安福, 規之

九州大学学術情報リポジトリ

Kyushu University Institutional Repository

広範な応力域における異方圧密砂の降伏特性と弾塑 性構成式に関する研究

安福, 規之

https://doi.org/10.11501/3054272

出版情報：Kyushu University, 1990, 工学博士, 論文博士 バージョン：

権利関係：

第4章 広範な応力域における異方圧密砂の胸性構成式

4. 1 概説

本章では、 単調載荷条件下での砂の応力ひずみ挙動の拘束圧依存性と応力誘導 異方位を表現できる弾塑性構成式を提示する。

土の応力ひずみ関係を表現するのに有効な手段の一つであろう弾塑性構成式に 関する研究はRoscoe， Schofield， Wrothらを中心としたグループの研究(1963，

1968a， 1968b)を端緒として数多く成されている。 その中で、 静的載荷条件下での

砂の挙動の評価に主眼をおいた代表的なモデルとして、 1) Poorooshasb(1971)、

Lade and Duncan(1972)、 Nova and Wood(1978)の示した単一降伏曲面を有する等

方硬化型モデ‘ル、 2) Prevost and Hoeg(1975)、 Lade(1977)， Nishi and Esashi

(1978 )、 Vermeer(1978)、 Nakai(1989)の示したような圧密による降伏曲面とせん

断による降伏曲面の2つの降伏曲面を有する等方硬化型モデル、 3)負荷に伴う 降伏曲線の回転を取り入れたHashiguchi(1979)の単一降伏曲面を持つ異方硬化型 のモデ‘ル、 4)移動硬化と等方硬化を連動させた中井ら(1988)の複合硬化型のモ デル、 さらに、 5)境界曲面の考え方に基礎をおくAdachi and Oka(1982)のモデ ル、 や6)硬化係数場の理論に立脚したMroz， Norris and Zienkiewicz(1979) やHroz and Pietruszczak(1983)のモデル、 などが挙げられよう。 しかしながら このようなモデルは、 第2章でも詳述したように、 総じて、 ある限定された応力 域での砂の挙動の評価に主眼が置かれており、 前章までに述べて きたような広範 な応力域での砂の挙動の把握を評価の対象とした場合や、 破砕性の高い材料を対 象とした場合には、 その適用性は、 十分とは言えない(春山・北村・川原，1983;

北村・春山・高橋，1984)。 また、 第3章で議論したような砂の降伏挙動の異方的な

特性を表現できるモデルも少ないと考えられる。

本章で誘導する構成式は、 先に言及したように、 静的載荷条件下における砂の 応力ひずみ挙動の拘束圧依存性と応力誘導異方性を表現することを目的としたも のであり、 土が塑性的な体積ひずみと軸差ひずみの両成分に依存しながら、 異方

的に硬化を示す材料であるという考えに基礎をおくものである。 モデルは、 2つ の内部変数を含む降伏関数と塑性ポテンシヤル関数、 及び硬化係数から構成され、

基本的な部分は、 Yasufuku， Murata and Hyodo(1988)の示した等方硬化型モデル を拡張する事によって導かれる。

以下、 節に従って、 本章の概要を述べる。 まず、 第 2節において、 提案する構 成式の基本的な考え方をまとめる。 次いで、 第3飾では、 前節までの知見を十分 に反映させた、 構成式の誘導を具体的に行う。 また、 第4節では、 提案する構成 式を単純化した場合、 どのような構成式になるかを簡単に説明し、 その整理を行

れそして、 第5節では、 モデルに含まれる材料定数の決定方法につ いて詳細に 述べ、 それらの定数が、 通常の三軸圧縮試験により、 簡単に決定できることを示

す。さらに、 提案式を用いた応力ひずみ関係の予測結果を実験結果と比較するこ

とによって、 提案式の有用性を検証する。 最後に、 第6節では、 本章で得られた 知見をまとめる。

102・

4. 2 構成式の基本的考え方と特徴について

ここで示される構成式は降伏関数、 塑性ポテンシヤル関数および硬化係数から 成るが、 主に以下に示すような基本的考え方や特徴を有している。

( ₁ ) 土(粒状材料)は異方硬化 ・ 完全塑性を示す連続的な材料であるとする。

( ₂ ) ^土は、 現在の応力状態が防伏曲面内部にある時、 弾性材料として挙動し、

降伏曲面上にある時、 弾塑性材料として挙動する。

( ₃ ) 塑性ひずみ増分を定義する構成関係は、 非関連流れ則に基づいて導かれ

る。 また、 全ひずみ増分は、 弾性ひずみ成分と塑性ひずみ成分の線形和で 与えられる。

(4 ) ひずみ硬化と異方性の遂行の程度は、 塑性体積ひずみ増分と塑性せん断

ひずみ増分の両成分によって規定される。 また、 2つの成分の依存の仕方 は、 応力状態によって変化する。

( ₅ ) 応力比最大時での破壊包絡線の勾配は、 p-q空間において、 低拘束圧下

では一定値であるが、 ある拘束圧以上になると、 拘束圧の増加にともない 指数関数的に減少し、 最終的にはある一定の勾配(限界状態)に収束する。

( 6 ) 等方圧密中の体積ひずみは、 平均有効主応力に関する指数関数で与えら

れ、 これが硬化則として利用される。

( 7 ) 提案式に含まれる材料定数は、 1 0であるが、 それらの定数は圧密除荷

試験と、 通常の三軸圧縮試験を行うことにより、 簡単に決定できる。

4. 3 構成式の誘導

4. 3. 1 構成関係

ここでの解析および実験的考察は、 単調載荷条件での輪対称、三軸圧縮 ・ 伸張試 験の場合に限定したものである。 応力パラメータと、 ひずみ増分パラメータは、

第¹:章で示 したとおりであるが、 それをまとめると 以下のようである。

(4-1) (σa ⁺ 2σr) ;

3

σ r

σa - q =

dv = dε a + 2d E r ; dε (dE a - dE r) (4-2)

ここで、 p : 平均有効主応力、 q :軸差応力、 σa :軸方向応力、 ^{U r} :半径方

向応力^、 dv :体積ひずみ増 分、 d E :糊差ひずみ増分、 d E a:軸方向ひずみ増 分、

d E r:半径方向ひずみ増分である。 これらのパラメータの対応するものを掛 け 合

わせた量は、 以下の関係にあり、 常に供試体になされた単位体積当たりの仕事増 分量を与える。

p.dv + q.dε ^ーー σad E a + 2σrd E r

また、 応力比ηと塑性ひずみ増分比ゆPを次式で それぞれ定義する。

η ⁼ q/p ; ゆP = dvP/dε P

さて、 塑性変形が生じるような応力増分が供試体に負荷された時、

(4・3)

