完全導体四角柱による平面波の回折：H 波入射の場合

(1)

修士論文要旨(2015 年度)

完全導体四角柱による平面波の回折：H 波入射の場合

Plane Wave Diffraction by a Perfectly Conducting Rectangular Cylinder:The Case of H Polarization 電気電子情報通信工学専攻熊田春人

Haruto Kumada

1．序論

角柱導体による平面電磁波の散乱問題は重要な解析問題であり，今まで多数の研究者によって論じられてきた．

Jones[1]は，厚みのある半無限導体板による散乱問題を

Wiener-Hopf 法を用いて解析した．彼の興味は Sommmerfeld

の問題に対する導体板の厚みの影響を明らかにすることであり，その解析も導体板の厚みが波長に比べて十分小さい場合に限られている．近年，波長に比べて断面積の大きな角柱導体による散乱問題が注目され，計算機を利用した新しい数値解法が提案されている．Meiら[2]は積分方程式を数値的に解き，Burnsideら[3]はGTDとモーメント法を組み合わせた方法を，Mittraら[4]は積分方程式と高周波近似を導入し解析を行った．我国においても安浦ら[5]，細野ら[6]が同じ問題を解析し，様々な数値例を報告している．一方，青木ら[7]，小林[8][9]はWiener-Hopf法を用いてこの問題を解折し，遠方界の漸近形を決定した．しかし，青木らの解析では，角柱の一方の辺の長さが増大するとともに，解の精度が劣化する．

本論文では，断面が長方形で，その寸法が波長に比べて比較的大きな完全導体角柱による平面波の散乱問題を平面 H 波入射においてWiener-Hopf法を用いて解析する．本論文で得られる結果は，導体幅が波長に比べ大きいほど精度はよく、しかも導体幅が増えても数値計算の手間は変わらない．

一方導体の厚さは小さいほど解の収束が良く，厚みが増すにつれて，解を導くための連立方程式の次数を上げる必要があり解の精度が劣化する．そこで端点条件を厳密に評価し，解の無限級数の剰余項を考慮することにより角柱の厚さが大きい場合でも精度の良い解析している．得られた結果を基に散乱遠方界の観測角特性を計算し，散乱パターンについて考察を行った．

本論文を通じ，電磁界の時間因子はe^^{i t}^ とし，全て省略する．

2．問題の定式化

図1に示すような完全導体四角柱による平面電磁波の回折

問題をWiener-Hopf法により解析する．角柱はy軸方向に一

様で変化がないものとし，平面H波が入射する場合を取り上げることとする．

全磁界^t( , )x z H x z^t_y( , )を，入射界 ⁱ( , )x z 及び散乱界

( , )x z を用いて次のように定義する．

( , ) ( , ) ( , ).

t i

x z x z x z











⁽¹⁾

但し，k[ ( _{0 0}) ]^{1/ 2} を自由空間中の波数とし，

 

, ^{ik x}^^sin⁰^z^cos⁰^ 0 0 2.

i x z e ^ ^

  ^ ^ ,　   (2) 零でない電磁界成分は，次の関係式より導くことができる．

 

0 0

, , , , .

t t

t t t t

y x z

i i

H E E

z x

 

  

   

     ⁽³⁾

解析の都合上，媒質に微小損失を導入し，波数kが微小の正の虚部をもつものと仮定する．すなわち，

1 2, 0 2 1.

k k ik k k (4)

このとき，放射条件により次式が成り立つことが分かる．



² ^cos



領域 x bにおいては媒質の不連続面が存在しないため次式が得られる．



     ²^/ ^x² ²^/ ^z² ^k²



^^{( , )}^{x z} ^0. (9) 式(9)の両辺にFourier変換を施し，式(5)を考慮すると，が帯状領域 k₂cos₀に属するものとして次式が導かれる．



^d²^/^dx²^^²



^^{( , )}^x^ ^^0. ⁽¹⁰⁾

又，はの2価関数であり，(²k^{2 1/ 2}) により定義される．の分岐はRe 0なるものを採用する．式(10)は領域

x bにおける変換波動方程式である．

領域 x bにおいては，z aに媒質の不連続面が存在するため，変換波動方程式の導出にあたり，少々注意を要する．

式(9)にFourier変換を行い両辺に

 

2 ^^1/2e^{i z}^ をかけ，区間

z a

   

，a

  

x についてzに関する積分を施し整理し，



^が k₂cos₀，  k₂cos₀に属する場合を考えると次式が導かれる．

   

2 2

2 0

2 , , cos ,

d x i f x k

dx  _   ^  

 

  

 

  = 　　 (11)

図1. 完全導体角柱.

a b

b

z

x 

ⁱ

  H

ⁱy



0

a

(2)

   

