経路不変積分 を用いた強不連続解析の精度検証に関する研究
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(2) 表 され てい る7)〜12).. (2). また これ らの変位 不 連続 面 を要 素 内部 に組 み 込 む 解 析 手法 は,破 壊 力 学 の分 野 で従 来 行 われ て い る要 素辺 上 で不連 続 面 を表 す有 限 要素 解 析 に比べ,き 裂 進 展方 向は 自由に決 め る事 が 出来,き 裂 進展 先 で再 び細 かい 要素 分割 を行 う必 要 が無 い こ とな ど,せ ん. こ こで,xは. 物質 点,tは. 時刻,uは. 変位 場 の連 続. 部 分,[u]は. 物 体 全 体 で定 義 され る変位 ジ ャ ンプ関. 数 を表 し,変 位 場 は連続 部分 と不連 続 部分 の和 で表. 断 帯 やき裂進 展解 析 に極 めて有 用 で あ り,今 後 の研. され る.こ の 時,ひ ず みテ ン ソル εは,式(1)の 空 間. 究 が大 い に期 待 され る手 法 で あ る.. 微 分 を とって次 式 の よ うに な る.な お表 記 の簡 略 化 のた め引数 を省 略す る.. しか しなが ら,興 味 あ る解 析 手 法 で あ るが,現 在 まで1次 元 の場 合を除 き,理 論 解 が得 られ ない事 も あ り,そ れ らの解 析 手法 の精 度 検討 に関す る研 究 は. (3). 筆者 の知 る限 り皆 無 で あ る.興 味 あ る解析 手 法 で あ って も,精 度 が悪 けれ ば,工 学 的 に無 意 味で あ る. そ こで,本 論 文 で は,不 連続 面 の解 析 モデル と し て,と りあ えず 先 に述 べ た,SimoやOliverら. の強. こ こで,(・)Sは(・)の 対 称 部 分,ε は ひず み 場 の有. 不連続 モデ ル5)6)の 内,等 方 損傷 モ デル を用 い たモ. 界 な部 分 δψは ψ 上 で のDiracの デル タ関数 で あ り,. デル を採 用 し,ま ず その理 論 及 び解 析 手法 の概 要 を. 上 式 のひず み場 は ψ 上 で の非 有界 項 を含 む.. 述べ る.次 に具 体的 な数値 解 析例 に よ り,そ の強 不 連続 解析 を行 った結 果,荷 重 一載 荷 点変 位 の要 素分. 2.2等. 割不依 存 性及び 仮想 的 に採 用 した不 連続 面 の幅 の 不 依存性 の確認 を行 う.そ の後破 壊 力 学 の重 要 なパ ラ メー タの一 つ であ る破 壊 エ ネル ギ,即 ちエ ネル ギ解. 方損傷 モデル. 解析で使用する線形硬化 ・軟化する等方損傷モデ ルは次式で示される.. 放 率 を精 度 良 く定量 的 に表 して い るか を検討 す る事 に よっ て,強不連 続 解 析手 法 の妥 当性 の検討 を行 う. なお,こ の エネル ギ解放 率 を求 め るた めに,周 知 の. (4). J積 分13)〜15)と,本 論 文 で不 連続 面 上 に結合 応 力領 域 を含 む場 合に適用 で き る事 を新 た に証 明 した経路 独 立 なE積 分 を使 用す る.. 2.強. ここで,Ψ. 不 連 続 解 析5)6). はHelmholzの. カ テ ン ソル,dは. 自由エネ ル ギ,σ は応. ス カ ラー 損 傷変 数,Cは. 線 形 等方. 弾 性体 の構 成 テ ン ソル で あ る.そ してdは,ひ 2.1不. の ノル ム τεを用 い て 次 式 に よっ て 定義 され るrと. 連 続 変 位 場 と ひ ず み 場5). 軟 化 パ ラ メー タH=‑r0/rmaxaxを 図‑1の. よ うに 変位 の 不連 続 面 ψ を有 す る物 体. を考 える.. 用 いて以下の よ. うに定義 され る.こ こで,不 連 続 面発 生 時 のひず み. Ω. を εo,材 料 が破 断 し結合 応 力 が作 用 しな くな る時 の ひず み を εmax、 とす る.(参 考 の ため,1次 の構成 関係 を図‑2に. 図‑1変. 位の不連続面ψを有する物体Ω. 物体Ω が不 連続 面 ψ に よ り領域Ω+とΩ‑に. ずみ. 元 の場 合. 記 す.). (5) (6). 分け. られ る.ψ は物 質 曲面 で あ る と し,そ の単位 法線ベ ク トル をnと す る.強 不 連続 性を持 っ 変位uは. ψ. (7). 上 でのHeavisideの 単位 関数Hφ を用 い て次 式 の よ うに表 され る.. (1). ― 352―.