(4・4)

その時生じ

る全体積ひずみと全納差ひずみは、 以下のように塑性成分と弾性成分の線形和で 与えられると仮定する。

dv = dve ⁺ dvP ; dε ⁼ d E e + dε P (4・5)

104・

ここで、 上付きの添字 "e" と "p" は、 それぞれ3単位成分と塑性成分を意味するロ また、 上式で、 弾性体積ひずみ増分と弾性軸差ひずみ増分については、 等方弾性 体を仮定することにより、 次式でそれぞれ与える。

(4・6)

ここで、 KとGは、 体積弾性係数とせん断弾性係数である。 これらの係数は、

後述する式 (4・38b)で具体的に与えられるが、 それぞれ平均有効主応力の関数型と して規定される。

前章において、 塑性ひずみ増分の方向は、 特に応力比の高い領域で降伏曲線と は直交しないことを明らかにしており、 このことは、 構成式を考える上で、 関連 する流れ則が適用できないことを意味する。 そこで、 非関連流れ則に基づく検討 を進めていくと、 式 (4・5)中の塑性体積ひずみ増分と塑性軸差ひずみ増分は、 次の ように誘導される。

Bg Bg

dvP = A 一一 ; _{dε P} = A (4・7)

Bp Bq

δf δf

A = 〔一一dp +一一dq) (4・8)

H Bp Bq

にで、 Aは比例定数、 Hは硬化係数、 gは塑性ポテンシヤル関数、 fは降伏関

数である。 上式において、 塑性ひずみ増分を予測するためには、 降伏関数、 塑性

ポテンシヤル関数ならびに硬化係数を、 応力の関数として具体的に定式化する必

要があるロ 通常、 隊伏関数fは、 複数の内部変数を含むが、 ここでは、 できるだ

けモデルを簡便にするという目的で、 降伏関数fとして2つの内部変数を含んだ

号を考える。 すなわち、

f(p， q， kP， α) = 0 (4・9)

ここで、 kP は隣伏曲線の大きさの変化を表現する硬化パラメータであり、 αは異 方位を表すパラメータで、 降伏曲線の回転やゆがみの程度を表すこととなる。 後 述されるように、 これら2つの内部変数は、 塑性体積ひずみおよび塑性軸差ひず み増分によって特徴づけられる。

以下では、 降伏関数、 塑性ポテンシヤル関数及び硬化係数についての具体的な 検討を行っていく。

4. 3. 2 降伏関数

著者は、 0.1 MPa"'"'10 MPa の拘束圧下で単調或いは多段階応力経路試験を実施 し、 等方圧密を受けた砂の降伏特性を三軸圧縮領域において詳細に調べた。 その 中で、 実験的に得られた降伏特性に基づいて、 以下に示す等方硬化型の隣伏関数 を提示した(村田・兵動・安福， 1987b)。

f = η2 ₊ 2・N2・1n _p/Po = 0 (4-10)

ここでNは材料パラメータであり、 PO は等価等方圧密圧力に対応する。

さらに、 第3章において、 異方圧密を受けた砂の降伏特性について詳細な検討 を行い、 まず、 降伏曲線の勾配が、 次式で示されるように、 応力比と内部変数α の関数で近似できることを示した。

α η1 pu

qA一P&，G-BG

(4-11)

和、で、 上式の具体的な関数形として、 式(4-12a)で示す双曲線関数を提示し、

dq (η- (2・c)α〕η- (N-(2-c)α) N

(4-12a)

dp c(η-α)

I N I > Iαl

手の中で、 c = 1或いは c = 2を仮定した場合、 上式は、 それぞれ、

106 -

1.0 n ^ù) 4 -ALl 1.0

(b) 4-BL2 (Low stress reQion) 0.0 I ^(c) 4-ßL3 ( LOIぜstre5�) (Low stress)

J _:; I I')in _=0.0 0.8

0.6 1.川=ー0.0

0.11

u.G 0.6

î 10 0.2

0.2 ^cr O

。 _司0.2

.0.2 _ー0.2

ー0.4

.0.4

lncrelllcnt vector -0.4 _ー0.6

図4・1 予測降伏曲線と実験的に求まる降伏曲線の比較

c ₌ 1の時:

dq (η-α)ηー(N-α)N

dp (ηーα)

c ₌ 2の時:

dq η2 - N2 dp 2(η-α)

I N I > Iα|

I N I > Iα!

(4-12b)

(4・12c)

と簡単になり、 これらの式が、 実験的に示された降伏曲線の勾配の特性をうまく 表現できることを明らかにした(図3・1 9参照)。

そして、 式(4-12b)を、 初期条件を考慮して積分することによって、 一つの異方

硬化型の降伏関数を与えた。 すなわち、

f = (η・α)2 ⁺ 2'N・(N -α)・10 p/Po = 0 (4・13)

」こで、 Po は、 η = α における降伏曲線上の p の備で定義される。 式(4・13)

J 20 1 (b)

o Low stress

。fli9h stress

EC].4-12b (c) 1.5

α: 0.0 Nc:1.015

loJr-つ:-i:l ^ld/;

il_l.O 0〆1 _�

ー1.0

α: 0.5 Nc : 1.015

図4・2 予測されるη-dq/dp特性と実測値との比較

fi、 α = 0のとき、 式(4-10)に示した等方硬化型の降伏関数と一致し、 これは、

上式が式(4・10)を拡張したものであることを意味している。 本章では、 以下の議

論を分かりやすく進めるために、 上式を降伏関数の代表として用いることにより、

構成式を組み立てることとする。 これは、 上式が第3章で示した砂の降伏特性を 最もうまく表現し得たこと、 また何れの降伏関数を用いても、 梅成式の組み立て の手II[J{は、 まったく変わらな いことなどの理由によっている。 なお、 式(4・12a)と 式(4・12c)に基づく、 異方硬化型の降伏関数は、 前章において式(3・12b)と式(3・

