韓?‑:=1‑‑;:‑}i･･ユレディ:･･･:ガ‑方程式の初期値間 切る考察
平成漫題額庶
藤m千恵子
修 士 論 文
非線形シュレディンガ一方程式の初期値問題 に対する考察
三重大学大学院教育学研究科
教科教育専攻 数学教育専修
No.205MO26
藤川 千恵子 2007年2月5日
目次
概要
1 序章
2 非線形シュレディンガ一方程式の初期値問題 2.1非線形シュレディンガ一方程式 ‥. ‥
2.2 線形シュレディンガ一方程式の解の評価式
2.3 時間局所解の一意存在
2.4 時間大域解の存在‥
2.5 時間大域解の非存在
3 非線形シュレディンガ一方程式の定在波解 3.1定在波解‥‥.‥‥‥‥.‥‥‥..‥‥.
3.2 変分法による定式化 ‥‥‥‥‥
3.3 極値問題‥ .‥‥‥‥‥.‥ .
3･4 定在波解の存在と安定性(1<p<1+4/nの場合) ...
3･5 定在波解の存在と不安定性(1+4/n<p<p*(n)の場合)
4 非線形関数 f(I,I)‑入Ix｢blzlp‑1z の場合 4.1非線形関数fにおけるb,pの仮定‥ ‥
4.2 時間局所解の一意存在 ‥.‥‥‥.
4.3 時間大域解の存在‥..‥‥.‥‥
4.4 時間大域解の非存在 ‥‥‥‥.‥
4.5 定在波解‥‥‥‥‥‥‥.‥.
4･6 定在波解の存在(1<p<1+(4‑2b)/nの場合).‥...‥.‥.‥..
4･7 定在波解の存在と不安定性(1+(4‑2b)/n<p< 1+(4‑2b)/(n‑2)の場合)
謝辞
参考文献
2
3
5 5 5 7 20 34 38 38 38 42 48 60 71
71 77 83 92 96 99 109
122
123
概要
非線形シュレディンガ一方程式iatu+△u ‑ I(u), I ∈ Rn, i ∈ (‑T,T)の初期値間題の 一意可解性,および定在波解の存在と,その安定性･不安定性を扱った.非線形関数がf(u) ‑ 叫Ip‑1u+plulq 1uの場合,いかなる条件のもとでこれらの議論が正当化されるかに関する文献は 豊富に存在し,詳しく研究されてきた.この論文の主結果は,非線形関数がf(I,u)
‑入Ix｢blulp‑1u の場合に,初期値間題の時間局所的な一意可解性を保証するためのb, pの条件を得たことである.
さらに,その条件のもとで, I(u)‑入[ulp 1u+plulq 1uの場合と同様の議論がどこまで可能であ るのかを考察した.
1 序章
この論文は,非線形シュレディンガ一方程式
場+△u‑I(u),x∈Rn,吋‑T,T)
の初期値問題に関してである･非線形関数がf(u)‑入Iulp‑1u+plulq 1uの場合,初期値間題の一意 可解性,および定在波解の存在と,その安定性･不安定性ついては,すでに明らかにされてきたこと
が多くある･第2章と第3章ではそれらのことを堤[4]をもとにしてまとめている.省略されている 部分を詳しく記述することを心がけた･さらに,第4章では非線形関数がf(I,u)
‑入Ix｢blulp‑1u
の場合について新たな考察を加えた.
第2章では,非線形関数Jに次のような仮定をおいて初期値間題の一意可解性を扱っている:
(fl) ′はCからC‑の関数で, ∫(0)‑0であり, Cを実部と虚部に分けてR2とみ なしたときに, J∈Cl(R2;R2)となる.
(f2)げ(zl)‑I(z2)‡≦K(1+lzll+lz21)p‑1lzl‑Z2l, zl,Z2∈C.
ただし, Kとpはzl,Z2には依存しない正定数で, 1<p<p*(n)を満たす.ここで,
(∞ (n‑1,2), p*(n)‑
(n≧3).
(f3) β∈Rに対してJ(β)は実数値をとり,
f(eiOz)‑eiOf(I), z∈C, 0∈R.
仮定(fl), (f2)は,初期値間題の時間局所的な一意可解性を数学的に保証する条件である.仮定 (f3)は,方程式の解が物理的な保存則(たとえばエネルギー保存)などを満たすことを保証するも のであり,時間大域解の存在を調べる際に重要となる.
第3章では,非線形関数をf(u)‑‑lulp11uとして,定在波解の存在と,その安定性･不安定 性について調べている.定在波解は,非線形シュレディンガ一方程式に関連した作用汎関数に対 する変分間題の解として定式化され, n≧2, 1<p<p*(n)のときにその存在が保証される.そ
の安定性･不安定性は,定在波解の変分法的特徴付けから導かれ, n≧2, 1 <p< 1+4/nのと
きに安定, n≧2, 1+4/n<p<p*(n)のときに不安定となる.なお,安定性の証明においては, Kwong[9]による解の一意性を用いることにより,明確な説明ができた.
第4章は,この論文の主結果を含む.非線形関数がf(I,u) ‑入Ix｢b[ulp 1uの場合を考え,仮定
4 4‑2b
n≧3,0<b<‑,1+b≦p<1+
n n‑2
のもとで,初期値間題の時間局所的な一意可解性が保証されることを明らかにした.定理4.5で 時間局所解の一意存在,定理4.8で時間大域解の存在を証明している.さらに,非線形関数が
I(x,u)ニー[x｢blulp 1uの場合に,定在波解の安定性を除けば,第3章と同様の議論ができた.す
なわち,定理4･17と定理4･18でそれぞれn≧3, 0<b<2, 1<p<1+(4‑2b)/n,および
n≧ 3, 0< b< 2, 1+(4‑2b)/n<p< 1+(4‑2b)/(n‑2)の場合に,定在波解の存在を証明してい
る･また,定理4122では, n≧3, 0<b<4/n, 1+(4‑2b)/n<p<1+(4‑2b)/(n‑2)のとき,そ の解が不安定であることを示した･一方, LJ > 0に対する楕円型方程式‑△w+LJW‑Ix｢blw[p‑1w ‑
0 (w≠0)の非負解が,原点を含んだRn全体で正値となることを示すことができないために,第3 章で用いたKwong【9]による解の一意性に従えず,定在波解の安定性の証明は今後の課題となった.
