偏 平 ケ-ブ ル の非 線 形 振 動 に現 れ るカ オ スの解 析
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(2) 仮定す る. (2). w=1T(t)W(x) こ こ に, T(f): 未 知 の 時 間 関 数, W(x): 満 足 す る座 標 関 数 で 対 称1次. 境界条件 を. 振 動 の 固 有 振 動 形注2)を用. い る6). こ の 固 有 振 動 形 は初 期 水 平 張 力 の み を受 け る偏 平 ケ ー ブ ル の線 形 微 分 方 程 式 を解 い て得 られ る. 図‑1偏. 平 ケ ー ブル の 一 般 図. 式(2)は,. 式(1)の. Galerkin法. 厳 密 解 で は な い. そ こ で,. を適 用 し, さ ら に粘 笹 減 衰 力 を考 慮 す る と,. 次式 が得 られ る. 式 に変 換 す る注1). 次に, 常微分方程式の周期解を求め. (3). T+2hw1T+ w1T+ C2T 2+ C3T 3=pocos LILT. る ため に調 和 バ ラ ンス 法 を用 い て, 連立 非 線 形 代 数 方 程 こ こ に,. 式 に 変 換 し, Newton‑Raphson法. に よ り, 1/2分 数 調 波. po=poly/Hela7r2, Id=k2/(1+8T2)Iar2,. 共 振 お よび超 分 数 調波 共 振 を求 め る. ま た, 周 期 解 お よ び 非 周 期 解 を求 め, カ オ ス の 解 析 を行 う た め にRunge‑ Kutta‑Gi11法. Ia= IW2djIb= IW2d1Ie=. を用 い て 直 接 数値 積 分 を行 う.. 1Wd,. W'=dW/d. カオ ス の 判 定 法 と して, 時 系 列 応 答 波 形, Poincar合 写像, Lyapunov指. C2- l2yIbICId, C3-Ib Id/2,. h: 減 衰 定 数, ξ=x/1,. 数, パ ワ ー スペ ク トル お よび 分 岐 図. に よる応 答 波形 解 析 法 を利 用 し, 偏 平 ケ ー ブル に現 わ れ. 円 振 動 数, γ=f/1=サ. る カオ ス を検 討 す る. 数 値 解 析 に お い て, サ グ比, 縦 波 ・ 横 波 伝 播 速 度比, 荷 重 強 度 をパ ラ メー タ ー に解 析 解 と. 伝 播 速 度 比, n:. τ=nf,. の=f2/n:. 無次元加振. グ比, ん=EQ/He:. 縦 波 ・横 波. サ グ の な い ケ ー ブ ル の1次 の 固 有 円振. 動 数.. の 比較 と カ オ ス の発 生 領 域 に つ い て検 討 す る. (2)調 2.. 和 バ ラ ンス 法 に よ る各 種 分 数 調 波 共 振 理 論 の解 析. 面 内荷 重 を受 け る偏 平 ケ ー ブル の 運 動 方 程 式. 周期 的な分 岐解 と カオスの発生 との関係 を知 るため に, 周 期 的 な分 岐 解 の 発 生 領 域 を明 らか に す る必要 が あ. 図一1に 示 す よ う な偏 平 ケ ー ブ ル(初 期 形 状 が 放 物線) が面 内荷 重pocosgfを. る. 分 岐 点 近 傍 の 分 数 調波 共 振 を解析 す る。. 受 け る場 合 の 運 動 方 程 式 は次式 に. a)1/2分. な る6).. 数調波共振. 1/2分 数 調 波 共 振 を求 め るた め に, 式(3)の. (1). 解 を次. 式 の よ う に仮 定 す る.. こ こ に,. (4) たわ み に よる変 動 軸 力, ω: 面 内鉛 直 たわ み, f: 時 間, m:. b)高. ケ ー ブ ル の 単 位 長 さ あ た りの 質 量, f: ケ ー ブ ル サ. グ, 1: ケ ー ブ ル ス パ ン長, x: 支 点 か らの水 平 距 離E =ヤ ング率, A:. 断 面 積, Le=1(1+8f92/12):. 高 調 波 共 振 領 域 に お け る各 種n/nz(n>m:. 放物線 ケー. 分数. こ こ でn,. mは 正 の整 数)超 分 数 調 波 共 振 を求 め る ため に, 式(3). ブ ル の ケ ー ブ ル長, He: 初 期 水 平 張 力, po: 荷 重 強 度, 9:. 調 波 共 振 領 域 に お け る各 種n/nz(n>m)超 調波共振. の解 を次 式 の よ う に仮 定 す る.. 外 力 の 円振 動 数. 3.. 偏 平 ケ ー ブ ル の 運 動 方 程 式 の 解 法7). (1)常. (5) こ こ に,. 微 分方程式への変換. 式(1)の. 621+521:. 解 を1自 由 度 系 モ デ ル で 次 の 変数 分 離 形 に. 注1)ケ ー ブ ル は連 続 体 で あ る た め, 多 自由 度 系 と して の モ デ ル 化 が よ り厳 密 で あ るが, 注 目 して い る1次 固有 振 動 の 近 傍 にお い て, 高 次 モ ー ドの非 線 形 項 が卓 越 す る よ うに 加 振 され る可 能 笹 は 小 さ い た め に, 本 研 究 で は1自 由 度 系 に 近 似 した. これ に よ っ て, 本 研 究 の 目的 で あ る カ オ 冬 の 発 生 条件 を は っ き り させ る こ と が可 能 で あ る。. An/m=cn/s2/m: 付 随 応 答 成 分,. 分 岐 応 答 成 分, φn/m=tan‑1(Sn/mC/m),. A1= φ1=. 注2)本 研 究 で は ケ ー ブ ル を1自 由 度 系 で 近似 し, ケ ー ブル の モ ー ドは振 幅 に無 関 係 に線 形 モ ー ドを用 い る. 非 線 形 振 動 時 の モ ー ドは 振 幅 に よ っ て変 化 す る が, 著 者 の これ ま で の 計 算8)によれば, 振動数に及ぼす振動モードの変化の影響 は 小 さ い の で, 複 雑 な 波 形 処 理 を行 う本 論 の カ オ ス の 解 析 に は, 1自 由度 近 似 に よ る解 析 を行 う.. 182.
