特異積分方程式による平板回折格子の数値解析に関 する研究

九州大学学術情報リポジトリ

Kyushu University Institutional Repository

特異積分方程式による平板回折格子の数値解析に関 する研究

松島, 章

https://doi.org/10.11501/3075565

出版情報：Kyushu University, 1993, 博士（工学）, 論文博士 バージョン：

権利関係：

122 第4章 平行2面の無限平板格子の偏波弁別特性

4.8 まとめ

本章では， 誘電体スラブを装荷した平行2 面の 無 限 平板格子による平面 電磁波の散乱問題に対してう 未知関数が結合した形の連立特異積分方程式 を導いた. この方程式に対してう 第2章のモーメント法による数値解析の 表現式を拡張した. 数値計算は電力保存則に関する誤差が0.01%以下と いう条件のもとで行い， 次の成果を得た.

1.数値解の収束性を検討することによりラ 本方法は2 面の格子に対してヲ 格子面聞の距離にかかわらず適用可能であることを示した. また他の 解析法による結果との比較により， 誘電体が存在する場合にも本方法 が有効であることを述ベラ 更に他の文献(15)(17)に含まれている数値結 果の誤りを指摘した.

2. 格子および誘電体スラブの構造パラメータを最適化することによりう 例えば， 周 期・設計波長比が0. 1， 平板導体面 の法線から損，IJった入射 角が45o， 許容損失が0.025 dBという条件のもとでヲ 有効周波数帯

域o

<

f / fo

<

1. 298 (fo:設計周波数)を達成した. この結果はゥ 同ー

の設定 条件(誘電体スラブ定数， 周期・設計波長比? 入射角)のもとで 他の文献(11)で報告された最良の帯域に比べてう 低周波側に2倍以上ぅ 高周波側に1. 5倍程度改善されたものである.

3. 平行2 面格子の偏波弁別 特性が各種構造パラメータにどのように依存 するかを， 詳細な数値計算を行うことにより調べた. その 性質を総 合的に吟昧しながら， 弁別素子の系統的な設計アルゴリズムを構築し た. これに従って， 実際に例として4/6 GHz帯において素子を設計 しう この周波数帯の全域で損失 1%以下を達成できることを示した.

このことにより， 本アルゴリズムの有効性が実証された.

『司圃圃・，....

第5章 結論

本研究はう 電磁波伝送路における平板回折格子の有効な利用を可能にす るために， 誘電体スラブを装荷した平板格子による電磁波散乱問題の特異 積分方程式を用いた数値解析法を展開すると共に， この構造を応用した偏 波弁別 素子 ・ 導波モード励振素子の設計法について検討したものである.

本研究によって得られた結果を， 解法理論の面， 導波素子への応用面に分 けて要約すれば? 以下のとおりになる.

5.1 解法理論に関する結果

第2章の前半では， 基本問題として真空中に置いた滑らかなストリップ 導体群による平面 電磁波の散乱問題を取り上げヲ 特異積分方程式法による 一般的な解法理論を展開した. この手法は次の2 つの手順からなる.

1. 境界値問題をう 散乱体上に流れる表面 電流密度を未知関数とする第1 種フレドホルム型特異積分方程式に帰着させること.

2. モーメント法を適用して? 未知関数の展開係数に関する連立1 次方程 式を導くこと.

この特異積分方程式法は次のような特長をもつため， 数値処理における近 似の効率がよく， 解の安定性と信頼性も高い.

123

第5章編命

124

1. 核関数を単に特異部分と有界部分とに分解 するだけでなくう 更に後者 を対数的部分と代数的部分とに分解しぅ 多項式近似の対象を十分滑ら

かな代数的部分のみに限定した.

2. 未知関数を有限項の多項式で近似する際に? 導体の端点近傍での電流 密度の振舞いを正確に表現 する ような荷重関数を導入した.

3 . 解くべき連立1 次方程式は数値的スキームの確立した第2種の形式を もつ.

続いて第2章の後半では， 上述の解析内容を有限枚 ・ 無限枚の周期的平 板回折格子に対 する 表現に帰着させた・ 更に具体的な物理量に関して数値

計算を行いヲ 次の結果を得た.

1. 有限格子に対して全散乱断面積をう 無限格子に対して格子モードの電 力をそれぞれ数値計算しぅ 解の収束性を調べた・ その結果， 未知関数 の展開項数を平板幅 ・ 波長比の5倍以上にとればヲ 厳密解との相対誤 差が0.1 %以下ヲ 電力保存則に関 する 誤差が0.01 %以下となること

が判明した.

2. 有限格子に関して， 遠方界を他の手法による 結果とう 近傍界を測定結 果とそれぞれ比較することによりヲ 本方法が散乱体の遠方 ・ 近傍の両

方において正確な結果を与えることを示した.

3 . 無限格子に関してう 相対収束の現象が発生しないことを示した.

以上の事項はう 特異積分方程式法が他の数値解法に比べて? 精度ぅ 効率ぅ 信頼性の面で極めて優れたものであることを実証している.

‘『司・・・".-

5.2 導波素子への応用に関する結果 125

5.2

導波素子への応用に関する結果

第3章ではう 誘電体スラプ上の有限平板格子に平面電磁波が入射した ときの導波モードの励振問題を数値解析しヲ その特性を調べた. その結果ヲ 励振効率が極大値をとる ときの平板導体の配列周期はブラッグ条件から予 測される 値とは若干ずれること， 並びに平板枚数が最適値を越える と励振

効率はかえって低下することを数値的に確認した. また ， 格子および誘電 体スラブの構造パラメータを最適化することにより， 最低次の偶対称モー ドの励振効率は偏波の別にかかわらず 30，，-，40 %となることが判明した.

第4章では? 誘電体スラブを装荷した 平行 2 面の無限平板格子による 平面電磁波の散乱 問題に対 する数値計算結果を示した. 格子および誘電体 スラブの構造パラメータを最適化することによりう 例えば， 周期 ・ 設計波 長比が0.1 ， 平板導体面の法線から測った入射角が 450ヲ 許容損失が0.025 dBという条件のもとでう 有効周波数帯域o _< 1

/

^{10 < 1. 298}

(

^{/0:設計周波}

数

)

を達成した. この結果はう 同ーの設定条件

(

誘電体スラブ定数ぅ 周期 ・ 設計波長比， 入射角

)

のもとで他の文献(11)で報告された 最良の帯域に比べ て， 低周波側に 2倍以上う 高周波側に1. 5倍程度改善されたものである.

