右+石=1

(4･67)より,

n12 2n

1 1

< <云

q2 したがって,

n‑2 n‑b

‑< ^‑

2n nq

が成り立てばよいが,これは仮定2<q<2+(4‑2b)/(n12)より満たされる.

ゆえに,次の関係が成立するような自然数Ⅳが存在する:

J11xrb/q(v‑A

‑V‑I)lILq(.xl≦R, <言(mk,

^ml ^≧N)･

これらのことから,

Il(xJ b/q(v‑k

^‑

V‑l)JJLq(Rn)

‑

fllxI‑b/q(v‑A

^‑

V‑l)lILq(Ix15R). IJIxf‑b/q(v‑k

‑

V‑l)IILq(lxI,R)

≦

[JIxl‑b/q(v‑A

^‑

V‑l)JJLq'Ix15R'. HlxIJ/qv‑krlLq(.xl,R,. Illxl‑b/qv‑lllLq(lxl,R,

E E E

<豆+亘+亘=E (mk,ml≧N)A

Eは任意の正数であるので,この不等式は列(Ix｢b/qvmh)がLq(Rn)でのコ‑シー列であることを示している･ゆえに,完備性により列(Ix｢b/qvmk)はLq(Rn)における収束列である. _□

注意4･14･補題4･13で得られた部分列(vmk)に対して,さらに次のことが成り立っ

ている:

vmk ‑｣v inL,q2(Rn) (mk→∞)

‑⇒ Jxl‑b/qvmk^‑ lx｢的v ⁱⁿ L,q(Rn) (mk →∞).

ただし, q2は補題4･13の証明の中に現れるq2である.

実際に,

lxILb/qvmk^→w inL,q(Rn) (mk→∞) とすれば,任意のp∈ Cow(Rn)に対して,

/Rn

lxr‑b/qv‑kPゐ‑

/Rn

^WPdx･

一方,条件

1 1

のもとで‑ルダーの不等式を用いて,

/Rn

lxrb/qv‑kPdx ^‑

/Rn

lx[‑b/qvpdx

/Rn

^lx｢b/q(vmk^‑ ^V)pdx

≦llv‑A^‑

VIILq2(Rn)JIJxl‑b/qpllLqら(Rn)

ここで,補題4.13の証明より

1 b I

‑+‑<‑

q2 nq q

であったから, qの仮定より,

1 b

‑+‑<1

q2 nq

となることに注意すれば,次の不等式

‑=qh11,‑I

すなわち,

b 1 1

石̀有=1"

^q2

は常に満たされる.したがって,

/Rn

lxl‑b/qv‑kゆ‑

/Rn

lxl‑b/qvpdx (‑k ^‑ ‑)I

極限の一意性から,

/Rn

^WPdx ^‑

/Rn

lxl‑b/qvpdx

ゆえに,

w‑lxl b/qv ^a.e.x∈Rn.

定在波解の存在を変分法的手法で示すために,ふたたび3章で考えた最小化問題(3.20),すなわち(3･21)を用いる･ただし, Swの定義式は(4.61)であり, Etま方程式(4.58)のエネルギー汎関

数である.

まず,方程式(4.59)の解の存在を示すために必要な補題を準備する.

補題4･15･n≧3, 0<b<2, 1<p<1+(412b)/nとする･正数αに対して, H,1(Rn)の列 (um)は,

lim llumHL2(Rn)^‑ _v6

mうoo

を満たすものと仮定する.このとき,

1iminfE(um) ^≧^cα

m‑+00

が成立する.