2 2 2 ( )

2 0 0

, ,

cos cos .

d x i f x

dx

k k

  

   



  

  

 

  

   

=- 　 ,

(12)

但し，



^x^,^



^e^^{i a}^ 



^x^,^



^e^{i a}^ _{ }

 

^x^,^ ^,

     (13)

   

^sin⁰

0

, , ,

cos eikx

x x A

k

  

 



 

   

 (14)

 

   

^sin⁰

0

, , ,

cos eikx

x x B

k

  

 



 

   

 (15)

   

0 0

cos cos

1/2 1/2 ,

2 2

ika ika

e e

A B

i i

 

 



 　,  (16)

   

² ^1/2 ^t



^, ^{0 .}



f^ x   ^  x a (17)

式(11)，(12)が領域 x



b における変換波動方程式である．

3．連立Wiener-Hopf方程式

前節において述べたように の分岐はRe0であったから，放射条件および境界条件



^b ^0,^

 

^b ^0,^



 

       (18)

を考慮し，式(17)を次のようなFourier余弦級数に展開する．

   

0

1 cos , .

n n 2

n

f x f n x b x b

b b

 

  



 



⁽¹⁹⁾

但し，

   

^cos

 

^, ¹2^, ^0,

2 1, 1.

b

n b n

n n

f x f x x b dx

b n

 

 



 

   

 

sin 2 , cosh

sin 2

1 cos , ,

2

i a i a

n n

n

n n

x b x b

h b b x b

h b

e i f e i f n

x b x b

b b

 

  

 

 

 

  

  

  





 

  

 

 

   



 ⁽²²⁾



^x^,^



^^¹ ^



^b^,^



^e^^^{x b}^^^,^x ^b^.

      (23)

また、式を計算することにより以下の式が得られる．

   

_{ }

 

1

1 1

2 2

1 odd

2 ,

i a i a

d

i a i a

n n

e U e U

J L

e i f e i f b

 

 



 

  





  

 





　　　　 (24)

   

_{ }

 

1

1 1

2 2

0 even

2 .

i a i a

s

i a i a

n n

n

n n

e V e V

J N

e i f e i f b

 

  



 

  





  

 





　　　　 (25)

但し，

 

² ² ^{1 2}

, 0,

2 , 1,

n

ik n

n b k n

 

¹²

2

1 odd

cos exp ln

exp 1 ln

2 2

1 ,

i

i b n

n n

L kb e k i b

k

i b c i

kb i e







  

 



  













  

   

  

      

 

   

 



⁽³³⁾

   

¹² ²

0 2

2 even

sin exp ln

1 exp 1 ln2

2

1 .

i

i b n

n n

N k kb e i b

k

i b c i

i kb

i e







  

 

   

 











  

  

    

        

 

   

 



⁽³⁴⁾

但し， c



0.57721566



はオイラー定数である．

5．Wiener-Hopf方程式の解

式(24)，(25)の両辺に^e^{i a}^ ^L

 

 をかけ，和形式の分解操作を施し，積分を簡単化し計算すると以下の式が導かれる．

       

 

^{ }

 

1/2 ( )

0 0

1 2

1/2

2 2 3

cos cos

,

s u u

s

u u n n n

n n

A B

U b L

b k b k

J J a p u

b b i

 

   

 

 

 



 

    

  

 



  ⁽³⁵⁾

       

 

^{ }

 

1/2 ( )

0 0

1 2

1/2

2 2 3

cos cos

,

d u u

d

u u n n n

n n

A B

U b L

b k b k

J J a p u

b b i

 

   

 

 

 



 

    

  

  

 



⁽³⁶⁾

       

 

^{ }

 

0 1/2 ( )

0 0

1 2

2

0 1 1 1 2 2

1/2

0 2 2 3

cos cos

,

s u u

a s s

u u n n n n

n n

A B

V b N

b k b k

J J

e b q v b q v

b i b b i



 

   

 

 

   

 

 



 

  

 



  

   



  (37)

(3)

       

 

^{ }

 

0 1/2 ( )

0 0

1 2

2

0 1 1 1 2 2

1/2

0 2 2 3

cos cos

.

d u u

a s s

u u n n n n

n n

A B

V b N

b k b k

J J

e b q v b q v

b i b b i



 

   

 

 

   

 

 



 

    

  

   



  ⁽³⁸⁾

但し，

 

   

_{ }

 

   

2 1

2 21/2

1 ,

i a

u C

e L U

J d

i k

  

 

 ^   

 





  ⁽³⁹⁾

 

     

  ^ ^

2 2

2 2 1/2

1 ,

i a

u C

e L U

J d

i k

  

 

 ^   

  





  ⁽⁴⁰⁾

 

   

_{ }

 

   

