交代モンテシノス結び目に沿ったザイフェルト手術

(1)

交代モンテシノス結び目に沿ったザイフェルト手術

In Dae Jong (

ちょん

鄭仁大 )

Osaka City University (

_{大阪市立大学}

)

joint work with

Kazuhiro Ichihara (Nara University of Education) and

Shigeru Mizushima (Tokyo Institute of Technology)

(2)

S ³

_{内の結び目の分類}

[Thurston]

¶ ³

•

^{トーラス結び目}

•

^{サテライト結び目}

•

^{双曲結び目}

µ ´

(

_大

)

_問題

¶ ³

S ³

内の双曲結び目に沿った

Dehn

_手術で

,

非双曲的多様体を生むもの

(

_{例外的手術}

)

_{を決定せよ}

.

µ ´

例外的手術は

,

各双曲結び目に対して高々有限個

[Thurston].

例外的手術の分類

¶ ³

•

^既約手術

⁽

手術後の多様体が本質的

2

_{次元球面を含む}

)

•

^{トロイダル手術}

^{(————}

が本質的トーラスを含む

)

(3)

問題

Montesinos

結び目に沿った例外的手術を決定せよ

.

µ ´

Montesinos

_絡み目

M ( R ₁ , . . . , R _l )

¶ ³

R

1

R

2

R

_l

l :

_長さ

. ( R _i ∈ ^Q ↔

^{有理タングル}

)

特に

, ∀ i

_に対して

R _i = 1 /a _i ( a _i ∈ ^Z \ { 0 } )

_のときは

,

これをプレッツェル絡み目と呼び

, P ( a ₁ , . . . , a _l )

_と書く

.

µ ´

P (3 , 5 , 8) = P ( 3

−

, 5 , 8) =

(4)

先行研究

¶ ³

長さ

l

_の双曲

Montesinos

_結び目

K

_に対して

,

• l ≤ 2 ⇒ K

は

2-

_{橋結び目となり}

,

_{例外的手術は}

分類されている

[Brittenham-Wu ’95].

• l ≥ 4 ⇒ ̸ ∃

^{例外的手術}

[Wu ’96].

• ̸ ∃

^既約手術

[Wu ’96].

•

トロイダル手術は分類されている

[Wu ’06].

• Seifert

_{手術で基本群が有限}

( | π ₁ ( K ( r )) | < ∞ )

となるものは分類されている

[Ichihara-J. ’09].

µ ´

残るは

: K = M ( R , R , R )

_に沿った

Seifert

_手術で

,

(5)

Theorem

K :

_長さ

3

_{の双曲交代}

Montesinos

_結び目

.

K

に沿った

r -

_手術が

Seifert

_{手術ならば}

, K = P ( a, b, c ).

ここで

, a < b < c

_{は正の奇数で}

, a = 3 , 5.

さらに

,

_{手術スロープ}

r

は次を満たす整数である

:

• a = 3

_のとき

, 1 ≤ | r | ≤ 8.

このときさらに

, 11 ≤ b

_なら

, 1 ≤ | r | ≤ 3.

• a = 5

_のとき

, | r | = 1.

(6)

証明の概略

K :

ザイフェルト手術を持つ，双曲交代

Montesinos

_結び目．

Step 1. (

本質的ラミネーションを使う

) K = P ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ), P (2 b, 3 , 3), M ( ¹

3 , ¹ ₃ , 1 − ₂ ¹ _c )

( a _i :

_正の奇数

, b, c ∈ ^N ).

Step 2. (

対称性と交代化数，その他結び目不変量を使う

) K ̸ = P ( a ₁ , a ₂ , a ₂ ), P (2 b, 3 , 3), M ( ¹

3 , ¹ ₃ , 1 − ₂ ¹ _c ).

交代モンテシノス結び目に沿った ザイフェルト手術