K/k)n+µ(K/k)pn+ν(K/k)が十分大きな全てのnに対して成 り立つ」, が世に現れた. この岩澤類数公式の証明はXK が有限生成torsion Zp[[Γ]]加群 となることと,制限写像XK →Gal(L(kn)/kn)の核がΓの作用で記述できるということが 本質的である.
古典的な解析的類数公式は, アーベル体の類数とDirichletL函数の特殊値との結びつき を与えていた. ここでは詳述はしないが, Mazur-Wilesの定理は解析的類数公式の精密化 とみなされ,それはイデアル類群の固有空間とそれに対応するL函数との極めて緊密な関 係を記述している. この定理もやはりZp拡大を考察し,XKの構造とそれへのΓの作用を 見ることによって初めて得られた結果であった. 現在では代数的整数論に限らず, 整数論 の広い分野で岩澤理論は強力な手法として発展し続けている.
さて, K/kをZp拡大とし, M/Kをpro-p拡大でM/kもガロア拡大となるものとする.
Zpは自由pro-p群であるので, 完全系列
1−→Gal(M/K)−→Gal(M/k)−→Γ−→1
は分裂する, すなわちΓはGal(M/K)に（標準的ではないが）作用している. そうする とXKへのΓへの作用を見ることがknの深い性質を導き出すことが有効であったように,
Gal(M/K)の構造を知り, Γの作用を見ることによってM/Kに関わるknの整数論的対象
の情報を引き出せるのではないか, ということが考えられる. 近年は特に非可換拡大の整 数論の重要性が高まってきており, 整数論における強力な理論である岩澤理論を援用して の非可換拡大の研究が本論文でなされている.
本論文では3種類の非可換拡大の研究を行っている. 順を追って解説しよう. K/k をZp 拡大とする. ˜L(kn)/kn, ˜L(K)/Kをそれぞれ最大不分岐pro-p拡大, ˜Gkn = Gal( ˜L(kn)/kn), G˜K = Gal( ˜L(K)/K)をそれぞれそのガロア群とする. 尾崎 学氏(近畿大)はG˜kn, ˜GKの降 中心列Ci( ˜Gkn),Ci( ˜GK)とその隣接商Xk(i)n =Ci( ˜Gkn)/Ci+1( ˜Gkn),XK(i) =Ci( ˜GK)/Ci+1( ˜GK) を考察し, 岩澤加群の一般化となるZp[[Γ]]加群の無限系列XK(i)を高次岩澤加群として定 義した. XK(i)のZp-rank, すなわちXK(i)にZp上Qpをテンソルしたベクトル空間の次元が 常に有限であることを尾崎氏は示し, その次元λ(i)(K/k)を高次岩澤λ不変量と定義した.
岩澤類数公式は, 岩澤不変量を用いてknのイデアル類群のp部分の位数の挙動を記述し たものであるが,イデアル類群の拡張とみなせるXk(i)n の位数を上記高次岩澤λ不変量を用 いて記述することは出来ないか, という問題が考えられる. 第1 章ではこの問題に対して 次を示している.
定理 1. K/kの岩澤µ不変量が0で, K/kで分岐するKの素点はただ一つとする. この とき#Xk(2)n =pλ(2)(K/k)n+O(1)が成り立つ.
この定理によって最大クラス2不分岐p拡大という非可換拡大のガロア群の位数の挙動 がλ(K/k)とλ(2)(K/k)によって記述される,という興味深い結果が得られる. 中心類体論 を用いてXk(2)n とknのイデアル類群を結びつけて,大本の岩澤類数公式から大体の位数の挙 動を知ることができるのだが,Zp拡大における単数群の構造の挙動を捉えるという困難を 乗り切ることによって上記の定理は証明される. 現在では尾崎氏によって,岩澤µ不変量が 0であるZp拡大において,全ての十分大きな全てのnに対して, #Xk(i)n =pλ(i)(K/k)n+ν(i)(K/k) となる整数ν(i)(K/k)が存在することが示されていることに一言触れておく. 定理 1 は尾 崎氏の結果のさきがけとなるものであった.
さて, k/Qを有限次拡大とする. ˜L(k)は類体論成立当初から考察されており, 現代にお いても様々な問題を有する興味深い対象である. 例えば, ˜L(k)は常に有限次拡大であろう か, という問題があったが, 1960年代にGolodとShafarevichによって無限次拡大になり うることが示された. 他方, イデアル類群のSylow p部分群が巡回群であれば常に有限次 拡大となる. このようにL(k)˜ は有限次にも無限次にもなり得る,一般的な結果を得ること が難しい対象なのである. 例えば現在でも次のような問題がある.
問題 1. kのイデアル類群のp階数が2で, L(k)/k˜ が無限次拡大となるkは存在するか？
また, 近年p進表現に関わる予想の不分岐拡大への特殊化, および不分岐ガロア群とコ ンパクトリーマン面の基本群との類似という観点から次のような問題も考えられている.
問題 2. L(k)/k˜ が無限次拡大のとき, Gal( ˜L(k)/k)に位数有限の元が存在するか？
ここでは然るべきZp拡大K/kにおいて, ˜GK = Gal( ˜L(K)/K)が有限生成自由pro-p群 となれば, 上記の問題が肯定的に解決されることを示している.
定理 2. pを奇素数, kをCM体でk+をその最大総実部分体とする. またk∞/kを円分 的Zp拡大とする. さらに以下を仮定する.
(1) ˜Gk∞は階数λ≥2の自由pro-p群である.
(2) pはk∞/Qで不分解である.
(3) k+の類数はpと素である.