(3) tan1(si/ci): s/m:n/n分. 位 相 差, C0, 01, S1: 付 随 調 波 成 分, 0/m, 数 調 波 成 分(こ. こでn=1,. 7n=2の. と き,. 1/2分 数 調 波 共 振 を指 す). 式(4)お. よ び式(5)を. 式(3)に. 代 入 して, 調 和. バ ラ ン ス法 を適 用 す れ ば, 未 定 定 数 を求 め る連 立 非 線 形 代 数 方 程 式 を得 る. これ に, Newton‑Raphson法. を用 い,. 適 当 な初 期 値 の も と に解 けば, 必 要 な 解 が 得 られ る. 調 和 バ ラ ン ス法 は, 周 期振 動 を仮 定 して い るた め, カ オ ス の 解 析 に は対 応 で きな い. そ こで, 式(3)を2元 連 立 の1階 常 微 分 方 程 式 に変 換 し, Runge‑Kutta‑GilI 法 を適 用 して 直 接 数値 積 分 す れ ば, 時間 応 答 が求 め られ る. ま た, 振動 の周 期 の特 定 や, カ オ ス の特 定 を行 う判 定 法 に は, 位 相 図, Poincar6写像9), Lyapunov指数10), パ ワー スペ ク トル11), 分岐図12), 自己相関関数12)等の有 力 な方 法 が あ り, これ らに よ っ て解 析 す る.. 4.. 1/2分 数 調 波 共 振 近 傍 で 発 生 す る カ オ ス Circular. 図‑2(a)は,. 縦 波 ・横 波 伝 播 速 度 比 ん=30,. 比 γ=0. 03, 減 衰 定 数h=O.. 005,. (a)1/2分. サグ. 数 調 波 共 振 近 傍 に お け る応 答(ん=30,. frequency γ=0.03, po:. i 0. 1232). 荷 重 強 度p=0.1232. の偏 平 ケ ー ブ ル の1/2分 数 調 波 共 振 近 傍 の主 調 波 応 答 と 1/2分 数 調 波 応 答 で あ る. 図 一2(a)の で 得 ら れ た応 答 の振 幅 成 分A1,. 縦 軸 は式(4). A1/2を 示 し, 横 軸 は 無. 次 元 加 振 円振 動 数 の で あ る. Al/2が 現 れ て い る1/2分 数 調 波 共 振 近 傍 に注 目す る と, 数 値 シ ミュ レー シ ョンの 応 答 振 幅(○. 印)は,. 解 析 解 の 応 答 振 幅A1/2と 一 致 し. て い な い. こ れ は, 解 析 解 の1/2分 成 分A1が. 数 調 波 応 答 に主 調 波. Circular. frequency. 含 ま れ て い な い た めで あ る. 主 調 波 成 分A1を. (b)分. 考 慮 し補 正 し た1/2分 数 調 波 応 答Ai/2で は, 主 調 波 応. 図 一2. 岐 図(ん=30,. γ=0.. 03,. po=0.. (2). 1232). 1/2分 数 調 波 共 振 近 傍 に お ける カ オ ス. 答A、 か ら1/2分 数 調 波 応 答Ai/2へ の初 期 遷 移 領 域 で 数 値 ジ ミュ レー シ ョ ンの応 答 振 幅 と解 析 解 の応 答 振 幅Ai/2 が一 致 して い る. しか し, の=4. 88〜4. 16の 領 域 で は,. が, 周 期2Tの. 周 期 丁お よ び周 期2Tの. 数 の を減 少 させ る と, 周 期fT(f≧3)の. 解 析 解 と一 致 しな い応 答 が 生 じ. て い る. そ こ で, これ らの 解 につ いて 時 間 応 答 解析 を行. 振 動 に移 る. さ らに, 無 次 元 加 振 円振 動 振動 を間欠的 に. 繰 り返 し, の=4. 5近 傍 で は, カ オ ス が 発 生 し始 め, の =43近 傍 よ りカ オ ス が頻 繁 に 現 わ れ る.. い, 詳 し く検 討 す る. 図 中 の○ 印 内 の数 字 は引 用 の た め に つ けた 番号 で あ る.. 1/2分 数 調 波 共 振 近 傍 で, カ オ ス に 至 る道 筋 は, 周 期. ポ イ ン ト(1), (9)は 周 期 丁 の主 調 波 応 答 で, ポ イ ン ト(5). 的 な振 動 が周 期 倍 加 分 岐 を繰 返 し, カ オ ス に至 る と は い. は周 期2Tの1/2分. え な い が, 無 次元 加 振 円振 動 数 が減 少 す る に つ れ て, 周. 数 調 波 応 答 で あ る. この2種 類 の 定. 常 応 答 は解 析 解 と一 致 して い る. ポ イ ン ト(3)では, カオ. 期2Tの. ス を示 し, こ の カ オ スの 近 傍 に はポ イ ン ト(2), (7)の 周期. しな が らカ オ ス に至 る.. 8Tの 応 答, ポ イ ン ト(6)の周 期67Tポ 4Tお. よび ポ イ ン ト(8)の周 期5Tの. ま た, 図‑2(b)に. イ ン ト(4)の周 期. 