更に第3 章? 第4章では詳細な数値計算を行い? 偏波弁別素子3 導波 モード励振素子の諸特性が， 格子と誘電体スラプの構造にどのように依存 する かを調べた. その性質を総合的に吟味しながらう 素子の系統的な設計 アルゴリズムを構築した. このアルゴリズムは すべての構造パラメータを 考慮に入れたものであり， しかもパラメータを1個ずつ同定していく方式 である ため， 各導波 素子の精密な設計が すみやかに実行できる. このこと を実証 するために? 例としてう 周波数 30 GHzにおける 最低次の奇対称導 波モードの励振素子， 並びに 4

/

6 GHz帯における 偏波弁別素子を実際に 設計した.

126 第5章鰯命 5.3

今後の展望

本論文で展開 ・ 適用してきた特異積分方程式法は， 導体ストリップによ る電磁波散乱問題に対する有効な解法のひとつであり， 今後も更に理論面，

応用面での拡張が期待される. これらについて言及しておこう.

理論的な側面からはヲ リーマン ・ ヒルベルト境界値問題の方法(13) およ びHayashiの関数論的方法(47)を検討し? これらと特異積分方程式法の数学 的構造を明確に対応付けすることに興味がもたれる. 以上の3つの方法は 最終的な連立1次方程式の形から判断すればう「解析的正則化の方法」と して統一的な 構造をもつがう 見かけ上の解析処理過程が多くの点で異なっ ている. 他の2つの方法における数学的構造が詳細に解明されていること を考えると， 上述のような対応付けができれば特異積分方程式法にとって 極めて有益なものとなる. すなわちこれにより， 数値解の収束性および誤 差評価に関する関数解析的な考察が容易になると思われる.

有限平板格子の応用的な側面からみるとう 本論文では結合形態に関して 一例を扱ったにすぎない. 応用上はう ビーム波入射， 導波モード入射に対 するビーム放射? 複数個の導波モード聞の結合など， 他の形態に関する特 性のデータを蓄積していくことが必要となる. また? 平板幅や周期が一様 でない格子を用いることにより， 結合効率を向上させる試みも興味深い.

最後に無限平板格子に関してはう 本論文で仮定した格子形状および入射 波は理想的なものであったがう より精密な設計を目指すためには実際の条 件に近づけて解析することが望ましい. すなわちヲ 完全導体や誘電体に損 失を導入したとき， ストリップが局面上に配置されたとき? 入射波が指向 性をもっビーム波のときなどの一般的な状況のもとでの偏波弁別特性の把

握が重要となる.

----

127

謝 辞

本研究をまとめるにあたりう 終始懇切な御指導と御高配を賜った九州大 学工学部工学部安元清俊教授に厚く感謝の意を表します.

また? 九州大学工学部立居場光生教授? 山藤馨教授? 渡辺征夫教授には 有益な御助言う 御教示を頂いたことを深く感謝致します.

本研究を進めるに当たって? その開始から完成まで終始御指導頂きまし た熊本大学工学部板倉徳也教授に深謝致します.

また? 熊本大学工学部生野浩正教授， 奥野洋一助教授には研究の各段階 において種々の御討論? 御助言を頂きました. 福岡工業大学内田一徳教授?

野田武昭講師には無限平板格子に関して貴重なプログラムおよびデータを 提供して頂きました. 更に? 第2章の散乱実験においては熊本大学渡透一 徳、技官に大変御世話になりました. ここに厚く御礼申し上げます.

---

128

129

参 考 文 献

(1) Lord Rayleigh，“On the passage of waves through apert ures in plane screens and allied problemsヘ ^{Phil. Mαg・，43，}pp. 259-272 (1897).

(2) ^{H. Lambj "On the凶ection} and transmission of eledric waves by a metallic grati時"， Proc. London Mαth. Soc.， 29， pp. 523-544 (1898).

(3) G. L. Baldwin and A. E. Heins，“On the diffraction of a plane wave by an infìni te plane g凶i時"，Math Scαnd.， 2， pp. 103-118 (1954).

(4め) ^{E. Lü品ln肘ebl.時 and K.} We伺stp凶ha油hl，“ D臥i征缶E日a配削，心μctio佃n ofpがla凶凶a出叩ne wa卸.ve白sb匂y a叩nl凶n五fin出it旬es引tri

g日ti時ぺAnn. Phys.， 27， 3， pp. 257-288 (1971).

(5) N. Marcuvitz， Wαveg山de Handbook， Chap. 5， McGraw-Hill， New York (1951).

(6) 板倉徳也Jt平板状無限格子による電磁波回折のSingle Anomalyにつ いてぺ信学論(B)， 51-B， 7， pp. 293-300 (1968-07).

(7η) ^{V. 1.} Ka叫必lin山hev and Y. V. Kurar叩nω10仰V， '匂lffa配.ce wa訂，ve d品i旺缶ra庇，ι.cti

metal gra拭ting and numerical model for design of leaky-wave antenna笛.8"ぺ，IEEE

Microwαve Guided Wαve Lett.， 1， 10， pp.282-284 (Oct. 1991)

(8め) ^{A. S. A吋悶}

odic gratings of五nite extentγ"， Microwαve Opt. Techno/. Lett.， 5， 7， pp. 333-337 (June 1992).

(9) A. R. Neure凶her and K. Zaki，“N umerical solutions of electromagnetic bound­

ary value problems by means of a.symptotic anticipation method'にRαdio

Science， 3， 12， pp. 1158-1167 (Dec. 1968).

(10) 日向隆1細野敏夫J4均一媒質中の平面格子による電磁波の散乱につ いて- Point Matching法の基礎づ、けと数値解析ーペ信学論(B)，J59-B，

12， pp. 571-578 (1976・12).

(11) M. Murota， M. Ando， and N. Goto， "Design of a low-loss grati時on a dieledric sheet"， Trans. IECE Jαpan， E69， 4， pp. 321-322 (April 1986).