証明･

lLmj&fE(um)

‑+∞のときは明らかに成立するので, 1iminfE(um) ^< +∞として背理法

mうoo

で示す･もし,補題4･15が成立しないとすると,ある正定数Eoと列(um)の部分列(umk)を適当に選ぶことにより,任意のmkに対して,

E(umk) ^≦^cα ^‑eo となるようにできる(補題3.18の証明参照).ここで,

u51k‑(1+A)umk,A‑

IlumhllL2(Rn)^ヽ応 ^‑1

(4.68)

とおけば,

鵬kll2L2(Rn)

^‑ ^α

となり, uたk∈Kαであることに注意する･一方,重み付きハ‑ディ‑型の不等式を用いて,

ll

lxl‑b/(p'1)u‑A

llpL:il(Rn)

^≦^C[lu‑A

lltq;nl)(n12)p‑2b)/21l∇umk Ill:((pR‑nl))'2b)/2

が成り立っことから,

E(u‑A)

‑喜H∇u‑h

^I[2L2(Rn)

‑

pT7711l叶b/'p'1'u‑A

llpL:il(Rn,

･吉Il∇u‑kEli2(Rn)

^‑

Cllumk‖綜,'n‑2'p‑2b''21l∇umh‖iy(pRTnl,'+2b}/2

^(4･69)

pの仮定から(n(p‑ 1)+2b)/2 ^< ^{2となるので,} (4･68)と(4･69)より列(lI∇umkIIL2(Rn))は有界となることがわかる･よって,列(umk)はH,1(Rn)で有界である.ゆえに,

1lumk^‑

u5tkIIHl(Rn)

^‑ llumkllHl(Rn)_‑う0 (mkう∞) を得る･したがって,自然数Ⅳを適当に選べば, (4.68)より,

E(uたk)≦E(u‑A)･吉Eo≦cα一言Eo

^{(‑k≧N)･}

これは, cαの定義式に矛盾する.したがって補題4.15が証明された.

補題4･16･ _n≧3, 0<b<2, 1<p<1+(4‑2b)/nとする.任意のα>0に対して, _{c｡は有限} な負の値をとると仮定する･さらに,正定数αとH,1(Rn)の列(um)に対して,次が満たされて

いるとする:

llumIIL2(Rn)_‑→vG (m→∞), E(um)‑1cα (mヰ∞).

このとき,列(um)のある部分列(umk)とHrl(Rn)の元wが存在して,次が成立する:

umk‑｣w inHl(Rn) (mk→∞),

cα‑E(w), IIwllL2(Rn)‑J&･

さらに,あるLJ>0に対して,関数wは方程式(4.59)の弱解となっている.

証明.証明を4つのステップに分ける.

(ステップ1)列(IIumIIL2(Rn))は有界であり,pの仮定より(n(p‑1)+2b)/2 ^{<2であること} と(4･69)から,列(um)はH,1(Rn)における有界列であることがわかる.ゆえに,補題4.13と注

意4.14より,

](umk) ^⊂ (um), ^]w ∈H,i(Rn);

umk ‑w weakly ⁱⁿ H,1(Rn),

IxI‑b/(p'1)umk‑｣ lx｢b/(p'1)w ⁱⁿ LP'1(Rn).

が成り立つ･ (4.70)と(4.71)より,次も成立する:

llwLIL2(Rn)^≦1iminfl[umhIIL2(a‑)^‑ _ヽ応,

mkう(X)

ll∇umkflL2(Rn)_→β (β≧0)･

ここで, w≠0であることを背理法によって示す･もしw‑0とすると, (4.71)と(4.73)より, E(u‑A)

‑去‖∇u‑A ^l(i2(Rn'‑ pT77Jllxl‑b/'p'1)u‑A

IIpL:il(Rn,

一芸β2

^‑

p771I Ixrb/'p'1'wIIpL:il(Rn)

‑去β2

^{(‑k→∞)･}

一方, (umk)⊂(um)であるから,仮定より,

E(umk)→cα (mkう∞). (4.74)

したがって,

cα‑妄β2≧o

でなければならない･これは, cαが負の値をとるという仮定に矛盾する.したがって, w≠0が

示せた.

(ステップ2)

7‑llwIIま2(Rn)とおくと,

(4･72)より7≦αである･このステップでは,7‑α

かつumkうw inL2(Rn)であることを示す･まず, 7‑αを背理法によって示す. 7<αと仮定

する.このとき,

umk =umh ‑W

とおくと, (4･70)と(4.71)より,

滋mk →O weakly in Hl(Rn), lx｢b/(p+1)滋mh_‑うO ⁱⁿ LP+1(Rn).

