亭+戸=1,香+才=1, - ガ-方程式の初期値間切る考察

であるから,補題4.1より,

llu(i)‑uE(i)lIL2(Rn)^≦IIU(i‑io)(uo^‑ ^hE *uo)‖L2(Rn)

I.tu(i

^‑,

[^･xrb.u(a,･p‑u(a,

‑ hE *

(入Ixl‑bl(hE

^*uE)(s)lp ^1(hE

*uE)(s))]ds

^L2(Rn)

≦lluo

‑hE*uolfL2(Rn)

clllxl‑blulp

^‑ ^hE

1u

^* ^(lxrblhE^･ uEIp‑1hE^*

uE)llLr‑,(IT,;Lq‑,(Rn))･

i] il il iI

であるから,

A ≦

fIIxJ‑bfulp

^‑ ^hE ^*

1u (什blulp‑1u)llLr‑,(IT,;Lq‑,(Rn))

･ cT′α

(llullp{‑l(IT,;Hl(Rn),

⁺

JfuEllpLIJ(IT,;Hl(Rn,,)

(flu

^‑ ^hE ･uHLr(IT,;Lq(Rn))⁺ Ilu^‑

uEHLr(IT,;Lq(Rn)))

^･

以上より,

Flu_‑ UEHL‑(IT′;L2(Rn))^≦lluo^‑ ^hE ^* uofFL2(Rn)

cJIIxrbJurp

^‑ ^hE

1u

(lxrblu[p‑1u)HLr‑,(IT′;Lq‑,(Rn))

･ cT'α

(lluflpL‑i(IT,;Hl(Rn,,

lluEllpL‑‑1(IT,;Hl(Rn)))

･

(llu

^‑ ^hE ^* ullLr(IT,;Lq(Rn))⁺ Hu^‑

uEIILr(IT′;Lq(Rn)))

0<Tl≦min(T,To). (4.41)

同様にして,

Ilu^‑ uE[ILr(IT,;Lq(Rn))^≦CFluo^‑ ^hE *uofIL2(Rn)

cHIxl‑blulp

^‑ ^hE

1u

(fxl‑blulpllu)IILr‑I(IT′;Lq‑,(Rn))

･ cT'α

(llullpLIJ(IT,;Hl(R‑,,

^･

HuEllpL‑‑i(IT,;Hl(Rn),)

･

(Flu

^‑ ^hE ^* uIILr(IT′;Lq(Rn))⁺ llu^‑

uEfFLr(IT′;Lq(Rn)))

0<T′≦min(T,To). (4.42) (4･41)と(4.42)より,

llu^‑ UEIIL‑(∫T′;L2(Rn))⁺ rlu^‑ uE"Lr(IT,;Lq(Rn))

≦CFluo_‑he *uoJIL2(Rn)

cIIJxl‑blulpllu

^‑ ^hE ^*

(lxliulp 1u)J(Lr‑,(IT′;Lq‑I(Rn))

･ cT'α

(JJullpL‑‑1(IT,;Hl(Rn,,

lluEllpLIJ(IT,;Hl(Rn)))

(lJu

^‑ ^hE *uflLr(IT′;Lq(Rn))⁺ Ilu

‑uEllLr(IT,;Lq(Rn)))

^, ⁰ ^< ^T′^≦^min(T,T.).

よって,正定数T'を十分小さくとれば,

llu^‑ UEHL‑(ち′;L2(a‑))⁺ llu_‑ uEllLr(IT′;Lq(Rn))

≦CIluo^‑ ^hE *uollL2(Rn)

cFllxI‑blu[p11u

^‑ ^hE ^*

(l叶bJulp‑1u)lJLr‑,(IT,;Lq‑,(Rn))

･ cT'α

(llulfpL‑‑1(IT,;Hl(Rn,,. lluEIFpL‑i(IT,;Hl(Rn,,)

^llu^‑ ^hE ^* ullLr(IT,;Lq(Rn,,,

0 <T/ ≦min(T,To).

ここで, E1+0とすれば,右辺→0となり,

llu‑uEllL‑(ち′;L2(Rn))‑0 (E→+0) を得る･この事実と(4.40),およびソボレフの埋蔵定理から

flu^‑ uEIJLi(Rn)^≦ CJlu^‑

uEJI訪(aRn)lI∇(u

^‑ uE)Jl呈2(Rn),

ただし,

p!‑喜(1‑a,I(喜一三)a,

o≦α<1 が成り立っことを合わせると,

sup JluE(i)‑u(i)llLi(a‑)‑0 (E→+0), 2≦P<2+

tEZT′ n‑2

が示される.

補題4.7を用いて命題4.6を示す.