(3) (12). こ こで,bは Hを. 単位 幅 で あ り,Hは. 無 次 元 数 で あ る.. 本 質 的 な 軟 化 パ ラ メ ー タ と呼 ぶ.そ して 式(10),. (11),(12)よ. り,次 式 の 関 係 が 得 られ る.. (13) 図‑21次 そ して,非 式(4),(7)に. 元 の場 合 の構成 関係. 弾 性負 荷(H＜0)に. よ る 散 逸Dは,. 結局,式(4)3に 応 力 の有 限 性を考慮 す る こ とに よ り,. よ り,次 式 の よ うに 表 され,. 次式 で示 され る不連 続 面 以外 の構 成 式 と不連 続 面 上 で の応 力 と変位 ジ ャン プの 関係 式 が既存 の結合 力 モ. (8). デル の よ うに別 々 に考 え る事 な く得 られ る こ とが分 か る.な お以 後 の解 析 には式(4)3の 構 成 式 が用 い ら れ る.. (14). こ こ で,τ σは 応 力 の ノル ム で あ り,τ εと以 下 の よ うな 関係 が あ る.. (15) (9) 3.有 ま た,式(8)のd/(1‑d)は,式(7)よ. 限 要 素 定 式 化6). り,. 3.1支. 配方程式. (10) 図‑1を. 参 照 し,以 下 の境 界値 問題 を考 える.. とな る.こ こで応 力 の関数g(σ)の 値 は,応 力 が 有 限で あ るな らば,有 限 とな る.. 2.3応. (16). 力の 有 限性. 式(4)3へ式(3)を代入 す る と,次式 の関係 が得 られ,. bounded. bounded. こ こで,fは 物体 力,u*は 変位 境 界Гuの 既知 変位,. unbounded. (11) 応 力 が有 限 で あ る とす る と,式(11)が 数 学的 に成 立 す るには,d/(1‑d)が. た め,結 局1/Hが. 境界Гσの既 知 表 面力,σ+,σ‑,σ. デル タ関数 を含 まね ばな ら. ない.式(10)で 述 べ た よ うに,g(σ)は. γは物 体 境界 ∂Ω の外 向 き法 線 ベク トル,t*は 応 力. 有 限で あ る. +. ,Ω‑,ψ. ψはそれ ぞ れ. Ω 上 の応 力 場 で あ る.そ して(16)1はつ. りあい 式,(16)2はГu上 の変位 境 界 条件(16)3はГσ. デ ル タ関数 を含 まね ば な らず,. 上 の応 力 境界 条 件,(16)4は 弱 不連 続 を考 え る時 に も. 最 も簡 単 な関係 として次式 の よ うに仮 定 す る.. 用 い られ る応 力 の連 続 条件,(16)5は 強不 連続 の場 合 に特 有 な応力 の連 続 条件 を表す.. ― 353―.
(4) 3.2弱. 形 式化. (20). 次式 の仮 想 仕事 の原理 を考 え る.. (21) (17). ま た,連 続 関数 φhに よ り近 似 され た不 連 続 変位 場 を次式 の よ うに定義 し,. u(x,t). (18) (22) ここで,η は運 動 学 的可 容 変位 で あ る.式(17)に 発 散 定理 を用 い る と,次 式 とな る こ とが分 か る.. 上式 を式(1)か ら引 く と,次 式 の不 連続 変位 場 を得 る.. (19). 以上 よ り,式(19)か ら弱形 式化 され た式(16)1,3,4が 満. (23). 以 上 よ り,変 位 場 は連続 部 分uと 領域Ωhを 台 とす. た され,残 りの変位 境 界 条件 式(16)2と強 不連 続 条件 式(16)5を考 慮 すれ ば,式(16)の 支 配 方程 式 で示 され. る不連 続 部分Mhφ[u]に 分 解 され,変 位 境 界 条件 は. る境界 値 問題 の弱 解 が得 られ る.. 連 続 部分 に のみ作 用 させ る事 が 出来 る.. 3.3. 3.4有. 不連続 変位場の修 正. 限要 素 近 似. 三 角形 定ひ ず み要 素 を用 い た有 限要 素近 似 を行 い,. 式(1)で示 され る不 連続 変位 場 は,変 位 ジャ ンプ 関 数[u]が 物体 全体 で定義 され てい るた め,変 位 境 界. 不 連 続 面 ψ を含 む領 域Ωhに 着 目して,式(23)の 変. 条件 を 変位 の連 続 部分uと[u]の. 両方 に考 慮 しな. 位 場 を次 式 の よ うに近似 す る.な お ψ を含 まな い領. けれ ばな らず,通 常 の有 限要 素定 式化 には不 都合 で. 域Ω ＼Ωhに お いて は,通 常 の 三角形 定 ひず み要 素. ある.従 って変位 場 の不連 続 部分 が物 体 の あ る領 域. の有 限要 素近 似 と同様 で あ る.(図‑4参. にのみ作 用す る よ うに変位 場 の修 正 を行 う. 今,図‑3の. 照). よ うに ψ を含 む領 域Ωhを 考 え る.. (24). そ の任 意 の境 界 をφ‑h,φ+hと し,ま た ψ はΩhを とΩ+hに 分離 す る.変位 境 界ГuはΩhのΩ‑h 外側 に. (25). ある と仮 定 す る. こ こで,Ωhの. 境 界φ,φ. で次 式 の制 限 を受 け. (26). る任 意 の連続 関数 φhを定 義 し,Hψ とφhよ りMんψ を定 義す る. こ こで,N(x)は. 通 常 の形 状 関数,α(t)は. 節 点変. 位 ベ ク トノヒ ルMhψe(x)は要 素 単位 ジ ャ ンプ 関数, αe(t)は要 素 変位 ジ ャンプベ ク トル,Hψe(x)は 素 に 限定 され たHeisideの. 要. 単位 関数,Nke(x)は. 孤 立節 点ke,にお け る通常 の線 形 形状 関数 で あ る. ま た孤 立節 点 とは,三 角形 要 素 内 を横 切 る不連 続面. 図‑3不. ψe,によ り,片 側 一 つ に孤 立 させ られ た節 点 で あ る.. 連続面ψを含む領域Ωh. ― 354―.