2 非線形シュレディンガ一方程式の初期値間題
2.1 非線形シュレディンガー方程式
次のような非線形シュレディンガ一方程式を考える:
濃･Au‑f(u),x∈Rn, tE(‑T,T),
u(I,0)‑uo(I), x∈Rn.
未知関数uはRn x (‑T,T)からC‑の関数で,非線形関数fについては仮定(fl)‑(f3)をおく.
(fl),(f2),(f3)を満たす非線形関数Jの例をあげれば,
f(I)‑入Izlp 1z+plzlq 1z,A,FL∈R, 1<q<p<p*(n)
となる.
本章の目標は,仮定(fl), (f2)のもと,初期値問題(2.1ト(2.2)の時間局所解が一意的に存在す ることを示すことである･さらに,非線形関数Jが仮定(f3)を満たすときに,その解がある2つ の保存量をもつことを示し,時間大域解の存在･非存在を考える.
2.2 線形シュレディンガ一方程式の解の評価式 線形シュレディンガ一方程式の初期値問題
濃･Au‑0,x∈Rn, tER,
u(I,0)‑uo(I), x∈Rn の解u(I,i)は基本解を用いて,次のように表せる:
u(x,i)‑ (47Tit)‑n/2/RneXp ilX‑y4t )uo(y)dy. (2.5)
ここで,初期値uoに対して,時刻iでの解関数u(I,i)を与える写像をU(i)とする.すなわち, [U(i)uo](I)‑ u(I,i).
解作用素u(i)の性質についてまとめる.
命題2･1･ (U(i);i∈R)は,次の性質を満たす‥
U(0)‑I, U(i+a)‑U(i)U(a), i, s∈R,
(U(i))*‑U(‑i), t∈R,
u(i)v→v inL2(Rn) (tう0), v∈L2(Rn), llU(i)vllL2(Rn)‑ llvllL2(Rn),t∈R, v∈L2(Rn)･
(2.6) (2.7) (2.8) (2.9)
新しい関数空間を定義し,解作用素u(i)が満たす評価式をまとめておく.これらの評価式は, 初期値間題(2.1)‑(2.2)の可解性を調べる際に重要な役割を果たす.
定義2.2. Xをバナッハ空間とし, ZをRの区間とする.
(i) Co(I;X)‑(f∈C(I;X) ; suppfがZにおけるコンパクト集合)とする･ f∈Co(I;X)に対
して,
Hf‖Lp'I;X'‑(/f･f(i,..Pxdi)1′p71 ≦p< ‑
とおく･このとき,空間Co(I;X)は‖･=Lp(I;X)をノルムとし,ノルム空間となる･このノルム空
間を完備化して得られる空間を, LP(I;X)とする.
(ii)関数f‥Z→Xは,任意のF∈X*に対して,関数(F,I(i)):IぅCが可測関数となるとき,
弱可測であるという･さらに, Xが可分であるとき,弱可測関数fに対して, llffJL‑(I;X)‑ eSSSuP llf(i)llx
tEI
とおき,
L∞(I;X) ‑ (I;関数f :ZぅXは弱可則かつIlfIJL‑(I;X)< ∞)
とする･このとき, L∞(I;X)はfl･llL‑(I;X)をノルムとして,バナッハ空間となる･
補題2･3 (LP‑Lq評価式).
n≧1, 1≦q̲'p≦∞,土+土=1
P q
に対して,
l[U(i)uollLp(R‑)≦(4州) (昔一言)lluo‖Lq(Rn),i≠0･
補題2.4 (ストリッカーツの評価式).
2≦p<p･(n)･1,
r(芸一芸)‑2
に対して,
HU(･)uollLr(a;Lp(R‑))≦ CIIuoIIL2(Rn)･
ただし, Cはuoには依存しない正定数である.
補題2.5. ∫をRの任意の開区間とする.
;I;‑1,
p!･p!‑1,
2≦p<p*(n)+1, r (;‑;)‑2
に対して,
.∫
U(‑a)I(s)ds
L2(Rn)
≦CllfJILr′(I;Lp,(a‑))･
ただし, Cはfと∫には依存しない正定数で, n‑1のときp‑∞でも上の不等式は成立する.
系2･6･ ZはRの任意の開区間, fはその閉包で, to∈fとする.
三.吉‑1,
p!･pi‑1,
2≦p<p･(n,･1,
r(芸一芸)‑2
に対して,
∫U(i‑ a)I(a)dsL00(I;L2(Rn))
≦ CIlffJLr′(I;Lp′(a‑))･
ただし, Cはf, I, ioには依存しない正定数で, n‑1のときp=∞でも上の不等式は成立する.
補題2･7･ IはRの任意の開区間, fはその閉包で, io∈7とする.
2≦p<p･(n)･1,
r(芸一芸)‑2
に対して,
∫U(i‑ a)f(a)dsLr(I;LP(Rn))
≦C‖fIILl(I;L2(a‑))･
ただし, Cはf, I, toには依存しない正定数である.
命題2･8 (ソボレフの埋蔵定理).
p!‑;(1‑a)I(;‑;)a,
2≦p≦∞, 0<a<1 に対して,
flvHLp(Rn)≦Cflvll訪(aRn)lJ∇vJIi2(Rn),V ∈Hl(Rn)･
ただし, Cはvには依存しない正定数である.
2.3 時間局所解の一意存在
非線形関数Jが仮定(fl)と(f2)を満たすとき,バナッハ空間の縮小写像の原理に帰着させるこ とにより,初期値間題(2.1ト(2.2)の時間局所解の一意存在が示される.
定理2.9. (縮小写像の原理)
(X,d)を完備距離空間とする.写像T:XぅXが,
]k∈(0,1); d(Tx,Ty)≦kd(I,y), I,y∈X
を満たすとき, TはXにおいてただ1つの不動点xo,すなわち, Txo=xoとなる点をもつ.
初期値問題(2･1ト(2･2)の時間局所解の一意存在定理を述べるために,記号を定義する.バナッ
ハ空間XとRの開区間Jに対して,
cb(I;X, ‑ (〟∈ C(I;X,; st:p･･v(i,
cb‑(I;X, ‑ (‑C‑(I;X,;差si苫
∈ C(I;X); supIJv(i)llx< ∞
x<j,
m∈N
とおく.
