静的弾性問題の有限要素法解析アルゴリズム

概要



基礎理論

1.応力とひずみおよび平衡方程式

2.降伏条件式

3.構成式（応力－ひずみ関係式）



有限要素法

1.有限要素法の概要

2.仮想仕事の原理式と変分原理

3.平面ひずみ弾性有限要素法定式化

FEMの基礎方程式

　 　　 　 　　 　 　　 　平衡方程式 　                                        0 0 0 1. z z yz zx y yz y xy x zx xy x G z y x G z y x G z y x             　　 　 　ひずみ－変位関係式                                                                   z u x w y w z v x v y u z w y v x u zx zx yz yz xy xy z y x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 . 2          kl ijkl ij D    　 構成式 　 　 　応力－ひずみ関係式 ) ( . 3 　　　　 　 　　 　　　　　　　 　　 変位の境界条件　　　 　　　　　 　　　 　 　　 　　　　　　　 　　　 力の境界条件　　　　 　　　　　 　境界条件式　 u i i t i i S on V u S on P t     . 4

応力とひずみおよび

平衡方程式

応力の定義

dA

d

A

A

n

P

P

T













lim

0

応力ベクトル：

dA

dN

A

N

A

n

_











lim

0



垂直応力：

dA

dQ

A

Q

A

n

_











lim

0



せん断応力：

応力ベクトル

j

ij

j

j

ij

i

z

zz

y

zy

x

zx

z

z

yz

y

yy

x

yx

y

z

xz

y

xy

x

xx

x

e

e

T

e

e

e

T

e

e

e

T

e

e

e

T

























































テンソル標記で

応力テンソル

 















































z

yz

zx

yz

y

xy

zx

xy

x

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

ij









































ji ij







モーメントの釣合 ＝応力テンソルの対称性

xy

yx

xy











二次元応力行列と主応力





















































y x y x y xy yx x y x

n

n

n

n

T

T





















































0

0

y x y xy yx x

n

n













0



















y xy yx x 2 1 2 1 2 1 2

,

0

)

)(

(

0



















I



I













主応力

三次元応力の座標変換





























n

m

l

T

n

m

l

T

n

m

l

T

z

yz

xz

nz

zy

y

xy

ny

zx

yx

x

nx



















n

T

m

T

l

T

_nx

_ny

_nz

n









2

2

2

n

n

n

T









j

ji

j

j

ji

ni

n

n

T











三次元応力行列と主応力

0

)

(











j ij ij j ij i j ji ni

n

n

n

n

T















0

)

(

det



_ij







_ij



0

3 2 2 1 3









I

I

I







今考えている面を主応力  がはたらく主応力面とすると 上式が n_j=0 以外の解をもつためには 上式を展開すると ここで J₁，J₂，J₃ を応力の不変量という． 上式の3実根を ₁ ，₂，₃ とすれば









₁









₂









₃





0



主応力



₁

,



₂

,



₃

三次元応力の不変量





 





















































ij xy z zx y yz x zx yz xy z y x ij ij jj ii zx yz xy x z z y y x m ii x y x

I

I

I































































det

2

2

1

3

2 2 2 3 2 2 2 2 1























3 2 1 3 1 3 3 2 2 1 2 3 2 1 1

























I

I

I

あるいは主応力を用いて表すと

平均垂直応力と偏差応力

1

3

1

3

1

3

ii

J

z y x m





















平均垂直応力＝静水応力 ⇒塑性変形に無関係

偏差応力 ⇒塑性変形を引き起こす

ij m ij ij m m m zx yz xy m z z m y y m x x







































































































'

'

'

'

,

,

,

'

'

'

3 3 2 2 1 1

偏差応力の不変量



















 













 

 











































































































'

'

'

6

1

)

(

6

6

1

'

'

'

2

1

'

'

'

'

'

'

)

(

2

'

'

'

2

1

0

'

'

'

'

'

'

3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 3 3 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1















































