さらに,

(滋mk,W)‑｣(0,w)‑0 (mkう∞),

llumkほ2(R‑)

^‑ ^fl&mk⁺ wll2L2(Rn)

‑

ll&mhlli2(Rn)

⁺

lJwlli2(Rn)

⁺ ^2Re(菰mk,W)

→α (mkう∞)

であるから,

H&mkIJ2L2(a‑)‑→α‑7 (mk→∞)

を得る･ここで, 3章(3.30)に対して,次が成立することに注意しておく:

Fl什b/(p'1)u^ lEpL:il(Rn)

‑入叩(p'1)‑n'b

Ll lxrb/(p'1)ullpL:ll(Rn)･

(4.75)

(4.76)

いま, (3･30)で11‑(2‑b)/(p‑1)とおくと, (3.31)‑(3.32)と(4.76)より,入>0に対して,

llu^I佳2(Rn)

‑A

E(u^) ‑A ゆえに, 0<7<αなる7に対して,

41n(p‑1)‑2b

p‑1

n+2‑(n‑2)p‑2b

p‑1

A‑(:)

ullま2(Rn),

F(Ll)

+ 41n(p‑1)‑2b

とおくと,

ffu^lli2'Rn'‑芝‖uJli2'Rn',

^{E(u^)} ^‑

(三)

であるから, cαの定義式より

c7‑

(三)

n+2‑(n‑2)p‑2t･

41n(p‑1)‑2b

が結論される･ここで, 7をα‑7で置き換えると,

Cα‑7 ‑

(竺㌘)

Cα

n+2‑(n‑2)p‑2b 41n(p‑1)‑2b

n+2‑(n12)p12b 41n(p‑1).2b

E(u)

Cα

を得る･もし, q>1ならば, s>oに対してsqは下に凸な関数であるので, Oq+(1‑0)q<1 (0<0<1)

が成立することに注意すると, pの仮定より(n+2‑(n‑2)p‑2b)/(4‑n(p‑1)‑2b)>1であることと,仮定よりcα<oであることから,

n+2一(n12)p‑2b

C7+cα‑7 ⁼ 41n(pll)12b

n+2‑(n‑2)p12b 4‑n(p‑1)12b

cα>cα (0<7<α)･ (4.77)

一方,

E(umk) ^‑ E(滋mk +w)

去‖∇&‑klli2(Rn,

^I Re(∇滋‑A,∇w)

･喜l[∇wlli2'R‑'‑ p7TIIIxrb/'p'1'(崩‑k

w)llpL:Il(Rn,

‑ E(菰mh)⁺ E(w) +Re(∇滋mk,∇w)

‑

pL [lllxI‑b/'p'1)(菰‑A

⁺

w)llpL:il(Rn,

‑

lllxl‑b/'p'1)滋‑A llpL:il(Rn,

^‑

ll

lx1‑b/'p･1)wllpL:Il(Rn)]

と変形して,

E(umk) ^‑ E(&mk) +E(w) +A(&mk,W) A(崩mh,W)^‑ Re(∇菰mk,∇w)

‑

pL [1IIxl‑b/'p･1)(滋‑A

^･

w)LIpL:il(a‑,

‑

1Hx[‑a/'p'1'滋‑k IIpL:il(Rn,

^‑

ll

1叶b/'p'l)wILpL::I(Rn)]

とする･このとき, (∇滋mk,∇w)ー0 (mkう∞)であるから,次が成立する:

A(滋mh,W)→0 (mkう∞)･

(4.78)

この事実,および(4.75)と補題4.15より, (4.78)の両辺において,mk1∞のときの下極限をとると

cα ^‑ liminfE(umk)

mk‑チ(X)

≧1iminfE(崩mk)⁺ E(w) ⁺ 1iminfA(滋mh,W)

rnk ‑斗oo mk 1(X)

≧cα17+c7

を得る･これは, (4･77)に矛盾する･したがって,7‑αと結論される･さらに,このことと(4.70)

より,

llumk

‑Wtlま2(Rn)

^‑

llumklli2(Rn)

‑2Re(umk,W) ⁺ ltwll2L2(Rn)‑0 (mk ^→ ‑)･

ゆえに,

umk →w inL2(Rn).