定理2･10･
n≧1とし,仮定(fl)と(f2)が満たされているとする･任意のuo∈Hl(Rn)に対し て,ある正定数Tが存在し,時間区間(‑T, T)上で次を満たす(2.1ト(2.2)の解uが一意的に存
在する:
u ∈ Cb((‑T, T);Hl(Rn)) nCbl((‑T, T);Hll(Rn)),
∇u ∈Lr((‑T, T);LP+1(Rn)).
ただし, pは仮定(f2)の中で与えられたもので,,は
r(芸‑PTL)‑2
を満たすものとし,正定数Tは,仮定(f2)の中に現れる定数K, p,
nとIFuorfHl(Rn)にだけ依存
して決まる.
証明･関数p∈c∞([o,∞))を
p(s)‑ I:(β≧2),(0≦β≦1)
とする･非線形関数Jを次のように分解する:
f(I)‑ fl(I)+f2(I), fl(I)‑ P(lzf)I(I), f2(I)‑ (1
‑p(lzl))I(I).
このとき,仮定(fl),(f2)より,
fl(0)‑f2(0)‑0, f1,f2ECl(R2;R2) であり,ある正定数Kl,K2に対して,
lfl(zl)‑fl(z2)l≦Kl(lzll+ lz21)p‑llzl‑Z2l, lf2(zl)‑f2(z2)I≦K2lzl ‑Z2F
が成立する.
ここで, ZT‑(‑T,T)とおく･ (2.9)と補題2.4より,
lIU(･)uo[FL‑(IT;L2(Rn))‑ eSSSuP llU(･)uoHL2(Rn)‑ Huoll≡ rll,
t∈ZT
IF∇U(I)uorlL‑(IT;L2(Rn))‑ eSSSuP llU(･)∇uollL2(Rn)‑ ll∇uofFL2(Rn)≡り2,
l∈IT
II∇U(･)uollLr(IT;LP･1(Rn))‑ IrU(･)∇uo=Lr(IT;LP･1(R‑))≦CII∇uoIJL2(Rn)≡り3･
ll‑max(rll, 112, r73)とおき,距離空間(XT,d)を次のように定義する:
xT ‑ (v;V ∈L∞(ZT;Hl(Rn)), ∇v ∈ Lr(ZT;LP+1(Rn)), l(v‖L‑(IT;L2(Rn))≦2rl,
ll∇vIIL‑(IT;L2(Rn))≦2rl, II∇vIILr(IT;LP･1(R‑))≦2r7),
d(v,w)‑ llv‑wllL‑(JT;L2(R‑))+ llv‑wHLr(ZT;Lp･1(R‑)),V,W ∈XT･ (2･14)
ここで,
yT ‑ L∞(ZT;L2(Rn))n Lr(ZT :LP+1(Rn))
とおくと, L∞(ZT;L2(Rn)),Lr(ZT;LP+1(Rn))の完備性により,YTは距離関数dに関して完備距 離空間となる.さらに, XTはYTの閉部分集合である.なぜならば, Vv∈XTとすると, v∈
L∞(ZT;L2(Rn))は問題ない. v ∈ Lr(ZT;LP+1(Rn))については, pの仮定からソボレフの埋蔵定 理により,
lLvllLp･1(R‑)≦CIIvll訪(aRn)ll∇vll呈2(R‑)≦CllvHHl(R‑)≦Cり
が成り立っから,
llvLILr(IT;Lp.1(Rn))‑ IIIIvlrLp･1(Rn)llLr(IT)≦ lICnllLr(IT)≦C岬1/r
したがって, XTはYTの部分集合であることがわかる.次にXTがYTの閉部分集合であること
を示す.
(vm)⊂XT, V∈YT; d(vm,v)ー0 (mう∞)
とすると,まず
IIvm‑VHL‑(IT;L2(Rn))→0 (m→∞)
より,
lFvllL‑(∫T;L2)‑ 1im llvmllL‑(IT;L2(Rn))≦2り･
･TT7.う∞
次に, (∇vm)はL∞(ZT;L2(Rn)) ‑ (Ll(zT:L2))*の有界点列であるから,
](∇vmj)⊂ (∇vm), ]w ∈L∞(IT;L2(Rn)); ∇vmj ‑ w *Weakly inL∞(み;L2(Rn)).
さらに, (∇vmj)はLr(ZT;LP+1(Rn))の有界点列であるから,
](∇vmj′)⊂ (∇vmj),]a ∈Lr(ZT;LP'1(Rn)); ∇vmj,一成 weakly in Lr(ZT;LP'l(Rn)).
ところで, Ll(zT;L2(Rn)),Lr'(ZT;L(p'1)/p(Rn))(ただし, 1/r+1/rl‑ 1)をともに含む空間と してCou(ZTX Rn)を考えれば, ∀g∈ cocx3(ITX Rn)に対して,
(g,∇vmj′)→ (g,W)かつ(g,∇vmj′ト→(g,ib)
であるから,極限の一意性より
w‑a inD'(ZTXRn)
となる.一方,超関数として,
(g,∇vmj,)ニー(∇g,Vmj′)‑
‑(∇g,V)‑ (g,∇v)
であるから,極限の一意性により
w‑∇v inD'(ZTXRn).
このことより,列(γm)は次を満たすことが結論される:
∇vm ‑∇v *weakly inL∞(ZT;L2(Rn)),
∇vm →∇v weakly in Lr(IT;LP+1(Rn)).
したがって,
Il∇vflL‑(∫T;L2(Rn))≦1iminfH∇vmll炉(∫T;L2(Rn))≦2り,
mう(X)
ll∇vIILr(IT;LP･1(Rn))≦1iminf ll∇vm11L‑(IT;Lp･1(a‑))≦2り･
m l oo
ゆえに, v∈XTとなり, XTの集積点はすべてXTに属することになるので, XTがYTの閉部分
集合であることが示された･以上より(XT,d)は完備距離空間となる.
初期値間題(2･1ト(2.2)をデュアメルの原理を使って書き直すと, u(i)‑U(i)uo‑i U(i‑a)I(u(s))ds, t∈ (‑T,T)
となる.このことに注意して,いま,非線形写像Ⅳを
･･I.'I
N[v](i)‑ U(i)uo‑i U(i‑a)I(v(a))ds, v∈XT
と定める.
以下,次の2つのステップに分けて証明する.