図‑3(a),. 応 答 が 現 わ れ て い る.. (b),. (c)お. 振 動 を 間 欠 的 に繰 り返. よ び(d)に. は, カ オ ス. が 生 じて い る ポ イ ン ト(13)の 応 答 波形, Lyapunov指 Poincar6写. は, 1/2分 数 調 波 共 振 近 傍 の 分. 岐 を 調 べ る た め に分 岐 図 を示 す. 図一2(b)の. 振 動 が 周 期f7K≧2)の. 縦軸 は. 数,. 像 お よ びパ ワ ー スペ ク トル を示 す.. これ らの 波 形 の 解析 よ り, ポ イ ン ト(3)および(10)〜(13)で. シ ミュ レー シ ョン に よ って 得 られ た 速度 で あ る. 分 岐 図. は, カオ ス が 生 じて い る. 応 答 振 幅 と カオ ス の特 笹 に つ. よ りカ オ ス に至 る様 子 を調 べ る と, 無 次 元 加振 円振 動 数. い て検 討 す る と, 応 答 振 幅 に よ っ て カ オ ス の特 笹 は, ほ. の を5. 1よ り減 少 させ る と の=4. 920で 周 期 丁の 振 動. と ん ど変 化 しな い. ま た, ポ イ ン ト(12), (13)お よ び(3)のよ. 183.
(4) (a)応. 答波 形. (a)2次. (b)Lyapunov指. 数. (d)パ. 図一3. (c)Poincar6写. の 非 線 形 項C2と. サ グ比 の関 係. 像. ワ ー ス ペ ク トル. カオ ス(ポ. イ ン ト(13),の=4. 400). (b)3次. う に発 生 振 動 数 が 接 近 して い る場 合, ス トレ ンジ ア トラ. の 非 線 形 項C3と. 図一4. サ グ比 の関 係. カ オ スの 発 生 領 域. ク ター が 似 て い る傾 向 が あ る.. 5.. 1/2分. 数 調 波 近 傍 で発 生 す る カ オ ス に及 ぼ す. 形 状,. 材 料 お よ び 荷 重 パ ラ メ ー タ‑の. (1)サ. グ比 の 影 響. 図一4(a),. (b)は,. 縦波 ・ 横 波 伝 播 速 度 比 ん=20,. 30, 40, 45お よ び60の5種 ル の2次. 影響. 類 に変 化 さ せ た偏 平 ケ ー ブ. の 非 線 形 項 の 係 数(C2)お. 項 の 係 数(C3)と につ いて1/2分. よび3次. の非線形. サ グ比 γの 関 係 を示 す. 各 ケ ー ブ ル 数 調 波 共 振 近 傍 にお け る応 答解 析 を行 っ. Circular. て カ オ ス の発 生 の有 無 を確 か め た. 得 られ た結 果 を図一. 図一51/2分. frequency. CA). 数 調 波 共 振 の背 骨 曲 線(ん=30). 4に 併 記 して い る. ● 印 は, 1/2分 数 調 波 共 振近 傍 で カ オ ス が 発 生 す る場 合 で, ○ 印 は, カ オ ス が発 生 しな い場 合 で あ る. こ こで は, 1/2分 数 調 波 共 振 近 傍 で カオ ス が. (ん=30)に. つ い て の調 和 バ ラ ン ス法 に よ る1/2分 数 調. 発 生 しや す い 縦 波 ・横 波 伝 播 速 度 比 ん=30で の サ グ比. 波 共 振 の背 骨 曲線(p=0.. の 影 響 を検 討 す る. この 図 で は, サ グ比 γ: 0. 01, 0. 02,. と0. 05の 場 合 は, 3次 の 非 線 形 項 が 支 配 的 な硬 化 バ ネ. 0. 03, 0. 04お よび0. 05の5種. 特笹 を もつ 偏 平 ケー ブル で あ り, サ グ比 γ・=0.01〜0. 04. 類 の偏 平 ケ‑ブ ル(ん=30). の うち, サ グ比 γ=0. 02, 0. 03の2種. 類 で カオ ス が発 生. 0)を 示 す. サ グ 比 γ=0. 005. の 場 合 は, 2次 の 非 線 形項 が支 配 的 な軟 化 バ ネ特笹 を も. して い る. ま た, 縦 波 ・ 横 波 伝 播 速 度 比 ん を変 化 させ た. つ偏 平 ケ ー ブ ル で あ る. 図 一4(a),. 場 合 に つ い て も, カ オ ス は, サ グ比 γ=0. 0ユ5〜0.04領. よ り, 1/2分 数 調 波 共 振 近 傍 の カ オ ス は, サ グ比 γ=. 域 で 発 生 して い る. 図 一5は,. 0.015〜0. 04の 領 域 で 発 生 して お り, 図‑5よ. サ グ比 γ=0. 005, 0. 01,. 0. 02, 0. 03, 0.04お よび0. 05の6種. 類 の 偏 平 ケ ー ブル. (b)お. よ び図‑5. り2次 の. 非線 形 項 が支 配 的 な軟 化 バ ネ特 笹 を もつ 偏 平 ケ ーブ ル の. 184.