(12)近藤彰，鹿子嶋憲一?“低損失偏波弁別グリッド板の設計と特性ペイ言 学論(B)，71-B， 12， pp. 1640-1647 (1988-12).

(13) Z. S. Agranovich， V. A. Marchenko， and V. P. Shestopalov， "The diffraction of electromagnetic waves from plane metallic latticesぺ Soviet Phys.- Tech. Phys・3

7， 4， pp. 277-286ロシア語からの英訳版， (Oct. 1962).

(14) O. A. Tret'yakov and V. P. Shestopalov，吋he diffraction of eledromagr凶lC waves by a plane double metallic grating"， Soviet Phys.-Tech. Phys・， 8， 10，

ロシア語からの英訳版， pp. 918-925 (April 1964).

130 参考文献

(15) V. P. Shestopalov， L. N. Litvine出0， S. A. Masalov， and ^V. G. Solog山1 ^Difrak­

tsii"a Voln na Reshetkakh (書名和訳:格子による波の回折)， Izdatel'stvo Khar'kovskogo Universiteta， Khaピkov，原著ロシア語(1973)・

(凶) 中田康員IJ， 小柴正則JL任意の入射面と偏波をもっ平面波の格

子に 空

る散乱特性の有限要素法解析3\信学論(C-I)， J72-C-I， 11， pp. 731-'(3日 (1⁹89-^{1 1}).

(17) C. G. Christodo山u， D. P. Kw机R.Middleveen， and P. F. Wal叫“Scattering from stacked gratings and dielectrics for various angles of wave incidenceJ]，

IEEE Trαηs. Antennαs Propαgαt・， AP国36， 10， pp. 1435-1442 (Oct. 1988).

(18) M. Guglielmi and A. A. Oliner， "Multimode network description of a planar periodic metal-strip grating at a dielectric interface -part 1: rigorous network formulations"， IEEE Trαns. Microwαve Theory Tec九 1 恥lTT-37， 3， pp. 534- 541 (Mar. 1989).

(19) K. Uchida， T. Noda， and T. Matsunaga， "Electromagnetic wave scattering by

an infinite plane metallic grating in case of oblique incidence and arbitrary po­

larizationぺIEEE Trαns. Antennαs Propagαt.， AP-36， 3， pp. 415-422 (March 1988)

(20)野田武昭1内田一徳η松永利明J誘電体板付き平面格子による斜入射 平面電磁波の散乱"，信学論(B)， ^J71-B， 2， pp. 263-270 (1988-02)・

(21) T. Noda， K. Uchida， and T. Matsunaga，“Frequency and polarization selec­

tivities by a multi-periodic planar grating on a dielectric slab"， Trαηs. IEICE，

E72， 3， pp. 170-173 (March 1989).

(22)内田一徳、3野田武昭?松永利明，“三層誘電体板装荷平面格子による平 面電磁波の散苦じ??信学論(B)， ^J70-B， 3， pp. 375-384 (1987心3)

(ρ23め) ^T. Noda， K. Uchi凶da， and ^T. Ma叫仰t句sunaga， '“4包Sca抗州，t川t“t旬e位ring of electromagnetic plane wave b匂Y 1凶nfini尚t旬e double gra抗ti泊ngs 0∞n a dielectric slab w叩it凶hoblique incidence and a紅r巾bit削y pola紅r山a叫tionぺTrαηs. ^{IEICE， E73，} 7， pp. 1198-1206 (July 1990) (24) T. Noda， K. Uchida， and T. Matsunaga， "Scatteri時of electromagnetic wave

by double grating loaded with three layered dielectric slabs" ， IEICE Trαns.

Electron.， E74， 10， pp. 3342-3351 (Oct. 1991).

(25) T. Itoh and R. Mittra， "Wood anomalies in diffraction {rom strip grating"，

IEEE Trans. Microwαve Theory Tech

・

^{， MTT}

・

^{18， 1， pp.} 54-55 (Jan. 1970).

(26) J.H.Richmond，440n the edge mode in the theOEy of TM scattering by a strip or strip gra叫ting

(Nov. 1980).

噌-〆

参考文献 131

(27) M. Ando and M. Mu附a，“Refiection and transmission coe伍cients of a thin strip grating on a dielectric sheet"， Trαns. IECE Jαpαn， E69， 11， pp. 1189 1198 (Nov. 1986).

(28) W. A. Walker C. M. Butler，“A method for computing scattering by large arrays of narrow strips"， IEEE Trαns. Antennas Propαgαt.， AP-32， 12，

pp. 1327-1334 (Dec. 1984).

(29) A. Matsushima and T. ltakura， "Si時ular integral equation approach to elec­

tromagnetic scat tering from a五nite periodic array of conducting stripsぺJ.

Electro. Waves Applic.) 5， 6， pp. 545-562 (1991).

(30) A. Matsushima and T. ltakura，“Singular integral equation approach to plane wave diffraction by an in五nite strip grating at oblique incidence"， J. Eleci1、o.

Wα附Applic.， 4， 6， pp. 505-519 (1990).

(31) A. Matsushima and T. ltakura，“Scattering of a plane electromagr削ic wave by a finite periodic array of conducting strips on a dielectric slabぺMemoirs 01

the Faculty of Engìneering， J( umαmoto Ur川ersity， 37， 2， pp. 215-230 (Nov.

1992).

(32) A. Matsushirr凶and T. ltakura， "Excitation of guided modes of a slab wave­

guide using a finite strip grating"， Trαns. IEE Jαpαη， 113-A， 3， pp. 205-210 (March 1993).

(33) A. Mats吋lÎma and T. Itakura， "Polarization diplexi時 by a dou ble st均grat­

ing loaded with a paÍr of dielectric slabs" ， IEICE Trαns. Electr・on・， E76-C， 3，

pp. 486-495 (March 1993).

(34) A. Matsushima and T. ltakura， "Polarization discriminating d聞広teristics of a double strip grating loaded with a dielectric slab" ， IEICE Trαns. Electron.，

E75・C， 9， pp. 1071-1079 (Sept. 1992).

