結び目に沿った矯飾的手術について 市原 一裕

結び目に沿った矯飾的手術について

市原 一裕

(日本大学文理学部)

1.

本稿の目的は，３次元多様体内の結び目に沿った矯飾的手術（

cosmetic surgery

[IS18, IJ18, IW19, IIS, IJMS]

を中心に解説を行うことである。これらの論文は，筆者と，伊藤哲也氏（京都大学），

鄭仁大氏（近畿大学），

Thomas Mattman

Zongtao Wu

以下，全ての多様体は向き付け可能であるとし，一つの向きが与えられているとす る。本稿では，向きづけられた多様体

M

− M

2

M

M

h : M → M

M ∼ = M

h

: M → M

M ∼ = − M

2.

本節では，結び目に沿った矯飾的手術の研究動機となった「結び目補空間予想」およ びその一般化について解説した後，結び目に沿った矯飾的手術の定義を与え，その研 究の中心的課題である「矯飾的手術予想」を紹介する。

３次元多様体

M

S

M

そして通常，

M

2

K

K

M

h

h(K) = K

2

1908

[Ti1908, pp.82]

Tietze

結び目補空間予想：

3

S

2

およそ

80

1989

Gordon

Luecke

れた

[GL89]

定理

1 ([GL89]).

S

ここで，

S

K

K

3

E(K)

E(K)

V ∼ = D

× S

2010 Mathematics Subject Classification: 57M27, 57M25

∗〒

156-8550

3-25-40

e-mail: [email protected]

web: http://www.math.chs.nihon-u.ac.jp/~ichihara/index-j.html

1

cosmetic

2

Tietze

3

R

S

した。

正確には，

V

∂V

E(K)

∂E (K)

∂V

∂E(K)

もし結び目補空間予想の反例となる結び目が存在したとすると，その結び目に沿っ た非自明なデーン手術（脚注を参照）で

S

Gordon-Luecke

一方で，ほぼ同時期に，S³内ではなく

S

× S

S

Gabai

1

[Ga87]

このようなことから，結び目補空間予想の一般化として，次のことが予想された。

予想：（

[Go90, Conjecture 6.2]

[Ki97, Problem 1.81(D)]

3

M

2

K

K

M − K

∼ = M − K

K

K

この予想を導くような，デーン手術を用いて表された予想を簡潔に述べるために，次 の定義を準備する。

定義

1.

K

2

r

r

cos- metic

2

3

K(r

)

K(r

)

K(r

) ∼ = K(r

)

purely cosmetic

K (r

) ∼ = − K(r

)

chirally cosmetic

このとき，上の一般化された結び目補空間予想は，次の矯飾的手術予想（

Cosmetic Surgery Conjecture）から導かれる。

矯飾的手術予想：（[Go90, Conjecture 6.1]，

[Ki97, Problem 1.81(A))]）閉 3

K

2

r

r

r

r

K(r

) ̸∼ = K(r

)

ここで，結び目外部空間

E(K )

2

E(K )

この予想は現在でも未解決であるが，いくつかのアプローチにより，近年，大きく 研究が進んでいる。以降では，それらについて解説をしていく。

3.

この節では，結び目補空間予想の解決後，およそ

2015

S

1990

Mathieu

3デーン手術において，V 内で円板を張る

∂V

µ

1

∂E(K)

γ

µ

γ

3

γ

∂E(K)

2

T

H

(T

, Z )

Q ∪ { 1/0 }

S

H

(∂E(K))

r = 1/0

r

K

K(r)

定理

2 ([Math92]). S

T

k ≥ 0

T

(

) ∼ = − T

(

)

なお，このスロープ ^18k+9

3k+1 と^18k+9

3k+2 は同値ではない。このことから，矯飾的手術予想 において，向きを保つという仮定が外せないことがわかる。

さらに上の例の拡張として，

Rong

3

[Ro93]

[IIS, Appendix A]

S

(r, s)

T

s = 2

r ≥ 3

（奇数）のときに限る。このとき，その矯飾的手術は全て対掌的であり，任意の正の整 数

m

T

( 2r

(2m + 1)

r(2m + 1) + 1 ) ∼ = − T

( 2r

(2m + 1) r(2m + 1) − 1 )

その後，さらにレンズ空間内の非双曲的結び目に対しては，

Matignion

[Mati10]。これらの結果において，実際には，純矯

以上は全て，実は矯飾的手術という用語が明確に導入される以前の結果である。矯 飾的手術について，最初に明確に定義を述べ，その研究の出発点となったのは，

1999

[BHW98]

1

S

× S

1

3

L(49, − 19) ∼ = − L(49, − 18)

一方，与えられた結び目が矯飾的手術をもつかどうかの判定については，明確な形 で最初に得られたのは，次の

Boyer-Lines

定理

3 ([BL90]). S

K

∆

(t)

K

∆

(1) = 1

∆

(1) ̸ = 0

K

この定理は，有理係数ホモロジー球面のキャッソン不変量を計算する手術公式を用 いて計算されている。実際，この後から，

3

∆

(1)

