複素関数論 第1回演習
第1回演習: テキストp.2問1全部，p.6問7全部，p.16演習問題1[A] 1.(3)(4)，p.16演習問題1[A] 2.(2)(4)(6) です．計算過程を必ず書いて提出する事．ヒント: 下の例題1,2.を参考にせよ．
提出期限：9月30日(火)PM6:00
提出場所：10号館7階2714号室前に設置してある演習回収ボックス
今回(第1回)は演習問題を具体的に全て載せますが，第2回からはテキスト(教科書)問題はページと問題 番号しか載せませんのでテキストを必ず入手する事．
p.2問1. 次の複素数をa+biの形に書け．
(1) (3−2i) + (9 + 5i) (2) (−2 + 7i)−(8−6i) (3) (5−2i)(3 + 2i) (4) 5
2 +i (5) 3 +i
1 +i (6) 2i5 1 +i3 p.6問7. 次の複素数の極形式を求めよ．
(1) 1 +√
3i (2) −1 +i (3) 2i (4) −1 (5) √
3−3i (6) −√ 2−√
6i p.16演習問題1[A] 1.(3)(4). 次の複素数を a+biの形に表せ．
(3) (cosπ
9 +isinπ
9)(cos7π
18+isin7π
18) (4) (cos2π
15+isin2π
15)÷(cos4π
5 +isin4π 5 ) p.16演習問題1[A] 2.(2)(4)(6). 次の複素数の極形式を求めよ．
(1) −5i3 (2) (−1 +√
3i)2 (3)
√3−i 1−i 例題1. 次の複素数をa+biの形に書け．但し，i=√
−1
(1) (5−3i) + (−3 + 2i) (2) (2 + 3i)(3−2i) (3) 1
1 +i (4) 2 + 3i 3−2i (5) (cosπ
4 +isinπ 4)(cosπ
2 +isinπ
2) (6) (cos2π
3 +isin2π
3 )÷(cosπ
6 +isinπ 6) (解)基本的な事であるが，i2= (√
−1 )2=−1を注意しておく．
(1) (5−3i) + (−3 + 2i) = 5−3 + (−3 + 2)i= 2−i ,
(2) (2 + 3i)(3−2i) = 2·3 + 2·(−2i) + 3i·3 + 3i·(−2i) = 6−6i2+ (−4 + 9)i= 12 + 5i , (3) 1
1 +i = 1−i
(1 +i)(1−i) = 1−i
12−i2 =1−i 2 = 1
2−1 2i , (4) 2 + 3i
3−2i = (2 + 3i)(3 + 2i)
(3−2i)(3 + 2i)= 13i
32−(2i)2 = 13i 13 =i , (5) (cosπ
4 +isinπ 4)(cosπ
2 +isinπ
2) = cos(π 4 +π
2) +isin(π 4 +π
2) = cos3π
4 +isin3π 4 =− 1
√2+i 1
√2 , (6) (cos2π
3 +isin2π
3 )÷(cosπ
6 +isinπ
6) = cos(2π 3 −π
6) +isin(2π 3 −π
6) = cosπ
2 +isinπ
2 = 0 +i1 =i
例題2.は次ページです
1
例題2. 次の複素数の極形式を求めよ．
(1) √
3 +i (2) −3i
(解)「与えられた複素数をr(cosθ+isinθ) (r0)の形に表せ」と言う問題です．複素平面(ガウス平面)上 に，与えられた複素数を図示すれば直ぐに分かります．テキストp.5を参照せよ．詳しく書けば下の様になり ますが，図が描いてあり結論があればそれで十分です．
(1)z=√
3 +iとおく. 実部Re(z) =√
3,虚部Im(z) = 1より絶対値は|z|=r= (√
3)2+ 12=√ 4 = 2 .
∴ z=√
3 +i= 2
√
3 2 +i1
2
= 2(cosθ+isinθ). (絶対値|z|=r= 2 でくくる)
偏角arg(z) =θ は，cosθ=
√3
2 , sinθ=1
2 を満たす角なのでθ=π
6 + 2nπ (n：整数)．よって，極形式は
z= 2(cosπ
6 +isinπ 6)
(2)z=−3iとおく. 実部Re(z) = 0,虚部Im(z) =−3 より絶対値は|z|=r=
02+ (−3)2=√ 9 = 3 .
∴ z=−3i= 3 {0 +i(−1)}= 3(cosθ+isinθ). (絶対値|z|=r= 3 でくくる) 偏角arg(z) =θ は，cosθ= 0, sinθ=−1を満たす角なのでθ= 3π
2 + 2nπ (n：整数)．よって，極形式は
z= 3(cos3π
2 +isin3π 2 )
2