J

J

J

zx yz xy x z z y y x zx yz xy z y x z y x

二次元x方向応力の平衡方程式

（＝釣合方程式）

0

0





























































x yx x x yx yx yx x x x

F

y

x

dxdy

F

dx

dx

dy

y

dy

dy

dx

x

















三次元応力の平衡方程式

（＝釣合方程式）

0

0

0

0

,





















































































i j ji z z yz xz y zy y xy x zx yx x

F

F

z

y

x

F

z

y

x

F

z

y

x





















垂直ひずみ

（＝垂直微少ひずみ）











































z y zz y y yy x x xx

y

u

y

u

x

u













 

 

 

 

 

y y y y y y y yy

y

u

dy

A

u

dy

y

A

u

A

u

dy

A

u

B

u



























せん断ひずみ

（＝微少せん断ひずみ）





























































zx x z zx yz z y yz xy y x xy

z

u

x

u

y

u

z

u

x

u

y

u













2

1

2

1

2

1









 

 

 

 

yz y z y y y z z z y y z z yz

z

u

y

u

dz

u

dz

z

u

u

dy

u

dy

y

u

u

dz

A

u

D

u

dy

A

u

B

u













2

1

2

1

2

1

2

1

tan

tan

2

1

2

1





















































































_













工学的せん断ひずみ

は

ここで



_ij

ひずみテンソル

(ひずみ－変位の関係式）





 



























































































z yz zx yz y xy zx xy x zz yz zx yz yy xy zx xy xx i j j i i j j i ij

u

u

x

u

x

u









































2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

, ,

体積ひずみと偏差ひずみ

z y x zz yy xx ii i ii V





































体積ひずみ

偏差ひずみ

V ij ij ij zx zx yz yz xy xy V z V zz z zz V y V yy y yy V x V xx x xx

























































3

1

'

'

,

'

,

'

3

1

3

1

'

'

3

1

3

1

'

'

3

1

3

1

'

'































































主せん断応力と最大せん断応力





























2 1 3 1 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1

2

1

2

1

2

1

:

,

,

:

,

,































主せん断応力

主応力





2

,

,

max

:

3 1 max 3 2 1 3 2 1 max max



































最大せん断応力

Trescaの降伏条件 (1864)

達したとき降伏する．

（せん断降伏応力）に

が材料固有の臨界値

最大せん断応力



_max

C

_T





せん断降伏応力

ここで

のとき

あるいは

:

2

2

1

,

2

1

,

2

1

max

,

,

max

3 1 max 3 2 1 1 3 3 2 2 1 3 2 1 max T T T T T

k

k

C

k

C





























_

_

_





































Trescaの降伏条件における

臨界値の決定

2

2

,

0

,

2

2

0

,

3 1 3 2 1 3 1 3 2 1 Y T T T T T Y T Y Y

k

k

C

k

k

C































































にあるとき

純粋せん断の降伏状態

とすると，

力を

単軸引張試験の降伏応

Misesの降伏条件 (1913)







 

 







はせん断降伏応力

ここで

:

6

1

'

'

'

2

1

'

'

2

1

2 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 M M M ij ij

k

k

C

J















































に達したとき降伏．

が材料固有の臨界値

不変量

次の

の

エネルギー＝偏差応力

材料中のせん断ひずみ

M

C

J

₂

2

Misesの降伏条件における

臨界値の決定

3

,

0

,

3

0

,

2 3 2 1 2 3 2 1 Y M M M M M Y M Y Y

k

k

C

k

k

C















































にあるとき

純粋せん断の降伏状態

とすると，

力を

単軸引張試験の降伏応

降伏曲面・降伏曲線

応力－ひずみ関係式

＝構成式

弾性体の構成式 (1)

（一般化されたフックの法則）

























ij kk ij ij kk ij e ij zx e zx e zx y x z e z yz e yz e yz x z y e y xy e xy e xy z y x e x

E

G

E

E

G

E

G

E

G

E

G

E















































































































2

1

1

2

2

1

,

1

2

2

1

,

1

2

2

1

,

1

では

である．テンソル標記

はポアソン比

は横弾性係数，

はヤング率，

ここで

弾性体の構成式 (2)

（一般化されたフックの法則）





























e kl e ijkl e kl kl ij jk il jl ik ij e zx e zx zx e y e x e z z e yz e yz yz e x e z e y y e xy e xy xy e z e y e x x

D

G

G

G

E

G

G

E

G

G

E































































































































































2

1

2

1

2

2

,

)