2 1

2 21/2

1 ,

i a

v C

e N V

J d

i k

  

 

 ^   

 





  ⁽⁴¹⁾

 

     

  ^ ^

2 2

2 2 1/2

1 .

i a

v C

e N V

J d

i k

  

 

 ^   

  





  ⁽⁴²⁾

   

, 1 , , 1 ,

1^{s d} ( )^{s d} , ^{s d}n ( )^{s d} 2n2 ,

u b U^ _ k u b U^ _ i _ (43)

   

, 1 , , 1 ,

1^{s d} ( )^{s d} , ^{s d}_n ( )^{s d} 2_n2 ,

v b V^ _ k v b V^ _ i _ (44)

( )

( )^s ( ) ( ) ( ),

U  U  U  (45)

( )

( )^d ( ) ( ) ( ),

U  U  U  (46)

( )

( )^s ( ) ( ) ( ),

V_  V_  V_  (47)

( )

( )^d( ) ( ) ( ),

V  V  V  (48)

1 1/ 0, _n 1/ 2_n3,

a  bi a  bi _ (49)

1 1/ 0, _n 1/ 2_n2,

b  bi b  bi _ (50)

   

1/2 1/2

1 0 , _n 2_n2 ,

q b N_ i q b N_ i _ (51)

   

1/2 1/2

1 0 , _n 2_n3 .

p b L i_  p b L i_  _ (52)

 

   

 

0 0

1/2 1/2

0 0

2 cos sin 2 cos sin

, ,

cos cos

u u

bA kb bB kb

A B

b L k b L k

 

 

 

  (53)

 

   

 

0 0

1/2 1/2

0 0

2 sin sin 2 sin sin

, ,

cos cos

v v

ibA kb ibB kb

A B

b N k b N k

 

 

 

  (54)

   

0 0

cos cos

0 1/2 0 1/2

sin , sin .

2 2

ika ika

e e

A k B k

 

 

  　　    (55)

積分路C_ は図3に示すようなkから発する分岐切断の右側を虚軸に平行に走る無限積分路を表す．式(35)，(36)，

(37)，(38)はWiener-Hopf法における形式解である．

青木ら[7]の論文では式(35)，(36)，(37)，(38)に含まれる無限級数を有限個で打ち切っていたため，角柱の厚みが大きくなるにつれて解の精度が劣化していた．そこで，端点条件を厳密に評価し，無限級数の剰余項を考慮することで厚みが大きい場合についても精度の良い解析を行っている．

端点条件を考慮することより以下の式が導かれる．

23

, 1/2 ,

2 3

~ 2 ( ) , ( ),

s d s d

n u n

u  iK b _ ^ 　　n  (56)

23

, 1/2 ,

2 2

~ 2 ( ) , ( ).

s d s d

n v n

v  iK b  ^ n  (57)

但し，K_v^{s d}^,,K_u^{s d}^, はnに依存しない定数である．式(35)，(36)，

(37)，(38)の無限級数は十分大きな自然数を選ぶことにより，

N のとき，次のように近似できる

, 1 ,

,

2 2 3 2 2 3

~ ( ),

( ) ( )

s d N s d

s d u

n n

n n n n

n n

u N

n n

a p u a p u

K S

b i b i 

  _  

 

  

  

 

⁽⁵⁸⁾

, 1 ,

,

2 2 2 2 2 2

~ ( ).

( ) ( )

s d N s d

s d v

n n

n n n n

n n

v N

n n

b q v b q v

K S

b i b i 

  _  

 

  

  

 

⁽⁵⁹⁾

図3. 積分路C C_, _. 但し，

 

7/6 2 3

1 2 3

( ) ⁿ ,

u N

n N n

S b

b i

 

 



  





 ⁽⁶⁰⁾

 

7/6 2 2

1 2 2

( ) ⁿ .

v N

n N n

S b

b i

 

 



  





 ⁽⁶¹⁾

式(35)，(36)，(37)，(38)の中にある積分に近似を行うことで以下の式を得る．

12 1 1

1

2 2 3

( ) 1 1

0 0

( ) ( )

~ ( ) ( )

2

2 ( ) 2 ( )

, ( , , 0),

( cos )

s d

s d s d

N

n n u u

N

n n

u n n

U L a p

u u a

b b

a p u u K K

b i S

B k a N

b k

  

  

  





 

  

 

 



     



　　　　 (62)

12 1 1

1

1 2

1 1

0 0

2 3

( ) ( )

~ ( ) ( )

2

( )

2 ( ) 2

, ( , , 0),

( cos )

s d

s d s d

N

n n u u

N

n n

u

U L a p

u u a

b b

a p u u K K

b i S

A k a N

b k

  

  

  

 



 

  



   



     



　　　-

　　　 (63)

12

0

1 1

2 1 2

2 2 0 1 1

( ) 1

0

1

1 2

1

0

2 0

( ) ( )

~ ( ) ( ) ( )

2 2

2 ( ) ( )

, ( , , , 0),

( cos )

s d

s d v v v

N a

N d

n n n n n

n n

v

V N b q K K

v v a S

b b

b q v v e b q v

b i b i

B k a N

b k



   

 

   

  

 







 

    

  

 

       



(64)

12

0

1 1

2 1 1

0 1

2 2 0 1 1 1

1 2 3

0

( ) ( )

~ ( ) ( ) ( )

2 2

2 ( ) ( )

, ( , , , 0).