(5) 式(24)を 空 間微 分す る こ とに よ り,次 式 のひず み. (31). 場 を得 る.. ま た3.2節 で述 べ た よ うに,こ のつ りあい式 とは 別 に,不 連続 面上 の表 面力 のつ りあい を表す 強 不連. (27). 続 の場 合 の応力 の連続 条件 を考慮 す る.こ の応 力ベ ク トル に対す る連 続 条 件(16)5は 次 式 の よ うに示 さ れ る.. (28). (32). (33). 今,次 式 で示 され るマ トリックス と連 立 方程 式 を定 し. 義. (29). (34) ここで,対 称 なひ ず みテ ン ソル や応 力 テ ン ソル は, 通 常 の工 学的 手法 と同様 にベ ク トル 化 され た ひず み ベ ク トル. や 応 力 ベ ク トル. (35). と して扱 われ て い る.ま た ψe の 単 位 法 線べ ク トル をne={nx,ny}Tと. して い る.. 式(34)を 式(35)へ代 入 す る と.面 積 平均 され た 不連 続 面上 で の表 面力 の つ りあ いが得 られ る.. (36). ただ し,三 角 形 定ひ ず み要 素 の場 合,上 式 は各要 素 の不連 続 面上 で,通 常 の表 面力 のつ りあい式 とな る. 従 って,式(35)が 強不 連続 の場 合 の応 力 連続 条件 とな り,式(30)の つ りあい式 と連 立すれ ば3.1節 の. 図‑4不. 連続面の有限要素近似. 境 界値 問題 の解 が得 られ る. 以 上 よ り,不連 続 面 を有 す る要 素 の支配方 程式 は,. 以 上 よ り,離 散 化 され た 変位 場 とひ ず み 場 と式. 増 分型 で示す と次式 の よ うに な る.. (17)を用 い て,通 常 の 手法 と同様 に,以 下 の離散 化 され た っ りあ い式 が得 られ る.. (30). ― 355―. (37).
(6) こ こ で,σhは. 式(4)3の 構 成 式 を 時 間 微 分 した も の. 4.経. で あ り,以 下 に示 され る.. (38). 路独立積 分. 4.1J積. 分. J積 分 とは,Rice 14),Eshelby13)等 に よっ て提 案 され たエネ ル ギ解 放 率 を求 め る経路 独 立 な積 分公 式. (39). で あ り,そ の説 明 を以下 に簡 単 に示 す. 図‑5の. よ うに均 質 な2次 元 非線 形超 弾 性体 内に. 軸 に沿 う直 進 き裂 が あ る場 合 を考 え,xのb(t) X か ら α(t)の間 まで応 力 がゼ ロで な く,b(t)よ. り左. 側 は,応 力 がゼ ロ とな って い る と して,こ の 時以後 結 局,式(27),(37),(38)よ. り要 素 接 線 剛 性 式 が 次. b(t)を き裂先 端b(t)か. 式 の よ うに 得 られ る.. らα(t)を結 合 応力 領 域 と. 呼ぶ.き 裂 の一 端 を含 む基 準 系 に 固定 され た正 則 な 閉領 域 をA,そ. の境 界 をrと. す る と,J積. 分は次. 式 で 定義 され る.. (40) (43) (41) な おJ積 分 が エネ ル ギ解放 率 と等 しくな るの は き裂 3.5デ. が 直 進 す る即 ちx軸 の 正方 向 へ の み進 展 す る事 に. ル タ 関 数 の 近 似 と積 分 規 則. 注意 したい.こ こで,ω,s,uは 式(41)の要 素 接線 剛 性 マ トリック ス に用 い られ る. みエ ネル ギ密度,Γ. 式(29)のGe,と 式(34)のG*e;はデ ル タ関数 を含 ん で お. それ ぞれ ひ ず. 上 の表 面力,変 位 で あ る.. J積 分 値 は,領 域Aが. 直 線 き裂 先 端b(t)か ら結. り,数 値 解析 で 直接 扱 うこ とは 困難 で あ るた め,デ. 合 応 力 領域 先 端 α(t)まで を含 む 限 り,積 分 経路r. ル タ関数 の近 似 を行 う.