(5) 図‑6. 無次元固有円振動数 とサ グ比の関係 図‑7. 応 答 の分 類 図(κ=30,. γ=0. 02). 場 合 に カ オ ス が発 生 しや す い こ とが 確 認 で き た。 ス が周 期 丁か ら周 期2Tへ (2)縦. 波・ 横 波伝 播 速 度 比 の影 響. 図一4(a),. (b)お. よび 図一6よ り, 1/2分 数 調 波 共. た, カ オ スの 発 生 に及 ぼす 荷 重 強 度 の影 響 は, あ ま り敏. 振 近 傍 の カ オ ス の発 生 に及 ぼす 縦 波 ・横 波 伝 播 速 度 比 ん の 影 響 を評 価 す る. ん=20,. 30, 40, 45お よ び60の5. 種 類 の偏 平 ケ ー ブ ル(γ=0.. 02)に. び40の2種. の 遷 移 領 域 内 に発 生 し, は っ. き りと した境 界 を持 た な い不 完 全 な領 域 を形 成 す る. ま. つ い て, ん=30お. よ. 感 で は な い.. (4)カ. 類 の偏 平 ケ ー ブ ル で は, カ オ ス が生 じて い. オス の 発 生 領 域 と固 有 振 動 数 との 関 係. 図 一6は,. る. ま た, サ グ比 γを変 化 させ た場 合 は, ん=20〜40(γ. 縦 波 ・横 波 伝 播 速 度 比 ん=20,. お よ び60の5種. =0. 015〜0. 04)の 領 域 の 偏 平 ケ ー ブ ル で, カ オ ス が 生. 30, 40, 45. 類 の 偏 平 ケ ー ブ ル の無 次 元 固有 円振 動. 数 の、とサ グ比 γの 関 係 を 求 め た も の で あ る6). ● 印 は. じて い る. この こと よ り, カ オ ス に お け る縦 波 ・横 波 伝. 1/2分 数 調 波 共 振 近 傍 で カ オ ス が発 生 す る場 合 で, ○ 印. 播 速 度 比 んの影 響 は, 2次 の非 線 形 項 が 支 配 的 な 軟 化 バ. は カオ ス が 発 生 しな い場 合 で あ る. 偏 平 ケ ー ブ ル の 対称. ネ特 笹 を も つ偏 平 ケ ー ブ ルの 場 合 に, カ オ スが 発 生 しや. 振 動 数 は, 特 定 の サ グ比 γで増 大 し, これ に と もな って. す い. 図一6の 無 次 元 固 有 円 振 動 数 ω と サ グ 比 γとの. 振 動 モ ー ドが 一 段 高 次 の振 動 モ ー ドに 遷移 す る. ま た,. 関 係 で は, 縦 波 ・ 横 波 伝 播 速 度 比 んが 大 き い ほ ど, 小 さ. 振 動 モ ー ドの遷 移 領 域 は, 縦 波. 横 波 伝 播 速 度 比 んに. いサ グ比 γの領 域 で振 動 モ ー ドが 遷 移 して お り, 縦 波 ・. よっ て 異 な る13). この 図 で は, 縦 波 ・横 波 伝 播 速 度 比 が. 横 波 伝 播 速 度 比 んが 大 き い ほ ど, 小 さ い サ グ 比 γの 領. 大 きい ほ ど, 小 さい サ グ比 γの 領域 で振 動 モ ー ドが 遷移. 域 で カ オ スが 発 生 して い る.. し, 振 動 モ ー ドの遷 移 領 域 で カ オ ス が発 生 して い る.. (3)荷. 6.. 重強度の影響. 図 一7は, 1/2分 数 調 波 共 振 近 傍 に お け る, サ グ比 γ 二 〇.02, 縦 波 ・横 波 伝 播 速 度 比 ん=30の 偏 平 ケ ー ブ ル の 数 値 シ ミュ レー シ ョ ンに よる応 答 の分 類 を示 す. ここ で, 縦 軸 は 荷 重 強 度p,. 横 軸 は無 次 元 加 振 円振 動 数 の (1)周. よ び カオ ス を意 味 す る. 周 期2T. の発 生 領 域 は, 荷 重 強 度p=0. た, 荷 重 強 度p=0.. 周 期 解 か ら分 岐 を重 ね て カ オ スへ の 移 り方 を偏 平 ケ ー ブ ル に現 れ る カ オ ス につ いて 検 討 す る.. で あ る. 図 中 の ○ 印 は周 期 筑 ● 印 は周 期27'で あ り, 空欄 は周 期iT(i≧3)お. カ オ ス に 至 る 道 筋9). 期 倍 加 分 岐 か らカ オ スへ. 図一8(a),. 038付 近 で 最 も広 い. ま. (b)お. 播 速 度 比 ん=30,. 03付 近 ま で は, 周 期 丁お よ び周 期. よ び(c)に. は, 縦 波. 横 波 伝. サ グ比 γ=0. 04の 偏 平 ケ ー ブル の 高 調. 波 共 振 領 域 に お け る 応 答 と分 岐 図 を示 す. 図一8(a). 2Tの 応 答 の み 存 在 す るが, さ らに, 荷 重 強 度 を増 大 さ. の 高 調 波 共 振 領 域 に お け る応 答 は, 解 析 解 と して9/4,. せ る と, 周 期f1(i≧3)お. 7/4,. よ び カ オ ス が 発 生 す る. この. 5/3お よ び3/2超 分 数 調 波 共 振(p=0.. 分 岐 領 域 は, 周 期 丁か ら周 期27'へ の遷 移 領 域 内 に存在. 主 調 波 応 答(p0=0.. す る. 1/2分 数 調 波 共 振 近 傍 で の カ オ ス の発 生 に 及 ぼす. ン結 果 を示 して あ る.. 荷 重 強 度 の影 響 を見 る と, 荷 重 強 度 を増 大 させ る と カオ. 2246)な. 図 中 の 記 号n/nz(n>m)は 185. 0)お. よび. らび に 数 値 シ ミュ レー シ ョ. 数 値 シ ミュ レー シ ョ ン に.