命題4･6の証明･ fo ∈Zとする･ここで, uo‑u(to)とした初期値間題(2.35)‑(2.36)を考える.棉題4･7より与えられる初期値間題(2.35)‑(2.36)の解をuEとすると,ある正定数Tが存在して次が

成立する:

fluEIIL‑(IT;Hl(Rn))≦21luo‖Hl(Rn), suplJu(i)‑uE(i)lJLP(Rn)^→0 (E→+0), 2≦P<2+

t∈ZT n‑2

ただし･ Tは[to‑T,io+T]⊂Zとなるように小さくとるものとし, ZT‑(i.‑T,i.+T)である.

(2･35)に拓を乗じ, x変数について積分し,虚部をとると,

[luE(i)JIL2(Rn)^‑ lfhE*u(to)llL2(Rn),ⁱ ^∈ ^ZT

を得る(2章命題2･11の証明参照)･ここで,両辺Eう+0とすると, (4.44)より Ilu(i)‖L2(Rn)^‑ Hu(io)IIL2(Rn),ⁱ ^∈^ZT･

さらに, (2･35)に∂拓/∂tを乗じ,x変数について積分し,実部をとると,

喜Il∇uE(i)‖ま2(Rn'･ /Rn

^F(l(hE^* uE)(I,i)A)dx

去‖∇hE *u(i.)llま2(Rn)

⁺

(4.45)

F(i(hE*uE)(x,to)I)dx, ^i∈ZT (4A6)

を得る(2章命題2.11の証明参照).

いま, v∈Hl(Rn)に対して,ソボレフの埋蔵定理とヤングの不等式,および IIv^‑ ^hE *VLIL2(Rn)̲< EJ[∇v[lL2(Rn)

が成り立っことを用いて,次が成立する:

lJv^‑ ^hE *VllLP(Rn)^≦CIIv^‑ ^hE

*VII訪(ann)lI∇(v

^‑ ^hE *V)lI呈2(Rn)

≦

c(ll∇vHL2(Rn)

⁺ ^ll∇hE

*VrlL2(Rn))a

^Flu^‑ ^hE

*帖(aRn)

≦ C

(ll∇vHL2(a‑)

⁺

lr∇vFIL2(Rn))a

(E[l∇vllL2(Rn))1‑a

‑cEllf∇vlfL2(Rn) ^‑0 (E→+0)･

ただし,

p!‑芸(1‑a)I(喜‑三)a,

o≦a<1 より,

2≦P<2+

である.このことに注意して,次を考える:

4 n‑2

/Rn

F(lu(x,i)I)dx^‑

/Rn

F(l(hE*uE)(x,i)l)^dx

‑<

/RnfF(Iu(I,i)f)

^‑F("hE

*u)(x,i)I)Idx

‑'JRnfF(Iu(I,i)f)

^‑F(J(hE

*u)(x,i)I)Idx

･/RnIF(I(hE

*u)(x,i)l)‑F("hE

*uE)(x,i)I)Idx･

右辺の第1項と第2項をそれぞれA,βと書くことにする.ここで,考えている非線形関数 f(I,I)‑入Ix｢blzlp‑1z

に対して,

lF(lzlr) ‑F(lz21)I

≦c(x｢b(lzllp+Jz2lp)lzl‑Z2l, ^zl,Z2 ^∈ ^C が成立することより,条件

pT3T

のもとで‑ルダーの不等式を用いると,次の不等式が成り立っ:

A ≦

C/Rn

lxf‑b(Lu(I,)lp+l(hE*u)(I,i)Jp)lu(I,tト(hE*u)(x')ldx

‑

c/Rn

Ill‑bp/'p'1'(lu(x,i)lp.I(hE^* u)(x,i)Ip)^･ (fxJ‑b/(p･1,Ju(x')^‑ (hE*u)(x,i)ldx

≦

cfl(rxfJp/(p'1)(lu(i)lp

^･ ^l(hE^*

u)(i)lp)JIL(p.I,,p(Rn)

･

ll(IxJ‑b/(p+1)(u(i)

^‑ ^(hE^*

u)(i))HLP.1(Rn)

･ ^c

(Jllxl‑b/'p'1)u(i)[lpLp･1(Rn,

lllxI‑b''p'1)(hE

u)(i)‖PLp.i(Rn,)

･

lllxl‑b/(p'1)(u(i)

^‑ (hE

*u)(i))lFLp.1(Rn)

ここで,重み付きハ‑ディ‑型の不等式より,

lrlxl‑b/(p'1)ulrLp.1(Rn)

^≦CHIDxlsuI[L2(Rn)

ただし,

b n n

‑pTTf7+p77 ⁼ ‑s+す

このとき, n,a,pの仮定より0<s<1であるから,さらに,

HIDxlsullL2(R‑)^≦

ClfulI訪(sRn)ll∇uIIL2(Rn)

が成り立っ(補題4.2の証明参照).このこととヤングの不等式より,

A ≦C

(‖u(i)lli;'sRn'lr∇u(i)‖呈2(Rn'･

_× ^‖(hE^*

u)(i)‖訪(sRn,‖∇(hE

u)(i)‖呈2(Rn,)