(35) A. Ma制的ima and T. Itakura，“Electromagnetic scattering from cascaded strip gratings"， Trans. IEICE， E73， 6， pp. 952-958 (J une. 1990).

(36) K. L. Klohn， R. E. Horn，日 J acobs， and E. Freibergs，“Silicon waveguide frequency scanning linear array antenna"， IEEE Trαηs. Microwαve Theory

Tech.， MTT-26， 10， pp. 764-773 (Oct. 1978).

(37) M. R. Seiler and B. M. Mathena，明illimeter-wave beam steering using diff悶ー tion electronics"， IEEE Trαns. Antennαs Propαgαt汁AP-32， 9， pp. 987-990 (Sept. 1984).

(38) T. S. Chu， M. J. Gans， and W. E. Legg， "Quasi-optical polarization diplexing of microwaves，" Bell Syst. Tech. J.， 54， 10， pp. 1665-1680 (Dec. 1975).

(39) D. Marcuse， Theory of Dielectric Optical Wαveguides， Chap. 4， Academic Press， New York (1974).

132 参考文献

( 40)西原浩?春名正光?栖原敏明f光集積回路(改訂増補版)ぺ第4章?オー

ム社(1993).

(41) R. B. Kieburtz and A. Ishimaru， "Scattering by a periodically apertured con­

ducting screenぺIRE Trαη5・ Antennαs Propagαt.， 9， 6， pp. 506-514 (Nov.

1961)

(42) C. C. Chen，“Transmission through a co吋ucting screen pe巾rated periodically with apertures"， IEEE Trαns. Microwαve Theory Tech.， MTT-18， 9， pp. 627- 632 (Sept. 1970).

(43) T. Carleman， "Uber die Abelsche Ir山gralgleichung mit konstanten Integra­

tionsgrenzenぺMαth. Z.， 15， pp. 111-120，原著ドイツ語(1922).

(44) F. G. Tricomi， Intψα1 Equatio川 Chap. 4， Interscier悶， New York (1957).

(45) N. ^1. Muskhelishvili， Si吋ular 17山grα1Equations， translated by J. R. M. Radok，

N oordhoff， Groningen，ロシア語からの英訳版(1958).

(46) ^1. Lewin， "On the resolution of a class of waveguide discontinuity problerns by the use of singular integral equationsぺIRE Trans. Microwave Theory Tech.，

MTT-9， 4， pp. 321-332 (July 1961).

( 4 7) Y. Hayashi， "A singular integral equation approach to electromagnetic fields for circuIar boundaries with slotsぺAppl. Sci. Res. (Sec. B)， 12， pp. 331-359 (1965).

(48) Y . Hayashi， "The Dirichlet problem for the twかdimensional Helmholtz equa­

tion {or an open boundaryぺJ. Mαth. Anal. Appl.， 44， 2， pp. 489-530 (Nov.

1973).

(49) F. Erdogan， G. D. Gupta， and T. S. Cook，“N umerical solution of si時ular integral equations"， in M ethods 01 A nalysis αnd Solutìons 01 Crack Problems，

Vol. 1， Chap. 7， G. C. Sih (ed.)， Noordhoff， Leyden (1973).

(伊50川) A. Frer

P門t. H， 130， 3， pp. 209-214 (April 1983).

(伊51リ) B. B. Pana笛叩s泊m山n山u北1

Jnt均e句gr叫αa/'川k仏h U折Tαvnerηb山11υD仏vumernik仙h Zaαd白αachαakh Diψfハ介ra崎 αkt灼tsi“川iパ(書名 和訳: 2次 元回折問題に対する特異積分方程式の方法)，Naukova Dumka， Kiev，原 著ロシア語(1984).

(52) P. M. Morse and P. ^J. Rubenstein， "The diffraction of waves by ribbons and by 山sぺPhys. R肌， 54， pp. 895-898 (Dec. 1938).

(53) S. Skavlem， “On the diffraction of sc叫ar plane waves by a slit of infinite lengthぺArch. Mαth. Nαturv.， B四51，pp. 61-80 (1951).

参考文献 133

(54) ^{J. J.} Bowman， T. B. A. Senior， and P. ^L. E. U山時hi，Electromagnetic αnd Acoustic Scαtter・ing by Simple Shαpes， Revised Pringing， Chap. 4， Hemisphere， New York (1987).

(55)青木和男p回中達夫1“2枚の平行導体板による平面波の回折ぺ信学論 (B)， J60-B， 11， pp. 836-842 (1977-11).

(56) M. Shimoda and T. 1もakura， "Scat tering by parallel plates"， Rαdio Science，

22， 6， pp. 987-991 (Nov.-Dec. 1987).

(57) A. W. Glisson and D. R. Wilton， "Simple and efficient numerical methods {or problems o{ eledromagnetic radiation and scattering from surfaces"， JEEE

Tra7

(58) K. A. Michalski and C. M. Butler， “Determination of current induced on a conducting strip embedded in a dielectric slab"， Rαdio Science， 18， 6，

pp. 1195-1206 (Nov.-Dec. 1983).

(59) C. M. Butlerぅ“Current induced on a conducting strip which resides on the planar interface between two semi-infinite half-spaces"， JEEE Trαns. Antennαs Propagαt.， AP-32， 3， pp. 226-231 (March 1984).

(60) C. M. Butler， "General solutions of the narrow strip (and slot) integral equa­

tions"， IEEE Trans. Antennas Propagαt.， AP-33， 10， pp. 1085-1090 (Oct.

1985)

(61 )西本昌彦1青木和男〆任意の方向を向いた2枚の平行導体ストリップ による平面電磁波の散古じに信学論(B)， J69-B， 10， pp. 1131-1139 (1986-

10).

(62) W. S. Park and S. R. Seshadri，“Theory of the grating coupler for a grounded­

dieledric-slab waveguideヘIEEProc. Pt. H， 132， 3， pp. 149-156 (June 1985).

(63) M. Tornita，“Thin-film waveguide with a periodic groove山lcture of finite extent"， J. Opt. Soc. Amer. A， 6， 9， pp. 1455-1464 (Sept. 1989).

(64) K. Uchida， "Numerical analysis of surface-wave scattering by finite periodic notches in ground plane"， JEEE Trαns. Micr・owαve Theory Tech^.，恥1TT^-35，

5， pp. 481-486 (May 1987).