(6) (a)高. 調 波 共 振 領 域 に お け る応 答(左=30,. γ=0. 04, p0=0.. (e)パ. 2246). (f)パ. (b)分. 岐 図(ん=: 30, γ=0. 04, po=0. 2246). (c)分. 岐図(カ オス応答の発生 す る振動数領域を拡大) 図‑8周. ワ ー スペ ク トル(ポ. ワー ス ペ ク トル(ポ. (9)パ. ワ ー ス ペ ク トル(ポ. イ ン ト(2), の=1. 220(f=0.. イ ン ト(3), 〜 力=1. 202(f=0.. イ ン ト(4), の=1. 198(f=o.. 194)). 191)). 190)). 期 倍 加 分 岐 か らカ オ ス へ. よ っ て得 られ た超 分 数 調 波 共 振 を示 す. ま た, 整 数n(=. 円 振 動 数 の の 幅 が小 さ く な っ て い る こ とが 確 認 で き る.. 2, 3, 4, 5)は 高 調 波 共 振 を示 す. 高 調 波共 振 領 域 で発. さ らに, 図‑8(d),. (e),. (f)お. よ び(9)に. は,. 生 す る カ オ ス の場 合 は, n/n2超 分 数 調 波 共 振 か ら ジ ャ. 周 期 倍 加 分 岐 の様 子 を詳 し く調 べ る た め に 図‑8(a). ン プす る過 程 で発 生 して お り, ジ ャ ン プす る振 幅 が非 常. の(1), (2), (3)およ び(4)点に相 当 す るパ ワ ー スペ ク トル を. に小 さ い. 解 析 解 で 超 分 数 調 波 共 振 が 生 じて い る領 域 に. 示 す.. お いて, 数 値 シ ミュ レ ー シ ョン結 果 で 超分 数 調 波 共 振 が. (1)点で は, 単 一 周 波 数 の 五 と そ の 高 調 波 の ピ ー ク が. 現 れ て い る. 図一8(b),. 現 わ れ, (2)の よ う に 周 期2Tに (c)の. 分 岐 す る と 五 の 他 に,. 分 岐 図 に つ い て検 討 す る. 高 調. 五/2と そ の 高 調 波 の ピー クが 発 生 し, (3)点の よ う に周 期. 波 共 振 領 域 で は, 無 次元 加 振 円振 動 数 の=1. 2付 近 で カ. 4Tに 分 岐 す る と 五, 万/2お よ び 五/4と そ れ ら の高 調 波. オ ス が 発 生 して い る. そ の カ オス に至 る道 筋 を調 べ る た 'めに, 無 次 元 加 振 円振 動 数 の=1. 1〜1. 4の 範 囲 で分 岐. の ピー ク が発 生 す る. これ らの 過 程 が 引 き続 き発 生 し, 最終 的 に は, (4)点の よ うな カ オ ス に至 る.. を調 べ た もの で あ る. この分 岐 図 で は, 無 次 元 加 振 円 振 動 数 の を 小 さ く す る に つ れ て 周 期7の. 振 動 が 周 期27. (2)準. の 振 動 に な り, さ ら に無 次 元 加 振 円 振 動 数 の を小 さ く す る と周 期47の. 周 期 運 動 か ら カオ ス へ14). 図一9(a),. 振 動 に な り, さ らに周 期 倍 分 岐 を繰 り. 播 速 度比 ん=20,. 返 して, つ い に は カ オ ス に至 る. ま た, 周 期 倍 加 分 岐 す. (b)お. よ び(c)に. サ グ比 γ=003の. は, 縦 波 ・横 波 伝 偏平 ケーブルの高調. 波 共 振 領 域 に お け る応 答 と分 岐 図 を示 す.. る場 合 は, 分 岐 を繰 り返 す に つ れ て分 岐 間 の 無 次 元加 振. 図一9(a)の 186. 高 調 波 共 振 領 域 に お け る応 答 につ い て.