要素 内 を横 切 る不連続 面 ψe,. に依 存 しない経 路独 立な積 分 で あ る. ま た図‑5に. を含 む十 分小 さな幅kの 帯Ωkeを 考 え,不 連 続 面 で. 示 す よ うにき裂 先端 近傍 に あ る結 合応. 力領 域 を常 に含 み つつ,結 合応 力領域 に密 接す る よ 非有 界 なデル タ関数 を以 下 の よ うに近似 す る.. うにrを. 縮 小 しそれ を Γ'と す る と,dy→0よ. り,. 式(43)は次式 とな る.. (42). 即 ち,ψeは 十 分小 さな 幅kの 帯Ωkeで 近 似 され デ ル タ関数 はkの 逆数 で近似 され る.. (44). また式(41)の 面積 積 分 は,通 常 の三角 形 定 ひず み 要素 と異 な り,被積 分 項 が要 素 内一 定 で はな く,Ωke とそ れ 以外 の部 分 でCtg,Ge,G*e;の. 値 が異 な る. ので,そ れ ぞれ の領 域 で積 分点 を設 け,表‑1の. よ. うにそれ ぞれ の 面積 で重 み づ け した 区分 的 な面積 積. ここで,σ とδ は それ ぞれ 結合 応 力領 域 の応 力 と開. 分 を行 う.. 口変位 で あ り,Jの. 値 は図‑6の. 曲線 下 の 面積 に等. しい.ま た,こ の 面積 はOliverが 論文 中で一 様 変形 表‑1積. 分規則. 場 を仮 定 して求 め てい る下 記 の破壊 エ ネル ギに等 し い こ とは 自明で あ る.. (45). ― 356―.
(7) (46)右辺 は,物 体 力 が ない 場合 の準 静 的 なつ りあ い 式divσ=0と. 発 散 定理 に よ り,次 式が成 立 し,. (49) 従 って,式(46)の 右 辺 はゼ ロ とな る.. 図‑5き. ま た,結 合 応 力領 域 で の応力 σ は開 口変位 δ の 関数. 裂と結合応力領域. で あ るの で,ω. は次 式 の よ うに表 せ る.. (50). こ こで,. 図‑6結. (51) 合応力と開口変位の関係 で あ る の で,式(48)よ. 4.2E積 図5の. り,次 式 が 得 られ る.. 分 よ うに2次 元非 線 形超 弾 性体 内 にお い て,. (52). 結合 応力 が作 用 し,準 静的 に進 展 す る不連 続 面 を考 える.結 合 応力 領 域 での応 力 σ と開 口変位 δ の 関係 は図‑6に. 示 され る.ま た不連 続 面先 端 を含 む基 準 式(49),(51),(52)を. 系 に固 定 され た正則 な閉領 域 をA,Aの 境界 をΓ と し,Г 上 の表 面力,変 位 をそ れ ぞれs,uと す. 式(46)へ 代 入 す る と,. る.. (53). 結合応 力領 域 が存 在 す る場 合,き 裂 が単位 長 さ進 展す るた め に消費 され るエネ ル ギ,即 ちエ ネル ギ解 放 率 を求 め るE積 分 値Eは. 力 学 的 エ ネ ル ギ保 存 則. (54). よ り次 式 の よ うに定義 され る. とな り,E積 分 値Eも. 図‑6の. 曲線 で 囲まれ た 面積. で あ る破 壊 エネ ル ギGfと 一致 す る.. (46) こ こで,ひ ず み エ ネル ギWと. 結 合 応 力領 域 での仕. 次 に,荷 重 パ ラ メー タ β とき裂 長パ ラメー タbを 考 え る16)β(0≦. β ≦ α)は 物 体境 界 上 に与 え. られ た外荷 重 の載 荷履 歴 を特 定す るパ ラ メー タで あ. 事 ω は次 式 で与 え られ る.. り,bは. き裂 の長 さを意 味す るパ ラ メー タで あ る.. β とbは それ ぞ れ独 立 で あ る ので,式(46),(47),. (47). (48)は次式 の よ うに表せ る.. (48) (55) 従 っ て,き 裂 が 進 展せ ずb(t)=0で. あ る な ら,式. ― 357―.