(65) A. Matsushima and T. ltakura，叩umerical solution of singular integral equa­

tions for electromagnetic scattering by a set of perfectly conducting strips with two-dimensional geometry"， Memoirs 01 the Faculty 01 Engineeringl ](umamoto Uni附

(66) R. F. Ha四時ton，Time-Harmo間Electromagnetic Fields， Chap. 5， McGraw­

Hill， New York (1961).

134 参考文献

(67) ^J. Meixner， "The behavior of electromagnetic五elds at edges"， IEEE Traη5・

A ntennas Propagαt.， AP^-20， 4， pp. 442-446 (July 1972).

(68) E. T. Whittaker and G. N. Watson， A Course of Moder n Analysis， Cambridge University Press， London (1902).

(69) ^C. T. H. Baker， The Numericα1 T:問αtment of Integral Equations， Oxford Uni­

versity Press (1977)

(70) ^L. M. Delves and J. ^L. Mohamed， Computαtional M ethods for Integral Equa­

tio同Cambridge University Press (1985).

(71) D. S. Jones，“On the scattering cross section of an obstacle"， Philosophical Mαgαzine.， 46， pp. 957-960 (1955).

(72) R. ^V. Row， "Microwave diffraction measurement in a parallel-plate region"， ^J.

Appl. Phys.， 24， 12， pp. 1448-1452 (Dec. 1953)

(73) P. M. Morse and H. Feshbach， Methods of Theoreticα1 Physics， Part 1， McGraw­

Hill， N ew York (1953).

(74) I. S. Gradstein and ^1. M. Ryzhik (大槻義彦訳)，“数学大公式集ぺ丸善?口 シア語からの和訳版(1983).

(75) R. Mittra， T. Itoh， and T. -S. Li， “Analytical and numerical studies of the relative convergence phenomenon arising in the solution of an integral equation by the moment method"， IEEE Trαns. Microwαve Theory Tec九，MTT^-20，2^， pp. 96-104 (Feb. 1972).

(76) P. G. Petropoulos and G. A. Kriegsmann，“Optical theorems for electromag­

netic scattering by inhomogeneities in layered dielectric media" ， IEEE Trans.

Antennαs Propagαt.， AP-39， 8， pp. 1119-1124 (Aug. 1991).

(77) A. Hessel and A. A. Oliner， "A new theory of Wood's anomalies on optical grati時sぺAppl. Opt.， 4， 10， pp. 1275-1297 (Oct. 1965).

(78) T. J. Rivlin， Chebyshev Polynomiαls， Wiley-Interscier悶，New York (1990).

(79) G. A. Otteni， "Plane wave reflection from a recta時ular-mesh ground screenぺ

lEEE Trαns. Antennas Propαgαt.， A^P-21， 6， pp. 843-851 (Nov. 1973)

(80) D. A. Hill and J. R. Wait，“Electromagnetic scattering of an arbitrary plane wave by two nonintersecting perpendicular wire grids"， Cαη_. J. Phys・，52，pp.

227-237 (1974).

(81) A. Somme市ld，Partial Differential Equations in Physics， Academic Press，

New York (1967).

付録A

チェピシェフ多項式の性質

本文中での参照の便宜のために? チェビシェフ多項式の種々の性質をま とめておく(78)

(1)定義

(2)表示 第l種:

Tπ(cos ()) =仁os(n())

(η=O?1γ..) :第1種

sin(ηB) Uηー1 ( cos B) = _{� � �� ハ}

sln ^tJ

(η=l?2γ・・) : 第2種

To(t) = 1 T1 (t) = t

T2(t) = 2t2 - ¹ 九(t)=

4t3

^{- 3t}

九(t)= 8t4 - 8t2 + 1 T5(t) = 16t5 -

20t3

^{+ 5t}

Tn(t) = 2tT;ηーl(t) - T;丸一2(t) :漸化式

135

(A.l)

(A.2)

136

付録A

チェビ\ンェフ多項式の性質 ₁₃₇

第2種:

Uo(t)ニ1

U1 (t)

== 2t

U2(t)

==

4t2 -

1

U3(t)こが-4t

U4(t)

₌₌

16t4 -

12t2 + 1

U5(t)

== 32t5 - 32t3 +

6t

1 [1

U，π-1(t)0マ

二 j -l t-s dt=-TAs〕

_(A.I0)

s

n

J

n

守，d

一一

4'L ，d

s=qL

. ，J 一 一 4'hv 片一ご4 F U-- 〆tE \ 一 一 1sよ

凡- J/

T

一

v

f人

1一介 (A.ll)

(A.3)

! f_\丸一l(t)ejstι予dt二 早 ^川s)

^(A.12)

Uη(t)

== 2tU，丸一1(t)

-U，η-2(t)

_:漸化式

第1種， 第2種聞の関係:

(川 (ο1一t♂内2り)U孔九一1山(収t)二tT乙η(れωtの)一T丸η叶+刊1 (ω _tの)

但しjは虚数単位， Jn (-)はη 次の第1種ベッセル関数であり?更に 次の記号を用いている.

(A.4)

^(A.13)

1 r1 ��(t)丸(t) ^1� Ómη πム10二予

…

^{2 - Ómo}

j d

lUm-l(机-l(t)�而=

23E

イEしÓmπはクロネッカのデルタである.

(A.5)

(6)内挿多項式

滑らかな関数f(t) (-1 < t < 1)は次の内挿多 項式のい ずれによっても近似される. 使用の際には都合のよい方を選ぶ.

(3)直交性

(A.6)

f(t)勾乞f�l)Tn (t) f(t)勾Lf�2)Uη-1 (t)

(A.14)

九=1 但し係数は次式から求められる.

(4)微分演算

九(t) ^{Tr (，\}

d ηTn( t)

寸了二ηUトl(t)? 271Uηーl(t)行て予l=-dて予

2一 九N+l

f�l)二

_ヘ

入r

_{i 十 1}

^�

- t-

f(tP))�η(d1)

)

i�

(A.15)

(A.7) f�2)

₌₌

品 ₂

11一(tF))2]f(tF))Unー1

(d2))

ここでの内挿点、は次のとおりである.