(7) (a)高. (b)分. 調 波 共 振 領 域 にお ける 応 答(ん=20,. 岐 図(ん=20,. γ=0. 03,. γ=0. 03, p=0.. (c)分. 岐 図(拡. (d)パ. ワー ス ペ ク トル(ポ. イ ン ト(1), の=1. 200(f=0.. 191)). (e)パ. ワ ー ス ペ ク トル(ポ. イ ン ト(2), め=1. 147(f=0.. 0183)). 0580). 大 図). (f)パ. ワ ー スペ ク トル(ポ. イ ン ト(3), の=1. 140(f=o.. 181)). po=0. 0580). 図 一9準. 考 察 す る. 図 一9(a)に p=0.. 0時 の9/4,. 7/4,. 周 期 運 動 か らカ オ ス へ. は, 解 析 解 と して の荷 重 強 度 5/3, 3/2, 4/3お よ び5/4超. 数 調 波 共 振 の 背 骨 曲線 お よ びp0=0.. 数 五 の他 にfi/2と そ の 高 調 波 の ピー クが発 生 して い る. ま た, 図一9(a)の(2)点. 分. 0580時 の 主 調 波 応. 答 な らび に数 値 シ ミュ レー シ ョンの 結 果 を示 して い る. 図 一9(b),. (c)の. で は, 別 な周 期3/2五. に ピー. ク が現 れ て い る. さ ら に, 無 次 元 加 振 円 振 動 数 の を 小 さ くす る と図一9(a)の(3)点. で カオ ス が発 生 して い る.. この よ うな分 岐 に よっ て起 こ る カ オ ス を準 周 期 的 な振 動. 分 岐 図 に示 す よ う に, 無 次 元 加. 振 円 振 動 数 の=1. 1近 傍 で カ オ ス が生 じて い る. カ オ ス. か ら カ オ ス に至 る と呼 ぶ. (参考 文 献14のpp.. に至 る 道 筋 を調 べ る た め に, 無 次 元 加 振 円振 動 数 の=. 参 照).. 1. 0〜1. 3の 範 囲 で分 岐 を調 べ た も の で あ る. こ の 分 岐. ま た, 図一10(a),. 図 で は, 無 次 元 加 振 円振 動 数 の を 小 さ くす る につ れ て,. 比 ん=20,. (b)に. 128〜130. は, 縦 波 ・横 波 伝 播 速 度. サ グ比 γ=0. 04の 偏 平 ケ ー ブル の 分 岐 図 を示. 2つ の 別 の周 期 的 な振 動 を す る系 の う ち, 一 方 が 周 期. す. 図‑10(c)に. 27の 振 動 に分 岐 して お り, 他 方 は分 岐 す る こと な く カ. パ ワー ス ペ ク トル を示 す. こ の場 合 の カ オ ス に至 る道 筋. オ ス にな って い る. また, カ オ ス に な る 直前 で は, 分 岐. もパ ワー ス ペ ク トル に別 な周 波 数 が現 れ た後 に カ オ ス に. して い る こ とが 確 認 で き る.. な っ て い るが, 前 に 示 し た図‑9(b)と. さ ら に, 図 一9(d),. (e)お. よ び(f)に. は, カ オ. は, 図 一10(a)の(1)点. オ ス に な る 直前 で は, 施 ≧3)倍. ス に 至 る様 子 を 詳 し く調 べ る た め に図 一9(a)の(1), (1),. な く直接 カ オ ス に な って い る。. (3)点に相 当 す る パ ワー ス ペ ク トル を示 す. 図 一9の(1)点 で は, パ ワー ス ペ ク トル よ り, 単 一 周 波 X87. に相 当 す る. 比 べ る と, カ. 分 岐 の振 動 を す る こ と.
(8) (a)分. 岐 図(ん=20, po=0.. γ=0.. 04,. (b)分. 岐 図(拡. (c)パ. 大 図). ワ ー ス ペ ク ト ル(ん=20,. γ=o.. 04,. の=1.. 366(f=o.. 217)). 0839). 図一10. 準 周 期 運 動 か ら カオ ス へ. 30, サ グ比 γ=0. 03の 偏 平 ケ ー ブル の 高 調 波 共 振領 域 に お け る応 答 と分 岐 図 を示 す. 図一11(a)の. 高 調 波 共 振 領 域 に お け る応 答 に つ い て. は, 解 析 解 と して の 荷 重 強 度p0=0.. 0の 時 の9/4,. 7/4,. 5/3, 3/2超 分 数 調 波 共 振 お よ びp0: 0. 1232時 の主 調 波 応 答 な らび に数 値 シ ミュ レー シ ョン結 果 を示 して あ る. 図一11(b)の. 分 岐 図 は, カ オ ス に至 る道 筋 を調 べ る た. め に, 無 次 元 加 振 円 振 動 数 の=1. 07〜1. 11の 範 囲 で 分 岐 を調 べ た も の で あ る. 無 次 元 加 振 円 振 動 数 の=1. 08 近 傍 で カ オ ス が生 じて い る. この 分 岐 図 で は, 無 次元 加 振 円 振 動 数 の を小 さ くす る に つ れ て, 周 期7の. 振動が. 分 岐 を繰 り返 す こ と な く, 直 接 カオ ス に な って い る. さ らに, 図712(a),. (b),. (c),. (d),. (e)お. よ び(f). に は, 間欠 的 な カ オ スの 様 子 を詳 し く調 べ る ため に, 図 ‑11(a)の(1), (2)お (a)高. 調 波 共 振領 域 に お け る応 答(ん=30,. よび(3)点に相 当 す る応 答波 形 とパ. ワー スペ ク トル を示 す. 図一12(e)の. γ=0. 03, p=0.1232). 応 答 波形 に示 す. よ うに, 規 則 的 な振 動 が不 規 則 な振 動 に置 き換 わ り, カ オ ス に至 る こ とが 分 か る. この よ うな過 程 を経 て生 ず る カ オ ス を間 欠 的 な カオ ス と 呼 ぶ. 高 調 波 共 振領 域 で発 生 して い る カ オ ス に至 る道 筋 は, 周 期 倍 加 分 岐 か ら カオ ス, 準 周 期 か らカ オ ス お よ び間 欠 的 な カオ ス の3種 類 の カ オ ス に至 る道 筋 が あ る.. 7.. 高 調 波 共 振 領 域 のn/2n(n>m)超. 分数調波共. 振付 近 で発 生 す る カ オ ス. サ グ比 γ=0. 03の 偏 平 ケ ー ブ ル(ん=20)の (b)分. 岐 図(ん=30,. 図一11間. γ=0. 03, po=0.. 1232). 図 一9(a)で. 欠 的 な カオ ス. 応 答 は,. 示 して あ る. サ グ比 γ=0. 03お よ び0. 04. の 偏 平 ケ ー ブ ル(ん=30)の び図 一8(a)で. 応 答 は, 図 一11(a)お. よ. 示 して あ る. な お, これ ら の応 答 を 求. め る に あ た っ て, 主 調 波 応 答 の場 合, め=0. 0に 相 当 す (3)間. 欠的なカオス. 図一11(a),. (b)に. る静 的応 答A1が0. は, 縦 波 ・横 波 伝 播 速 度 比 ん=. 衰 定 数 はh=0. 188. 0138に な る よ う に設 定 して い る. 減. 005で あ る. ま た, 高 調 波 共 振 領 域 の超.