(ステップ1)十分小さなT>0に対して,非線形写像NはXTからXT‑の縮小写像となるこ とを示す.
(ステップ2) (2･10)と(2･11)を満たす初期値間題(2.1ト(2.2)の時間局所解が一意的であること
を示す.
(ステップ1)はじめに,十分小さなT>0に対して,非線形写像NはXTからXTの中‑の写 像となることを示す.
まず･ v∈xTに対して, ∇N[v]のL2(Rn)ノルムを評価する. (2.9),補題2.4と系2.6より, lI∇N[v](i)lfL2(Rn)
̲< lJ∇U(i)uoIFL2(Rn)
Lt .(∫
U(i‑ a)∇[fl(v(s))]ds U(i‑ a)∇[f2(v(a))]ds
L2(Rn)
L2(Rn)
≦ ll∇uoflL2(Rn)
+ CIr∇[fl(v)川Lr,(IT;L'p･1'′p(Rn))
.[
IrU(i‑ s)∇[f2(v(a))]HL2(Rn)ds
≦If∇uoIIL2
+ CIFV[fl(v)]lrLr,(IT;L(p･1''p(Rn))
j,'(lf∇[f2(v(s))]llL2(Rn)ds , i∈IT, V∈XT･ (2.15)
ただし･ r′は1/r+1/r'‑1を満たす･ (2.12)と(2.13)より, l∇[fl(v)]l≦CIvrp 1l∇vl l∇[f2(v)]l≦CI∇vl
が成り立っている･たとえば(2.16)については,次のように説明される.
fl ∈ Cl(R2,R2)であるから, axj[fl(v)]tj=, fl(v)のRe, ImをそれぞれvのRe, Imで微分し,
続いてxjで微分して得られる.
ax, [fl(v)]‑ axj [Refl(v)]+ iaxj [Imfl(v)],
axj [Refl(v)]‑ eRev[Refl(v)]axjRe v + almv[Refl(v)]axjlmv,
axj [Imfl(v)]‑ aRev[Imfl(v)]axjRe v +包mv[Imfl (v)]axjlmv･
よって,
Iaxj[fl(v)]J≦ laxj[Refl(v)]I+ laxj[Imfl(v)]I
≦l∂Rev[Refl(v)]‖axjRevI+ 10Imv[Refl(v)]Ifaxjlmvl
+ IaRev[Imfl(v)]llax,RevJ+ [almv[Imfl(v)]llaxjlmvl･
ここで(2.12)より,
lRefl(zl)‑ Ref1(z2)J
lzl‑Z2[ ≦Kl(lzll+ lz21)p 1 であるから,絶対値が十分小さいh(h∈R)に対して,
lRefl(v+ h)‑ Refl(v)l
I(v+h)‑vl ≦ c(lv+hl+lvl)pll ≦ clvlpll f1∈Clにより, hぅ0のとき左辺の存在は保証されるから,
raRev[Refl(v)]F≦CJvfp‑1
を得る.同様にして,
lalmv[Refl(v)]I,10Rev[Imfl(v)]J,lalmv[Imfl(v)]I≦CIvlpll
また,
IaxjRev[,lax]Imvl≦l∂xjVJ≦l∇vF
であるから, lax,･[fl(v)]l≦CJvlp‑lr∇叫となり,l∇[fl(v)]l≦CIvJp‑1l∇vlを得る.
したがって, (2･16)により(2.15)の右辺第2項は,
llV[fl(v)]‖Lr,(IT;L(p.1,′p(氏‑))≦Clllvrp‑1∇vIILr′(IT;L'p'1'′p(Rn))
‑ cJllIIvlpllvvIIL(p･1,,p(Rn)llLr,(IT)
条件(p‑1)/(p+1)+1/(p+1)
‑p/(p+1)のもとで‑ルダーの不等式を用いて
‑ ≦cIHIvHpL=Il(Rn)Il∇vllLP･1(Rn)llLr,(IT)
ソボレフの埋蔵定理より, llvrlLP･1(R‑)≦CIIvll訪(aRn)llvIF呈2(Rn)≦CIJvllHl(Rn) が成り立っから
‑ ･
≦c‖llvJIpH11‡Rn)lr∇vffLP･l(Rn)lfLr,(IT)
≦cJIvllpL‑‑1(IT;Hl(a‑))ll∇vIILr′(ZT;LP+1(Rn))･
さらに,時間変数tについて,条件α+1/r‑1/r'のもとで‑ルダーの不等式を用いれば, ll∇vlfLr′(IT;Lp･1(Rn))‑ Hl･ lI∇vllLp･1(氏‑)llLr(IT)
≦lrlJILl,a(IT)llII∇vllLp･1(Rn)llLr,(IT)
≦CTαll∇vllLr(ZT;LP･1(氏‑))･
ただし,
α= (n+2)‑(n‑2)p 2(p+1)
である.よって,
ll∇[fl(v)].lLr,(IT;L'p･1'/p(Rn))≦CTαllvffpL‑i(tT;Hl(Rn))[l∇vHLr(IT;LP･1(Rn))･
また, (2･17)により(2.15)の右辺第3項は,
.J̀
ll∇[f2(v(a))]lIL2(Rn)ds ≦C
./o'(
ll∇v(s)llL2(Rn)ds
≦CTll∇vllL‑(ZT;L2(Rn))I
以上より,
11∇N[v]llL‑(IT;L2(Rn))≦ll∇uoIIL2(Rn)
+ cTαllvllpLIJ(tT;Hl(Rn))ll∇vllLr(IT;LP･1(Rn))
+ CTIl∇vllL‑(∫T;L2(Rn))
≦II∇uoIIL2(Rn)+C(Tαりp 1+T)り, V ∈XT･
同様にして,
‖N[v]rlL‑(IT;L2(Rn))≦lluoIIL2(Rn)+ CTαllvIIpL‑‑1(IT;Hl(Rn))llvrlLr(IT;Lp+1(Rn))
+ CT[lvHL‑(IT;L2(a‑))
≦lluoIIL2(Rn)+ CTαりp 1Tl/rり+ CTり
≦lluo‖L2(Rn)+C(Tα+1/mp‑1 +T)〟, V ∈XT･
(2.18)
(2.19) ここで,仮定(f2)におけるpについての条件より, α>0であることに注意すると, T>0を十 分小さくとることにより
c(TαnP‑1+T), C(Ta+1/rりp 1+T) ≦1 (2.20)
とできる･このとき, (2.18)と(2.19)より,v∈XTに対して,
lIN[v]llL‑(IT;L2(Rn))≦2T7,
ll∇N[v]llL‑(IT;L2(Rn))≦2111
次に, v∈XTに対して, ∇N[v]のLr(ZT;LP+1(Rn))ノルムを評価する.補題2.4より, ll∇N[v]HLr(IT;LP･1(Rn))≦JIU(i)∇uoIILr(IT;LP･1(Rn))
./..