‖u(i)^‑ (hE^*

u)(i)Fli=(sRn)ll∇(u(i)

^‑ ^(hE^* u)(i))rl呈2(Rn)

≦cllu(i)lIHl(Rn)‖u(i)^‑ (hE

*u)(i)Ifi?(sRn)ll∇(u(i)

^‑ ^(hE*u)(i))lli2(Rn),⁰ ^< ^s ^< ^1･

同様にして,

B ≦

C(‖u(i)llHl(Rn)

⁺

flue(i)llHl(Rn))

× lru(i)

‑uE(i)ll訪(sRn)lr∇(u(i)

‑uE(i))lli2(Rn),⁰ ^< ^s ^< ^1･

したがって,

/Rn

F(Iu(I,i)l)dx^‑

/Rn

^F(f(hE^* uE)(x,i)I)dx

≦

c[Jlu(i)llHl(Rn'rlu(i)

^‑

(hど*u)(i)‖訪(sRn,ll∇(u(i)

^‑ ^(hE*u)(i))lli2(Rn,

+ (Ilu(i)=Hl(Rn,⁺ ‖uE(i)IIHl(Rn')IIu(i)^‑

uE(i)fI訪'sRn)H∇(u(i)

^‑

uE(i))ff呈2'Rn,]

→0 (Eう+0), ^t∈ZT.

また, (4.43)と(4.44)より,

uE(i)→u(i) weaklyinHl(Rn), ^t∈ZT,

H∇u(i)11L2(Rn)^≦

1iEmiin.f‖∇uE(i)llL2(Rn),

ⁱ^｡ ^ZT

が成り立ち,また,ヤングの不等式より,

ll∇hE^* u(to)lIL2(Rn)^≦ll∇u(to)L[L2(R‑)

である･ゆえに, (4.46)の両辺でEう+0とすると,次の不等式が成立する:

喜‖∇u(i)lli2'R‑'･/RnF(lu(I,i)I)dx ≦去‖∇u(Lo)=ま2(Rn'･/RnF(Iu(x,io)l)dx,

ⁱ ^E ^IT･

すなわち,

E(u(i))^≦E(u(to)), ⁱ ^∈ ^ZT･ (4.47)

ここで,あらかじめT>0を十分小さくとっておき,各il∈ITを初期時刻, u(il)を初期値とした初期値問題(2･35)‑(2･36)を考えたとき,初期時刻tlによらず同じTで(4.43)と(4.44)が成立

するようにしておく･ ((4.43)により可能である).こうして上と同じ操作を行うと,次の不等式が

成立する:

E(u(io))≦E(u(i1)), ^fo ^∈IT.

ゆえに, (4.47)と(4.48)を合わせると,

E(u(i))‑E(u(io)), ^t∈ZT

(4.48)

(4.49) を得る.

各to ∈zに対して,ある正定数Tが存在して,区間(io‑T,to+T)上で(4.45)と(4.49)が成

立することが示された･ゆえに, ∫上で(2.29)と(2.30)が成立する.

解を時間大域的に延ばすために,さらに入, a, pを

入,0,0<b<旦,1+b≦p<1+±二空_n

n‑2

または,

入<0,0<b<㌃巧,1+b≦p<1+4 とする･このとき, Jに対して,次の不等式が成立する:

4‑2b

(f6) F(lzl)≧‑Ix｢b(LllzIP+1+L2lzI2), z∈c, 1+b≦P<1+

ただし, Ll, L2, j3はzに依存しない正定数である.

このとき,次の時間大域解の存在定理を得る.

4‑2♭

定理4.8.n≧3とし,

入'0,0<b<旦,1+b≦p<1+_n ^4‑2b

n12

または,

入<0,0<b<前巧, 1+b≦p<1+竺二空_n

を仮定する･このとき,任意のuo∈Hl(Rn)に対して,定理4.5で得られた(4.1)‑(4.2)の時間局所解uは時間大域的に一意に延長することができ,

u ∈cb(R;Hl(Rn)) ⁿ Lr((‑T,T);Lq(Rn)), (4.50)

∇u∈Lr((‑T,T);Lq(Rn)), ⁰ ^<T< ^∞ (4.51)

を満たす･さらに,すべてのt∈Rに対して, (2.29)と(2.30)が成立する.ただし,_{qは補題4.3}

によって得られるqで, _rは,

;‑n(;‑!)

を満たすものとする.

証明.定理4.5によって与えられる時間局所解をuとする.このとき,命題4.6より,解uが存在する時刻iに対しては, (2.29)と(2.30)が成立する.