12c)にそれぞれ与えている。 また、 降伏関数の違いが、 陣伏曲線の予測結果に与

える影響も第3章において明確にしている。

さて、 式(4・13)を用いて予測した隣伏曲線は、 実験から求め た隊伏曲線と共に、

図4・1に描かれているが、 降伏曲線の圧密経路依存性を予測式は、 うまく評価し

2.0 2.0

(c )4-ßL3

1.5

nHF Fじ，o ，，， 門νuv aHU

FHJ 自

nu

ー1 10 1 2 3

ロ:0.5

0 α:ー0.5

ric _{: 1.40}

ー0.5 ト ぷ泌総ぶ総\

ぶ降アー

Mc ^: 1.40

図4・3 予測されるη-dvP/d_E P 関係と実測値との比較

108 -

ている。 さらに、 図4-2には、 式(4・12b)に基づいて描かれた、 η-dq/dp関係の 予測値と実験値の比較もなされているが、 その対応は比較的良い。

4. 3. 3 塑性ポテンシヤル

図4・3は、 第3章の図3・1 6、 ¹ 7に示した実験結果を用いて描いた降伏点 近傍における応力比 η と塑性ひずみ増分ベクトルdvP/d^E P の関係を示したも

のである。 図中のOが、 低圧域における結果を、 ・が、 高圧域における結果をそ

れぞれ表している。 また、 図中には、 比較のために、 バンド(斜線)によって、

先述した隣伏曲線のηーdq/dp関係も示されている。 この図から、 各タイプの試験 に対する塑性ひずみ増分比dvP/d^f P と応力比の関係は、 隣伏曲線のη-dq/dp特 性と一致はしない。 しかし、 この関係自身は、 降伏曲線の勾配と応力比の関係と 同じく、 圧密経路や応力域にかかわらず、 応力比と異方性を表す変数 αのユニー クな関数で近似可能である。 したがって、 このことを踏まえると、 第3章で示し た降伏関数の場合と問機の考えから、 ゆP (=dvP/d f P)ーη 関係の一般型として、

dvP (M -(2・c)αJ M - (ηー(2-c)α〕η

dεP C (ηーα) (4・14)

が与えられる。 ここで、 円は ゆP = 0 における η の値で定義される材料定数で、

実験事実に基づくと、 円ミ� Nである。 c は、 前章でも述べたように双曲線の形 状を評価するパラメータであり、 後述するようにダイレタンシー特性を規定する パラメータである。 式(4・14)は、 η = α の時、 塑性輪差ひずみ増分をゼロとし て与え、 可 >門の時、 負の塑性体積ひずみ増分を与える性質を持っている。 ま た、 上式は、 円= Nの時、 式(4寸2a)と等価となり、 月= Nかつc = 1 の時、

式(4・12b)と等価となる。

さて、 式(4・14)は、 もしc = 2ならば、 Dafalias(1987) によって示された次 式の異方圧密粘土に対するストレス・ダイレタンシ一関係式に帰着する。

dvP M2 - η2

d ^f P 2 (η-α) (4-15)

また、 式(4・14)は α = 0 の場合、 以下の等方硬化型のストレス・ダイレタンシー 質係式に変形される(Yasufuku， Murata and Hyodo， 1988)。 すなわち、

dvP M2 ・ η2

(4-16)

d f. P Cη

となる。 さらに、 加えて c = 2 の時、 式(4-14)は、

dvP M2 - η2

dεP 2η (4・17)

となり、 これは、 Roscoe and Burland(1968)の示した修正Cam四clay model のス

トレス・ダイレタンシ一関係式と等価である。 以上のことから、 式(4・14)は、 修正

Cam-clayモデルにおけるストレス・ダイレタンシ一関係式に異方的な特性を加味 した、 最も一般化した式型であると考えて良い。 なお、 式(4・14)は、 再整理する と、 以下に示す塑性消散仕事式の形に書き換えることもできる。

dwP = ^P [(dVp)2 + (M2・α(2・c)(M-η)) (df.p)2

+ ((2-c)η + Cα) dvP・df. pJ ^1/2 (4・18)

さて、 以上のような特性を有する式(4-14)に直交則を適用すると、 塑性ポテン シヤル関数gは次のように誘導されるロ

c * 1の時:

c 1

g = lnp + ln [(η- 2α)η+一一(M - (2・c)α〕 円〕

2(c-1) c-1

= const. (4・19)

c = 1の時:

g = (η-α)2 + 2M(M - α)lnp = const. (4-20)

ハU唱BEA噌』aA

上式において、 材料定数c の値は、 1 1種類の砂質土の実験結果によって、 概ね .8"'2.2の範囲の値を取ることを明らかにしている(Yasufuku， Murata and

Hyodo， 1988)。 したがって、 近似的或いは、 経験的には、 c の値として2.0を用

いることができょう。 そうすると、 式(4-14)のストレス ・ ダイレタンシ一関係式 は、 式(4・15)で与えられ、 結果として、 式(4-19)の塑性ポテンシヤル関数は、 以 下に示すような簡単な形に書き直すことができる。 以下では、 この式を導入した 構成式の具体的な誘導を示す。

c = 2の時:

g = lnp + ln (η2・ 2αη + M2) = const. (4・21)

さて、 前述の図4・3には、 式(4-15)の適用性が、 圧密経路を異にする各タイプ の試験に対して示 されているが、 その実測値との対応は比較的良く、 c = 2とし た予測式は、 ストレス・ダイレタンシー特性、 特に、 圧密経路依存性をうまく表現 している。 また、 図4-4は、 第3章におけるType 4・BL1、 BL2、 BL3の試験を対 象に、 式(4-13)を用いて予測した降伏曲線(点線)と、 式(4・21)を用いて予測し た塑性ポテンシヤル幽線(実線)をp-q空間上に正規化して比較したものである。

この図から、 予測降伏曲線と塑性ポテンシヤル曲線の違いがよくわかる。 なお、

予測に用いた材料定数N， M， αの値は、 後述の表4・2に示したものを用いている。

1，0

。

巧〆』1L nu AU， ) kU ，，a‘、ri nHV -EE--

(c)4-ßL3

0，8

potential

，戸一ーメ

(Efl.4-21)

1 、、 0，5

0，4卜/

〆グYield、curve \ III/'