(9) 分 数 調 波 応 答 の 場 合 は背 骨 曲 線 に相 当 し, 荷 重 強 度p0 =0. 0, 減 衰 定 数h=0.. 0で あ る.. 高 調 波 共 振 領 域 に 発 生 す る カ オ ス に着 目 す る と, 縦 波 ・横 波 伝 播 速 度 比 ん=30, (a)),. ん=20,. γ=0. 03(図 一11(a))の (a). パ ワー ス ペ ク. トル(ポ. イ ン. サ グ 比 γ=0. 04(図. γ=0.03, (図一9(a))お. 一8. よ び ん=30,. 他 に, ん=20,. γ=0. 04の 偏. 平 ケ ー ブ ル に 発 生 して い る. つ ま り, 高 調 波 共 振 領 域 で. ト(1), の=1.ogo(f=o.174)). 発 生 して い る カ オ ス は, 1/2分 数 調 波 共 振 近傍 で 発 生 す る カ オ ス と 同様 に, 2次 の 非 線 形 項 が 支配 的 な軟 化 バ ネ 特 笹 を 持 つ 偏 平 ケ ー ブ ル の 場 合 に カ オ ス が発 生 しや す い.. 8.. (b). パ ワ ー ス ペ ク トル(ポ. イ ン ト(2),. ま. と. め. 本 研 究 で は, 偏 平 ケ ー ブ ル の1/2分. の=1.080(f=0.172)). 数 調 波 共 振 近傍 お. よ び超 分 数調 波 共 振 近 傍 で発 生 す る カオ ス の 特笹 を時 系 列 応 答 波 形, Poincare写. 像, Lyapunov指. 数, パ ワー. ス ペ ク トル お よ び分 岐 図 の判 定 法 を用 い て解 析 した. さ らに, 1/2分 数 調 波 共 振 近 傍 お よ び超 分 数 調 波 共 振 近 傍 で 発生 す る カ オ ス の発 生 領 域 を ケ ー ブ ル 形 状(サ. グ比),. 材 料(縦 波 ・横 波 伝 播 速 度 比)お よび 荷 重 強 度 の パ ラメ ー タ ー の もと に 明 らか に した も の で あ る. 得 られ た結 果 を (c). パ ワ ー ス ペ ク トル(ポ. ま と め る と 次 の と お りで あ る.. イ ン ト(3), の=1.07895(f=o.17172)). (1)カ. オ ス は, 2次 の 非 線 形 項 が 支 配 的 な軟 化 バ ネ. 特 性 を示 すサ グ比 を もつ 偏 平 ケ ー ブ ル に発 生 しや す い. こ の と き の振 動 モ ー ドは, 一 段 高 次 の振 動 モ ー ドに遷 移 して い るサ グ比 に相 当 す る. (2)縦. 波 ・横 波 伝 播 速 度 比 は カ オ ス が発 生 す るサ グ. 比 の領 域 を変 化 さ せ る効 果 を も つ. 縦 波 ・ 横波 伝播速度 (d). 応 答 波 形(ポ. イ ン ト(1), の=1.090(f=0.174)). 比 が大 き い ほ ど, サ グ比 の 小 さ い領 域 で, カ オ ス が生 じ る. (3)1/2分. 数 調 波 共 振 近 傍 で, カ オ ス に至 る道 筋 は,. 周 期 的 振 動 が 周 期 倍 加 分 岐 を繰 返 しカ オ ス に至 る と は い え な い. 周 期 的 振 動 が カ オ ス も し くは カ オ ス に近 い周 期 fT(f≧2)の. 振 動 に 至 る.. (4)1/2分 (e). 応 答 波 形(ポ. イ ン ト(2), の=1.080(f=0.172)). 数 調 波 共 振 近 傍 で荷 重 強 度 を増 大 させ る. と, ジ ャ ンプ 現 象 の 近 辺 に周 期f7(f>2)お. よ び カオ ス. が 発 生 す る. しか し分 岐 に規 則 性 は な く, ま た, は っ き り と した境 界 を持 た な い 不 完 全 な領 域 を形 成 す る. (5)高. 調 波共 振 領 域 で生 ず る超 分 数 調 波 共 振 にお い. て は, カオ ス に至 る道 筋 は, 周 期倍 加 分 岐 か ら カオ ス, 間 欠 的 な カオ ス, 準周 期 か ら カオ ス に至 る道 筋 の3種 類 が 存 在 す る. (f). 図‑12. 応 答 波 形(ポ. イ ン ト(3),. 間 欠 的 な カ オ ス(ん=30,. w=1.07895(f=o.17172)). γ=0. 03,. (6)超 po=0.. 1232). 分 数 調 波 共 振 近 傍 で 生 ず る カ オ ス は, 1/2分. 数 調 波 共振 で生 ず る カ オ ス よ り も発生 しや す い. ま え が きの 注2)で. も述 べ た よ うに, 本 研 究 で は偏 平. ケ ー ブ ル を1自 由度 系 モ デ ル で近 似 し, ケ ー ブ ル に現 れ る カ オ ス を解 析 で き た. しか し, 広 い振 動 数 領 域 に お け 189.