(A.16)

1 l

_r1

Tn(t)logls-tl 「寸 dt

_{==入η丸(s)}

7r J-1 .J1 - t2

1

_{r1 九(t)}

_J�

I

0 (η== 0)

πム1 (t

- s)0τγv 1

uπ-l(S)

(η==

_1，2，

・ ・ ⁾

tjl)=COS ⁽ⁱ -1/2)介 tj2)二cos」L (A17)

JV +

1

_{' 八T + 1}

(5)積分演算

(A.8) (A.9)

もし関数f(t)が多項式であれば? 式 (A.14)の表現はそれぞれtぅ tNーlのオーダまで正確に近似する.

チェビ、シェフ多項式の性質

138 付録A

次のように 2個の多項式の積を多項式の線形結合で表現す

(7)積和公式

付録B

ることを考えよう.

Tm(t)丸(t) ==

芝

_υ

以

_kTk(t)

無限平板格子に対する通常の積分方程式法

(A.18) 1i 41U 一一 whLM

u

1k T 'K

九

U

m

u

2

N

Um-1 (t)�九(t) ==乞U

2

_KUKー1(t)

第2.5節で展開した特異積分方程式(SIE)法の精度・効率を調べる際の 通常の積分方程式(CIE)の数値解析法(25)，(26)を示して 式(A.1)および三角関数系の直交性を

上の総和記号内の展開係数は?

比較の対象として?

用いて次のように求められる.

、1s，，ノ'K

九m

rAυ 十 'K

九+ m

rλυ 〆'zt‘‘、 1i一つ山 一一 ，化

、lJ九

れ、mU

出発点となる式(2.84)を次に再記しておく.

1_1ιム!;:1hi三三￡ι(zωωzl

_l

_{子#正 叩}

₀

おこう.

(A.19)

心

₌

j

(6|m一九|ん- ð(m+n)k)

11ム B

(-1<5<1)

1-\，三〈ν1

e j2/(tーゆFy(t)dt=

2主bごιyパ一イとιy

l干�O u

SL

_K=

j

^{(hm+π)k +}

^{S山一州一叶k)}

式(B.1)は (2.91)で定義される記号CU1 Fulを用いれば?

式(2.90)，

(B.2)

(-1

<δく1; _u =

Z， y)

(ulFul e-j2/sム=-5u-cdω

∞

ゃん

Cu 1=一∞

第2章と同じ試験関数 (2.94)を代入し?

これに式(2.82) と変形される.

(B.3)

(m二O?1?. 3N)

(1T1，

₌ 1ヲ2ぅ・

N) nu

'i

m m

pλυ

cら cr、 uuu FAυ

一 一

一一 一一

π η

ム ん

η η m

HuJ

m

η η

Nヤム吋NZω

連立1次方程式 を用いれば?

式(2.99)と類似した形で 但し左辺の係数{ηU1nn}は?

139

が得られる.

140 付録B 無限平板格子に対する通常の積分方程式法

(

^τ6m向

、

^L

(

τ(2 - 6mO)

，

ηumn ==

I

jム6m16nO

I

(uO ⁺ jη-m

L I

^-m/l

I

(u{Jm(2lム)み(2lム)

\jム26mん1

) ^1前\

^-叫l

)

(上か ら U二z; ^u == Yヲゆo

=1

0; ^u == y，ゆ0==0) (B.4)

となる.但し(uoは式(2.100)， (2.101)で定義した ものと同じである.また 式(2.102)の場合と同様に?連立1次方 程式(B.3)の下側の組には式(2.105) を付加して解かなければ‘ならない.

以上のようにう この CIE法はSIE法に比べてかなり簡便なものである が， 2.5.3項の数値計算ではCIE法がしばしば誤った解を導くことを示し

てい る.

付録C

誘電体スラブによる平面波の反射と透過

図3.1， 図4.1の構造に お いて? 導体平 板を取り去ったときの反射・透 過平面波の振幅係数を示しておこう. まず図4.1(c)のような2枚の対称ス

ラブでは7 式(4.7)の振幅係数は

二 一一(R-IRc 一 (- 1 ) ^q Rs-

1

^Rs}

I

V Z

I (q

^{== 1， 2) ( C .1 )}

( _;t:

_(q)^�

)

⁼

^-

₂^�

^{

₁ ^{Rc-1 Rc - ( - 1}

⁾

^{q Rs-l Rs}} _J

( _l ^:

^:

) _j

と表される. 但しRはRの複素共役を表し? 行列Rc.s は Rc ==

R(coヲ50，

^{C ト}

5

^{1) +}

R(coぅ50， 51，

^-Ct

) I

�

^(C.2)

Rs ==

R(50， -CO， C1， 51)

⁺

R(50，ーco，51，

-C1) 1 で定義される. ここに

R(xo， Yo， X1ヲ Yl) ⁼⁼ (εrαOOXOX1ーα10YOyl)-1(α10XOX1 -αooyoUl)-l

[ X OXl ( εα00 (αlQXl+片山) jËOYl z ・ OX1

JtOYl α10 ( trαOOXl

⁺

j凸lOYl)

( -D IO lα1 0X1

⁺

Jαooyl) tOX1 \ 1

+

YOYl 1 \ _ËOX1 、 一α∞(εrãOOXl 〆

⁺

jαlOYl) J 11 I

Co

⁺

j ₅₀

== eJαoo(Jl/2-JLd)? Cl十J51二e^{J U} iα^1U'<d/ 'rlhÀ /2

(C.3)

(C.4)

& ーんj-pj-γ2/εr00 -

α。。 &10=kl-p;-Er γ27 Eo=Poγ(εr - α10 1)

(C.5) (cv，sνは実数) である. 定数αvOは式( 4.9)で定義した .