I
./oL
I
U(i‑ s)∇[fl(v(a))]ds U(i‑ s)V[f2(v(a))]ds
≦Cll∇uollL2(Rn)
≦17+
.J̀Lt .J′
./:
U(i‑ a)∇[fl(v(a))]ds U(i‑ s)V[f2(v(a))]ds U(i‑ a)∇[fl(v(s))]ds U(i‑ s)∇[f2(v(a))]ds
Lr(IT;Lp+1(Rn))
Lr(IT;Lp+1 (Rn))
Lr(ZT;LP+1(Rn))
Lr (IT;LP+1 (Rn))
Lr(IT;Lp+1(Rn))
Lr(IT;LP+1 (Rn))
ここで,右辺の第2項と第3項をそれぞれA, βと書くことにする.補題2.3と(2.16)より, llU(i‑ a)∇[fl(v(s))]lJLp･1(Rn)ds
Lr(IT)
Ltlt‑ sl‑'%‑ih'I.∇[fl(v(a))]･fL(p･1,,p(Rn,ds
Lr(tT)
Llli‑ s←̀昔‑i5'IIlv(s,rp‑1l∇v(s)H･L(p･1,/p(Rn,ds
空間変数xについて,条件(p‑1)/(p+1)+1/(p+1) ‑p/(p+1)のもとで‑ルダーの不等式を
用いて
･ ‑ ≦
cllLllt‑ sr(昔一柳(s)IJpL;ll(a‑)H∇v(a,[FLP･l(Rn,ds
次に,時間変数tについて,条件
三‑(芸‑PTL)+n+4‑(n14)p4(p+ 1)
のもとでハ‑ディ･リトルウッド･ソボレフの不等式を用いて
‑ ≦ cI川vllpL;土1(Rn)Il∇vllLP･1(Rn)
ソボレフの埋蔵定理より
･ I ･
≦cllIIvIIpH‑11Il∇vlrLp'1(氏‑)Ff
≦cllvllpL‑‑1(IT;Hl(Rn))ll∇vlf さらに,時間変数tについて,条件
1 α+‑‑
r
のもとで‑ルダーの不等式を用いると
4(p+1) Ln+4‑(n‑4)p (IT)
⊆≧!覇E匹■■
Ln+4‑(n14)p (zT)
‑1
4(p+1)
L叫‑4)p (tT;LP+1(Rn))
n+4‑(n‑4)p 4(p+1)
II∇vIJ≠
Ln+41(n‑4)p (IT;LP+i(Rn))
‑ fll･ Ll∇vllLP'1(Rn)ll止｣
Ln+4‑(n14)p (zT)
≦HIIILl,a(IT)llll∇vlrLP･1(Rn)llLr(IT)
≦CTαll∇vflLr(IT;LP･1(Rn))
となるから,
A ≦CTαIJvllpLIJ(IT;Hl(Rn))ll∇vllLr(IT;LP･1(Rn)).
また,補題2･7と(2.17)より,
B ≦CIl∇[f2(v)]‖Ll(IT;L2(a‑))≦CIl∇vllLl(IT;L2(Rn))≦CTH∇v[lL‑(如2(a‑))
となる.以上より,
H∇N[v]llLr(IT;Lp･1(Rn))≦n + CTα[lvIIpL‑i(IT;Hl(Rn))ll∇vHLr(IT;Lp･1(Rn))
+ CTIl∇vIJL‑(IT;L2(Rn))
≦11+C(Tαr7P 1+T)r7, V ∈XT. (2･23)
したがって,同様にT>0を十分小さくとれば(2.23)より
Fl∇N[v]llLr(IT;LP･1(Rn))≦2rl, V ∈XT･ (2･24)
以上, (2.21),(2.22),(2,24)を合わせると,十分小さなT>0に対して,非線形写像NはXT
からXTの中‑の写像となっていることが示せた･また, (2.20)よりTの選び方はC, α,小こ依
るからn, p, lluoIIHl(Rn)Eこしか依存しないこともわかる･
続いて,非線形写像Nが十分小さなT>0に対して縮小写像となる,すなわち
]k∈ (0,1);d(N[u],N[v])≦kd(u,v), u,v ∈XT
を満たすことを示す. u,v∈xTに対して,
d(N[u],N[v])‑ llN[u]‑ N[v]llL‑(IT;L2(Rn))+ llN[u]‑ N[v]l[Lr(IT;Lp･1(Rn))･ (2･25) (2.25)の右辺第1項を評価する.
N[u](i)‑ N[v](i)‑ ‑i
であるから,まず,補題2.4と系2.6より IIN[u](i)‑ N[v](i)llL2(Rn)≦
U(i‑ s)[f(u(a))‑ I(v(s))]ds
U(i‑ a)[fl(u(a))‑ fl(v(s))]ds
j,'t
L2(Rn)
U(i‑ s)[f2(u(s))‑ f2(v(a))]ds
≦CIlfl(u)‑ fl(v)IILr,(IT;L(p･1)/p(氏‑))
+C
./.''