(10) る カ オ ス の 解 析 や 高 次 モ ー ドの 影 響 を 評 価 す る た め に. and Chaotic Motions in a Model of Elastic Cable, Nonlinear. は, 多 自 由度 系 モ デ ル の解 析 が必 要 で あ る. ま た, 実 験. Dynamics. に よ る確 認 も必 要 で あ り, こ れ らにつ いて は, 引 き続 い. pp. 27-34, 1990. Irvine, H. M.: Dynamics of a Suspended Cable, Cable. 6). て 研 究 を進 め る計 画 で あ る.. Systems,. Springer-Verlag,. Structures, The MIT Press, pp. 87-134 1981.. な お, 数 値 計 算 に は 長 崎 大 学 情 報 処 理 セ ン ター の VP‑1200を. in Engineering. 7)高. 橋 和 雄,. 使 用 し た こ と を付 記 す る. ま た, 本 論 文 を. 一 ノ瀬 寛 幸,. 町 田健 一 郎, 夏 秋 義 広:. Vol. 37 A,. 修 正 す る に あ た っ て は, 長 崎 大 学 大 学 院生 山 口健 市 氏 の 8)高. 熱 心 な協 力 を得 た こ と を付 記 す る.. 橋 和 雄,. pp. 921‑928, 河 原 清 勝,. 形 振 動 のGalerkin法. 1991. 山辺 輝 久:. は り お よ び薄 板 の 非 線. に よ る解 析 の 収 束 性 お よ び安 定 笹 に. つ いて, 土 木 学会 論 文 報 告 集, 第293号,. 参考文献 1) Moon, F. C. and Li, G. X.: Three-Well. Potential. Heteroclinic. Orbits,. 9)長. Criteria for Chaos of a. Oscillator with Homoclimc Journal. 10). and. of Sound and Vibration,. 橋 和 雄,. 田川. Systems Part I: Systems with. 12). 4)高. 橋 和 雄,. 711‑718,. 5). 山 口 宏樹,. 伊藤. 学: 単 一 ケ ー ブル の 三 次 元 線 形 自由 振. 動, 土 木 学 会 論 文 集, 第286号,. pp.. 14)下. 條 隆嗣:. pp. 29‑36,. カオ ス 力学 入 門, 近 代 科学 社,. 1990.. 1979.. 1992.. (1994. 5. 11受 付). Rega, G. and Benedettini, F.: 1/2 Subharmonic Resonance. CHAOTIC. The. and Vibration, Vol. 141(2), pp. 181-192, 1990. 13). 白石 隆 俊: 水 平 ケ ー ブ ル の 面 内対 称 加 振 に よ Vol. 36A,. W. and Niezgodzki, P.:. tors Having Single Equilibrium Position, Journal of Sound. pp. 355‑358, 1984.. る 逆 対 称 分 岐 応 答, 構 造 工 学 論 文 集,. Szemplinska-Stupnika,. Approximate Approach to Chaos Phenomena in Oscilla-. 賢, 佐 藤 秀 雄: ケ ー ブ ル の面 外 不 安 定. 振 動, 土 木 学 会 論 文 集, 第350号/1‑2,. J.M. T. and Stewart, H. B., 武 者 利 光 監, 橋 口. 住 久 訳: 非 線 形 力 学 と カオ ス, オ ー ム社, 1988.. Set-Up Spring or with Unsymmetric Elasticity, Journal of Sound and Vibration, 143(2), pp. 255-288, 1990. 3)高. pp. 9‑22, 1980.. カ オ ス入 門, 培 風 館, 1992.. Wolf, A., Swift, B., Swinny, L. and Vastano, A. Determining Lyapunov Exponents from a Time Series,. 11)Thompson,. Mahfouz, IA. and Badrakhan, F. B.: Chaotic Behaviour of Some Piecewise-Linear. 島 弘 幸, 馬場 良和:. Physica 16D, pp. 285-317, 1985.. 136(1), pp. 17-34, 1990. 2). 変動軸. 力 を 受 け る ケ ー ブ ル の 動 的 安 定 笹, 構 造 工 学 論 文 集,. VIBRATION. OF. A SMALL. SAG. TIME-VARYING Kazuo. TAKAHASHI,. Susumu and. CABLE. MATSUNO,. Kenichiro. UNDER. SINUSOIDALLY. LOAD Tomoyuki. KAMATA. MACHIDA. Chaotic vibration of a small-sag cable under sinusoidally time-varying load near the 1/2 subharmonic response and the n/m ultra-subharmonic response is discussed. The basic equation is solved by a Galerkin method and the resulting time variable is integrated by the Runge-Kutta-Gill method. Chaotic vibrations are obtained by using Lyapunov exponents, Poincare map, power spectrum and etc. Chaotic behaviors are shown for various sag-to-span ratios and ratios of wave speeds.. 190.
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