結び目に沿った矯飾的手術予想について

結び目に沿った矯飾的手術予想について

市原 一裕

(日本大学 文理学部) ^{∗ 1}

(上越教育大学) ^∗2

鄭 仁大

(近畿大学 理工学部) ^{∗ 3}

結び目に沿ったデーン手術とは，与えられた３次元多様体とその中の結び目から「新 しい」３次元多様体を生成する次の操作のことである：その結び目の開管状近傍を取 り除き，ソリッドトーラスを埋め戻す．自明な（つまり埋め戻し方が元と同じ）デーン 手術では元と同じ多様体が得られてしまうが，非自明な手術では「新しい」（すなわち 元の多様体と同相でない）多様体が得られることが期待される．実際，Gordon-Luecke は，有名な結び目補空間予想を解決した論文

[6]

この結果の自然な一般化として，次の予想が提起された．

矯飾的手術予想

¹ (Cosmetic Surgery Conjecture) ([10, Problem 1.81(A)]):

ここで，結び目外部空間の境界トーラス上の二つのスロープが同値であるとは，そ の二つを移しあう結び目外部空間の自己同相写像が存在することを言う．

さて矯飾的手術予想の解決に向けて，よく知られている二橋結び目について調べて みると，既に知られている結果から，以下のことがわかる．

命題

1

9

9 ₂₇

これは，矯飾的手術の存在に対して知られている次の２つの制約を用いればわかる．

キャッソン不変量を用いて

Boyer-Lines [3]

∆ ^′′ _K (1) = 0（ただし

∆ _K

Ni-Wu [12]

τ (K) = 0（ただし τ (K)

Ozsv´ ath-Szab´ o

τ-不変量）．

これに対して，[9]では，9

27

定理

1

x ≥ 1

[2x, 2, − 2x, 2x, 2, − 2x]

K x

3

ここで

K ₁ = 9 ₂₇

x ≥ 1

∆ ^′′ _K

x

(1) = 0

τ (K _x ) = 0

SL(2, C )

K _x

本研究は科研費

(課題番号:26400100

15K04869)

2010 Mathematics Subject Classification: Primary 57M50; Secondary 57M25, 57M27, 57N10

SL(2, C )

∗1

e-mail: [email protected]

∗2

e-mail: [email protected]

∗3

e-mail: [email protected]

1一般に

cosmetic surgery

を使うことにした．

一方で，矯飾的手術予想は，向きに関する仮定を外すと正しくないことが知られて いる．つまり，同値でないスロープに沿った二つのデーン手術で鏡像矯飾的なもの（あ る多様体とその鏡像を生成するもの）は存在する．例えば，

Mathieu [11]

さらに，Bleiler-Hodgson-Weeks [1] によって，S

² × S ¹

L(49, 18)

19)

[1]

矯飾的手術を許容することはないだろう，という予想も述べられていた．

しかし

[8]

定理

2

実際，[1]の例からモンテシノス・トリックと呼ばれる方法を用いて得られる結び目

9 27

banding

体的に構成した．その結び目が双曲的であること，及び，生成される多様体が双曲的 であることには，[7]によって開発されたプログラム

hikmot

hikmot

[5]

参考文献

[1] S. A. Bleiler, C. D. Hodgson and J. R. Weeks, Cosmetic surgery on knots, in Proceedings of the Kirbyfest (Berkeley, CA, 1998), 23–34 (electronic), Geom. Topol. Monogr., 2, Geom.

Topol. Publ., Coventry.

[2] H. U. Boden and C. L. Curtis, The SL(2, C ) Casson invariant for Dehn surgeries on two-bridge knots, Algebr. Geom. Topol. 12 (2012), no. 4, 2095–2126.

[3] S. Boyer and D. Lines, Surgery formulae for Casson’s invariant and extensions to homol- ogy lens spaces, J. Reine Angew. Math. 405 (1990), 181–220.

[4] C. L. Curtis, An intersection theory count of the SL ₂ ( C )-representations of the funda- mental group of a 3-manifold, Topology 40 (2001), no. 4, 773–787.

[5] N. Dunfield, N. Hoffman, J. E. Licata, Asymmetric hyperbolic L-spaces, Heegaard genus, and Dehn filling, arXiv:1407.7827, to appear in Math. Res. Letters.

[6] C. McA. Gordon and J. Luecke, Knots are determined by their complements, J. Amer.

Math. Soc. 2 (1989), no. 2, 371–415.

[7] N. Hoffman, K. Ichihara, M. Kashiwagi, H. Masai, S. Oishi, A. Takayasu, Verified Com- putations for Hyperbolic 3-Manifolds, Exp. Math. 25 (2016), no. 1, 66–78.

[8] K. Ichihara and I. D. Jong, Cosmetic banding on knots and links, in preparation.

[9] K. Ichihara and T. Saito, Cosmetic surgery and the SL(2, C ) Casson invariant for two- bridge knots, in preparation.

[10] Problems in low-dimensional topology, Edited by Rob Kirby. AMS/IP Stud. Adv. Math., 2.2, Geometric topology (Athens, GA, 1993), 35–473, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.

[11] Y. Mathieu, Closed 3-manifolds unchanged by Dehn surgery, J. Knot Theory Ramifica- tions 1 (1992), no. 3, 279–296.

[12] Y. Ni and Z. Wu, Cosmetic surgeries on knots in S ³ , J. Reine Angew. Math. 706 (2015),

1–17.