( cos )

s d

s d v v v

N a

s d

N

n n n n n

n n

v

V N b q K K

v v a S

b b

b q v v e b q v

b i b i

A k a N

b k



   

 

   

  

 

 

 

 

     



  

 

       



(65) 但し，

( )a g ka( ) 0( 2 (i k a) ),

     (66)

1 (2 /4)

( ) /2 ,

i z

g z e z





 (67)

0 1/2

( ) .

n t

n

t e

z dt

t z

  ^ ^ ^



 ⁽⁶⁸⁾

また，式中のu_n^{s d}^, ，v_n^{s d}^, はN次元連立方程式を解くことによ

0

Re

C

k Im

cos0

k 

(4)

って，数値的に決定される．式(62)，(63)，(64)，(65)はWiener- Hopf法の近似解である．

7．散乱遠方界

実空間における散乱界は，次のFourier逆変換

1/2

2 0

( , ) (2 ) ( , ) , cos

ic

i z ic

x z x e ^d c k

  ^ ^  ^  







  ⁽⁶⁹⁾

を評価することによって導かれる．便宜上，xsin , cos

z  (    )なる座標変換を施し，鞍部点法を適用することにより，散乱遠方界の漸近表現がx  b, (k ) において，以下のように導かれる．

   

^ ^

 

3/4 sin

, ~ , cos 1/2 .

i k

ikb e

b k e

k

 

    





   (70)

但し，

       

 

 

, 1 2

.

i a

b e U V

e U V



  

 



 

 



    

   (71)

8．数値計算と考察

散乱遠方界の値は次式により最大値で規格化し，[dB]で表示する．

10

| ( , ) |

| ( , ) | [ ] 20 log .

max | ( , ) | dB

 

  



 (72)

一般的に遠方散乱界の強度が最も大きいのは入射波に対して正反対の方向と入射波に対して幾何光学的に基準面で反射した方向であると考えられる．また導体が平板とみなせる場合は平板に関して対称な散乱となり，導体が角柱の場合は基準面に対して入射波と対称な方向も回折波により大きくなる傾向がある．図4に散乱遠方界のパターンを示す．点線，実線ともにka40.0であり，入射角は60 ，点線の場合がkb0.01で，実線の場合がkb40.0である．kb0.01の場合は角柱断面の長方形の1辺を微小としたもので平板とみなすことが出来，散乱遠方界の強度が対称で最も強くなっていることから妥当なものだといえる．kb40.0の場合，角柱の断面が正方形の形であり，角柱正面の反射波と側面からの反射波が伸びているのがわかる．また，入射角が60 であり，側面の反射波の値より，正面からの反射波の値が大きいのがわかる．図5にて青木ら[7]との論文の比較を行った．ka6.28 ,

6.28

kb の場合で入射角は45 である．点線が青木らの論文，

実線が本論文の数値結果である．90 と180 付近での値の下がり方が若干違ったが，数値結果はほぼ同じであるといえる．

9．むすび

本研究では，完全導体四角柱による平面H波の回折問題を取り上げ，Wiener-Hopf法による厳密な解析を行った．得られた解析結果は，端点条件を厳密に考慮しているため，角柱断面の幅が波長程度以上であれば，一様に有効である．また，

数値計算を行い，他論文との比較結果を示した．

謝辞

本研究を取組むにあたり，御指導・御助言を頂いた小林一哉教授に心から感謝致します．

図4. 散乱遠方界の観測角特性(ka40.0,kb0.01(点線),

0 60 ,

  ka40.0,kb40.0(実線),₀60 ).

図5. 青木ら[7]との比較(ka6.28,kb6.28,₀45 ).

文献

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[9] K. Kobayashi, “Diffraction of a plane electromagnetic wave by a rectangular conducting rod (II),” Bull. Fac. Sci. Eng., Chuo Univ., vol. 25, pp. 262-282, 1982.

-50 -40 -30 -20 -10 0

90

60

30

0

330

300 270

240 210

180 150

120

kb=40 kb=0.01

完全導体四角柱による平面波の回折：H 波入射の場合