/ ，1/ ^ore

s

0.2

0

(，1/

^{4 -13)} \

u

0，(3 1.0

0，6 0.6

。

0.4 0，6

p/po

-0.5

0.4

� _U o

0，2

-0，2 / 〈\P川 ^-0.2

fJ;srJ;f，04h -1.0

-0，4

-0，6

図4・4 予測される塑性ポテンシヤル曲線と隙伏曲線の比較

4. 3. 4 ピーク強度の特性

砂の粒状材料に対して通常の三軸試験を行うと、 η・ε曲線 のような応力ひずみ 関係がピーク(最大値)を示すことはよく知られている。 本章では、 便宜上、 応 カ比が最大を示す応力状態を包絡した線を" 最大応力比線" と呼ぴ、 これを 破綴 包絡線と規定する。 図4・5は、 秋穂砂と他の4種の粒状材料に対する、 破壊時の pの値とセカントアングルゆg の関係を示した ものである。 この図から、 各々の 材料に対するゆg の値は一定 でなく 、 拘束圧 の増加と共にかなり の減少を示して いることが理解できる。 例えば、 カーポネイト砂(Dogs Bay Sand) では、 2 MPa 種皮のpの変化に対して約3 00 ものゆg の低下をきたす(Go1ight1y and Hyde，

1988 )。 これは、 広範な応力域において粒状材料 の応力ひずみ挙動を予測する場合 、

れの拘束圧依存性を取り入れることの重要性を示すものであろう。 ここでは、

図4・5の結果を考慮した 、 一つ の経験的な手法が、 破填包絡線 の拘束圧依存性を

評価するために示される。

図4・6(a)と図4^{- 7} (a)は、 一連の排水三軸圧縮試験から得られた秋穂砂とカ

ーポネイト砂(Go1ight1y and Hyde， 1988)に対する、 最大応力比状態と残留状態 における1n q-ln p関係をそれぞれ示している。 これらの図から、 qのピーク値 qp (最大応力比における軸差応力) は、 あるpの儲から pの増加と共に、 qの 残留値qr (限界状態時の応力比における軸差応力)に指数関数的に近づき、 最終

70

65

60

� 55

。 50 ぜ、

モヨト 45

40 35 30 25

図4・5

Aio sand (Oense) o oJ const.

• p const.

Oog Bay sand

(Golightly & Hyde， 1 988)

。

‘‘，a' phd no nHJ 司』A， • I so l --+L nu--E JG

5 t

e

s e

a nu+Lol oa--l

m n

H nuλu

nU e円yfk「」reAlι札

Toyóura sand (門iura et al.， 1 97 1) 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 1 00

p (t1Pa)

各種材料 のせん断抵抗角 の拘束圧依存性

112・

50.0 I (a) ^Aio sand 20.0

10.。 2.0

1.0

peTt;;; ヨ:jj R::;::;:h 町;ム

三 万fF l

Ph' .i.Pa

P U1Pa)

，q nH 3u ぞみ

VJ 、dnu

円Jo nu ) ヨu( nu Fhd

-:;;- 5.0

ι 三 ^1.0

O. j ahPa apPa r�・Pa

0.1

0.2

又爽

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σ σ0.5

0.1

Ph Pa P.t

0.05

0.01 0.02 0.05 O�l 0.2 0.5 1.0 2.0 P (r1Pa)

Pa

0.05ト0 0.2

0.1 ^'代

一 ny

nu ，、J ー'b -νa円 Au­ ι P.t

2.0

) 診-t

H 1.0

-'"ι

.)L 2.0

5.0

，G nH 2u ps

HVJ 3u 門口門川do nU ) .hu (

5.0 (b) ^Aio sand 図4 - 7 (a)ドッグベイ砂の最大応力比

状態と残留状態のlnq ・ln P 特性、 (b)ドッグベイ砂の等方

圧密過程におけるln k-ln P特性

10.0

図4・6 (a)秋穏砂の最大応力比状態と 残留状態のlnq-ln P特性

(b)秋穂砂の等方圧密過程 におけるln k-ln P特性

的にはqp と qr は等しくなっていることが理解できる。この実験事実に基づいて、

本章では、 破壊時の軸差応力qが次 式で表されることを仮定する。

qp = αh.P P<Ph (4・22a)

qp =t-qr

qp = αp・Pa (一P^一)^b Ph<P<P� (4-22b) Pa

qp = qr qp = M.p ^{- ・ ・} p^>p� (4・22c)

ここで、 αh， αp， bは材料定数である。 αhは、

図4・8の概略図に示してあるように、 P<Ph にお ける可の儲である。 式(4・22a)は、 超低圧域にお

11るわは一定値を示すと言う福島 ・ 龍岡(1984)

P = Pa

は単位圧力(100kP a)を

Ph<P<PC. ln q -

αp は

の 範囲で、 また

の報告をより所としている。 の値であり、 Pa

意味する。 定数bは での 可

その直線の勾配

ln p直線関係を仮定したときの、

P.t p

と

にフ

h p&

式(4・22)に基づくと、

で表される。 また、

一σ一ミ

ah a p t1 1/ (b-1)

(4・23) 必然的にJ穴式で与えられる。

、BEJH一h rEBK a nr 'b・pa

1/ (b-1)

P�の値は、

αh

Pb = Pa (一一〕

αp

P.t Zηp

強度特性の考え方 破壊規 図4・8

準を応力比の形で表すと次式のようになる。

さて、 式(4-22)と式(4・23)を用いて、

(4-24a)

pくPh

(4-24b)

Ph<P<PC.

b-1

αh

P

αp (一一⁾

Pa

ηp -

ηp -

(4・24c) p>pc.

ワp = M

ある大変低い平均有効主応力 図4 ・8と対比して考えると、 まず、

この関係 は、

平均主応力 P tJ� Ph 以上にな は一定値であり、

ピーク時の応力比ηp Phまでは、

(p が Pc- 最終的には

の増加にともない指数関数的に減少し、

その値はp ると、

に収束する はある一定値(限界状態に対応する応力比)

の(置に達すると)、 ηP

上述の仮定の妥当性を示し 図4・6(a)と図4・7(a)の結果は、

114 - ことを表現する。

ている。

4. _3. 5 硬化係数

前述までの議論で、 fとgの評価及び破壊包絡線の考え方を明確にした。 従っ て、 式(4・7)と式(4・8)で表される構成式を完成させるためには、 後は、 硬化係数 Hのみを評価すればよいことになる。 言い換えれば、 式(4・9)の降伏関数に含まれ る、 2つの内部変数kP とα をどのように定式化するかということに帰着する。

第3章において、 降伏曲線の形状は、 等正規化仕事量曲線によって近似的に表 されることを示した。 このことは、 降伏曲線の広がり方が、 塑性体積ひずみと軸 差ひずみの両成分に依存していることを暗に表していると判断できる。 そこで、

ここでは、 このことを踏まえ、 硬化パラメータドに対する増分式として、 塑性体 積ひずみ成分と塑性軸差ひずみ成分を含んだ次式を仮定する。

dkP こdvP + χ・ η・d ^E P

δg Bg

= A (一一一+ χη^一一一) = A'k

δp Bq

(4・25a)