141

142

付録C

誘電体スラブによる平面波の反射と透邑

次に図4.1(b)のようなl枚のスラブではう上の結果に極限操作ん→hj2 を施すこと に より

(5)=(5JT二JtLMi:;)(:;) ^(q

^{== 1，2)}

(C.6)

付録D

と 表せる . 但し

(つl(つ^{u;hc U:�'lLs h U~s hc} う (つ1(つ_{h cs} ^{U: LU�c U~h C s}

u:

^C

u:

^s α10

-Jα。。

U� ^C U� ^s α10

-Jtrα。。

:-. e :-. e

α10

-Jα。。

U� U�

:-. h :-:h

α10

-Jtrα。。

u

しーe U�

層状構造に関するヘルツポテンシャル

(C.7)

(C.8)

すべての媒質境界面がz軸に垂直な 平面 であるような層状構造をなす 空間を考えよう .その中で 境界条件が満足されるためにはう電磁界の z依 存性はすべての成分においてexp(jαx)の形を とらな ければならな い .但 し、αはz方向の波数である.このとき電磁界は?電気形( II)，磁気形 (IIつのヘルツポテンシャル より適当に選んだ2つのスカラ成分 から 誘導 される.特に平面状格子や平面アンテナを解析する際には?次の2つの方 法のいずれ かがしばしば用いられる.な お ，定数hμ，k (==ωJ戸)はそ れぞれ考察して いる媒質の誘電率，透磁率ヲ波数とする.

C叶+JρドS 戸二斗- eJ Q♂ 川j戸α

L

U

�戸U�

^{' U}

�戸U2 J

(c，sは実数)である .図4.1(a)のよ うに スラブが消失したときには?

式

(C.7)に極限操作εr→1 を施した表示

( ^u _{: ゴ} ) ₌

⁼

( =�

^�

) _w

u� u� ) \ -

j 1

を用いれば?係数の式(C.6)は次の単純な表示に帰着する.

、1lj nu --ム ρU /'』t、、

p�l) ==ρjl)=03 ;2)二"z， ρj2)ニ"y

(C.11)

1.両方のヘルツポテンシャルが境界面に垂直であると仮定し，II二念IIx，

II歌ニ念II;と表せば、電磁界が

(

_E

₌

_ママ

_{Hん一+川川kμ此2}

( D. l リ )

H==ママ• II* + k2II本十jωε\l x II

から導か れる(79)この選び方は任意の偏波をTE波(Ex二0)と T1I 波(I{x

==

0)に分解するときに便利である.なぜなら電磁界のz成分 Ex) HxはそれぞれIIx) II;のみを用いて表現されるからである.口 最後に第3章での参照の便宜上 ，^{80 ==} 900な る2次元問題における式

(C.6)の表示を掲げておこう.

p�l) == �α;。-αIo)cs

_L

- ufu; 日

^{p�2) Z}

- = 竺竺 _{0. 0.} L

^{v z}

JU�'U � (C.12)

(1)

_ (吋。-

trα60 )c� _J /)(2)

_

^�rα00α10

U 二

_{u 2}

L_U.h

Lν? ρν - L L Lν (C. 13 )

; J

J u�u; d

但し この場合にはα00

= ^ko

^{C O S}

^札 α

¹ ₀

= ^koム-

sin2ゆ0，^"z = 1， "y­

secゆ。である.

2.電気形ヘルツポテンシャルが境界面に平行であると仮定し.II=

f;IIy+zJ1zと 表せば\電磁界が

{!ニママII+μ

(D . 2幻 )

H=jωε河マ xII ^I

143

144 付録D 層状構造に関するヘルツポテンシャル

から導かれる(80). この場合には磁気形のポ テ ン シ ャ ルは不要である.

この選び方は任意の偏波をE波(Ez⁼⁼ 0)とH波(Hz⁼⁼ 0)に分解す るときに便利である. なぜなら電界成分 Ezう 磁界成分Hzはそれぞ れIIzヲ IIyのみを用いて表現されるからである. ゆえに本論文では こちらの方を採用した. 口

もちろん他の選択法? 例えばII二企万x

+ zII

zなども可能である(81) 関係式

(\72 + ^k2)万(*) ==

^{0 ，}

8/δx==]α

^(D.3)

を考慮しながら3 式(D. 1)，(D.2)の各成分を比較すれば? 次の条件のもと に上記の2つの選択法が等価であることが示される.

i-

^一

jα f空ぃθIIz

^{回 .}

)

^田

中た2 ー α2 \θY δz

₎

II�

⁼⁼

_{た2 α2 \θy}

^]Wf

^{(竺- δ} _θ ^II _z

^y

⁾

₎

(D.4)

本論文の回折格子の問題においては ， 媒質定数ヲ 波数? 伝搬定数は? 考 察している媒質? モード次数に応じてε0，εOfr， μ0， た0， ん1， 土α01， 土α11 などに置き換えなければならない.

付録E

積分で定義された核関数の評価法

式(3. 19)，(3.28)中の無限積分を効率よく評価する方法を示そう. 積分 変数が IßI→∞なるときの被積分 関数の振舞い

W(O，ß) ^rv

_E_

^(E波)

U1 T uo

θ

^W

_{δx I} ^{( x}

^，ß)

¹ ₁

_rv一

一

^{2 +�I}

^{kî(εr -1)}

_ー ^(H波)

x=o

fr十1

^I

(εr + ^1)2α;

を考慮して? 式(3.31)に示したように核関数を

Dukyq)(sj)二時q)(υ)+ ](�iq) (s， t) (�z _{\ D ν} ⁼⁼ _{二 δ/δt}

^{� 10.}

₎ )

(E.l)

(E.2)

と分解する

関数](��q\s， t)は被積分関数に式(E.1)を代入した主要項

ff

j

iq)いうのはそれに対する補正項である 前者は簡略化した表示Ypq 二

(p-q)D+ω(s -

_{t) を用いて}

I

d

^ピ

己 伐;先y

^:rq

ぺ

^{)( sいδ川?}

K巧均砂刷Jおrr附:rT引qりぺ)代(川

⁼

午 ム ^!�∞ ∞ |ド 1

^α0�V

^+Jk

^I

2(εr十1 ^{恥 一-} )α。| ^{1 )り:} Jド ^{e 一 j} 川川P円吋叫q吋叫dωß ^内 (印E.4叫 4的)

と書かれる. これは解析的に評価することができ? 結果は次式となる(59).