(8) 離 散化 した 等 価節 点 表 面力siと 節 点変位uiを 積 分. (56). 形路 上 の全 節 点 で和 を とる こ とに よ り,次式 を得 る.. (57). こ こ で,上. 式 の 各 物 理 量 は 空 間 座 標(x,又. を 従 属 変 数 に 含 む が,表 い る.式(56),(57)よ 理 を用 い て,次. (61). はx). (62). 記 の簡 略 化 の た め省 略 し て. り,式(55)の{.}は,発. 散定. 式 の よ うに 表 され る.. (63). こ こで,nは. 積分 形 路 上 の節 点 の数,α は全 荷重 ス. テ ップ数,△ β は荷 重増 分 量,△bは 基 本 モ デル とき裂長 さb+△bの. き裂長 さbの. き裂 進 展 モデ ル の. き裂 長 さの差 で あ り,s,uとs,uは. それ ぞれ基. 本 モデ ル とき裂進 展 モデ ル の表 面力 及 び変位 を意 味 す る.. (58) ま た,式(55)の. 右 辺 第1項. は,次. 5.数. 値解析. 式 の よ うに 変 形 で. き る.. まず,既 往 の研 究報 告 で述 べ られ て い る物 体 全体 の挙 動 を示 す荷 重 一載 荷点 変位 の要 素分 割 不依存 性 と,不 連 続 面 の幅 の不依 存 性 を確認 す る.次 に本 不 連 続 面 モデル が,破 壊 エネ ル ギ を精度 良 く表 してい るか を検 討 す る こ とに よって,強 不連 続 解析 手法 の 妥 当性 の検証 を行 う.境 界 値 問題 として,図 示 す 正方 板 の 引裂 き を考 え る.L=10[cm]と. 一7に し,集 中. 荷 重 に よる応 力集 中 を緩 和 す るた め,載 荷 点 は左 端. (59) 式(58),(59)を. 上下 に4点 で 与 え る.. 式(55)へ 代 入 す る と,結 局 次 式 が 得 ら. れ る.. (60). 上式 が き裂先 端 に結合 応 力領 域 を有す るき裂進 展 時 のエ ネル ギ解 放率 を求 め るE積 分 の積 分公 式 で あ る. 最 終 的 には 結合 応 力 領 域 が 存 在 しな い場 合16)と 全 く同 じ式 とな った.こ のE積 分 公 式 に よ る と,そ の 値 が エネ ル ギ解放 率 に等 しくな るの は,J積. 図‑7正. 分 と異. な り,直 進 の場 合 に限 られ る事 な く,任 意 方 向へ の. 方 板 の引裂 き. 解 析 は 平 面 ひ ず み を仮 定 し,材 料 定 数 と して ヤ ン. 折 れ 曲が り瞬 間時 のエネ ル ギ解 放 率 を も経 路 不変積. グ 率E=29.4[GPa],ポ. 分 で求 ま るこ とを付 記 した い.. ア ソ ン比v=0.3,式(45)の. 破. 壊 エ ネ ル ギGf=19.6[N/m]を 使 用 し,解 析 上 の パ ラ メ ー タ と して 不 連 続 面 の 幅kを1 .0×10‑5[cm],軟 化 パ ラ メ ー タHを‑7.5×10‑7と す る.ま た 式(7)に あ. 上 式 を数 値 解 析 で用 い るた めに,き 裂 長 さbに よる偏 微分 は2点 差 分 近似 し,β に 関す る積 分 は台 形公 式 を用 い,経 路積 分 は表 面 力 と変位 をそれ ぞ れ. ― 358―.
(9) 図‑9は 荷 重 一載 荷 点変位 曲線 で ある.最 も細 か. る よ うに,過 去 最 大 のひず み の ノル ム で あ るrがro =17 .15[Pa1/2]とな る とき各 要 素 に 不連 続 面 が 生 じ. い要 素 分割3が 最 も滑 らかな 曲線 を与 え るが,各 要. る もの と し,rがrmax=‑r0/H=22.97×106[Pa1/2]. 素分 割 に おい て ピー ク荷 重や そ の後 の軟 化 挙動 が 良. とな る とき材料 が破 断 し結合 応 力 がゼ ロに なる もの. く一致 してい るこ とが分 か る.従 っ て,物 体全 体 の. とす る.た だ し今 回 は,J積 分 で のエ ネル ギ解 放 率 の評価 を行 うた め,不 連 続 面 の進 展 は直進 のみ に限. 挙 動 を表す 荷 重 一載荷 点 変位 が 要 素 の大 き さ,形状, 配 置 に依存 しな い結果 が得 られ た こ とが分 か る.. 定す る. 非線 形 の軟 化 曲線 を捉 え るた め,載 荷 点 に強制 節 点変位 を与 え る増分 型有 限要 素解 析 に対 し,変 位 制 御 型Newton‑Raphson法. 5.1要. に よる収 束 計 算 を行 う.. 素 分割依存性 の検討. 上述 の境 界値 問題 に対 し,要 素分割 依 存 性の検討 のた め,3つ. の要 素分 割 を行 い,そ れ らを図‑8に. 示 す.要 素 分割1と2は. 同程 度 の節 点数 と要素 数 で. 図‑9要. あ り,規則 的 な分 割 と不 規則 的な分 割 の違 い が あ る. 要素分 割3は,不. 素分割の比較. 連続 面の進 展 す る位 置 を細 か く分. 割 した こ とが要 素分割1や2と. 図‑8要. 異 な る.. 図‑10最 終状態における変形 と不連続面. 素分割. ― 359―.