(4・25b)

上式で、 χ は、 土の硬化に対する塑性輪差ひずみ成分の関わり方を決める重要な パラメータであり、 これは、 以下のように、 土(砂)が破壊状態において完全塑 性材料として挙動するという仮定に基づくと簡単に決定できる。 すなわち、 この 場合可 = ワpで、 硬化係数Hは、 Oでなければならないから、 この時、 式(4・25 b) 中の( )の中がOであることを必要とする(式(4-30a)参照)0 したがって、 χ は必然的に、

χ = (ηP2 ・ H2 )

2ηP (ワP - α) (4-26)

で与えられる。 パラメータχ は、 式(4・24)によって表されるηp を含むから、 結 果として、 χはpの関数となっており、 その備は、 pの増加と共に減少し、 ηp : Hの時、 すなわち、 p> p� の時、 Oとなる特徴を有する。 これは、 式(4-25)

で与えられるdkP 中の塑性車両差ひずみ成分の硬化に対する貢献度がpの増加と共

は塑性体積ひ (χがOになるような高圧域では) dkP

最終的には、

i:減少し、

モデルのそれと一致する特性を与 Cam-clay

硬化の仕方が、

ずみ成分のみとなり、

は諸戸の提 1を与えれば、 dkP

一一

χ 式(4・25)において、

えることとなる。 また、

式(4・25)，

図4-9は、

と等価となる。

察した状態量(1976) (正規化した仕事量)

第3章で求めた降伏曲 図中には、

曲線である。

式(4・26)に基づいて描いた等 kP

式(4・25)の硬化 この結果は、

1.2

(MPa)

その対応は比較的よく、

o kP=lxlO-J ð. =2x10・3 口 =3x10-) マ =4xlO・3 E x p e r i me n t a 1

yield curve

/ .

棋^の形状 も 示 しているが、

1.0

-0.4 0.8 0.6 0.4 0.2

。 -0.2

(咽az)

cr

(b) 4-BL2 1.0

0.8 0.6 0.4 0.2

。 ー0.2 -0.4

(咽門主)

Eア -0.6

Eq.5-25

(c) 4-BL3 0.3

0.2

。 0.1

t .，

) ・0.1z

σ

-0.2 -0.3 -0.4

ー0.6

等硬化パラメーター曲線の予測値と実測降伏曲線の比較; (a)圧縮側に 異方圧密した場合(Type 4-BL1)、 (b)等方圧密の場合(Type 4-BL2) (c)伸張側に異方圧密した場合(Type 4-BL3)

-0.5

叫4・9

パラメータとしての妥当性を示すものである。

次に、 降伏曲線の回転の仕方を表すαの増分式dαも、 塑性体積ひずみと軸差 ひずみの 両 成^分に依 存^{するという}立 場 か^{ら、 こ}こ^{では、 次式を}考^える。

ここで、

dα = X2(dvP + χ・η. dεP)

ag ag

= A X2 {一一一 + χη一一一} = A.α

δp aq

p X2 = C1(η ー C2α )一一

P。

(4・27a)

(4・27b)

(4-28)

上式において、 C1 と C2 は、 それぞれ異方性の発達の速度と度合いを制御する材 料定数である。 具体的には、 C1 が大きくなると、 降伏曲線の回転速度は早くなるロ また、 ヮ = C2α の時、 式(4-28)から、 X2 = 0となり、 結果的に、 dα = 0とな る。 これは、 η(= C2α ) 一定経路下では^、 降伏曲線の回転は起 こ^{らないことを} 与えるものである。 加えて、 p/p。 の項は、 広範な応力域に関連して、 dα を正規 化するために噂入したものである。 これにより、 降伏曲線の回転の仕方は、 塑性 変形を与える応力増分の方向によって異なることを表現できる。 dα についての このような考え方は、 粘土材料を対象としたHashiguchi(1979)やDafalias(1987)

のモデルの中でも見られるものである。

さて^{、 式(4・9)に}適^合条 件^を適用^すると、 降^伏条 件^{は次式によ}っ^て与^{えられる。}

δf af af δf

df =一一dp +一一dq +^一一一dkP +一一一dα = 0

δp δq ^a kP aα

(4・29)

上式に、 式(4・25) 、 式(4・27)を代入し、 若干の整理を行うと、 硬化係数Hは、 次 式で与えられる。

ザザで

\，...� 、

af 一 af H = - 一一一 k -一一一 α

δkP

af δkP

δα

δf

ー ー

δp。

δpっ a kP

(4・30a)

(4・30b)

式(4・30 )に含まれる δflδp。 と a fl aαの項は、 式(4-13)に示した降伏関数 に基づくと、

af 2N(N -α)

一 (4・31a)

δpっ p。

af (η - α) (η + α- 2N)

ーー (4・31b)

3α ^N - α

となる。 なお、 本モデルでは、 異方性の発達にある限界を置くために、 次式の ような限定条件を設けている。

|η + α1<2 I N I (4-32)

もし、 この条件を満たさないような場合 には、 その段階でdα = 0を仮定する。

式(4-30)において、 kとαは、 式(4・25)と式(4-27)で与えられるから、 それ 故、 硬化係数Hを決定するためには、 後、 偏微分値， apo/akP の実験的な評価 を行えば良い。

3polakP の評価は、 等方圧密時のk (k = 工dk;dk = dke + dkP = dv + 1りd E )と、 pの関係を調べることによって可能となる。 等方圧密を考えた場合、

d E = 0と見なせるので、dkの定義から、 結果として、dk = dv となる。 図4・6

(b)と図4・7 (b)には、 秋穂砂と宇部:まさ土の等方圧密処女載荷・ 除荷試験におけ る、ln k - ln p関係を示している。 これらの図から、 ln k - ln p 関係は、 少 なくとも拘束圧15 MPa までは直線によって近似できることがわかる。 したがつ

118 ・

て、粘土を対象とした場合に、 硬化則としてよく利用される e - ln Pや

v - ¹ⁿ P関係の線形性は、 砂の場合当てはまらない。

さて、 このln k - ln P直線関係に基づくと、 等方圧密過程における dkとdk号、

すなわち、 体積ひずみ増分の全成分と弾性成分は、 次式によって表される。

P0 dpo

dk = (. ka (一一) ^{L一一 (4-33)}

Pa P0

dke = hka (一一p_ ) ^L dp

(4・34)

