交代結び目に沿った例外的デーン手術の完全分類
市原一裕 (日本大学文理学部)∗1
正井 秀俊 (東京工業大学情報理工学研究科)∗2
1. はじめに
本講演ではスーパーコンピュータを用いた大規模計算により得られた交代結び目に沿っ た例外的デーン手術の完全分類について報告する．まず，S3 内の結び目K が与えられ たとき，「K の開管状近傍をS3 から取り除き，ソリッドトーラスを（写像でねじり）埋 め戻す」操作をデーン手術とよぶ．一方，S3 内の結び目は，その補空間の構造から，双 曲結び目，サテライト結び目，トーラス結び目に分類される．ここで結び目K が双曲 結び目であるとは補空間S3\K が有限体積完備双曲構造を持つときである．Thurston の双曲デーン手術定理 [5, Theorem 5.8.2.]により与えられた双曲結び目からデーン手 術で得られる閉多様体は高々有限個の例外を除き，双曲構造を持つ事が知られている．
これら有限個の例外を例外的手術と呼ぶ．任意の向き付け可能閉3次元多様体は有限 回のデーン手術で移り合う事が知られており，例えばその観点から3次元多様体同士の かかわり合いをとらえるにあたり，これら例外的手術は興味深い対象となり様々な研 究が行われてきている．S3の結び目に沿った例外的デーン手術について，これまでい くつかのクラスについて，既に分類がなされている（2橋結び目，プレッツェル結び目 など）．本研究では，より広く知られた交代結び目をとりあげた．ここで，S3 内の結 び目K の図式 D は「D 上の点 P から出発してD を一周するとき，上を通る交点と 下を通る交点が交互に現れる」とき交代図式とよばれ，交代図式 を持つ結び目を交代 結び目という．本研究の主結果aは次である．
主張 1 KをS3内の交代双曲結び目で樹木状ではないものとする．K が6≤t(D)≤8 を満たすような連結なtwist-reduced 交代図式Dを持つ場合，K は例外的手術を持た ない．ここでt(D) は図式のねじれ数である．
結び目は有理タングルの和もしくは貼り付けで得られる場合，樹木状であるという．
数々の先行研究によって，交代双曲結び目が樹木状である場合の例外的手術の分類は すでに得られている(Wu. etc)．さらに Lackenby [3] により，t(D)>8 を満たす連結
なtwist-reduced 交代図式Dをもつ結び目は例外的手術を持たない事が示されている．
ここで，図式D のねじれ数t(D) とは図式の「つらなったバイゴンをひとまとめにし たもの」もしくは「バイゴンに隣接していない交点」の数である（図1 参照）．詳しい 定義は省略するが，図式がtwist-reducedであるのは，自明にねじれ数を減らす事がで きない時である．交代双曲結び目がt(D)≤5を満たす図式を持つ場合，樹木状である 事も示す事ができる．以上の背景から，主張 1と，これまでの既存の結果をあわせる と，交代双曲結び目の例外的手術の完全な分類が得られる．
∗1〒156-8550 東京都世田谷区桜上水3-25-40日本大学 文理学部 数学科 e-mail:ichihara (at) math.chs.nihon-u.ac.jp
web: http://www.math.chs.nihon-u.ac.jp/∼ichihara/index-j.html
∗2〒152-8552 東京都目黒区大岡山2-12-1東京工業大学大学院情報理工学研究科数理・計算科学専攻
e-mail:masai9 (at) is.titech.ac.jp
a予稿執筆時の段階でこの主張はほぼ「定理」であるが，再計算を行い計算のチェックをきちんと行う 前の段階であるため，「主張」としておく．
図 1: ねじれ数t(D) = 3 の交代図式の例．点線で囲まれた交点もしくは，バイゴンの 集まりがねじれ．
2. プログラムと計算機
本研究では次の二つのプログラムを用いている．
• [2]においてMartelli - Petronio - Roukemaによって書かれた，pythonのコード
（以後FEFと略記，ファイル名 “find exceptional fillings.py”より）．
• [4]において Moser によって書かれた pari-gp のコード
(以後CHと略記，ファイル名 “check hyperbolicity.txt”より)．
FEF は与えられたカスプを持つ３次元双曲多様体の例外的手術を与えうるスロープ を全て列挙する事ができるプログラムである．このプログラムはCuller - Dunfield - Weeks によるSnapPy [1] を用いている．CH はSnapPy による双曲構造の近似値から 厳密解の存在を証明し，さらに近似値と厳密解との距離を評価するプログラムである．
FEF はCH に入力するためのデータを出力する．そのデータをCH によりチェックす る事によって，得られたリストが正確である事の厳密な証明が得られる．
主張1の仮定をみたす交代双曲結び目はおおよそ 29000 個存在する．計算時間を短
くする様々な工夫を凝らした後にも手元のPC による計算では各結び目につき，FEF による計算，CHによるチェックには合計で平均約2時間がかかる．そのため，本研究
ではTSUBAME (東京工業大学のスーパーコンピュータ)を使用し，大規模な並列計算
を行った．
本講演では交代結び目の例外的手術に関する理論的な背景を説明し，上で述べたよ うな，計算について説明する．
参考文献
[1] M. Culler, N. M. Dunfield, and J. R. Weeks, SnapPy, a computer program for studying the geometry and topology of 3-manifolds. Available athttp://snappy.computop.org.
[2] B. Martelli, C. Petronio, F. Roukema, Exceptional Dehn surgery on the minimally twisted five-chain link, arXiv:1109.0903. Codes available at http://www.dm.unipi.it/~martelli/Dehn.html.
[3] M. Lackenby,Word hyperbolic Dehn surgery, Invent. Math. 140(2000), no.2, 243–282.
[4] H. Moser, Proving a manifold to be hyperbolic once it has been approxi- mated to be so, Alg. Geom. Topol. 9 (2009), 103-133. Codes available at http://www.math.columbia.edu/~moser/.
[5] W.P. Thurston,The geometry and topology of three-manifolds, notes, Princeton Univer- sity, Princeton, 1980; available at http://msri.org/publications/books/gt3m.