1

(

)

2

1

)(

1

(

2

,

)

1

(

)

2

1

)(

1

(

2

,

)

1

(

)

2

1

)(

1

(

テンソル標記では

して

あるいはその逆関係と

弾性体の構成式 (3)

（一般化されたフックの法則）

ij m ij e ij zx zx e zx m z e z yz yz e yz m y e y xy xy e xy m x e x

E

G

G

E

G

G

E

G

G

E

G





















































2

1

2

'

2

2

1

,

2

1

2

'

2

2

1

,

2

1

2

'

2

2

1

,

2

1

2

'





































テンソル標記では

差応力を用いて表すと

またフックの法則を偏

Reussの構成式



'

'

'



0

'

'

'

'

'













































































d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

z y x p z p y p x ij p ij zx p zx yz p yz xy p xy z p z y p y x p x ij p ij

条件を満足している．

上式は塑性体積一定の

テンソル標記すると

仮定した塑性構成式

の方向に一致する”と

の方向は偏差応力

”塑性ひずみ増分

剛塑性体の構成式

（Levy-Misesの式）



































































d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

zx zx p zx y x z p z yz yz p yz x z y p y xy xy p xy z y x p x

















_

_



















_

_



















_

_



2

1

,

2

1

3

2

2

1

,

2

1

3

2

2

1

,

2

1

3

2

力成分で表すと

上式を変形し，一般応

弾塑性体の構成式

（Prandtle-Reussの式）



























































































d

d

E

G

d

d

d

d

d

G

d

d

d

d

d

E

G

d

d

d

G

d

d

d

d

d

E

G

d

d

d

G

d

d

d

d

d

E

G

d

d

d

d

d

ij ij m ij p ij e ij ij zx zx zx zx z m z z yz yz yz yz y m y y xy xy xy xy x m x x p ij e ij ij

'

2

1

2

'

2

2

,

'

2

1

2

'

2

2

,

'

2

1

2

'

2

2

,

'

2

1

2

'



























































テンソル標記すると

塑性ひずみ増分

弾性ひずみ増分

全ひずみ増分

相当応力と相当塑性ひずみ増分









 

 







 















     





 

 





_   _{    }                       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 1 3 2 ' 6 2 1 2 1 ' ' ' 2 3 p zx p yz p xy p z p y p x p p p p ij ij p ij ij p p zx yz xy x z z y y x d d d d d d d d d d d dW dW





































































れる といい，次式で定義さ を相当塑性ひずみ増分 るとき　 に関して次式が成立す 塑性仕事増分 る 材では次式のようにな ーゼス を相当応力と呼び，ミ 数値 換算して評価できる関 降伏応力に 降伏応力の程度を単軸 多軸応力状態における

二次元平面ひずみ

弾性有限要素法



FEM＝Finite Element Method



解析対象物体(連続体)を有限個の要素に分割し，各要

素について剛性方程式を構成し，それらを全要素につい

て重ね合わせる

固体力学解析用有限要素法



弾塑性有限要素法

・

弾性有限要素法

（静的陽解法）

・

微少変形弾塑性有限要素法

（静的陽解法・静的陰解法）

・

大変形弾塑性有限要素法

（静的陽解法・静的陰解法・動的陽解法）



剛塑性有限要素法

（静的陰解法）

弾性FEM定式化の流れ

(3) 変分原理

(2) 仮想仕事の原理式

(7) 有限要素方程式

(1) 釣合方程式

離散化

ガウスの発散定理

ポテンシャル 停留の原理

(4) 構成方程式

(6) ひずみ－変位関係式

(5) 形状関数

弾性FEMの基礎方程式

＝弾性境界値問題

　 　　 　 　　 　 　　 　平衡方程式 　                                        0 0 0 1. z z yz zx y yz y xy x zx xy x G z y x G z y x G z y x             　　 　 　ひずみー変位関係式                                                                   z u x w y w z v x v y u z w y v x u zx zx yz yz xy xy z y x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 . 2         







kl ij e ijkl e ij e ij ij kk ij kl e ijkl ij D U U E E D              2 1 , 2 1 1 1 ) ( . 3         　 構成式 　　　 　 　応力－ひずみ関係式 　　　　 　 　　 　　　　　　　 　　 変位の境界条件　　　 　　　　　 　　　 　 　　 　　　　　　　 　　　 力の境界条件　　　　 　　　　　 　境界条件式　 u i i t i i S on V u S on P t     . 4