いま, (2･30)と仮定から成立する不等式(f6)より,

去=∇uIli2'Rn'‑

^E(uo)^‑

fan

F(lu(x,i)l)dx

≦E(uo)

･LIHIxr棚+1)u(i)I[p;:il(Rn) ･L211I叶b/2u(i)llま2(Rn)･

^(4･52)

重み付きハ‑ディ‑型の不等式より,

lll叶b/(P'1)ullp;:il(Rn)

^≦

ClluHi127試+1)lI∇uIIE(2P('Rln)),

^a ^‑

仮定より,

P<1+±ゴ空であるので,

s@+i)‑ (j311)n+2b

である.また,ふたたび重み付きハ‑ディ‑型の不等式より,

ll lxl‑b/2ulli,(Rn)

^≦

CIlulli(21(RSn))(l∇ull2LS2(Rn),

(j3‑1)n+2b 2(j3+ 1)

S ⁼ ^‑

n, bの仮定より, 2s‑b<2である･よって, (2.29)と(4.52)より, Il∇u(i)llL2(Rn)^≦l (lは時間fに依存しない正定数)

を得る.したがって時間tに依存しないある正定数Mが存在して,

llu(i)[lHl(Rn)^{≦ M･} (4･53) 解uが存在する限り, (4･53)が成立するので,各ioを初期時刻とし,u(to)を初期値として(4.1)‑

(4.2)を解くと,解は少なくとも閉区間

[to一芸T,to ･吉T]

上で一意的に存在する･このとき, (4.53)よりTは初期時刻toに依存しないで一様にとることができる･ゆえに,定理4･5を繰り返し適用して,正の方向と負の方向に対してそれぞれT/2ずつ解を一意的に延長していけば時間大域解を得る･また, (4.50)は(4.53)から従う.(4.51)は明らか

である. _口

4.4 時間大域解の非存在

解が時間大域的に存在しない場合を考える･なお, t>0の方向だけ考える.すなわち, 【0,∞) 上で解が延長できるかどうかだけ問題にし, t<0の方向ではどうなっているかは考えないことに

する.

2章と同じく,まずは保存量に関する補題から準備する.

補題4.9. n≧3で,

入<0,0<b<竺,1+生二空≦p<1+

_n _n ^4‑2b

n‑2

を仮定し,また, uo ∈Hl(Rn)かつxuo ∈L2(Rn)とする. ^I‑ [0,T)とし,関数uをZ上の (4･1)‑(4.2)の解とするとき,_{uは次を満たす:}

llxu(i)JIi2'Rn)

^‑

llxuolli2'Rn'.

4fI‑/Rn

^box ^･ ^{∇uo dx} ^･ ^8t2E(uo)

･p% (p‑ l一竺諾) LILsl[lxrb/'p･1)u(T,I(pL:ll(Rn,dTds,

^{i ∈}^I･ ^(4･54,

証明･ここでは簡単のため,解uが滑らかで,各tに対しIxl)∞のとき十分速くu(I,i)う0と

なることを仮定して, (4.54)を示すことにする.

まず,方程式(4･1)にIxI2由を乗じて,Rn上で積分し,虚数部分をとると,

i/Rn誹l2hdx

^･

/Rn

^△uExl2ux ^‑

/Rn入Ixllblulp‑1ulx[2hdx･

右辺は実数値をとる(2章命題2.11の証明参照).左辺については,

孟(ulxl2h)

‑Lxl2掛+揺)

/Rn

^△ulx[2hdx^‑

‑/Rn

^∇u･ ^∇(lx12h)dx

ニー/Rn∇u･ ^[(∇肺+

^Lxl2vh]dx

‑

12/Rnお･

^∇udx

‑

llx∇uILi2'Rn'

であることに注意して,

I‑(左辺)

‑去/Rn孟(uLxI2h)dx‑2I‑/Rnお･∇伽ゐ去illxu"i2'Rn'‑2I‑/Rnお･

^∇udx

となる.したがって,

孟=xull2L2'Rn)

^‑

4I‑/Rn由x

^･ ^∇udx･

ゆえに,

Hxu(i)Ll2L2(a‑,^‑

l[xuo‖ま2(Rn)

⁺

4LtI‑/Rn

"x, S)‑也(I,s) ^dxds

を得る.

一方,ガウスの発散定理より,

A I‑/Rn

^ii(x,i)x^･ ^∇u(x,i)dx^‑ ^I‑

/Rn

‑

I‑/Rn

∂東

面x

∂由

面x

･udx･I‑/Rnお･∇雛

･udx+I‑/Rn∇･ (端)

^dx

‑nI‑/Rn揺dx‑I‑/Rn霊x･∇由dx

‑

2I‑/Rn霊x･∇udx‑nI‑fRn掛x･

(4.55)