(ステップ3)このステップでは,cα‑E(w), ^umk ^‑うw inHl(Rn)であることを示す. (4.70), (4･71),(4.74)から,

cα‑ _mh‑+(X)1im E(umh)

･土1i‑^inf ^‖∇u‑A^{‖2L2(Rn'‑}

pT77

mlhii‑Jl

l叶b/'p･1'u‑A

l[pL:Il(Rn)

2mk1∞

･喜Il∇wIIま2(Rn)

^‑

pT7711Ixl‑b/̀p'1'wllpL:il(Rn)

‑E(w).

ところで,ステップ2よりIIwIIL2(Rn)‑v6であるので, _{c｡の定義式より,} cα‑E(w)

でなければならない･これより,ふたたび(4.71)と(4.74)から次を得る:

mlki,‑Jl∇u‑A ^lLi2(Rn'‑ 2忠[E(u‑k,

^･

_pLll

lxl‑a/'p･1)u‑A

llpL:il(Rn,]

‑ 2

(cα.

pLLllx[‑b/'p･1'w[[PL:il(Rn))

‑ 2

(E(‑)

pLllLxl‑b/'p･1'wllpL:ll(Rn,)

‑

ll∇wIIま2(Rn)･

したがって, (4.70)から,

ll∇umk^‑ ∇wll2L2(Rn)^‑

ll∇umkllま2(Rn)

‑ 2Re(∇umk,∇w) ⁺

lI∇wllま2(Rn)

→0 (mkう∞).

よって･ステップ2で得たIlumk‑Wll2L2(Rn)→0 (mk→∞)と合わせて

umk →w inHl(Rn) が結論される.

(ステップ4)あるLJ>0に対して,関数wが方程式(4.59)の弱解となっていることを示す.そ

のために,

T(u)‑Hullま2(Rn),

u∈Hl(Rn), K‑(v∈Hl(Rn); T(v)‑α)

とおけば,これまでの議論から, w ∈Hl(Rn)は, ^w ^∈KでEのK上の極値点であり,

11wllま2(Rn)

^‑

α≠0である･したがって,定理3.ll(ii)を適用すると,

awE(w)v‑入awT(w)v ‑0, ^v ∈Hl(Rn),

入= Re[awE(w)w]

Re[awT(w)w]

したがって,次を得る:

(∇v,∇w)‑(v,fxl blwlp11w)

‑2入(v,w) ^‑0, ^v ∈Hl(Rn),

2入=

ll∇wfli2(Rn)

^‑

IIIxrb/(p'1)w)lpL:il(Rn) lfwllま2(a‑)

ところで,

o ^, ^cα ^‑ E(w)

‑喜‖∇wH2L2(Rn,

^‑

pT771Ifxrb/'p'1)wllpL:il(Rn)

であるから,

‖∇w‖ま2'Rn)

^‑

lllxl‑b/'p'1'wllpL:Il(Rn,

pBllxrb/'p'1)wllpL:il(Rn)

< 0･

よって,入<0でなければならない.そこで,

LJ‑‑2入とおくと,関数wは方程式

(∇v,∇w)+LJ(v,W)^‑ (v,Ix｢blwlp11w)_‑o, ^v ∈Hl(Rn) を満たす.これで,補題4.16の証明はすべて完結した.

それでは,いよいよ補題4.16を使って定在波解の存在を証明しよう.

定理4･17･n≧3,0<b<2,1<p<1+(4‑2b)/nとする.任意のα>0に対して,

0>cα>‑∞であり,

cαを達成するw∈KanH,1(Rn)が存在する.この関数wは,あるLJ>0 に対して方程式(4.59)の弱解となっている.