(10) 図‑10は 各要 素 分割 にお け る最 終 状 態 の変 形 図. て い る研 究報告 は筆者 の知 る限 り見 当た らな い.. で あ り,微 小 な変 形 を見易 くす るた め,変 位 を1000. 以上 よ り,本 論 文 の主題 で あ るエ ネル ギ解放 率 の. 倍 に拡大 して 図示 して い る.ま た図 中の太 い実 線 は. 精度 検 証 に よ り,不 連 続 面解 析 手法 の 妥 当性 の検証. 最終 状態 で の不連 続 面 の進 展状 況 を表 して い る.各. を行 う.そ の方 法 と して,数 値 解析 の入 力値 で あ る. 要素分 割 におい て 同様 の変 形 が生 じてお り,不 連 続. 破 壊 エ ネル ギGfが,エ ネル ギ解放 率 を求 め るた めの. 面が進 展 す る要素 にお い て変形 が 局所 的 で あ る こ と. 経 路独 立積 分 で あ るJ積 分 とE積 分 に よって精 度 良. や それ 以外 の部分 で は殆 ど変形 して い ない こ とが分. く求 ま るか に よ って解 析手 法 の精 度検 証 を行 う. か る.ま た各 要素 分割 にお い て最 終状 態 で の不連 続. こ こで,E積. 面の長 さが ほぼ一 致 してい る こ とも分 か る.. 5.2不. 分 に よ りエ ネル ギ解放 率 を求 め るに. は,き 裂長 さbの 基 本 モ デ ル と き裂 長 さが微 小 量 b異 な る き裂 長 さb+△bの き裂 進 展 モ デル の2△ つの モデ ル に対 し,最 終 荷重状 態 に達 す るまで の仕. 連 続 面 の幅 の 依 存 性 検 討. 事 の 差(仕 事 変化 率)を 求 め る.従 って本 論 文 にお いて は,供 試 体 に予 め挿 入 され る初期 き裂 が供試 体. 前 述 の境 界値 問題 に対 し要 素 分割1を 用 い て解 析 を行 う.こ こで不連 続 面 の幅kを10‑3,10‑4,10‑5[cm]. 左 端 中央 か ら要 素32個. と変 化 させ,不 連続 面の 幅 の依 存 性 を比較 検討す る.. 基 本モ デル と要 素33個 を横 切 るき裂 長 さ4.125[km]. そ の結果,荷 重 一載 荷 点変 位 が図‑11の. の き裂 進展 モ デル 用 い て解析 を行 っ た.初期 き裂 は,. れ た.図‑11よ. よ うに得 ら. り明 らか で あ るが,ピ ー ク荷 重,ま. を横 切 る き裂 長 さ4[cm]の. たそ の後 の軟 化 挙動 や 最終 状 態 な どは各 不連 続 面 の. 要 素 内 を横 切 る不 連続 面 に予 め結合 応 力 が作 用 しな い状 態(損 傷変 数d=1の 状態)を 設 定す る こ とに よ. 幅 で一致 して い る.以 上 よ り,物 体 全体 の挙 動 を示. り表 現 してい る.. す荷 重 一載荷 点 変位 が 不連 続 面 の幅 に依 存 しない結. 前 述 と同様 の境 界値 問題 を考 え,要 素分 割 は荷重 一載 荷 点変位 曲線 が最 も滑 らか に得 られ た 要 素分割. 果 が得 られ た と言 え る. このkは,デ ル タ関数 を近似 す るた め に導 入 され. 3を 用 い る.J積. た単 な る数値 解析 上 のパ ラ メー タで あ り,マ イ ク ロ. 分 経 路 は図‑12に. ポー ラー な どの 一般 連続 体で使 用 され る物質 の特 性. 向 か って経路1〜4と した.. 分 とE積 分 で使 用 す る計4本 の積 示 され,供 試 体 の外側 か ら内側 に. 長 とは本 質的 に異 な る もので あ る事 に注 意 した い. 以後 の解 析 におい て は,こ れ らのkの 中でデル タ 関数 を最 も良 く近 似 で き るk=10‑5を. 図‑11不. 5.3解. 採 用す る.. 連 続 面 の幅 の比 較. 図‑12積. 分 経路. 図‑13は 各 モ デル の荷 重 一載 荷 点 変位 曲線 を示. 析 手 法 の精 度 検 討. して お り,こ こで初期 き裂 無 し とは5.1節 の解 析 と 5.1節 と5.2節 よ り,既 往 の研 究報 告 と同様 の結. 同 じもので あ る.初 期 き裂 を有 す る基 本 モデ ル やき. 果 が確認 で き,本 論 文 の数値 解 析 が理 論 を的確 に再. 裂 進展 モデ ル が低 い 耐荷 力 を示 しな が ら,初 期 き裂. 現 してい る こ とが確 か め られ た.. 無 しの 曲線 に漸 近 して い く傾 向が 見 られ る.基 本 モ. また,こ の解析 手 法 の よ うに,コ ン ク リー トや 岩. デ ル とき裂進 展 モデ ル が初期 き裂 無 し と初 めて一 致. 盤 な どのき裂,金 属の リュー ダス バ ン ド,そ して地. す る状 態,即 ち輔荷 点変 位 が約0.0152[mm]の. 盤 のせ ん 断帯や すべ り線 な ど工学 上極 めて有 意義 な. にお いてE積 分 値 とJ積 分 値 の比 較 を行 う.ま たそ. 実問題 へ適 用 す る こ とを 目的 と し,要 素 内部 に不 連. れ ぞれ のモデ ル に 同 じ載 荷 点変位 を与 える と,最 終. 続 面 を組 込 む 手 法 は い くつ か 提案 され てい るが,1. 状 態 で の荷 重 は一 致 してお り,そ して変形 や 不連続. 次元 の場 合の解 析 を除 き,そ の手法 の精度 を検 討 し. 面 の進 展状 況 も同 じで あ った.. ―360―. 状態.