ここで(4.1)より,∂由/∂t‑i(‑△由+入IxI‑blulp‑lil)であるから,

2I‑/Rn霊x

^･ ^∇伽ゐ‑

2I‑/Rni(‑△‑xllblulp‑1由)x

^･ ^∇udx

ニー2Re/Rn△h(x･ ∇u)dx･2RefRn

‑bLulp叫･∇u)dx

‑

2Re/Rn∇h･∇(x

^･

∇u)dx･2Re/Rn PTiTlxllbx･∇(lulp'1)dx

‑

2Re/Rn[∇u･

^∇由

･去x･∇(∇u･∇h)]dx

2^(n‑ b)

p+1

/Rn

^lxrblulp'1^dx

‑ (2

‑n)lI∇ulIま2(Rn)

‑ 2^(n ^‑ a)

p+1

HIxI‑b/(p'l)uHpL:Il(氏‑)I

同様にして, (4.1)より,∂u/∂i‑i(△u一入Ix｢blulp‑1u)であるから,

nI‑/Rn瀞x

‑

nI‑fan

^ih(△u

‑ ‑bLu[p‑1u)dx

‑

nRe/Rn

ii△udx一入nRe

./R

lx｢blulp+1^dx

ニーn"∇ulli2(Rn)一入nlIIx｢b/(p+1)uIIpL;Il(Rn).

上の3つの等式を合わせると,

孟I‑/Rn

^ii(I,i)I^･ ^∇u(I,i)dx

‑ 21l∇u(i)lFL2(Rn)⁺

入n(p‑1+普)

p+1

を得る.この式の両辺を時間変数について積分すると,

I‑/Rn

^"I,S)I ^･ ^∇伽(x})dx^‑

I‑/Rn

^box ^･ ^∇uodx

[

‑

/AI2H∇u(T)lIま2(R‑)

⁺

.I

これを, (4.55)と合わせると,

IIxu(i)lli2(Rn)

^‑ [lxuoll2L2(Rn)⁺ ^4tlm

/Rn

ll I叶a/(p'1)uIIpL:il(Rn)

入n(p‑1+普)

p+1

面ox ^･ ∇uodx

･

LtLs4[2･.Vu(T,H2L2(Rn,

^{入n(p‑1+普)}

^p+1

ll

lxllb/'p･1'u(T)

HpL:Il(Rn)]

^dT･

Ll

lxL‑b/'p･1'u(T)

LIpL:il(Rn)]

^dTds･

(4.56)

ここで･エネルギー等式(2･30)‑(2･32)を用いて,

(4･56)の右辺からIl∇u(T)lIま2を消去すると,

妄‖∇叫Ii2'Rn'‑

^E(uo)^‑

/Rn

F(Iu(I)A)dx

入

‑ E(uo)_‑

p7flllxrb/'p'1)uIIpL:il(R‑,

であるので,

/a

:b＼

llxu(i)llま2(Rn)

^‑

llxuollま2(Rn)

⁺

を得る.

4tlm iiox ^･ ∇uodx + 8t2E(uo)

(p‑1一生諾)LtLslllxllb/'p･1)u(T)l[pL:Il(Rn,dTds,

^i∈I

注意4･10･補題4･9の証明では,解uが滑らかで,各tに対しIxl)∞のとき十分速くu(x,i)う0となることを仮定した･厳密な証明については,文献[10]を参照してほ

しい.

定理4.ll. n≧3で,

入<0,0<b<旦,1+竺二空≦p<1+_n _n

を仮定する･また, uo ∈ Hl(Rn)かつxuo ∈L2(Rn)で, E(uo) <0

412b n‑2

を仮定する･このとき,定理4･5で与えられる初期値間題(4.1)‑(4.2)の時間局所解uは,存在区間を[0,∞)全体に延長することはできない.

証明.背理法で示す.

初期値間題(4･1)‑(4･2)の解uが, [o,∞)上に延長できると仮定する.このとき,補題4.9より, (4･54)がすべてのt∈[0,∞)に対して成立する･そこで,入<0かつp≧1+(4‑2b)/nであるこ

とを使うと,

Hxu(i)促2(Rn)

^‑

llxuollま2(Rn)

^{+ 4tlm}

/R

^iiox ^･ ^{∇uo dx} ⁺ ^8i2E(uo)

･

p% (p

^‑

1一生諾) LfLslllx1‑b/'p･1'u(T,[IpL:il(Rn,

^dTds

･

l[xuofli2'Rn)･4iI‑/Rnhox･∇"odx.8t2E(uo),吋0,‑)･

^(4･57)

仮定よりE(uo)<0であるので, iの2次方程式

8E(uo)t2⁺

(4I‑/Rnhox

^･

∇uodx)

^i･

‖xuol[i2(a‑)

^‑ ⁰

は,正と負の根をもつ･正の根をioとすると(4.57)よりt>toに対して,

‖xu(i)Lli2(Rn'≦

JIxuolli2'Rn'･4tI‑/Rn

^‑ ^･ ^∇uodx･ ^8t2E(uo)

･

‖xuolfi2'Rn)

･4toI‑/Rn

^box ^･ ^∇uodx

^{･8i岩E(uo)}

^‑ ⁰

でなければならないが,これは明らかに矛盾である.したがって,解uは時間t.を超えて解とし

て延長することはできない. _口

4.5 定在波解

本節以降では,次のような非線形シュレディンガ一方程式を考え,定在波解の存在とその性質を調べる:

揺+△u‑‑fxI‑b[ulp11u,

^x∈Rn, ^i∈R･

LJ > 0に対して,関数w(I)を次の非線形楕円型方程式の解とする:

‑△w+ww‑Ixl‑blwlpllw‑o, ^x∈Rn, w≠0.