証明･最初に, cαが有限な負の値となることを示す･ u∈Kaであるようにuを選び, (3.30)で rl‑n/2とおくと, (3･31)‑(3.32)と(4.76)から,任意の入>0に対して,

E(u^) ^‑

^2[;llVulli2(Rn,

^‑

1lu入Ilま2(Rn)

^‑

llulIま2(Rn)

^‑ ^α

A;(p‑1)12+b

p+I

を得る･仮定より,

p<1+(4‑2b)/nであるので,入を

0<入<

l[Ix[‑b/'p'1'uFIpL:il(Rn,]

xf‑b/(p'1)u

llpL:il(Rn)

fl∇ullま2(Rn) )

i/(2‑b‑;(pll)) ととれば, u入∈KckかつE(u入)<0となる.したがって, cα<0である.

一方, p<1+(4‑2b)/n,すなわち(nb‑1)+2b)/2<2であることと(4.69)から,次の関係が結論される:

o , cα ≧

sigf.[;s2

^‑

cα{n･2‑'n12)p‑2b'/4

s{n'p‑1'･2b'/2]

^, ^‑‑･

ゆえに, cαは有限な負の値となる.

次に,後半の主張を示す･ cαの定義式より, K｡の元の列(um)で, E(um)→cα (mう∞), cα≦E(um) (m≧1)

を満たすものがとれる･列(um)の各元の対称減少再配分u㌫を考えると,補題3.12より, llu㌫l】L2(Rn)^‑ llumHL2(Rn)^‑ J&

であるから,

(u㌫)^⊂ ^Kα ⁿ H,1(Rn).

また,

HIxrb/qu*lILq(Rn)

^‑

(llxl‑b/qullLq(Rn)

⁽¹^≦^q ^< _∞)

が成立していることに注意すれば,

cα ≦E(u㌫)

〒妄‖∇舶2(Rn'‑ p7了Iflxl‑b/'p･1'u訓

･去lI∇u‑Fli2'Rn'‑ p7illl叶b/'p･1'u‑ll

‑ E(um)

p+1 Lp+1 (Rn)

p+i LP+1 (Rn)

であるから,

E(u㌫)→cα (mう∞).

ゆえに･列(u㌫)は補題4･16の仮定をすべて満たすので,補題4･16より,列(u㌫)の部分列(u㌫ん)

とw ∈H,1(Rn)が存在して次が成立するようにできる:

u㌫h‑w inHl(Rn) (mk→∞), cα‑E(w), HwJIL2(Rn)_‑〜応･

すなわち, c｡を達成するw ∈KanH,i(Rn)が存在する.さらに,補題4.16の後半より,ある LJ>0に対して,関数w ∈H,1(Rn)は方程式(4.59)の弱解となる. ^口

4･7 定在波解の存在と不安定性(1+(412b)/n<p< 1+(4‑2b)/(n‑2)の場合)

本節では,

n≧3,0<b<2, 1+竺二空<p<1+生二空_n

n‑2

のときの,定在波解の存在を示す･なお,その不安定性は,初期値間題の一意可解性の仮定から,

n≧3,0<b<竺,1+竺二空<p<1+n n

4‑2b n12

のときに示されることになる.

まず,定在波解の存在証明から始めるために, Hl(Rn)上の汎関数Tを次のように定める:

T(u) ^‑

2I[∇u"i2(Rn)

^‑ ^n(p‑1)+2b_p+1

xL‑b/(p'1)ullpL:Il(Rn),

^u ^∈ ^Hl(Rn)･

これは,本章の(4.56)における右辺の時間積分の中に,被積分関数として現れるものであること

に注意しておく. w>0に対して,次のような最小化問題を考える:

cu ⁼

uiEnL

Sw(u)･ (4.79)

ただし,

K‑(u∈Hl(Rn); _u≠0, T(u)‑0)

とする.このとき,この最小化問題を考えることは,次の最小化問題を考えることと同じである:

cw ⁼

uiEnL

Jw(u), JLJ(u)^‑ n(p‑1)+2b‑4

n(p‑I)+2b

∇叫lま2(R‑)

⁺

LJI[ulLi2(Rn)･

(4.80)

いまp> 1+(4‑2b)/nを仮定しているので, JLJ(u)の定義式における右辺の第1項の係数は正

となる.したがって, cwは有限な非負の値をとる.