(11) 図‑14は,初 期 き裂 無 しのモ デル にお け る不 連続 面 の進 展 状況 を示 して い る.4.1節 で述 べ られ て い る よ うに図 中の 点線 α(t)と実線b(t)は それ ぞ れ 結 合応 力 領域 先端 とき裂 先 端 を意 味 してお り,点 線 と 実 線 の間 の縦 線が 結合 応 力領 域 の長 さとな る.載 荷 点 変位 の増加 に伴 い 先 に結合 応 力領 域 先端 が進 展 を 開始 し,そ の後 を追 って き裂先 端 が進 展 して い る こ とが分 か る.ま た結 合応 力領 域 は,ほ ぼ 一定 の長 さ 図‑13各. を保 ちなが ら進展 して い る こ とも分 か る.. モデ ル の比 較. 15と図‑16は,き. 裂 長 さ4[cm]の 図‑ 初 期 き裂. を有 す る供試 体 におい て,載 荷 点 変位 の増加 に伴 う 各 積 分経 路 のJ積 分値 とE積 分値 の変化 を示 して い る.両 図 よ り,載荷 点変位 が前述 の約0.0152[mm] に近 づ くにつれ,理 論 解(数 値 解析 で入 力 され た破 壊 エ ネ ル ギGf)に 漸近 し,以 後一 定 の値 を保 って い る こ とが分 か る.こ れ は,各 経路 の左端 が き裂 を横 切 り,そ の経路 が結 合 応 力領 域 全 体 を囲 む とき,J 積分 値 とE積 分 値 が破 壊 エネ ル ギ に理論 的 に一 致す 図‑14不. るた めで あ る.載 荷 点変位 の増加 に に伴 い,J積. 連 続 面 の進 展状 況. 値 に は,ば らつ きが 見 られ るの に対 し,E積. 分. 分値は. 精度 良 く経 路独 立 性を保 ってい る こ とが分 か る.ま た,E積 分値 の方 がJ積 分値 に比べ て理 論 解 に 良 く 一 致 して い る こ とも分 か る. 以 上のJ積 分値 とE積 分値 の精度 並 び に経路 依 存 性 を 詳 細 に 検 討 す る た め,載 0.0152[mm]の. 荷 点 変位 が 約. 状 態 にお け るJ積 分値 とE積 分 値 の. 較 を行 い,図‑17に 示す.こ の図 よ り,E積 分 値 . の経路 独 立 性が十 分 に確 認 出来 る.ま たE積 分 値 と. 図‑ 15J積. 与 え られ た破 壊 エネ ル ギGfの 相対 誤 差 は約0.5%と. 分値 と載荷点変位の関係. 小 さ く,非 常 に精 度 良 く破 壊 エ ネル ギ即 ちエ ネル ギ 解 放 率 が求 め られ てい る.こ の事 か ら要素 内 に変位 不 連続 面 を持 つ 不連 続 面解 析 は非 常 に精度 の良 い も ので あ る事 が分 か る.ま たE積 分 値 に経路 独 立 性が あ る事 はそ の経 路 内 の力 のつ りあい 条件 が満 た され てい る こ とも示 す.一 方J積. 分 値は誤 差 が大 き く,. 経 路 独 立 性が失 われ てい る.こ の理 由 は,J積. 分公. 式(43)に は,ひ ず み エ ネル ギの項 が含 まれ,経 路上 の応 力 な い しひず み を計算 す る必 要 が あ る.従 って, 図‑16E積. 要 素辺 に積 分経 路 を設 定 した場 合 には,応 力,ひ ず 分 値 と載荷 点 変位 の 関係. み を計 算す るの に何 らか の 面積 補 止 の よ うな もの が 必 要 にな り,結 局J積 分値 の精度 が落 ちて しま う. 一 方E積 分 の方 は ,式(60)か ら分 か る よ うに,精 度 の 良 い節 点変位 と節 点力 の みで エネ ル ギ解 放 率が計 算 出来 るので,非 常 に精 度 の 良いエ ネル ギ解 放 率 が 得 られ る こ とに な る.ま た要 素 内 に経路 を設 定 して もそ の応 力,ひ ず み の精 度 が 良 くない こ とか ら当然 J積 分 の精度 は 良 くな らない.著 者 らは,こ の事 が, 強 不連 続 解析 の み な らず 仮想 ひ び 割れ モデ ル の解析. 図‑17J積. 精 度 の検証 にJ積 分 法 を上 手 く用 い る こ とが 出来 な かっ た要 因 と考 え る.. 分値 とE積 分 値 の比 較. ― 361―.