Pa _P

ここで、 し は、 P = Pa. でのkの値である。 また L は、 ln k - lnp関係にお ける処女載荷直線の勾配を示し、 h は除荷ある いは再載荷時の直線の勾配を示す 材料定数である(図4・6 (b)、 図 4 ^{- 7} (b)参照)。 次いで 、 式(4・33)と式(4-34) を用いると、 dkP に対する増分 式は、 dkP = dk - dk<:! の関係 より、 次式で与えら れる。

Po dp。

dkP = (L - h) ka (一一) ^{(， 一一一}

Pa. _Po (4-35)

また、 式(4・35)は、 次のように書き換えられる。

dpo δPo _Po

〔一一一) ^{� (4-36)}

ー 一 ー

一 一

dkP _a k P (L - h)ka _PO

ここで、 PO は式(4-13)から、

PO = p'exp (

qι --α一 一α.、‘，，，， -、.，/

--

MNH H'''t、竹川，一-MNいft-つん

(4-37)

で与えられる。 以上により、 材料定数 L 、 h とし さえわか れば、 δPolδkP

の評価が可能となる。 従って、 式(4・30)に、 これまでに評価した式を代入すると

硬化係数Hが具体的に得られ、 塑性ひずみ増分の予測或いは、 応力増分の予測が 可能となる。

さて、 以上の議論を踏まえ、 全体積ひずみ増分と全軸差ひずみ増分を、 マトリ ックス形式で表すと以下のようになる。

一ー

d ^E I

ここで、

H

H Bf + ーーーーー

K

P Pa

Bp

δf Bp

K ₌ 一一一 (一一)(.

h'ka p

δg Bp

δg Bq

G ₌

δf δg

δq Bp dp

(4-38a)

H δf Bg dq

+ 一一一一

3G δq Bq

3(1・2 'v ) K

(4・38b) 2(1+ャ)

式(4・38b)で、 体積弾性係数Kは、 除荷時のln k -ln p直線関係に基づく

式(4・34)と式(4-6)の比較から噂かれ、 せん断弾性係数Gは、 一定値を仮定したポ アソン比ャとKから決定される。 ここに、 式(4・38)中の偏微分項に対する具体的 な表示は、 以下のようである。

δf 2

一一 = 一一 ( (N - α) N - (η B p p

δf 2

ー一 = 一一 (η α) Bq P

δg (M2 ・ η2)

一一

δp p(M2 ・ 2αη + η2)

δg 2(η α)

ー 一

Bq p(M2 ・ 2αη + り2)

α)η〕 (4・39a)

(4・39b)

(4・40a)

(4・40b)

120 -

4. 4 提案する構成式とその分類

前節までに述べてきた提案式は、 広範な応力域において適用できることと、 応 カ誘導異方位を表現できる特徴を有している。 しかし、 現実の問題を考えた場合、

応力域を限定した条件を想定すれば十分な場合もあるし、 また、 初 期の誘導異方

位のみを考えればよいと判断される場合もある。 さらに、 等方硬化を仮定す^れば

十分な場合もあろう。 ここでは、 このことを踏まえて、 先に述べてきた提案式を

整理すると共に、 提案式を基礎にして導かれるいくつかの偶成式について言及す る。 表^{4 ・}1は、 提案式をベースにして導かれる構成式を示したものである。

表中のAW-モデルは、 広範な応力域を対象とし、 異方硬化を仮定したものであ

る。 この中で、 AW-1モデルは、 降伏曲線の回転をせん断中に許す(dα:;t0 を 仮定したモデル)構成式であり、 本章で誘 導してきた構成式に対応する。 AW-2

モデルは、 式(4・27)で定義される dα を常にOと仮定する場合であり、 初期の 異方位のみを考慮した構成式である。 材料定数は、 後述するようにAW-1モデル の場合1 0、 AW-2モデルの場合9つとなる。 次いで、 ALモデルは、 応力域を 限定した異方硬化モデ.ルであり、 これは、 提案式の中で、 ^η予 が一定であること を仮定することによって導かれるものである。 A L-1モデルとAL - 2モデルの 遣いは、 AWモデルの場合と同様、 せん断中 dα:;t0 とするか、 dα=0

表^{4 ・}1

広簡な応力域 ( 1] p亨�consl.) 圧密に起因する初期の 応力i涜噂奥方性(α*0) せんI析に起閃する応)J 務i算見方性(dα*0) せん断中の膨弧挙動

(収納→膨弧) 材料定数の数

1\ W-l モデル

。

。

。

。 10

提案する構成式の分類

奥方硬化型モデ-ル AW-2 モテル

。

。

×

。 9

1\ _L - 1 モテル

×

。

。 O/X 8/7

AL-2 モデル

×

。

× O/X 7/6

〔注窓) _: 0は、 表現可能、 × は、 表現不可能を意味する

:等方硬化型モデル :モデルIW

。

×

×

。 8

モデルIL

×

×

× O/X 6/5

と置くか

の場合) か7つ (αh -::;:. Mc

8つ A L-1モデルは、

この場合、 g遣いである。

7 _っか6つとなる。 A L - 2モデルは、

の材料定数を含み、

，，a'aa、 NU LnH -- MmH C の場合)

これ 広範な応力域を対象とした等方硬化モデルである。

1 W-モデルは、

また、

簡単に導くことができ、 必要 を提案式中に組み込めば、

= 0

= 0かつdα 法、 α

提案式を最も簡単化し 1 L -モデルは、

8つとなる。 そして、

とする 材料^定数は、

これは、

限られた応力域を対象とした等方硬化モデルである。

たものであり、

:\L-モデルと1 W-モデルに導入した条件を組み込むことによって誘導でき、 必

要 と す る 材料 定^数は、 6つ (αh ヲ丘 Mc の場合) か5つ (αh ^{= Mc} の場合) に減

少する。

モデルの使いやすさと、 対象と これらのモデルをどのように使い分けるかは、

それぞ_れ^の構 成_式^の具体 した問題との兼ね合いで考えていかなければならない。

表4・2には、

加^え_て、

図4・1 0 (a)-- (f)にまとめて示している。

的な表示は、

必要な定数の場合にはOを、

各モデルで必要な材料定数をまとめて示している。

表4-2 提案する構成式に必要な材料定数

各材料定数の具体的な決定手法につ 必要でない場合には×を記している。 なお、

いては次節で詳述する。

そ::;" )� ^Cl

00

×

×

O× O×O

×

×

× α。

0000×

×

Nc

000000

Mc

000000

b

00

×

×

O×

αh 0 0 バ バ 0

バ 00

0

α P

000000 000000 000000

^ W-1 A w- 2

^ L-1

^ _L - 2 1 W

1 L

(・注) 0は必要、 ×は必東なし。 塑性ポテンシヤルg巾のc は 2.0に回定。 またC2 は η1n/α。 で与えられる。

122・

構成関係(AW-lモデ.ル)のマトリックス表示 f弾性係数:

J} . i .. _{P ， Pu.，.}

α = αo + L _{dα ; K =一一一} (_一一)_L

1 =

1 ;

P

-且.