このとき,

v(I,i)^‑ eiLJtw(I)

(4.58)

(4.59)

(4.60) とおくと,関数v(I,i)は方程式(4･58)を満たす･定在波解とは, (4.60)のような形に表される解

のことである.

n≧3,0<b<2, 1<p<1+(4‑2b)/(n‑2)のとき,本章では, LJ>0に対して,汎関数 SLJを次のように定める:

sw(u)^‑

‖∇ulli2'Rn'･wFIulr2L2'Rn'‑

pTi711lxl‑b/'p'1'ulJpL:il(Rn,,

u ∈ Hl(Rn)･ (4･61)

定理4･12･n≧3, 0<b<2, 1<p<1+(4‑2b)/(n‑2), LJ>0とする.このとき,汎関数

SwはHl(Rn)全体で定義され, H,1eal(Rn)上の汎関数とみると,すべてのu^∈ Hrleal(Rn)に対してガトー微分dSw(u,v) (v^∈Hrleal(Rn))が存在する･さらに,このガトー微分は次のように表現

できる:

dSLJ(u,V)^‑ auSw(u)v⁺ ahSw(u)v‑

‑2Re[auSw(u)v], ^u,v ^∈ Hl(Rn).

ここで･各u∈Hl(Rn)に対してauSw(u)とahSw(u)は, Hl(Rn)からC‑の有界線形作用素で

次のようなものとする:

auSw(u)v ^‑ (∇v,∇u)+w(v,u) ^‑ (v,Ix｢bJulp 1u),^v ^∈ Hl(Rn), aGSLJ(u)v‑auSw(u)磨, ^v ^∈Hl(Rn).

証明･ n, b, pの仮定から重み付き‑‑ディ‑型の不等式より,

JIJxrb/(p'1)uJJLp.i(Rn)

^≦ClfulIHl(Rn),^u ^∈ Hl(Rn)

が成り立っ･したがって, SwはHl(Rn)からR‑の写像として定義されることがわかる.

さらに, u,v∈Hrleal(Rn)とし,絶対値が十分小さなt∈Rに対してSuの定義より,

(4.62)

Sw(u⁺ tv)^‑ SLJ(u)

= ll∇(u

'iv)Hi2(Rn,

^'wIlu

'叫lま2(Rn'‑

p771JIx(1b/'p'1'(u.iv)llpL:il(Rn)

₂

‑

11∇uHi2(Rn,

^‑

Wlfu‖ま2'Rn''pTTflHxf‑b/'p'1'uJJpL:il(Rn,

‑

2iRe[(∇v,∇u) ･u(v,u)]

^I ⁱ²

(H∇vlli2(Rn, +wlrvJIま2(Rn))

‑

PTL /Rn [(･x.12b/'p'l'･u ･叫2)̀p'1''2

^‑

(.xr2b/(p･1,Fu.2)'p'1'/2]

^dx

‑

2iRe[(∇v,∇u)

w(v,u)]

⁺ ^t2

(ll∇vHi2(Rn, ･wJIvIIま2(Rn,)

‑

pTiJRn Ll孟[olx.12b/(p･1,'u

^I ^tv'2⁺ ⁽¹^‑

0'fxr2b/(p･1,lu'2]

'p'1'/2dOdx.

･右辺第3項,

‑上n Ll[oJx.‑2b/(p･1)lu

^･叫2. ⁽¹^‑

0'lxr2b/(p･1,luJ2](p 1'/2dO

(lxl12b/'p'1)lu･叫2

fxI‑2b/'p'1'ful2)

^dx

‑

/Rn Ll [olxr2b/(p･l)fu

^･叫2 ⁺ ⁽¹^‑

0)fxJ‑2b/(p･1,Jul2]

^(p ^1)′2dO

x lx｢2b/(p'1)(2tRe(vh)⁺ i2JvJ2)^dx

であるから,

I(i)^‑

2/Rn Ll[oJxl‑2b/(p･1,Ju

^･tvI2

･ (1^‑

0)fxl‑2b/'p･1'lul2]̀p‑1'/2dO

Ixr2b/(p･1)Re(vh)^dx,

J(i)^‑

/Rn Ll [oJxl‑2b,(p･1)Ju

^･叫2 ⁺ ⁽¹^‑

0'fxr2b/(p･1)Jul2]

^'p ^1'′2dOlxr2b/(p･1,'vf2^dx

とおいて,

Sw(u+iv) ^‑ Sw(u)

‑

2iRe[(∇v,∇u) 'w(v,u)]

_‑tI(i)^‑ ^t2J(i)^･t2

(If∇vlli2'Rn).Wllv‖ま2(a‑))

^･

まず, J(i)を評価する.