LIf2(u(a))‑ f2(v(a))LIL2(Rn)ds
ただし, 1/㍗+1/γ′‑1である･ (2.12)と(2.13)より
‑ ≦C=(Iul+ lv[)p 1Iu‑ vlllLr,(IT;L'p'1''p(Rn))
.[
llu‑ vIIL2(Rn)ds
L2(Rn)
右辺第1項に条件(pll)/(p+1)+1/(p+1) ‑p/(p+1)のもとで‑ルダーの不等式を用いて
･･･ ≦cIFllluJ+ lv("pL;il(Rn)llu‑ v[lLp･1(Rn)IILr,(IT)
+ CTllu‑ vllL‑(IT;L2(Rn))
≦cll(llullpL;il(Rn)+ HvllpL;ll(Rn))llu‑ vllLP･1(Rn)lIL,,(IT)
+ CTIIu‑ VIIL‑(IT;L2(Rn))
ソボレフの埋蔵定理より
･‑
≦cll(ffullpH‑l‡Rn)+ JIvllpH7壬Rn))Hu‑ vllLp･1(Rn)IJLr,(IT)
+ CTflu ‑ vlfL‑(ZT;L2(Rn))
≦c (llullpLIJ(IT;Hl(Rn,).rlvIIpL‑‑1(IT;Hl(Rn,,)llu‑ vHLr,(IT;Lp.1(Rn),
+ CTllu ‑ vflL‑(∫T;L2(Rn))
さらに,時間変数tについて,条件α+1/r‑1/r'のもとで‑ルダーの不等式を用いて
･ ･ ･ ≦cTα (IluHpLIJ(IT;Hl(Rn,,･ llvIIp{‑1(IT;Hl(Rn),)llu‑ vllLr'IT;Lp･1(Rn')
+ CT‖u‑ VIIL‑(ZT;L2(Rn))･
したがって,
FIN[u]‑N[v]IfL‑(IT;L2(Rn))
≦cTα (fluJIpLIJ(IT;Hl(Rn,,+ llvflpLIJ(IT;Hl(Rn),)llu‑ vllLr'IT;LP･1'Rn''
+ CT[lu‑ VHL‑(IT;L2(Rn))･
次に, (2.25)の右辺第2項を評価する.
1lN[u]‑N[v]llLr(tT;Lp･1(Rn))
U(i‑ s)[fl(u(a))‑ fl(v(s))]ds U(i‑ s)[f2(u(a))‑ f2(v(a))]ds
Lr(ZT;LP+1 (Rn))
Lr(IT;Lp+1(Rn))
(2.26)
ここで,右辺の第2項と第3項をそれぞれA′,β′と書くことにする.補題2.3と(2.12)より,
A/= Ltlfu(i‑ a,[fl(u(a,,‑ fl(v(s,,]fILp.1(Rn)ds
Lr(IT)
Ltli‑ s←̀昔一i5'[J[fl(u(a,,‑ fl(v(a,,･fFL(p.1,,p(Rn,ds
Ltli‑ sl‑'%‑ih'JI(.ulI ,v.,p‑1･u‑ v･llL(p･l,/p(Rn,ds
Lr(IT)
空間変数xについて,条件(p‑1)/(p+1)+1/(p+1)
‑p/(p+1)のもとで‑ルダーの不等式を
用いて
･‑≦C Ltlt‑ s←(昔‑ih'lllulI IvlllpL;il(R‑,‖u‑ V‖Lp･1(Rn)ds
Lr (ZT)
Ltll‑ s←̀昔‑ih'(.LuJ･pL;il(Rn,.=ul'pL;il(Rn,)‖‑‖Lp･1(Rn)ds
次に,時間変数tについて,条件
三‑(芸‑PTL).n+41(n‑4)p4(p+ 1)
のもとで‑‑ディ･リトルウッド･ソボレフの不等式を用いて
‑ ･
≦cll(HullpLfil(Rn)+ IrvrlpL;ヱ1'Rn))IIu‑ vIILp･1'Rn'
ソボレフの埋蔵定理より
‑1
圃■
Ln+4‑(n‑4)p (IT)
'''≦ cll(HullpH‑1tRn,'‖v[lpH‑1;Rn,)‖u‑ Vl[Lp･1(Rn,E[L劫(IT)
≦c (FlullpLIJ(IT;Hl(Rn,).‖vFIpL‑‑1(IT;Hl'Rn)')‖u‑ V‖L諾若布(IT;Lp.1(Rn))
さらに,時間変数iについて,条件
1 α+‑
r
n+41(n‑4)p 4(p+1)
のもとで‑ルダーの不等式を用いれば,
A′≦CTα (llullpL‑i(IT;Hl(Rn),.llvIFpL‑i(IT;Hl(Rn,,)llu‑ vlfLr(IT;Lp･1(Rn'' となる･また,補題2.7, (2.13),‑ルダーの不等式より,
B'≦ CJIf2(u)‑ f2(v)IILl(IT;L2(Rn))≦Cllu‑ vlfLl(IT;L2(Rn))≦CTllu‑ VLIL‑(ZT;L2(Rn))･
したがって,
HN[uトN[v] HLr(IT;LP･1(Rn))
≦cTα (llullpL‑i(IT;Hl(Rn)).llvHpL‑‑1(IT;Hl(Rn,))llu‑ vIJLr'IT;Lp.1(Rn''
+ CTllu‑ vllL‑(IT;L2(Rn))･ (2.27)
以上, (2.26)と(2.27)から,
d(N[u],N[v])≦ CTα (IIullpL‑i(IT;Hl(Rn))･ IIvI[pL‑‑1(IT;Hl(R‑,,)llu‑ vIILr'IT;LP･1(Rn))
+ CTllu‑ vllL‑(∫T;L2(氏‑))
≦cTαりp 11Eu‑ vIILr(IT;LP.1(a‑))+ CTllu‑ vl[L‑(IT;L2(Rn))･
T>0を十分小さくとれば,
]k∈ (0,1);CTαqP‑1, cT≦k
とできるから,
]k∈ (0,1); d(N[u],N[v])≦kd(u,v), u,v∈XT
が成り立っ.
以上のことから, NはXTからXTの中‑の縮小写像であり,縮小写像の原理より初期値間題 (2.1ト(2.2)の時間局所解の存在が示せた.
さらに,
./,l
(
u(i‑ s)I(a)ds ∈ C(ZT;L2(Rn)) が成り立っことより,この解は(2.10)を満たす.
(ステップ2)ここでは, (2･10)‑(2.ll)のクラスに属する初期値間題(2.1)‑(2.2)の局所解の一意
性を示す.