ト nr 一、ノ-L←p 一、ソ一ria一o一O←P一P一f一tk)一α一一ME

a -

-一k-一

o

一 二'-11JM門一nr一-LUft一nu

- -

JU--一P

一

- 引一-可

-'

L-

-

-，，，‘、

••

一

一一

一一 rl'e

t- --'b --o-p-

o

一

nr-W-P一kf一P一く-法-a一33一a-P-lvL-

-

-

-Jt

イa -

.

.

一h

g q

一硬

一

一

p

nd円OVI--，ト・ー・l-|'l'l'|・l・l・l-ー・l・1・1・ー・l'l-|トr-o -214

p一nn一寸ーj一b

α

- 丸一p一hη，-fl

(

一

P・E・-

c

一

α一-一-一2一PVAH

- nソ - ..，

••

、EBE，F-、・IJ-LH一α-Pヘ正一-ノ、、M川一-一Da - p

e一可-r一-02一/L「.，lFAp-F 行ソ一ηリ--一-稲川-hLL2-LH-z -直l-(

=

一似て­

γん

- -

P

ロ--nH，

-nH，

『

構成関係:

v=11dv，E=Z1dE，

dv C11 C12 ^dp

ーー

d ^f 11 C21 C22 dq

H δfδg Cll =一+一一，

K apδp

δfδg C12 =一一一一

δq ap δfδg

C21 =一一一一，

Bp Bq

11 _{af ag} C2.2 =一一

3G δq aq

、，、..^，、，

L. L. �� 、

II ⁼ 111 + Ib

硬化係数11 I

af apo_ _ag ag_

111 = ー [一一一一一] E一一+ χη 一一]

Bpo akp ap δq

af ag

112 ⁼ -一一- X2 E一一一 ₊

δα Bp

χη一一]ag δq ここに、

(ηーα)2

PO = p. exp ( )

2N(N-α) dα= X2(dvp + χη・df P)

v= ー一一一一Ko l+K。

3(1-2v)K G =

2(1+ャ)

降 伏 関数_f I

f = (η司α)2 + 2N(N-α)ln p/PO = 0 δf 2

一一=ー((N - α) N - (η - α)η〕

δP P af 2

-一一 _{(η ー α)}

δq p

δg (M2・ η2) δP p(M2 - 2αη + η2.)

2(η ^α) p(M2・ 2αη + η2)

af aα

(ηーα)(η+α-2N)

ー N - α

(a) _{A W} - 1モデル

構成関係;

mpえ関係(AW- 2モデル)のマトリックス表示

;卵性係数:

n n

v=E1dv，E=21dE， α=αo P P Il.. K =一一 (一)^L

h・ka ^P

K。

v= 一一一一一ー l+K。

dE C21 C22

3(1-2v) K G =

2(1+ャ)

dv C11 C12 dp

H dq

! 降伏関数f l

f ₌ (ηーα) 2 ₊ 2N(N-α) ln p/PO ₌ 0

11 Bf Bg C11 =一四+一一一-

K Bp Bp

σb-nr 円。-nOF--q. 3一δ

q'­fu δf 2

ー一 (CN -α) N - (η - α)η〕

δp p

δf ag C21ご一一一一，

δp Bq

H afδE C22ご一一+一一一一 3G Bq Bq

δf _一一 2

ご一一 (η ^ー_α⁾ δq P

δg _ーー (M2 - η2) Bp p(M2 - 2αη + η2⁾

ag 一一 2(可ーα) δq p(M2 - 2αη + η2)

� ..." ^{， ...}

L- L. Y... 、

H = 111 ₊ lh ^; lb ^{= 0}

-「ilJ~g-q

-

〔σ一円。

- 行け，

- γん -

4' 一

g-p - 円。一nd 一

「L -

1」

-oep

一p-EK

-

「σ一円。

--o ffi-P&

- l

a一δ

一

rlL 一数-一川山川-一司LrU

141 4i -硬

H

、，、�1、，

L- L. r...、

i硬化則:

1"1 p 2 - M2 、

χ =L2ηp(ηp α)J ^Bpo _δkP ^一一 _{( t} ^Po _-h)ka

(よ三)

( η - α) 2

= p. exp ( ， . ' . ) 2N(N-α)

af 一一 2N (N-α) δp。 P_o

ーーーーーーーーーーーーーー

一ι一一一一一一一ーー- - ---ーーーーーーーーー

ーーーーーーーーーーーーーーーーー一一一一一一一一一

ー ー --句司ーーーーー- ... - -.-ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

17 p の評価 。

可p - αh for pくPh : _{1] l'} = αp

(ーとJ

Pa. ηl' = M for _p>p\.

(b) A ^W -2 モデル

図4・1 0 提案する構成式のマトリックス表示(b)

124・

構成関係(AL-2モデル)のマトリックス表示

-1u・、‘l，Ja-O一p-P一〆，‘‘、、ー''

-

-

α一

- a

--'M仇--一一、IJMNい一一

-s

Hur---一nuE-M川H-一P‘-q乙-.

国 噂，，E目、、- ''Lν自-

一一-一一

O一p-

o

一

P一kf-p←δ一δδ一δ-

-M川川一一一-p ηソ' 一r -nu -hH -α -

η， - -一

e，，. 一 価

一 の 一和川 -nr 円リ

問成関係;

v=Zldv，E=51dε， α=αo

ー dp

dq C11 C12 dv

H C21 C22 df.

