交代結び目に沿った例外的デーン手術の完全分類にむけて

(1)

H.Masai

Introduction Dehn surgery 例外的手術 alternating knot Result

Outline of Proof t(D)≥9 Using Computer

交代結び目に沿った例外的デーン手術の完全分類にむけて

正井秀俊

東京工業大学情報理工学研究科

joint work with

市原一裕 (日本大学文理学部) 日本数学会

京都大学, 20th Mar. 2013

(2)

H.Masai

Dehn surgery on a knot

K :

３次元球面

S

³ 内の結び目 Dehn surgery on K

(3)

H.Masai

Motivation

Hyperbolic Dehn Surgery Theorem [Thurston (1978)]

双曲結び目

(i.e.,

補空間に双曲計量が入る結び目

)

に

沿った

Dehn

手術で得られる多様体は高々有限個の例外を除いて，双曲多様体となる．

例外的手術

双曲結び目に沿った

Dehn

手術で双曲ではない多様体を与えるものを例外的手術と呼ぶ

.

(4)

H.Masai

Our Target

最終目標

双曲結び目の例外的手術を全て決定したい．

交代結び目

結び目に沿って進んだとき，交点の上下を交互に通過するような図式を持つ結び目．

本日の目標

双曲交代結び目の例外的手術を決定したい．

(5)

H.Masai

“Theorem”

計算機による実験結果

[Ichihara-M., in preparation]

K：樹木状でない双曲交代結び目．

K

が

6≤t(D)≤8

となる交代図式

D

をもつならば，

K

は例外的手術をもたない．

ここで

t(D)

は図式のねじれ数である．

Figure: t(D) = 3の樹木状な結び目の例．点線で囲まれた交点も

しくは，バイゴンの集まりがねじれ.

(6)

H.Masai

Excuse us ...

“

定理

”

と書けない理由

計算機を用いる際の誤差評価について，問題が見つかった．

I 少なくない数の人が用いているプログラムに問題が見つかった．

I 計算機の専門家

[

^大石

-

^高安

]

の意見をあおぎ，プログラム自体の修正はほぼ終わっている．

I 修正後のプログラムを適用する事により，「定理」と呼べるようになる見込み．

(7)

H.Masai

Known facts

K

：

S

³ 内の双曲交代結び目．

Fact [Lackenby (2000)]

K

^{が交代図式}

D

^で

t(D) ≥ 9

^{を満たすものを持つ．}

⇒ K

は例外的手術を持たない．

I

K

^が

t(D) ≤ 5

^{となる図式}

D

^を持てば

K

^は^樹木状

.

事実

樹木状な結び目の例外的手術は全て分類されている．

⇒

（計算機による結果の検証がすむと）双曲交代的結び目の例外的手術の完全な分類が得られる．

(8)

H.Masai

“Theorem”

計算機による実験結果

[Ichihara-M., in preparation]

K：樹木状でない双曲交代結び目．

K

が

6≤t(D)≤8

となる交代図式

D

をもつならば，

K

は例外的手術をもたない．

上の条件を満たす結び目

K

は次のような絡み目から生成する事ができる．

(9)

H.Masai

(10)

H.Masai

(11)

H.Masai

(12)

H.Masai

(13)

H.Masai

(14)

H.Masai

(15)

H.Masai

(16)

H.Masai

(17)

H.Masai

(18)

H.Masai

Using Computer

I 与えられた双曲多様体の例外的手術を列挙．

B.Martelli, C.Petronio, F.Roukema Exceptional Dehn surgery on

the minimally twisted five-chain link preprint, arXiv:1109.0903

I 近似解を検証する．

Harriet H. Moser

Proving a manifold to be hyperbolic

(19)

H.Masai

Computation time

I

30,522

個の絡み目補空間の例外的手術を全て調べれば

良い．

I 工夫無しで約

8

時間，様々な工夫の後にも約

1

時間が

1

つの絡み目に対して必要．

(cf. 30522/24/365 ≈ 3.4

^年

)

(20)

H.Masai

TSUBAME

I 東工大の誇るスーパーコンピュータ．

I 大規模並列処理が可能．

I 今回は「別々の多様体を個別に調べる」ため，状況が既に並列化されている．

(21)

H.Masai

ありがとうございました！

(22)

H.Masai

”Conclusion”

Suppose that K(γ ) is non-hyperbolic. Then one of the following holds.

I

K = K

_[2,₋_2]

(i.e., the figure-eight knot) and

I γ= 0,4,−4 withK(γ)is a toroidal manifold, or

I γ= 1,2,3,−1,−2,−3withK(γ)is a Seifert fibered manifold.

I

K = K

_[2n,_±_2]

with | n | > 1 and

I γ= 0,∓4withK(γ)is a toroidal manifold, or

I γ=∓1,∓2,∓3 withK(γ)is a Seifert fibered manifold.

I

K = K

_[b₁_,b₂_]

with |b

1

|, |b

2

| > 2 and γ = 0 (resp.

γ = 2b

2

) if both b

1

and b

2

are even (resp. b

1

is odd and

b

₂

交代結び目に沿った例外的デーン 手術の完全分類 にむけて

交代結び目に沿った例外的デーン 手術の完全分類 にむけて

K :

S

(i.e.,

)

Dehn

例外的手術

Dehn

.

最終目標

双曲結び目の例外的手術を全て決定したい．

交代結び目

本日の目標

計算機による実験結果

が

となる交代図式

をもつならば，

は例外的手術をもたない．

ここで

は図式のねじれ数である．

定理

と書けない理由

[

-

]

K

S

K

D

t(D) ≥ 9

⇒ K

K

t(D) ≤ 5

D

K

.

事実

⇒

計算機による実験結果

が

となる交代図式

をもつならば，

は例外的手術をもたない．

K

B.Martelli, C.Petronio, F.Roukema Exceptional Dehn surgery on

the minimally twisted five-chain link preprint, arXiv:1109.0903

Harriet H. Moser

Proving a manifold to be hyperbolic

30,522

8

1

1

(cf. 30522/24/365 ≈ 3.4

)

ありがとうございました！

Suppose that K(γ ) is non-hyperbolic. Then one of the following holds.

K = K

(i.e., the figure-eight knot) and

K = K

with | n | > 1 and

K = K

with |b

|, |b

| > 2 and γ = 0 (resp.

γ = 2b

) if both b

and b

are even (resp. b

is odd and

b

is even) with K (γ) is a toroidal manifold.

交代結び目に沿った例外的デーン手術の完全分類にむけて

交代結び目に沿った例外的デーン手術の完全分類にむけて