弾性FEM定式化の流れ

(3) 変分原理

(2) 仮想仕事の原理式

(7) 有限要素方程式

(1) 釣合方程式

離散化

ガウスの発散定理

ポテンシャル 停留の原理

(4) 構成方程式

(6) ひずみ－変位関係式

(5) 形状関数

仮想仕事の原理式

0

)

(

)

(

_,













t S i i i V i i j ji



G



u

dS

t

P



u

dS



　











t S i i V i i V ij ji



dV



G



u

dV

P



u

dS



静的可容応力：平衡方程式と力学的境界条件を満足する応力 動的可容変位：ひずみ－変位関係式と幾何学的境界条件を満足する変位 仮想変位：動的可容変位の変分 静的可容応力と仮想変位に対して次式が成り立つ． 上式にガウスの発散定理を適用すると次の仮想仕事の原理式を得る 可容応力と仮想変位によってなされる内部仕事が外部仕事に等しいことを表す．

変分原理



















V i i S i i V e

dV

u

G

dS

u

P

dV

U

t





0

,





 



















V _{ij kl} ij kl e i i i

dV

U

u

u

u











2

2

1

今，真の変位をu_i，それからわずかに異なる任意の可容変位をu_i+u_iとすると， ひずみエネルギ関数Ueが正値2次形式の場合，上式右辺第2項は正であるから 仮想仕事の原理式は弾性体の全ポテンシャルエネルギΦの第一変分が零である ことを表しているポテンシャルエネルギ停留の原理に置き換えることができる．



u

_i



u

_i







 

u

_i





となり，真の変位に対するポテンシャルエネルギは最小値をとる．

弾性FEM定式化の流れ

(3) 変分原理

(2) 仮想仕事の原理式

(7) 有限要素方程式

(1) 釣合方程式

離散化

ガウスの発散定理

ポテンシャル 停留の原理

(4) 構成方程式

(6) ひずみ－変位関係式

(5) 形状関数

2次元平面ひずみ変形状態の

ひずみと応力

 























0

0

0

0

0

22 21 12 11











 























33 22 21 12 11

0

0

0

0





























33 22 11 22 11

(

)

)

2

1

)(

1

(













E

平面ひずみ変形状態における

応力－ひずみ関係式

 



 

 































D

E

v

xy y x z y x























































































または

2

)

1

(

2

2

1

0

0

0

1

1

0

1

1

)

2

1

)(

1

(

)

1

(

弾性FEM定式化の流れ

(3) 変分原理

(2) 仮想仕事の原理式

(7) 有限要素方程式

(1) 釣合方程式

離散化

ガウスの発散定理

ポテンシャル 停留の原理

(4) 構成方程式

(6) ひずみ－変位関係式

(5) 形状関数

三角形3節点要素と形状関数

 

 

 

 

 

は線形の関数である．

の値をとる．

つの節点で

の

，それ以外

で

は節点

の性質

形状関数

y

x

N

y

x

N

y

x

N

,

ii

0

2

1

,

i

,

  



形状関数の具体形

   

v

N

v

N

v

N

v

N

y

x

v

u

N

u

N

u

N

u

N

y

x

u

















3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1

)

,

(

)

,

(































































3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1

0

0

0

0

0

0

v

u

v

u

v

u

N

N

N

N

N

N

v

u

 

u



 

N

 

d

あるいはマトリックスの形で または

形状関数の計算











x

y

x

y

y

y

x

x

x

y



N

y

x

x

x

y

y

y

x

y

x

N

y

x

x

x

y

y

y

x

y

x

N

)

(

)

(

)

(

2

1

)

(

)

(

)

(

2

1

)

(

)

(

)

(

2

1

1 2 2 1 1 2 2 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 1











































)