このときp ≥ 5かつdimZ/pZA(k0)/A(k0)p = 2が成り立つか, またはp = 3かつA(k0)' Z/3aZ×Z/3bZ (a, b≥2)が成り立てば, L(k˜ 1)/k1 は無限次拡大.
定理 3. pを奇素数, kをCM体でk+をkの最大総実部分体とする. 以下を仮定する.
(1) A(k0)+'Xk+∞ 'Z/pZ (ここに, Xk+∞は複素共役の作用に関する+パート).
(2) pはk/Qで不分解で, k∞/kでpの上にある素点は完全分岐する.
(3) ˜GL(k˜ +)k∞ は階数≥2の自由pro-p群である.
このとき, もしdimZ/pZA(kn)/A(kn)p = dimZ/pZX/pX ≥6ならば, #Gal( ˜L(kn)/kn) =∞ が成り立ち, かつGal( ˜L(kn)/kn)は位数pの元を持つ.
注意として定理2において,λ= 2の場合はk1のイデアル類群のp階数は2となる. Γの
作用とGal(k/k+)の作用を見ることにより無限次であることを示している. 近年, 定理 3
の条件を満たすpro-p群に関する構造定理が示されている. 構造定理により, ˜Gk∞は位数 pの元を持つことがわかり,その元を落とすことによってG˜knに位数pの元が存在するこ とを示している. また, ΓのG˜k∞への作用を見ることにより, 条件を満たすnに対しては G˜kn = ∞となることを示している. この結果からGal( ˜L(K)/K)が自由pro-pとなるZp 拡大K/kは存在するのであろうか, ということが問題として浮かび上がる. 円分的Zp拡 大の理論が代数曲線の理論の類似とみなせるという観点から, Gal(L(K)/K)がどのよう
な構造を持ちえるかという問題は非常に興味深い.
最後に,第 3 章ではk上のpの外では不分岐な最大pro-p拡大のガロア群の構造を研究 している. 多変数岩澤理論において, この拡大の構造と一般Greenberg予想との関連が近 年多くの研究者の注目を集めている. 本論文ではk =Q(√
−m)が虚二次体の場合にk上 のpの外では不分岐な最大pro-p拡大Mkのガロア群の構造をいくつかの場合に記述して いる. まずはGal(Mk/k)が自由pro-p群となるkの特徴づけを行っている. χをkに対応 するDirichlet指標, ωをmodulo p のTeichm¨uller指標とするとき, Kummer 理論を用い ることにより次を示している.
定理 4. k =Q(√
−m) (0< mは平方因子を持たない整数), pを奇素数とする. このと
きGal(Mk/k)が自由pro-p群であるための必要十分条件は, 次の3条件の内一つを満たす
ことである.
(1) p≥5, A(k(µp))ωχ(={a∈A(k(µp))|τ a=ωχ(τ)a, τ ∈Gal(k(µp)/Q)}) = 0.
(2) p= 3, k=Q(µ3).
(3) p= 3, A(Q(√
3m)) = 0, m6≡3 mod 9.
定理4の場合を除いてGal(Mk/k)の構造を記述することは困難であるが,現段階では次 の場合にうまく記述 (ある閉正規部分群を法として,であるが )できることを示している.
F =hx1, x2, γiを階数3の自由pro-p群とし,さらにH =hγαx1γ−α, γβx2γ−β|α, β ∈Ziと する.
定理 5. (1) p= 3, k=Q(√
−m), 36=m≡3 mod 9とする. また, Jをkのガロア群の 生成元とする. もしQ(√
3m)の円分的Z3拡大の第1層Q(√
3m)1の3-イデアル類群の位
数が3で割れなければ, あるHの元rが存在して, r ≡([γ, x1]x−31 )1−J mod [H,[H, H]]か つ, Gal(Mk/k)'F/(r)F となる. 但し, (r)F はrで生成されたF の閉正規部分群とする.
(2) Xk(µ0 p∞)を円分Zp拡大k(µp∞)/k(µp)上pが完全分解する最大不分岐アーベルpro-p拡 大のガロア群とする. (Xk(µ0 p∞))ωχ (ωχ部分の定義は定理 4 と同様) がアーベル群とし てZ/pcZと同型とし (1 ≤ c), さらにp = 3である場合, m 6≡ 3 mod 9とする. このと きあるHの元rと整数a∈ pZが存在して, r ≡(x1−pc[γ, x2]x−a2 )1−J mod [H,[H, H]]かつ, Gal(Mk/k)'F/(r)F となる.
kが実二次体の場合には小松 啓一氏 ( 早大 ) がZp拡大を用いてGal(Mk/k)の研究を 行っているが,虚二次体においては本研究が始めてである.
本論文の全ての結果は, 単数群, 不分岐pro-p拡大, pの外では不分岐なpro-p拡大への Zp拡大K/kのガロア群Gal(K/k)の作用を見るという岩澤理論的手法を用いることによ り示されている. Zp拡大の理論と非可換拡大を結びつけ,非可換拡大の理論に対してこう した新しい手法, ならびに問題を提供している. これら研究成果は今後の代数的整数論の 発展に大きな寄与をすると思われ, よって本論文は博士（理学）の学位論文として相応し いものであると認められる.
2005 年 5 月
審査員 早稲田大学教授 理学博士 (東京工業大学 ) 足立 恒雄 (主査) 早稲田大学教授 理学博士 (東京工業大学 ) 小松 啓一
早稲田大学教授 理学博士 (東京大学 ) 橋本 喜一朗 早稲田大学客員教授 Ph.D. ( Princeton Univ. ) 三宅 克哉
