複素数の極形式と累乗について

複素数の極形式と累乗について

  中田 道孝

(高知大学理学部数学教室)

Polar form

and irrational power

of complex

numbers

       Michitaka Nakada

Perartment of Mathematics, Faculty of Science, Kochi University, Kochi Japan

Abstract:The purpose of our paper is to prove that a110f the points consisting of irrational power of ａ complex number are densely distributed on the unit circlecentered at

the origin in the complex plane. First, we represent complx numbers by means of polar form. Secondly, we consider the positive integral, integral and rational power of complex numbers. At the end, we investigate the irrational power of complex numbers.

キーワード：複素数 累乗 欄密性        はじめに  この論文の目的は複素数の無理数乗からなる全ての点が，複素平面上の原点を中心とした一つの 円周上に穏密に分布していることを示すことにある．最初に複素数を極形式で表現し，次に複素数 の自然数乗，整数乗，有理数乗へと進み，最後に複素数の無理数乗に到達する．       実数の世界からの準備 ａを任意の実数とするとき，自然数ｎに対し， ･はａをｎ回掛けたものである．  更にａ≠Ｏならば，ａ°＝1かっ，ａ-･＝寺と定義することにより，任意の整数ｍに対してａ尹が定        ａ 義される．ａ゛はａのｍ乗と呼ばれる．  さてｎを任意の自然数とするとき，ｎ乗してａになる実数は何かという問題が起ってくる．ａが 負でない実数ならばＸ・＝ａなる負でない実数が一意的に存在する．このＸを娯ごまたは謡で示し， ａのｎ乗根又は，ａの上乗と呼ぶ.丿ｆ＝祐。ｏ百二1十．1である．寂は単に石と書く．       ｎ がＦ）寂≒ることは容易に示される． この等しい値をａ７と書く． またm _ m'' _ならばﾊﾟﾉＦ＝装戸なること， 即ちａｌ＝ａ７が容易に示される． これより任意の有理数ｑに対して, a"がｑを表現する分数の如何を問わず一意的に決まる．

a" 一 一 ごはａ。ｑ乗又はａ。旦東と呼ばれる。但七a = 0でｑ≦しoのとﾚきは訃は考えない。また αが無理数ならば，αに収束する有理数列を{q乃とプて大政♂ぐ≠ずと定義する.……この値はαに 収束する有理数列臨}のとり方に関係なく一意的に決める．    十  α＞Ｏならばａ≧Ｏに対して ･≧Ｏである．そして1°＝∇1レO……・ＪＯである．しか七，α≦Ｏの ときはａ＞Ｏならばａ・＞Oだが，0・は考えないl'' = lは変わらない．αが無理数のときもａ・はａの α乗と呼ぶ.任意の実数ｂに対してのかの一般的な値に関しては複素数に入ってから述べる． 複素数の定義と四則演算 実数ｘ，ｙに対して虚数単位と呼ばれるｉを媒介として結びつjけられたｘ十yiを複素数と呼ぶ． ｘ十〇iは実数Ｘと同一視する．０十yiはyiと書き純虚数と 呼ぶ．Ｘ十yiはｙ≠Ｏのとき実数ではない．実数ではない 複素数は虚数と呼ぶ．ｘ十yiをｚで表しZ = X十yiと書 き, X, yをそれぞれｚの実部，虚部と呼ぶ．   犬  ｘ，ｙ平面図において，点(ｘ，ｙ)に複素数ｚ＝ｘ十yi を対応させたものを，複素平面又はｚ平面と呼ぶ.Ｘﾚ輸， ｙ軸をそれぞれ実軸，虚軸と呼ぶ．  複素数の四則演算はｉを文字とした多項式のように行な い，i2＝−1と置き換えて行けば，その結果もｘ十ylなる 形をしていることが示される． (XI十yii)十(ｘ2十y2i) = (xi十ｘ2)十(yl十ｙ函    ＼ (恥十yli)−(ｘ汁y2i)〒(ｘ1−ｘ2)十(y1−y2)i    ‥  十  十 (ｘ汗yii)十(ｘ2十y2i)=xiX2十yiX2i十χ1y2i十yly2Pニ(ｘlｘ2−yly2)十(yiX2十χly2)i ｙ 図１ xl十ｙli二(ｘ汁yii)(x2一陣)＿(ｘlｘ2十ｙlｙ2)干(yiX2-x,y2)i∠ｘlｘ丿yiy2二 ｙlｘ2￢XiYz.. ｘ2十y2i (x汁y2i)(x2-y2i)   ｘトｙji2   ￣ ｘ汗yJ十ｘl十が１ ｚ＝ｘ十yiを複素数の直交形式と呼ぶ．       ＼ 今√仮に｀1十ｙliニ｀2十ｙ2iとすれば, Xi ―X2ニ（y2二丿凪ｙ↓:ｿｙ2祉:言ばﾚﾔ三ﾗ12 ° i/ ｀l’゛’ 71’72 は実数だからo≧（1ﾊﾟ?）2ぺこニ………1･＜6:と示6矛盾ﾋﾟ……よ丿r, y.:･う2’ 従ってχ1＝χ2         ∧    犬･  ◇ ﾉﾚ  ∧       〉 複素数の直交形式による表わし方は一意的である．特陽ｘ十yi＝Oはｘ＝ｙ＝Ｏと同値である．        複素数の極形式 犬 上        ｊ  任意の複素数ｚをz=r(cosθ十i sinθ)但しｒ≧Ｏとｿ表した/ものをｚの極形式という．  今z=ri(cosθ汗i sinθ1)＝ｎ(cos仇十i sin仇)ならば√実部同志，虚部同志を比較して    ｒぱｏｓθ1＝ｒ2cosθ2 ｒlsinθ1〒T2sin02   …………万.･  し  レ 十 辺々をそれぞれ平方して加えれば，球ｃｏｓ2θ汗ｒ?s ｢0i = r2coがθ汁ｒSsin2θ2