結び目

K

2

a

(K )

結び目の

2

21

Ozsv´ ath

Szab´ o

[OZ04]

Ozsv´ ath

Szab´ o

[Wu11]

Wu

S

K

4三つ葉結び目は，(2,

3)

5

2

3

(p, q)

6

S

3

たデーン手術について，その手術スロープが異符号ならば純矯飾的にならないことを，

ヒーガード・フレア・ホモロジーとキャッソン不変量を合わせて用いることで示した。

さらに，[NW15]において，3次元多様体のキャッソン-ゴードン不変量も合わせて，

次の非常に強い結果が得られた。

定理

4 ([NW15, Theorem 1.2]). S

K

r

, r

K(r

) ∼ = K(r

)

(a) r

= − r

(b) r

= p/q

q

≡ − 1 (mod p)

(c) τ(K ) = 0

τ

Ozsv´ ath-Szab´ o

τ-不変量）

ここで，結び目

K

の場合は，

τ-不変量は，よく知られた結び目の符号数 σ(K)

4.2

4.

4.1.

本節では，不変量を用いた矯飾的手術の存在の判定について，

[IW19]

[IW19]

定理

5 ([IW19, Theorem 1.1]). S

K

V

(t)

K

V

(1) ̸ = 0

V

(1) ̸ = 0

K

この定理は，定理

3

∆

(1)

V

(1) = − 3∆

(1)

3

1

3

3

定理

5

Lescop

λ

-

3

Kontsevich- Kuperberg-Thurston

Z

2

Z

1

Z

この

λ

-不変量の明示的な手術公式は Lescop

S

K

p/q

K(p/q)

λ

(K( p

q )) = ( q

p )

λ

(K) + ( q

p ) w

(K) + c( q

p ) a

(K ) + λ

(L(p, q))

ここで

λ

(K)

c(

)

K

p/q

Lescop

w

(K)

w

3

w

(K) = 1

72 V

(1) + 1

24 V

(1)

が成り立つことを示すことができ，これから定理の証明が従う（最後に定理

4

なお

w

3

5

[IW19, Theorem 3.5]

定理

5

3

4

フレア・ホモロジーによる結果とは独立になる。実際，具体的な結び目

9

K(1)

K ( − 1)

5

以上の結果は，

Kontsevich-Kuperberg-Thurston

Z

Lescop

LMO

[It20]

4.2. 2

本節では

[IJMS]

2

それ以前に開発された

[IS18]

[IJMS]

定理

6 ([IJMS, Theorem 1.1]). S

2

さらに同様の手法を用いて，交代的ファイバー結び目，交代的プレッツェル結び目 が純矯飾的手術をもたないことも示される（

[IJMS, Theorem 1.2]

ここで

2

S

2

2

2

偶数のみによるものや，各成分の値が正で最後の項が

2

2

さて定理

6

Hanselman

定理

7 ([Ha, Theorem 2]). S

K

r, r

{ r, r

} = {± 2 }

{± 1/q } , (ii) { r, r

} = {± 2 }

g(K) = 2

(iii) { r, r

} = {± 1/q }

q ≤ th(K) + 2g(K ) 2g(K)(g(K) − 1)

ここで，

g(K)

K

K

th(K)

thickness

特に，交代的結び目

K

th(K ) = 0

(iii)

q = 1

つまり，定理

4

補題

1. S

K

r, r

g(K) = 2

σ(K) = 0

{ r, r

} = {± 1 }

{± 2 }

以下，上の補題を基に定理

6

まず，定理

5

[IW19, Corollary 4.5]

2

2

K

K

[2x, 2y, − 2(x + y), 2x]

0

y ̸ = 0

2

w

そこでこの連分数

[2x, 2y, − 2(x + y), 2x]

2

K

1

σ(K) = 0

y < 0

(x + y) > 0

Lee

Traczyk

σ(K) = o(D) − y(D) − 1

K

K

D

以上より，

[2x, 2y, − 2(x + y), 2x]

x > 0

y < 0

(x + y) > 0

2

K

[2x − 1, 1, − (2y + 1), 2(x + y) − 1, 1, 2x − 1]

ここで，

[IS18]

SL(2, C )-

SL(2, C )-キャッソン不変量とは，非常に大雑把な言い方をすれば，閉 3

Σ

π

(Σ)

SL(2, C )

2001

Curtis

Boden-Curtis

2

K

p/q

K

K (p/q)

λ

(K(p/q))

total Culler-Shalen

K

E(K)

2

Mattman-Maybrun-Robinson

るアルゴリズムが与えられている。これらを基に

[IS18]

2

[IW19]

ここでは，連分数展開

[2x − 1, 1, − (2y + 1), 2(x + y) − 1, 1, 2x − 1] (x > 0, y <

0, (x + y) > 0)

2

K

{± 1 }

{± 2 }

SL(2, C )-キャッソン不変量を具体的に計算す

K

x = − 2y

x = − 2y

2

（amphicheiral）⁷になり，SL(2,

C )-キャッソン不変量は，3

6

最後に，

x = − 2y

[4n, − 2n, − 2n, 4n]

n > 0

2

K

K

[It20]

3

LMO

3

4

6

K

j

(K )

V

(t)

t = e

4

2

7

S

K

5.