(12) 6.結. Vol.29, pp.1595-1638, 1990. 5) Simo, J. C., Oliver, J. and Armero, F.: An analysis of strong discontinuities induced by strain-softening in rate-independent inelastic solids, Comput. Mech., Vol.12, pp.277-296, 1993. 6) Oliver, J.: Modeling strong discontinuities in solid mechanics via strain softening constitutive equations. part 1 fundamentals and part 2 numerical simulation, Int. J. Numer. Methods Eng., Vol. 39, pp.3575-3600 and pp.3601-3623, 1996. 7) Larsson, R. and Runesson, K Discontinuous displacement approximation for capturing plastic localization, Int. J. Numer. Methods Eng., 36,. 論. 本 論文 で は,SimoやOliverら. に よっ て提 案 され. た変位 の不連続 面 を要 素 内部 に組込 ん だ強不 連続 有 限要 素解 析 を例 に取 り,ま ず既往 の研 究 報告 の確 認 を し,そ してJ積 分,E積. 分 の経 路独 立 積分 を用 い. たエ ネル ギ解 放 率精 度検 証 の観 点か ら,不 連 続 面解 析 手法 の精度 検討 を行 い,以 下 の知 見 を得 た. 1.物. 体 全 体 の挙 動 を示 す 荷 重 一載 荷 点 変 位 の要. 素分割 不 依存 性 が確 認 で き た. 2.物 体 全 体 の挙 動 を示 す 荷 重 一載 荷 点 変 位 が解 析 上 のパ ラメー タで あ る不連 続 面 の幅kに. 依. 存 しな い こ とが確 認 で きた. 3.本. pp.2087-2105, 1993. 8) Belytschko, T., Fish, J. and Engelmann, E. A finite element with embedded localization zone, Comput. Meths. Appl. Mech. Engrg., Vol.70,. 論 文 で 不連 続 面 中 に結 合 応 力 領 域 が あ る場 合 に適 用 可 能 な新 しく導 い たE積 分 の方 が,周 知 のJ積. 分 に比 べ 精 度 並び に経路 独 立 性に 関. して優 れ てい る こ とが分 か った. 4.E積. pp.59-89, 1988. 9) Sluys, L. J. and Berends, A.H. Discontinuous failure analysis for mode-I and mode-II localization problems, Int. J. Solid. Struc., Vol.35, pp.4257-4274, 1998. 10) Lotfi, H.R. and Shing, P.B. Embedded representation of fracture in concrete with mixed finite element, Int. J. Numer. Methods Eng., Vol. 38, pp.1307-1325, 1990. 11) Afifuddin, M., Wu, Z. and Machida, A. Special finite element with displacement. 分値 の結果 よ り,エ ネル ギ解 放 率及 び 力 の. つ りあい の意 味 にお いて,強 不連 続 面 に よ る有 限 要 素 解 析 手 法 の 精 度 が 非 常 に 良 い こ とが分 か った.こ の場 合,周 知 のJ積 分 法 で は上記 解 析 手 法 の 精 度 検 証 に は不 適 当 で あ る こ とが分 か った. E積 分 法 に よれ ば,折 れ 曲が り瞬 間時 のエ ネル ギ 解放 率 も経 路独 立積 分 で求 め る こ とが 出来 る ので, 今後,E積 分法 は不 連続 面 の折 れ 曲が り解析 の破 壊 規準 や 解析 精度 の検 証 に も有効 で あ り,そ の今 後 の 応用 が期 待 され る.. discontinuity. across. internal. コンクリ. interface,. ‑ト 工 学 年 次 論 文 報 告 集,Vol.16,No.2, pp.123‑128,1994 12) 呉 智 深, 町 田 篤 彦, 高 東 劭:一. 参考文献. 般 的 な 不連 続. 変 形 を 考 慮 した 混 合 型 有 限 要 素 解 析 法 の 開 発,土 木 学 会 論 文 集,No.598/I‑44,149‑159,1998.. 1) Hillerhorg,: Numerical methods to simulate softening and fracture of concrete, in Sih, G.C. and Tomaso, A.Di., (eds.), Fracture mechanics of concrete Structural Application and numerical calculation, pp.141-170, 1985. 2) Bazant, Z. P. and Oh, B. H. Crack band theory for fracture of concrete, Material and Structures, Vol. 16, No. 93, pp.155-177, 1983. 3) 011 Tomita, Y.:Simulations of plastic instabilities in solid mechanics, Applied Mechanics Review, Vo1.47, No.6, Partl,. 13) Eshelby, J.D.; The continuum theory of lattice defect, vol.III, pp.79-144, Academic press, New york, 1956. 14) Rice, J.R. A path-independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks, J.Appl. Mech., Vol.35, pp.376-386, 1968. 15) Rice, J. R. Fracture, Vol.II, Academic Press, pp.233-235.1968. 16) Yatomi, C. The energy release rate and the work done by the surface traction in quasi-static elastic crack growth, Int. J.Solid. Structure, Vol. 19, pp.183-187,1983.. pp.171-205,1994. 4) Simo, J.C. and Rifai, S. A class of mixed assumed strain method and the method of incompatible mode, Int. J. Numer. Methods Eng.,. (2000年4月21日. ―362―. 受 付).
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