即ち「?(ｃｏs2θ1十s ｢θj)＝ｒl(cos2θ汁sin2＆2)よっ七叶」召……ri, r･1･≧O より,………ri= r2.

複素数の極形式と累乗について（中田） 179

よって複素数z = r (cosθ十isinθ)と表した時のｒは一意的である．  当然ｒ＝Ｏならばθの如何を問わず ｚ＝O(cosθ十i sinθ)＝0. 逆に, z = 0ならばO＝ｒ(cosθ十i sinのよりrcos9=r sinθ＝0

このときｒ≠Ｏならばcosθ＝sinθ＝Oとなるがこんなことは起こらない．よってｒ＝０

即ちｚ＝ｒ(cosθ十i ｓinθ)においてｚ＝Ｏとｒ＝Ｏは同値である．従ってｚ≠Ｏとｒ＞Ｏは同値 である．

 さてｚ＝ｒ＝ＯならばO＝O(cosθ十isinののθは何でもよい．

 しかし，ｚ≠Ｏ即ちｒ＞Ｏのときｚ＝ｒ(ｃｏsθ1十i sin硲)＝ｒ(cos仇十i sinθ2)とすると，実部，虚 部の比較によりｒ cosθ1＝ｒeosθ2 ｒｓinθt＝ｒsinθ2

即ちｃｏsθ1＝ｃｏsθ2 sinθ1＝sinθ2       大 差を積に直す公式により

ｃｏｓθ1−COS 62 ° −2 sin θ白旦sinθ日θ２５０    ∧

sin∂1− sinθ2＝2(josθl書θ2 sｉｎｊＬ否応-＝ ことでsin-ﾄﾞｼﾞしj≠Qなぐば sm ０ θぐθ2＝ＣＯＳθぐθ2＝Oとなり矛盾． よってｓinθ1ﾌﾟ2＝O.即ちざ七息マｋ７１，01＝０２＋2kπでｋは任意の整数． これによりｚ＝ｒ(cosθ十isin6l)は，ｒ＝Ｏならばθは何でもよ＜，ｒ＞Ｏならばθは２πの整数倍 の差を無視すれば一意に決まる．ｒをＺの絶対値と言いｒ＝岡 θをＺの偏角と言い