](��q)(s， t)二11 7f Er)[Hi2)(kolh|)-d;HFUllh|)](E5)

47)(sj)二川ω�

₂

r ₁ ^{HY)州札ι(fr-} _{koly刈 2(εr + 1)} ^{1 �}

-- u ，. - V

^{H�2)( kOIYpql)}

I J }1</ ^1/

1

^(E.6)

I

145

147

引ud βμ --々μ oy

α 7 1 代 的 一 ρ ι i !

2一戸 7W G + 一 h 11一l T九 ， 一JIl t -FL 一α 一!? 一α α ω

rムL

一一 qJ nuz rwy RU'

L 干あ?で定義された核関数の評価法

その被積分関数が偶関数である ため半無限 付録E

他方で補正項K Y ^)(sj)は?

146

(E. 15)

α1 -α。 付(εr- 1) 21 1 ^cos(ßypq) α1+εrα。 2(εr+ 1)α。 |

(E.7)

(

^u

^{== zヲy)}

k

r ⁽ ) ^{υ ) 二} A

^∞

^{L�q ( ) ß ) dß}

積分

L�pq)(ß) == ( _\ ^{W( O ， ß)} _ α1+α。 _ ^{) ， 2} _ ) /

I n\

. 2 í. ^{( εr + 1δW(x，ß) 1}

¹

\ ^{ki(εr - 1)} 1

L�.p 内β)== jw2

_{\ � /} .J

� Iαo _{l �U} l _\ -- _{2 x}

_θ

| _Iニo -l卜 � ⁾ 2( tr + 1)α0 1 |

、、.22〆 戸hu--4

〆'a，、、 E

ρν(ß)二α1-εrαo α1十εrα。

ρz(β) == α1十α。 a1-αo?

但し (E.8)

ここに新しい被積分関数は に変形される.

α 5

¹

に _起

_因

端点グ=ko (ご=π/2)でのα0，

積分10では変数変換 により?

半無限積分12における被積分関 E波に対してO( e-2ç)で

する特異性が打ち消されている. また?

数はと→∞のとき?

(E.9)

H波 に対してO( ç-3)で (3.2 8)に含まれる本来

これらはF→∞のとき式(3. 19)，

で与えら れる.

こうしてこれら それぞれ振る舞う ためp有限区間で打ち切ることにする.

んには通常の数値積分公式が適用できる.

の積分10，

の被積分関数より速く減少する.

但しその際の区間 式(E.7)の半無限積分路を次のよう に分割しよう.

cos(ßYpq)の存在による被積分関数 の振動の程度を考慮して の分割数はう

ハU11ム

I{ � ^{�q)(s， t)二} 土 ^Ii E 適切 に選ばなけ ればならない.

これは図 の評価には特別の処理を要する.

以上とは異なり? 積分11

Aμ

、、ts，Jβμ ，G ny /l\

印い u

nu ru fl刈 'K

一一 円U

但し 7i

被積分 _関 数が 積 分 _{路 内} に Q (β r

rμ

) ==

⁰

⁽

^r

^{二 c} ， ^s;μ=

そこで式(E.8)

1，2γ・・， l'vlr)で決定される有限個の極をもつためである.

3.2に示すように

、、，，，J 11よ11ム

〆，，，、、 E 1 1 二 j : _; ^{咋q (} ₎ ^{ß ) dß}

(E.17)

(

^{'u == z，}

^y)

(E.9)を次のように分解する .

L�q)(β)二 t ^dq)(3)

12

^二

i � L�q)(ß) dß

変数変換ß= ko sin 乙ß == Jkt + (と/h)2をそれぞれ積分10，

1²

である.

(E.18) (

^u二Z，

y)

L?)(β) = (vV ( O " ß ) -

^r\，

j ， 2

� . )

^ω

^(ß

^Yp

_{q )} ^{- L} _�� ^{q ) ( β )}

\

α ¹⁺ α ^。

^/

L�q\ß) ^=ε E Res[L�q)(ß)， ^ß

^r/

J

r=c，S μ=1

β

^-

β

^rμ

但し

(E.12)

、、1l，ノ 円ぺU寸iよ

，ral、、 E

10 == 川 ^π/2 L�q)(kosinç)州dご 12 = h-1 1000 ^L � ^{q) (} 仰 ^{+ (ご /}

^九

⁾²⁾ 」竺

に導入す れば

一 1) _{叫pq) 一} Lι収川山;お3rm川i7T引山qり什恰)(切(伊F

(E. 19的)

x=o

L � ^{�q) (ß) =} jα 。 バヰソ川，ß)

\ ム ox

の形を得る.数値計算の際にはう式(E .8)，(E.9)の代わりに次の等価な表

(E. 1

4

) 現を用いると便利である.

j4αl

Ljm)(P)= (α1+α0) ( e 2

j

2Cll

^h

/ρz(ß)-pz(グ)) cos(Fhq)

148

付録E

^fあ?で定義された核関数の評価法

L��q) (ß)

^{== 0}

( pq) た?ω2( εr -

¹⁾

Li/2Ij

^{YL. \}

)(ß 的)=

^{1- /} _j2(tr

C∞os(ßy 内

+ 1)αo 門

(E.20)

式(E.18)中の特異項をFに関してんからk1まで積分するために ， 積分 路の一部を極を中心とする小半円に変形する. 解析的に 積分したのち? そ の半径を零とする. 以上の結果

rd)(β) dß

⁼⁼

^ε 芝

^{Re s}

^{[ L � q)}

⁽

^ß

^)，

^ßr

^μ

^l ( _\

ⁱ

_-- ^J

¹

^{- ßrμ-}

^j7f

)

^(E.21)

0 ßrμ _

^ko

_{.J ' )}

を得る. また式(E.19)に対しては? 被積分関数 の特異性が打ち消されてい るのでう 変数変換ß==ご/hにより

バ1 ^{L�q\ß) d ß}

^二九

^サ :f ^{d ) (}

^ご/h)

^{df， (}

^{u ==ω) (E.22)}

と変形したのち数値積分を行う. 最後に式(E.20)では? 被積分関数が端

点ß

== ko (と== 0)において α51に起因する特異性をもっ. しかし変数変 換グこたo

cosh

çを施して

乙1 ^{L��q) (ß) dß}

⁼⁼

^川

^{ば (E.23)}

と変形すればヲ 端点での特異性が打ち消されて数値的分が可能になる.