同じ初期値uoをもち(2･10)‑(2･11)を満たす(2.1)‑(2.2)の2つの解をu,vとする.w ‑u‑v
とおくと, Ⅷは
･Lt
w(i)‑u(i)‑v(i) ‑‑i U(i‑ s)[f(u(a))‑ I(v(s))]ds を満たし,ステップ1におけるd(N[u],N[v])と同様の計算により,次を得る‥
0<Tl<TなるT'に対して,
IIwllL‑(ZT,;L2(Rn))+ llw‖Lr(IT′;Lp･1(Rn))
≦cT/α (llullpL‑i(IT,;Hl(Rn))･ IIvI[pL‑‑1(IT,;Hl(Rn,,)llwllLr'IT,;Lp･1'Rn''
+ CT'llwllLWT′;L2(Rn))
≦CT'αnP 11lwllLr(IT′;Lp.1(Rn))+ CT'llwIIL‑(JT,;L2(Rn))･
よって, T'>0を十分小さくとれば,
llwHL‑(IT′;L2(Rn))+ 1lwllLr(IT,;LP･1(Rn))≦0
となり,これは,
w(i)‑o, t∈(‑T',T')
(2.28)
を意味している.したがって,
u(i)‑v(i), t∈(‑Tl,T/) を得る.
(2･28)の右辺の定数CはT/によらず,また仮定より,
u,v E Cb(IT;Hl(Rn))
であることに注意すれば,
ul(x,i)‑u(x,i+T'), vl(I,i)‑V(I,i+T')
となるul,Vlを考えると,これらは同じ初期値ul(I,0) ‑u(x,T'), vl(I,0)‑v(x,T′)をもつ方 程式(2.1)の解となる.ふたたび, wl‑ul‑Vlとおいて,上の操作を繰り返せば,定数CはT'
に依らないから,同じT'に対して,
ul(i)‑Vl(i), t∈ (0,2T′) を得る.ゆえに,この操作を有限回線り返すことにより,
u(i)‑v(i), i∈(‑T,T)
が示される.
2.4 時間大域解の存在
本節では,定理2.10によって得られた時間局所解uが,時間大域的に延長できるかという問題 を考える.
そのためには,解の満たす保存量が重要な役割を果たすことから,まず,非線形関数Jが仮定
(f3)を満たすならば,定理2･10によって得られた解は,次の2つの保存量(2.29)と(2.30)を満た
すことを示す.
llu(i)lIL2(R‑)‑ [luoHL2(Rn), E(u(i))‑ E(uo).
E(v) ‑去ll∇vrli2'Rn)./RnF(lv(x)l)dx,v ∈ Hl(Rn),
F(s) ‑ I(T)d7‑, SER.
ただし,
命題2.ll.非線形関数fに対して,仮定(fl), (f2),(f3)が成立しているものとし,Iを任意のR の開区間とする.関数uは,
u ∈c(z;Hl(Rn)) n Cl(I;H‑1(Rn)), (2･33)
∇u ∈ Lr(Z';LP+1(Rn)) (I'はZに含まれる任意の有界閉区間) (2･34) であり,方程式(2.1)を区間∫上で満たしているものとする･このとき,すべてのi∈Zに対して (2.29)と(2.30)が成立する･
命題2.11を証明するために,次のような問題を考える. Rn上の実数値C∞級関数h(I)を, h(I)≧0 (x∈Rn), h(x)‑0 (lxl≧1), /Rnh(x)dx‑ 1
であるようなものとし, E>0に対して, hE(I)‑E‑nh(x/E)とおく･ Rn上の2つの関数uとv の合成積をu*vで表す.また, io∈Rとする.このとき,次のような初期値問題を考える:
母･AuE‑he･(I(hE*uE)),tE(io‑T,to･T), x∈Rn, (2･35) uE(to,I)‑ (hE*uo)(I), X ∈Rn･ (2･36) 初期値間題(2.SSト(2.36)に対して,次の補題が成立する･
補題2.12.非線形関数fに対して,仮定(fl),(f2)が成立しているとする･0<E< 1, uo ∈Hl(Rn) とすると,ある正定数Tが存在して,時間区間(to‑T,io+T)上で次を満たす(2･35)‑(2･36)の解 uEが一意的に存在する:
(X)
uE ∈ n Cbl((i.o‑ T,.io +T);Hj(Rn)),
j‑1
1luE"L‑((i.‑T,to+T);Hl(Rn))≦41luollHl(Rn).
ただし,仮定(f2)の中で与えられたpに対して, rは
r(芸‑PTL)‑2
を満たすものとし,正定数Tは仮定(f2)の中に現れるK,pとn,LIuoHHl(Rn)だけに依存し, Eに は依存しない.さらに,時刻t‑toで初期値uoを与えた初期値間題(2.1)‑(2.2)を考え,その解を uとし解の存在時間を(io‑To,io+To)とする.そのとき, 0<T'≦min(T,To)を満たす任意の
定数T(に対して,
sup lluE(i)‑u(i)lILq(Rn)‑0 (Eう+0), 2≦q<p*(n)+1･
tEIT′
ただし, ZT′
‑(toIT′,io+Tl)である･
(2.39)
証明.デュアメルの原理により,初期値間題(2.35卜(2.36)は,次の積分方程式に書き直せること
に注意する:
･./I:
uE(i)‑U(i‑to)hE*uo‑i U(i‑ s)hE* [f(hE* uE(a))]ds･ (2･40) 定理2.10の証明と同じようにして縮小写像の原理を用いることにより,ある正定数Tが存在し,
時間区間(Lo‑T,to+T)上で次を満たす(2.40)の解uEが一意的に存在することが示せる:
uE ∈L∞((to‑T,io +T);Hl(Rn)),
∇uE ∈Lr((to‑ T,fo +T);LP+1(Rn)),
lluEllL‑((i.‑T,i.+T);Hl(Rn))≦41luollHl(Rn)･ (2.41) 実際に, ZT‑(to‑T,to+T)とおけば,ヤングの不等式から,
llhE*VllLq(Rn)≦llv‖Lq(Rn),1 ≦q≦∞
であることに注意すると, (2.9),禰題2.4より,
IIU(･)hE* uollL叫JT;L2(Rn))‑ LlhE* uoIIL2(Rn)≦lluoIIL2(Rn)≡ m, ll∇U(･)hど*uoIIL叫JT;L2(Rn))‑ l[∇hE* uollL2(Rn)≦ll∇uollL2(Rn)≡り2, ll∇U(･)hE* uoIILr(IT;LP･l(Rn))‑ Cll∇he* uollL2(Rn)≦C11∇uoHL2(Rn)≡ n3･