6 =arg ｚで表す．さてｚ＝ｘ十yi＝ｒ(ｃｏsθ十isinθ)ならば実部，虚部を比較してｘ＝ｒ cos9,

y＝ｒsin9だから，それぞれ平方して加えれば， ｘ2十y2ニｒ2cos2θ十ｒ2s ｢θ＝i72(ｃｏｓ2θ十ｓ ｢θ)＝ｒ2      犬 即ちr＝石函二尹 COS B = ―     「 一 一 Z'≠O 即ちｒ＞１ならば 匹ヲ￣ sin 9 =子＝石ﾉｼ=戸=とすればよい．これよりｚ＝ｘ十ｙiを極形式 に直すには，r＝,/？♀？￣;を求め，更にｚ≠Ｏならば，犬

COS 6 =几l= sin 6 =石ﾉﾚ戸を満たす角θを求めれば２°バcos6十isin0)が求める極 形式である．ｚ＝Ｏならばｒ＝Ｏだがθは不定である．複 素平面上においてはr= ￨z￨は原点とｚを結ぶ線分の長さ て，       し 6 =arg z は原点とｚを結ぶ線分とｘ軸の正の部分とのな す角である. Iz.l∼臨￨≦lｚ1土ｚ21≦Zl十lｚJは容易に示される． ｙ 図２ ) く

      複素数の主値偏角  ｚ≠Ｏなる複素数ｚを極形式で表わしたときの偏角θｏがＯ≦θｏ＜２πを満たすどきθｏをｚの 主値偏角と呼ぶ．又，ｚの任意の偏角θに対してθoをぐθの主値偏角と呼ぶ．今ｚの主値偏角をθ1， θ2とすれば，前節よりθ１＝θ２＋2kπ．      ニ さて，０≦θ１＜２π，０≦θ２＜２πより−２π＜θ１−θ２＜２瓦   十 よって−２π＜２ｋπ＜２π  −１＜ｋ＜１         ニ      ニ ｋは整数だから，ｋ＝Ｏ 即ちθ，＝副      ■■■■         ■ 主値偏角は一つしか存在しない．       =∧ 犬   ニ     し さてｚの任意の偏角θから主値偏角θｏはどのようにして求められるか．  θｏ＝θ＋2kπとおけば，0≦θoく2πよりＯ≧八気衣滉即ちﾉ心旦廠ミレ ニ        2π ▽ｋｓこ＜-ｋ＋I即お[こ]＝−k[こＤこのサスの関芦７あ乱 よってｋ‥=−[膏]      し……… ……j cれふり率め石奥値偏角So = 6f+2kπ＝E2[Tヰ]ワjある･＼ ＼ つ 複素数の積商

 zi = ri (cos0i十l sinθl) Z2=r2 icosO汁i sinθ2)＼に対して三角関数の加法定理により尚 ZiZ2= rirバｃｏs(θ1十θ2)十isin(θ叶θ2)}なることは容易に示される．臨ｚ21＝ｒlｒ2＝臨目Z2 arg (Z1Z2)〒θ1十θ2＝ａｒｇz汗arg ｚト        ∧ ＼…………ﾚ  ﾚ………… またｚ2≠O即ちr2＞Oならば      く

五＝五{cos (6レ㈲十i sin (θ1−θ2)}

arｇ言ニCi t72ニarg z√一arg ｚ2

￨牙トレ訃＼ﾉ

素数の整数乗  ∧

二乱ヅニ

       複素数の整数乗  エ

 ｚを任意の複素数をするとき，自然数ｎに対して，ｚ川まｚをｎ回掛げたもめとする.

ｚ＝ｒ（cosθ十isinのならばが＝ｒべCOS ｎθ十i sin ｎθ）なることは数学的帰納法で証明出来る．

z≠Oのときz°= 1 z一一＝Ａ          Ｚ と定義する。 こののと･きz''= 1 =r°(cosOθ十i sinOの z￣ｎ＝古＝j（ｃｏｓ o十ﾘヰ10）＝ｒ-ﾘcos（−ｎθ）十i _{sin（−ｎθ）｝}       ｚ   r（ｃｏsｎθ＋1sｍｎθ）      ＼ これより任意の整数ｍに対して

複素数の極形式と累乗について（中田）

複素数の有理数乗

181

 ｎを自然数としてｎ乗してz = r Ccos6十i sinθ）になる複素数は何かを考える．その複素数を

ｗ＝s（ｃｏ岬十isi叫）とする.