Ll [ofxl‑2b/(p･1,ru

^I ^tvI2⁺

(ト0)lxr2b/(p･1,Jul2]

^'p‑1''2dO

･ c

(lxl‑b'p‑l'''p+1'luJp11. fxrb'pll'/'p'1'lvfp‑1)

であるから,条件

p‑1 2

pT7T

p7i のもとでヘルダーの不等式と(4.62)を用いて,

ltr<1

rJ(り一≦

C/Rn (fxrb'p‑1'/'p･1'Jurp11

^･

Ixl‑b'pll,,(p･1,lvlpll)

lxJ12b/(p･1)JvJ2dx

‑'c

(fl lxl‑b/'p'1)ullpL;il(Rn)

⁺

fIJxl‑b/'p'1)vflpL;il(Rn,) rJIxJ‑b/'p･1'vJlip.1(Rn)

≦^c

(lluJIpH11‡Rn,

‖vllpH‑1壬Rn,) ^‖vHkl(Rn,,

^ltf^< ^1･

I(i)の評価については,まず次の2つが成立していることに注意する:

Ll [o･xr2b/(p･1,Ju

^･叫2 ⁺ ⁽¹^‑

0'Jxr2b,(p･1,'u'2]

^'p‑1''2 ^dO 'xr2b/(p･1,R｡(vh'

‑ lxrbJuJp‑1Re(vh)‑Re(vlxr‑bluJp11由),^a.e･ ^I ^∈Rn (tぅ0),

Ll [orxf‑2b/(p･l,Ju

^I ^tv'2⁺ ⁽¹^I

0'lxJ‑2b/(p･1,rul2]

(p‑l'/2

dO Ixl12b/(p･1)R｡(vh'

≦c(lxJ‑blulp‑1+lxI‑bI叫p11)luJIvl,^a･e･ x∈Rn, ltJ^< ^1.

このとき,条件

piT

pT77 のもとでヘルダーの不等式と(4.62)を用いて,

/Rn

^(Jxl ^bJulp11⁺ ^l叫‑blvlp ^1)IuHv[dx

‑

/Rn (lxl‑bp/'p･1'fufp

^･ Jxl‑b''p･1)Jvr^I JxJ‑b/(p･1)luJ^･

lxJ‑bp/(p･1,JvJp)

^dx

≦

fJIxl‑a/(p'1)ulJpLp･1(Rn) HIxrb/(p+1)vHLp･1(Rn)

llJxJ‑b/(p+1)uJJLp･1(Rn) Il lxf‑b/(p'l)v[JpLp･1(Rn)

≦c

(‖uJIpHl(Rn)llvHHl'Rn'･ ‖urlHl'Rn'rlv‖pHl(Rn,)

(4.63)

(4･64)

が成り立っから,

C(Jx｢blurp‑1⁺ lx｢むIvlp 1)JurJvr^∈ Ll(Rn)

となる･したがって,ルベーグの収束定理より,

I(i)^→2

/a

Re(vlxJ‑bluJp‑1由)dx^‑ 2Re(v,rx｢bluJp‑1u) (tう0) (4.65)

を得る.

以上(4･64)‑(4.65)より, dSw(u,v)

‑漉R[2Re[(Vv,∇u)

^･w(v,u)] ^‑ ^I(i)^‑ ^iJ(i)⁺ ⁱ

(‖∇vlli2(Rn). ‖vHi2(Rn,)]

‑ 2Re[(∇v,∇u)+LJ(v,u)^‑ (v,Jx｢b[ulp11u)]

‑ 2Re[auSLJ(u)v],^u,V ^∈ Hl(Rn)

が示せた.

また･各u

∈Hl(Rn)に対して,作用素ausw(u), ahSw(u) :Hl(Rn)ぅCが線形作用素であることは明らか･有界性については,シュワルツの不等式,条件

pTTTT

のもとでヘルダーの不等式,および(4.62)を用いて,

pTfi

ー一印

IauSw(u)vJ≦l(∇v,∇u)l+wI(v,u)l⁺ J(v,lx｢blulp‑1u)I

≦ll∇vlfL2(Rn)ll∇uflL2(Rn)⁺ LJIJvJIL2(Rn)lruJJL2(Rn)

lHxl‑b/(p'l)vHLp･l(Rn) lIIxrb/(p'1)ullpLp･1(Rn)

≦c

(‖vllHl'Rn'fru‖Hl(Rn'･ ‖vJJHl(Rn'llu‖pHl(Rn,)

≦

c(lfuIJHl(Rn'･ lfulJpHl(Rn))

=vIIHl(Rn),^u,V ^∈Hl(Rn)･

同様にして,

俄Sw(u)vI ≦

C(‖ulIHl(Rn)

⁺

JIullpHl(Rn))

=vrlHl(Rn),^u,V ^∈ Hl(Rn)･

ゆえに, uをとめるごとにauSw(u)とahSw(u)tj=, Hl(Rn)からC‑の有界線形作用素である. ^□

4･6 定在波解の存在(1<p<1+(4‑2b)/nの場合) H,1(Rn)の有界列に関する補題から始める.