11 af ag C11 =一一+一一一一，

K _{ap Bp}

δf Bg C12 =一一一一

δqδp δfδg

C21 =ー一一一，

δpδq

σb-n­ぺσ一nor--n­nd一「σふ，H一%

ヲι司，ι円tu

、，、..^I、，

L. L.. V'- 、

11 = H1 ⁺ 112 ; 112 ⁼ 0

硬化係数日1

af δPo_ _ a ^{g δg_}

111 ⁼ - [一一 一一] _{[一一+χ η-=-=-J}

δ^Po akp δp δq ここに、

、Etaa，

E、‘，，，

z一αU阿川-- - D・

-一竹川，

今4 rlE‘、 -n/h nソ一竹叶， p-0・ -rs‘、

γん

(ηーα)2

PO = P' exp ( . ) 2N(N-α)

，aq1VE ­万ボ 数一 作エ ト世一 方RJ

-

K_o

'\1ごーーー一一一

l+K。

3(1-2'\1 )K

G ⁼

2₍1+ャ )

向伏関数f

f = (η-α)2 + 2N(N-α)ln p/Po ⁼ 0 δf 2

一一=一一((N -α) N - (η -α)η〕

δp ^P δf 2

一一=一一(η- α) δq ^P

ag (M2 -η2) ーー

Bp p(M2 - 2αη+η2)

i ag 2(ワーα) laq-p(門2・2αη+η2)

!硬化則l

p。

(d)AL-2 モデル

図4・1 0 提案する構成式のマトリックス表示(d)

構成関係;

構成関係(1 W-モデル)のマトリックス表示

;卵性係数;

n n

V = L dv ， E = L d ^E K = 一一一^P ( 一^{Pa .} 一)L

h.ka _P

-o o-vn wku一ふE-'EBA --v

dv dp

3(1-2')) )K G =

2(1+')))

一一一一一

一十

C11 C12

r - ー ー ー ー ー 唱 ー ー ー -T--ーーーーーーーーーーー一-一---一-ーーーーーー一--

ーー

d ^E 11 C21 C22 dq :降伏関数f I

| f= η2 + 2・N2・ln p/Po = 0

11 _Bf ag

C11 =一一+一一一一 K _Bpδp

δf 2 af 2

一一 = 一 (N2 - η2) ーー _η

δp P δq P

δg 門2 _ η2 δg 2η

一 一

δp p(M2 + η2) δq p(M2 - η2) δ[ ag

C21 =一一一一，

δp aq

- ー ー ー ー ー ー ー ー ー -r - ーー ー ー ー ー 一 ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ーム^{ー ー ー ーーー-}r- - - -r- ー ー ー ー ー ー ー - ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー

硬化係数11: 硬~ -，AE・ レU一 mm八一

af δP0 [一δ一 g ηp 2 -M2 一3一g] ^δPo Po

(土)

11 =ー[一一一一] + ( _ ^Jη 一 一

apo δkp δp 2ηP2 3q akP ^{( 1.} -h)ko. _Po

c.l: �:、 (りーα)² af 2NL

Po = p.exp ( ^J 一 一一

2N(N-α) ^δp。 PO

- ー ー ー ー ・一 ー ー ー ー ー -r ^{- ー ー}ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー - - - ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー- ー ームー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー

可p の評価

りp - αh for P<Ph nH， p -- α p 〆『'a、 p一nh 、EEa，， b 4A fi nu TA p‘ hu Jt P& ノ‘、 P‘ -E.

ηp = M for p)p�

(e) 1 W-モデル

図4・1 0 提案する権成式のマトリックス表示(e)

127・

構成関係( I L-モデル)のマトリックス表示

構成関{系: : �ll1性係数:

n n

v=21dv ，E=21dE P Pa.. K ^=一一 (一^一)1，

h'ka P

Ko v= ー一一一一

l+Kっ

dv Fし -A 4A 4A ru qL

dp

3(1- 2ャ)K G ⁼

2(1+ャ)

一一一一一ー でこニ_-二ー一---- -ーーーーー一-ー目ー-ー一一ーーーーー一ー

d E I H C21 C22 dq :降伏関数f :

f

一一

11 afδE C11 =一ー+一一一­

K δp Bp

δfδE C1? 12 =一一一一^-

aq Bp

δf ーー 2 (N2 - η2) δf ーー 2 η

δ^p P δq P

ag ^{M2 - η2} δg 2η

一 一ー

3p p(_{M2 +η2) δq} p(円2 _ η2) δf Bg

C21 =一一一一，

δp δq

δ一δ

訂一白

硬化係数日;

(硬化則;

Po = p'exp -一α α一11 ²_-、E1 、EEEノ --

M川い-r，，、、ηJ一-MNH r--、-nfb〆ttt、

δPo P^o

(土) L 一一

δkP ^{( L} -h)ka P^o δf 2N2

ー一

ap。 Po δf ^ap0_ _Bg ηp2_M2 Bg

11 =ー [一一 一一] _[一一+ ( • � - ) η一一]

δPo δkp δ^p 2ηp2 _aq

、，、..^I、，

l- L V，-、

'TJ p の評価 ; _ηp ^{- αh or} _ηp ^-門

(f) I L-モデル

図4・1 0 提案する構成式のマトリックス表示(f)

�， 5 パラメータの決定方法と提案式の検証

4. 5. 1 パラメータの決定方法

予測の対象とした試料は、 第2、 3章で使用した飽和密詰めの秋穂砂と、 ドツ

yベイ砂(Murata， Hyde， Hyodo， Yasufuku and Golightly， 1990)および乱さな

法さ土(Yasufuku， Murata and Hyodo， 1988)の3種類である。 ここでは、 これ らの試料を用いて行った、 種々の応力経路下での三軸試験結果と、 提案式(主に、

W-lモデル)による予測結果を比較することにより、 モデルの適用性を検証し

'いる。

図4・1 1は、 材料定数の決定方法を模式的に示したものであるが、 以下に、 そ れぞれの定数の決定方法と、 その特性について簡単に言及する。

(1 )強度特性を評価する定数 αh ， αp， bの決定

強度特性を評価するパラメータ αh ， αp， bは、 数本の三軸圧縮試験の結果を お力比最大時の qと pに注目して、 図4・1 1 (a)のように整理することによっ

求めることができる。 まず、 αp は単位圧力Pa. でのqの値として与えられる。

bは、Ph(Pくれ の応力域におけるln q _- ln P関係の勾配で与えられる。 また、

自hは、 簡単のために、 Ph を50 kPaと仮定し、 式(4・23)の第1式から計算により

内HH，l l ，，、

q ( c) N，.. = η

-y _ q

J

'- /2.tn (Po/f)y)

m Eq.4-10

I j

//ア

ジへ

Po ^p

PIt Pa Pε ^。 _P

Pa .tn p く〉

( d) ^η

M

;sin=nin=5

0

) tnu (

van 凶引 '，、 iJl

。

ny2-nin2

α0=2[(ηy-ηin) +Nc2(Py/Pin)J

ー-from Eq.4-13

-dv/dε

図4・1 1 パラメータの決定方法

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