lｗl＝s arg ｗ＝ψ ず＝ｓべcos呼十i sinｎψ）＝ｒ（cosθ十isinθ）＝zだからs･＝ｒ

これよりｓ＝百＝片 ｚ＝Ｏならばｒ＝ｓ＝Ｏセｗ＝Ｏ ｎ果してＯになる複素数はＯだけである.‥ しかし，ｚ≠Ｏ即ちｒ＞Ｏならば 岬＝θ＋2kπでｋは任意の整数である． よってψ＝

づ

θ＋2kπ 一 _{(ｋは任意の整数)となる．これよりｎ乗してｚになる複素数は，}    (9+2kπ .. COS     ＋1ｓｍ      ｎ 十i sin 生尚更玉)ｋは任意の整数． cｏＪ￣ﾄ･や゛＋i sin nり・= r n I COS ･や―hi Sin ―ﾄ･きり なる為の条件は，θ十lkl″＝θ十nλπでλは整数．即ちk, = k2十λｎ. 即もkl二klがｎの 倍数なることである．  ト だからrべｃ。ｓ旦士こそ十i sin 旦土n /相違なるも芦)はk＝0，レ2，･‥，ｎ−1で全てである． これらのｎ個をＺのｎ乗根又は言乗と言い， 即ちZn = rn (cosθ＋2k゛十i sin θ十芦尽       ｎ        ｎ (片戸＝(？片＝r↑だから Znで表わす． （ｚjア＝（島jc。s III（誓2k″）十isin m （誓2k″）｝       ユ  ｍ（θ＋2kπ）‥ ｍ（θ＋2kπ）        ＝rｎ｛ＣＯＳ   ｎ＋1 sm 。｝

z･･＝ｒ･(cosm.6十i sin ｍθ)だから

(ｚ『古= (r'")iicos ｍθ＋2kπ十isin °(9+2kπ  さて（ｚで）゜と（？）７ は容易にわかる． さてrn   亙 ＝ｒｎ COS ｍθ＋2kπ 十i sin mθ＋2kπ  ｎ         ｎ   Ｊ   ｌ    ｎ         ｎ   Ｊ        １      １ は全体として一致するだろうか.(ｚ７)゜に属する数が(ｚ°)７に属すること なる為の条件はIII（θ宍2kl゛）＝゜nλπでλは整数． 即ちkim = k2m十ｎλ(ki―k2)m十ｎλ ｍとｎの最大公約数をｄとすれば，ｍ＝μd  n＝1ﾉdでμと川ま互いに素である．

よって(k,-kOμdこzﾉdλ即ち(k,-k2)μ＝ｐλ   ＼

ぬレは互いに素だからk1−k勁晦の倍数なるととｻﾞあ右:万年し七子ニサ＝ぐ･=だ力七

(ｚ７戸＝ド _COS m(6'+2k;z-)十i sin °（θ＋2k功

ｎ    丘 ＝ｒｐ       ｎ……… j‥      上 ＼ ・．パ(≒響乍＋1☆刃ﾔﾂﾞﾔ吃ト(尚″ の相異なるものはk = 0, 1, 2,…, V"lで尽きることがわ,かる．

しかし(の1〒片卜ｓ

ｍθ＋2kπ ＋i sin ｍ∂＋2kπ の相異なjるものはk=0, 1, 2,…, n-1        グ  １    ｎ    ．・   ｎ ﾚ寸 ．ＴＶ∇で｀’▽￣’｀‘ ．イ ニフ’ノ“コ である．だからｄ＝１ならば, (Zn戸と（ｚりＷは全体としてプ致する．しかしｄ＞１ならば (ｊ戸は(z゛片の部分に過ぎず，前者の個数は,ﾉ乱く後者の佃薮:ほｎ７あるﾄｚで。j(Ｊ戸と定義 すれば，ｚことｚ十は全体として犬致する．更に斗=＼回しならばj斗５亘だから,〉z⑤とｚは全 体として一致する．従ってzＴとｚＴは全体として一致する．