補題4･13･ _n≧3, 0<b<2, 2<q<2+(4‑2b)/(n12)と仮定する･このとき, H,1(Rn)の任意の有界列(vm)から適当に部分列(vmk)を選び･列(lxl‑b/qvmk)がL?(Rn)における収束列

となるようにできる.

証明. 3章の補題3.15より,

llvmkHL‑(lxI,R)^≦CR‑(n‑1)/2IJvmhl(Hl(Rn),^R ^> 0 が成り立っから,条件

‑+1‑1

のもとで‑ルダーの不等式を用いて,次の不等式が成立する:

･‖x.‑b,qv‑A..Lq(.I.,R,

^‑

(/I,,R Fx･‑bFv‑k･qdx)

1/q

･ ^R‑b/q

(/x,,R ･v‑A.q‑2･v‑k･2dx)

1/q

･ ^R‑b/q

(IFvmh AIL‑u2(.x.,R,Hvmk lli2(.a.,R,)

^1/q

≦cR‑b/qR‑(nll)(q‑2)/(2q)

flu‑h l19T(2i/nq)

^‖vmk

llk/1q(Rn)

‑ cR‑((n‑I)(q12)'2b)/(2q)IIvmhIIHl(Rn),^R ^> ^0･

したがって,仮定n≧3, q>2,b>0により,任意のEに対して,十分大きなR>0をとれば,

lllxl‑b/qv‑kllLq(LxI,R)

<亘E

とできる.

一方,このRに対して,条件

il il il

‑+‑ニー

ql q2 q

のもとで‑ルダーの不等式を用いて,

llFxl‑b/q(v‑h

^‑

V‑l)llLq(lxl≦R)

^≦

lllxl‑b/qFILql(Ixl≦R)IIv‑A

^‑ V‑lllLq2(Ix‡≦R)･

このとき, qの仮定より,

lIIxl b/qllLm(lxl≦R)

^< ∞かつ列(vmk)はLq2(Rn)における収束列と

なるようなql, q2をとることができる.なぜならば, 3章の禰題3.16より,

‑‑ql+n‑1>‑1, q

2<q2<㌃=う+1n+2

を満たすql, q2がとれることが保証されればよい･ 1/ql+1/q2‑1/qと(4.66)より,

1 n‑b

‑ < ^‑

q2 nq

(4･67)より,

n12 2n

1 1

< <云

q2 したがって,

n‑2 n‑b

‑< ^‑

2n nq

が成り立てばよいが,これは仮定2<q<2+(4‑2b)/(n12)より満たされる.

ゆえに,次の関係が成立するような自然数Ⅳが存在する:

J11xrb/q(v‑A

‑V‑I)lILq(.xl≦R, <言(mk,

^ml ^≧N)･

これらのことから,

Il(xJ b/q(v‑k

^‑

V‑l)JJLq(Rn)

‑

fllxI‑b/q(v‑A

^‑

V‑l)lILq(Ix15R). IJIxf‑b/q(v‑k

‑

V‑l)IILq(lxI,R)

≦

[JIxl‑b/q(v‑A

^‑

V‑l)JJLq'Ix15R'. HlxIJ/qv‑krlLq(.xl,R,. Illxl‑b/qv‑lllLq(lxl,R,

E E E

<豆+亘+亘=E (mk,ml≧N)A

Eは任意の正数であるので,この不等式は列(Ix｢b/qvmh)がLq(Rn)でのコ‑シー列であることを示している･ゆえに,完備性により列(Ix｢b/qvmk)はLq(Rn)における収束列である. _□

注意4･14･補題4･13で得られた部分列(vmk)に対して,さらに次のことが成り立っ

ている:

vmk ‑｣v inL,q2(Rn) (mk→∞)

‑⇒ Jxl‑b/qvmk^‑ lx｢的v ⁱⁿ L,q(Rn) (mk →∞).

ただし, q2は補題4･13の証明の中に現れるq2である.

実際に,

lxILb/qvmk^→w inL,q(Rn) (mk→∞) とすれば,任意のp∈ Cow(Rn)に対して,

/Rn

lxr‑b/qv‑kPゐ‑

/Rn

^WPdx･

一方,条件

1 1

ドキュメント内ガ-方程式の初期値間切る考察 (ページ 87-103)