rl‑max(rl1, r12, r73)とおき,距離空間(XT,d)を次のように定義する:
xT ‑ (vE;VE ∈L∞(み;Hl(Rn)), ∇vE ∈Lr(IT;LP+1(Rn)), [IvE11L‑けT;L2(Rn))≦2rl,
ll∇vELIL‑(付;L2(Rn))≦2r],
II∇vEllLr(IT;LP･1(Rn))≦2rl),
d(vE,WE)‑ llvE‑ WEIIL叫∫T;L2(Rn))+ llvE‑ WEllLr(IT;Lp･1(Rn)),VE,WE ∈XT･ (2･42)
ここで,
yT ‑ L∞(ZT;L2(Rn)) n Lr(IT;LP+1(Rn))
とおくと, L∞(IT;L2(Rn)),Lr(IT;LP+1(Rn))の完備性によりYTは距離関数dに関して完備距離
空間となる.さらに, XTはYTの閉部分集合である.よって, (XT,d)は完備距離空間となる･い ま,非線形写像Ⅳを
p･J'L,I
N[vE](i)‑ U(i‑io)hど*uo ‑i U(i‑s)hE*[f(hE*VE(a))]ds, vE ∈XT と定めれば,定理2.10の証明と同様の計算により,
ll∇N[vE]llL‑(IT;L2(Rn))≦り+ C(Tαりp +1T)り, llN[vE]llL‑(ZT;L2(Rn))≦叩+ C(Tα+1/rりp +1T)り, ll∇N[vE]llLr(IT;LP'l(Rn))≦り+C(Tαりp +T)り,1 VE ∈XT
が得られる.ただし,
α = n+2‑(n‑2)p 2(p+1)
である.よって, T>0を十分小さくとれば,
c(Tαりp +T)り, C(Tα+i/rりp1 +T)り≦1 1
とできるから, vE∈XTに対して,
JI∇N[vE]HL‑(IT;L2(a‑))≦211,
lIN[vE]HL‑(tT;L2(Rn))≦ 2り,
ll∇N[vE]HLr(IT;Lp･1(Rn))≦2り･
以上より,十分小さなT>0に対して非線形写像NはXTからXTの中‑の写像である.この
とき,ヤングの不等式から,正定数TはEによらずに選べることがわかる.さらに, NがXTか
らXT‑の縮小写像となること,およびみ上で(2.40)の解uEが一意的であることも定理2.10の
証明と同様にして示すことができる.
また, (2･41)については,(2.40)より, blue(i)llHl(Rn)≦lIU(i‑ to)･LuE*uollHl(Rn)+
./:
U(i‑ s)hE* [f(hE*uE(a))]ds
Hl(Rn)
≦lluoHHl(Rn)+ C(Tα+i/rrTPll+ T)り+ C(TαTTY‑1+ T)り･
ここで, lluo‖L2(Rn)≦り,Cll∇uollL2(Rn)≦りより, T7≦ClluoltHl(Rn)とできることに注意すれば, Blue(i)llHl(Rn)≦lluo‖Hl(Rn)+ C(Tα+1/mp‑1+ Tαりp‑1 + T)lluollHl(Rn)･
したがって,さらに小さくT>0をとることにより,
lluE(i)llHl(Rn)≦411uo[lHl(Rn)
を得る.ゆえに,
lluEl(L‑(JT;Hl(Rn))≦4HuollHl(Rn)
また,任意のv ∈L2(Rn)と任意の多重指数αに対して,ヤングの不等式より
IIaxa(hE* V)JILq(Rn)‑ lI(axahE)* VIILq(Rn)≦llaxahEIILP(Rn)llvllL2(a‑)
である.ただし,
i! il il
盲=p‑+豆 1,1≦p≦∞
を満たすpの存在のために, 2≦q≦∞となる.よって, v∈L2(Rn)に対して, axck(hE*V)∈Lq(Rn), 2≦q≦∞.
(2.43)
このことを用いて, (2.40)より(2.37)が得られる･
さらに, uとuEとの差を考える. i∈IT'に対して, u(t卜uE(i,‑ U(f‑io,(uo ‑hE･uo,
‑iL.iu(i‑,(I(u(s,,‑hE･ [f(hE*uE(a,,,)ds
であるから,まず,
llu(i)‑uE(i)llL2(氏‑)≦llU(i‑to)(uo‑ hE *uo)llL2(Rn)
U(i‑ a)(fl(u(a))‑ hE * [f1(hE*uE(s))])ds U(i‑ a)(f2(u(s))‑ hE * [f2(hE*uE(s))])ds
L2(Rn)
L2(Rn)
定理2.10の証明のステップ1と同様に(2.9),補題2.4と系2.6より
‑ ≦lluo‑hE*uoIIL2(Rn)
+ cIIfl(u)‑ hE * [fl(hE･ uE)]llLr,(IT,;L'p'1'/p(Rn))
･ CIL.t[lf2(u(a,,‑ hE * [f2(hE.uE(s,]lIL2(Rn)dsl･
ただし, 1/㍗+1/r′‑1である･右辺の第2項と第3項を定数を除いてそれぞれA,βと書くと,
A ≦llfl(u)‑ hど* fl(u)llLr,(IT,;L(p'1'/p(Rn))
+ l[hE* fl(u)‑ hE * [fl(hE* uE)]llLr,(IT′;L'p'1'/p(Rn))
≦llfl(u)‑ hE * fl(u)llLr,(IT,;L'p'l'/p(Rn))
+ Llfl(u)‑ fl(hE･ u;)IILr,(IT,;L'p'1'/p(Rn))･
この右辺第2項については,定理2.10の証明のステップ1と同様に,
llfl(u)‑ fl(hE* uE)llLr,(IT′;L(p'l'/p(Rn))
≦cT'α (ll叫IpL‑‑1(IT,;Hl(Rn,,･ LluEllpL‑i(IT,;Hl(Rn,))llu‑ hE * uE[[Lr'IT,;Lp･1(Rn)'･
ただし,
n+2‑(n‑2)p
α =
2(p+1)
である.さらに,
llu‑ hE * uEllLr(ZT,;Lp･l(Rn))
≦llu‑ hE * ullLr(IT′;Lp･1(Rn))+ llhE*u ‑ hE *uEIILr(IT,;LP･l(Rn))
≦Ilu‑ hE * u[LLr(ZT′;LP･1(Rn))+ llu‑ uEllLr(IT,;LP･1(Rn))