本稿を執筆している現在（

2020

9

Hanselman

で，

arXiv

• [arXiv:1906.06773] J. Hanselman, Heegaard Floer homology and cosmetic surgeries in S

.

• [arXiv:1909.02340] K. Ichihara, I. D. Jong, T. W. Mattman, T. Saito, Two-bridge knots admit no purely cosmetic surgeries.

• [arXiv:1909.05048] R. Tao, Connected sums of knots do not admit purely cosmetic surgeries.

• [arXiv:2005.07278] K. Varvarezos, 3-braid knots do not admit purely cosmetic surgeries.

• [arXiv:2005.12795] I. Petkova, B. Wong, Twisted Mazur pattern satellite knots and bordered Floer theory.

• [arXiv:2006.06765] A. I. Stipsicz, Z. Szab´ o, Purely cosmetic surgeries and pretzel knots.

• [arXiv:2009.00522] B. Boehnke, C. Gillis, H. Liu, S. Xue, The purely cosmetic surgery conjecture is true for the Kinoshita-Terasaka and Conway knot families.

6.

この節では，対掌矯飾的手術について

[IJ18, IIS]

純矯飾的手術については，矯飾的手術予想があり研究の方向性が示されているが，対 掌矯飾的手術については，

Mathieu

[Math92]

[IIS]

から，

[IJ18]

6.1.

1

結び目

K

2

r

r

2

3

K(r

)

K(r

)

K(r

) ∼ = − K (r

)

chirally cosmetic

単純な例として，もろ手型結び目に沿ったデーン手術がある。Kを

S

{ 0, 1/0 }

r

− r

K

r

− r

− r

∼ = − K ( − r)

− r

また一方，

3

S

現時点で知られている

S

[IIS]

1

定理

8 ([IIS, Theorem 6.4]). S

1

K

r, r

(i) K

r = − r

K

r, r

Mathieu

[IIS]

-

SL(2, C )-

Ozsv´ ath-Szab´ o

Ni

この定理から，次の問題が自然に生じる（楽観的過ぎるかもしれないが）。

問題

.

S

この問題は現時点でどちらとも言えない。実際，

[IJ18]

S

6.2.

矯飾的手術という用語を導入し，その研究の出発点となった

[BHW98]

1

S

× S

1

L(49, − 19) ∼ = − L(49, − 18)

予想：（

[BHW98, Conjecture 3]

[Ki97, Problem 1.81(B))]

3

この予想の反例を与えたのが次の結果である。

定理

9 ([IJ18, Theorem 5.1]).

3

この矯飾的手術は対掌的であり，互いに鏡像であるような双曲多様体を生成する。以 下，この例の構成方法と，その双曲性などをどのように示したか，説明する。

まず，例の記述にはいわゆるモンテシノス・トリックを用いた。モンテシノス・ト リックとは，

S

2

与えられた強可逆的結び目を回転対称性で割って得られる絡み目から，バンド手術に よってデーン手術後の多様体を

2

[BHW98]

のモンテシノス・トリックを用いた表示を求めた。その表示を鏡像対称性および回転 対称性が「見える」ように変形したのが図

1

図の左の結び目

K

K

K

2/3π

K

9

2

2

従って，

[BHW98]

ある。

8結び目の向きを逆転するような

180

図

1: Bleiler-Hodgson-Weeks

9

Bleiler-Hodgson-Weeks

2

1

図の構成から，得られた結び目が対掌矯飾的手術をもつことは直ちに従う。あとは，

その結び目が双曲的であること，得られた多様体が双曲的であること，さらに非自明な 例であることを示すために，

2

今回は一つでも具体的な例を与えることを目的としたので，これらのことをコンピュー タを使ってチェックした。結び目および得られた多様体の双曲性については，以前に

[HIKMOT16]

“hikmot”

3

hikmot

3

[DHR15]

[IJ18]

Appenndix

7.

現状では，

Hanselman

[Ha]

Gainullin

Ravenomanana

LMO

[It20]

Jeon

Futer-Purcell-Schleimer

cable knot

Ran Tao

4

本稿では矯飾的手術を研究する動機として，結び目補空間予想およびその一般化か ら話を始めたが，他に，

3

謝辞. 本稿を執筆するにあたって，共同研究者である伊藤哲也氏，斎藤敏夫氏，鄭 仁 大氏にはご協力をいただきました。この場をお借りして感謝申し上げます。

参考文献

[BHW98] S. A. Bleiler, C. D. Hodgson and J. R. Weeks, Cosmetic surgery on knots, in Proceedings of the Kirbyfest (Berkeley, CA, 1998), 23–34, Geom. Topol. Monogr., 2, Geom. Topol. Publ., Coventry.

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