zこエrﾊﾞｃ。ｓ以≒2k″)十i sin °(θykπ)}

rでエr n I c。S2ﾂﾞ″ 十i sin

ザ）

であり, r = r(cos O 十i sin O ）だから

ここに同じ片なる記法でも，左辺。片はｒを複素数。つ員と考えての一般値で個数は旦の既 約分数を亘としたときン個である。右辺の汗凪正数ｒに対して０唯二の正数の値び汗である.    ｍ･ン m         ｍ  ｍ ／  く尚  ………j. ･ ………1  /  ……:……… 左辺のrてをrての一般値，右辺のrてをrての主値と呼ぶことにする。そうす,ると， 一般値rで＝（主値rn)(cos とは明らかである． zｉ￣芒r n {cos 十i sin +1ｓin翁豆皿う〉と書ぐことにする･.ﾚこれより一般に ｍ（θ＋2.kπ）   ｎ 2mk万 一 そういう意味で今後汗。lrさ￨（Ｃ。S 2警″ ｍ（θ＋2kπ）   ｎ ＋i sin 任意の有理数をｑとすれば  が＝￨川{cos q （ θリkπ）十j sinﾕq（θナ2kπ）j｝    I ここで全ての値を求めるにはｑ＝具を既約分薮０は自然数）とした時比k＝0，1，2，…，ツー１ とすればよい.z9あるいはｚ晋をｚのｑ乗あるいはｚ＼の皿乗と呼ぶ.  1＼･･     l         ＼      ソ  ………ｎ∧＼         <＼        ダ （ｚで戸と（ｚりｗが一致しない例       ‥ 17＝｛1，i･,−1，づ｝ （17）2＝｛1，−1｝ ＜  ＼  ∧ ■■■■■■■  ■■   ■■■･  ･■  ･･ 12−I  （12片＝1｛･= {1, i, -1,一回      ．．

複素数の極形式と累乗について（中田） 複素数の無理数乗 183 実数世界の準備からｒを負でない実数としたときに，無理数のαに対して負でない実数として=一 意的にｒ'が定まる．但しr＼＝Oのときはα＞Ｏに対してだけ戸＝Ｏとし√,戈≦ｏのどきはｒ･は考え ない．そこでｋを任意の整数として      ･．･．．･･  ．．･．・．･･    ・． ・･･．・ z°=rリｃｏsα(θ＋2kπ)十isina(θ＋2kπ)}＼と定義す:る．特にｒ＝ｒ(cos O 十i牡nO)だから，‥ ｒc‘＝ｒべcos2αkπ十isin2ak;r)      十 上 ∇ 十 ………万    ………j .  犬 この場合の左辺のｒ･と右辺のｒ“は同じ記法でも意味は異なるト左辺のｒｙはｒを複素数の二員と考 えての一般値で，右辺は正数ｒに対しての唯一の正数の値でｒ°の主値と呼ぶ.ト‥‥‥ ‥ ‥‥= 一般値ｒ“＝(主値ｒり(cos2ak7r十i sin2ak7r)となる．｢一般値ｒ叫＝主値ｒfなる/ことは明らかである． そういう意味で今後「°」￨戸｢(cos2a:kπ十i sin2ak;r)と書くことにする．ト   十六  っ これより一般にｚ“＝￨川{cosa (ぴ＋2kπ)十i sinα{.e+2kTi)} 六  犬  十:……1 上

さてr"! {cosa(6l + 2ki7r)十i sinα(0 + 2kiπ)}＝￨川{φｓα(θ＋2kタ)十l sinα(θ＋2k元)卜なる 為の条件は√α(θ＋2k1π)＝α(θ＋2k政)＋2λπ      ＼十  十上       ト    ノ λは整数 ∴ aki=α臨十λ α(k1一臨)＝λ  二十  ･．   ▽万 ｙ 図３ kl≠k2ならばα一一  （命題１）αか無理数ならば任意の自然数ｎに対して， Ｏくαｓ−t＜土を満たす整数ｓ，ｔ力悟在する．／       犬 ｎ       ＼  証明 実数上の区間[0. 1)を互に素なｎ個の区間＼