定理4.18.n≧3, 0<b<2, 1+(4‑2b)/n<p<1+(4‑2b)/(n‑2), LJ>0とする･このとき, CLJ >0であり, cLJを達成する最小化問題(4.80)(あるいは(4.79))の解w∈KnH,1(Rn) が存在する･また,関数wは方程式(4.59)の弱解となっている.

証明. 2つのステップに分けて進める.

(ステップ1) cLJを達成する(4.80)の解w∈KnH,1(Rn)の存在を示す･

cLJの定義よりm∈Nに対して,次が成り立つ:

](um)⊂K; Jw(um) ^→cLJ (mう∞).

このとき,汎関数Jwの定義より,列(um)はHl(Rn)の有界列となる･そこで,列(um)の各元の対称減少再配分u㌫を考えると,補題3.12より,次を満たすようなH,1(Rn)の有界列(u㌫)が

とれる:

‖umq'Rn)‑‖u‑‖Lq(Rn,,

2≦q<2+話芸,

Illxl‑b/qu芸北q(Rn)

^‑

(IIxl‑b/qu‑IILq(Rn),

² ^≦q< ²⁺

lL∇u訓L2(Rn)^≦ll∇umllL2(Rn)･

T(u㌫)≦T(um)‑0 (m≧1)

4‑2b n‑2'

したがって,

となる･もしT(u㌫)‑0であるときはvm‑u㌫とおく･もしT(u㌫)<0ならば T(入u㌫)^‑

2入21l∇u㌫lli2(Rn)一入P'1

^n(pll)+2b

p+ 1 ^‖lwlxl‑b/(p+1)uiwmllLp+1(Rn)llぞナチ ₌₀ となるような入(0<入<1)を選び, vm‑入u㌫とおく.実際, p+1>2であることから,この

ようなpはただ一つ存在する･こうして得られた列(vm)に対しては,

γm∈∬ (m≧1).

また,

Jw(vm)‑入2Jw(u㌫) (0<入≦1), JLJ(u㌫)^≦Jw(um)

であるから,

cw ≦JLJ(vm)≦Jw(u㌫)≦Ju(um) (m≧ 1) が満たされている･したがって,列(vm)はH,1(Rn)の有界列であり,

Jw(vm)‑CLJ (mう∞) が成立する.さらに,補題4.13と注意4.14を用いれば,次が成立する:

∃(vmh)^⊂ (vm), ^]w ^∈ H,1(Rn);

vmk →w weakly inH,i(Rn),

lxl‑b/(p'1)vmk^→ lx｢b/(p+1)w ⁱⁿ LP'1(Rn).

次に, w∈Kかつcu‑Jw(w)であることを示す.まず(4.81)より,

cLJ ^‑ 1im JLJ(vmh)

mk1(X)

> n(pll)+2b14 n(pll)+2b n(pll)+2b‑4 n(p‑1)+2b

一方, T(vmk)‑0であるから,

T(w) ^‑

21l∇wJIま2(Rn)

^‑

liminf ll∇vmkll2L2(Rn)⁺ ^LJ ^liminf llvmk

llま2(Rn)

mkう∝) mkう(X)

F∇wllま2(Rn)

⁺

LJIIwlli2(Rn)

^‑ ^Ju(w)･

n(p‑i)+2b

p+1

≦21iminfmkうoo

fI∇vmhlIま2(Rn)

^‑

= 1iminf

mkう00

xr‑b/(p'1)w

llpL:Il(Rn)

n(p‑1)+2b

p+1

21I∇vmhJli2(Rn)

^‑

mlki.mJl

lxl ^b/(p'1)v‑A

IIpL:il(Rn)

n(p‑1)+2b

p+1 lxI b/(p'1)vmk^p+1

Lp+1(Rn)

(4･83)

を得る･ここで, T(w)‑0であることを背理法で示す･もし, T(w)<0とすると, 2II∇wll2L2(Rn)^<

であるから, w≠0となる.よって,

n(p‑1)+2b

p+1

T(入w)^‑ 2入2Ll∇w[L2L2(Rn)一入P'1

xl‑a/(p'1)wIIpL:