(

2

1

1

1

det

2

3 3 2 2 1 1

要素の面積





























y

x

y

x

y

x





は節点

における

の座標値であり，

ただし，

x

_

,

y

_



x

,

y

弾性FEM定式化の流れ

(3) 変分原理

(2) 仮想仕事の原理式

(7) 有限要素方程式

(1) 釣合方程式

離散化

ガウスの発散定理

ポテンシャル 停留の原理

(4) 構成方程式

(6) ひずみ－変位関係式

(5) 形状関数

ひずみ－変位マトリックス (1)

（Bマトリックス）













































































































































          









v

x

N

u

y

N

v

x

N

u

y

N

v

x

N

u

y

N

v

x

N

u

y

N

x

v

y

u

v

y

N

v

y

N

v

y

N

v

y

N

y

v

u

x

N

u

x

N

u

x

N

u

x

N

x

u

xy xy y x 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1

2

ひずみ－変位マトリックス (2)

（Bマトリックス）

































































































































































3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1

0

0

0

0

0

0

2

v

u

v

u

v

u

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

y

N

y

N

y

N

x

N

x

N

x

N

xy y x xy y x













マトリックスの形式で書くと

ひずみ－変位マトリックス (3)

（Bマトリックス）

の形になっているから，そのｘおよびｙに関する勾配は ただし

)

(

2

1

y

C

x

b

a

N

_{ }



_



_





   

_c

y

N

b

x

N

















2

1

,

2

1

1 2 3 3 1 2 2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1

,

,

,

,

x

x

c

x

x

c

x

x

c

y

y

b

y

y

b

y

y

b

























と書けるので，これをひずみ－変位マトリックスに代入すると

ひずみ－変位マトリックス (4)

（Bマトリックス）

したがってひずみ－変位関係式は





































































































3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1

0

0

0

0

0

0

2

v

u

v

u

v

u

b

c

b

c

b

c

c

c

c

b

b

b

xy y x xy y x













または

 





 

B

 

d

さらに

 





 

D

 





  

D

B

 

d

弾性FEM定式化の流れ

(3) 変分原理

(2) 仮想仕事の原理式

(7) 有限要素方程式

(1) 釣合方程式

離散化

ガウスの発散定理

ポテンシャル 停留の原理

(4) 構成方程式

(6) ひずみ－変位関係式

(5) 形状関数

離散化(要素剛性方程式) (1)

三角形3節点要素について，仮想仕事の原理式の左辺（内部仕事）は









   







































V T V xy y x xy y x V V ij ij

dV

dV

dV

dV

































2

2

_{12 12} 22 22 11 11

離散化(要素剛性方程式) (2)

仮想仕事の原理式の右辺（外部仕事）は









   



   

























































S T V T V _y x y x V _y x y x S V Si i V i i

dS

t

u

dV

b

u

dS

t

t

u

u

dV

b

b

u

u

dS

u

t

u

t

dV

u

b

u

b

dS

u

t

dV

u

b

























)

(

)

(

_{1 1 2 2 1 1 2 2}

離散化(要素剛性方程式) (3)

ここで以下の関係式がる

 





 

D

 





  

D

B

 

d

 



u



 

N

 



d

 







 

B

 



d

よって三角形3節点要素に関する仮想仕事の原理式は

 

    

 

 

 



 

 

 









e e e S T T V T T V T T

dS

t

N

d

dV

b

N

d

dV

d

B

D

B

d







]

[

離散化(要素剛性方程式) (4)

ここで仮想変位は定数であり，積分の外に出してもよいので 任意の仮想変位に対して上式が成立するためには [ ] 内は常に0

 

    

 

[

]

 

 

 



0









_

_







e e e S T V T V T T

dS

t

N

dV

b

N

d

dV

B

D

B

d



    

 



 



 

 









e e e S T V T V T

dS

t

N

dV

b

N

d

dV

B

D

B

[

]

これが解くべき剛性方程式である．左辺の積分内のマトリックスを

    

    

T

 

e V T

K

B

D

B

dV

B

D

B

e









とおくとことにする．△ は三角形要素の面積である．

離散化(要素剛性方程式) (5)

仮想仕事の原理式の右辺第１項の物体力の項は

 

 



































































































y x y x y x V _y x V T

b

b

b

b

b

b

dV

b

b

N

N

N

N

N

N

dV

b

N

e e

3

0

0

0

0

0

0

3 3 2 2 1 1 ただし物体力は要素内で一定と仮定