(oス￢)･[き白ぐ……･[ぞ

1)に分割ずるj. で無理数が有理数に等しく   λ k] &2   矛盾．よって宍ki = k2でλ＝Oト  ．･．．・・ ．・・    ．･･･

  これよりz'"= ￨r牛{cosa (θ＋2kπ)斗i sinμ(り＋2kが)}は

 〉異なったｋに対する値は全で異なり，無数に値があるこ χ とがわかる．ニ ノ ＼      ＼  さて，ｚｙの各点は複素平面上=Oを中心として半径Ir"   の円周上にあり,犬それらの点は可付番個であるレこの円周  上にあるｚ・の各点は祠密であろうか．ごれを調べるには   可成りの準備が必要であるよ       ……… 複素数の無理数乗の種密性を調べる為の準備 s=0,」，2，…，llを与えて，αSのガウス関数を[αS]とすれば[αS]≦叫＜[お＼]＋1よｿり ｏ≦卯−[αS]＜1 Sに0, 1,ヶ2，･‥，ｎを与えたｎ＋1個の叫−[αS]は全て[0, 1)に属す応か ６･ll個６区簡(oユ)へ(ﾘﾝｽ)･:･¨…゜･(寸･1)゛りふ衣真二６の9㈱石上らのぐに犀子に αs−[匹]が入らなければならない．       犬    犬 ＼   ニ 例えば］1￣[臨1]ふs六[臨2]と(ザ'昔)とするﾄ ……今‘･asiニ･.[ｑ･弓1].４°゛Ｔ/･[戸叩]とすれば'

れ戻＼4(s言言［４]ノ[以]レ……Ｊsよ心よ宍寺り牛叫回／J こ 二万 ミ万 Ｉ jＩｃ八宍44ｙj二万万iニji   … ………:   ュ  ‥‥‥‥‥ ‥ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥∧＞＼司／ＴI肘＼…………=……ニ……ダ………=ケ＜ノ＼:ニ………:………: ∧゜ るTn･＼は任意だから工くｎにとる恚，  六白      ･‥ ｂニａ………… as ―1 =]βとおくと/O＜β＜b−ａ∧∧ レノ as ―1 =βとおべとU≪β＜b一ａ＼ ト    ノ………I………==万.:j:==..:J万･．･ (ｍ÷↓)β≦ａ＜ｍβを満たす自然数皿を七る/と………＼……I………ﾚ…………ﾚし)/1………: ｍβ≦=ａ＋jβくb十ａ＜ｍβ＜b………O≦ａ/＜ｍβ声]血……(as･ I ÷t)≪ I ･.: φtくｍαs＜(ｍt)＋1 mtは整数だから ｋ≒ｍｓとおけば,ニ[αk]ニ＝ﾚmt ∴=ａく ｢β７= ………=複素数の無理数乗の欄密=性に=り  z'十ダ￨㈹＼{cos&Ｉ(θ十2kが)＋i卵iれ＆.(θ＋2kπ)j}1………Ｉを考え希前レに先ず々jT．j≠ＩO･．･めi場合,丁即ちレ…………ニ‥Ｉニ・: r°＝廿叶((jog2αk分十isiu2αkπ)を考え/るレ戸の主値偏角………は千……キソ頁士よ万………，＼………十万………ニ………… ｙ 図４ (命題幻◇よ才り√ ずあ＼る.j::゜万そJ2こ聯14   この]こ   上の二 ｙ〉従らて 点も ･･: ･.･ ･･.･・..･㎜■-･ .一一一一四●W-｢. 伴」(⑤嗇戸)畔戸沙 ｿﾞﾌ.ぷＬ……=.･『.ふ.･1ﾕ1ゝ:･･ふ.ノしぷ‥ﾚﾌﾟﾚ．……… :柚叶∇なくるﾚ円周 にこ･l ら:せ万で考えれ 1 . = ] ( & く ぞ 2 μ ) 午 ] i 臨 i n a ( 6 i + 2 k H - ) } c 表 す 毒 密 仁 ﾚ 分 布 ｻ し で い る ﾉ こ ト と が 分 か j る ／ ∧ ‥ ＼ … … ｹ ﾞ … … … ﾉ ﾔ = ﾄ … … 万 万 = j … … … j ･. . . ･ 1 ･ j = ､ = j l = J . = . . ･ 平 = ･ 成 ･ . = 9 ･ ･ ･･ ( : 1 9 9 7 ) 万 年 ･ : i 9 一 月 1 = . ･ 1 . 日 ･ 受 理 ＼ … … : = … … = … … ＜ j … … ｹ … … … に I I I = 平 成 / 紅 拍 叩 ) 年 玖 月 2 5 B 発 行 上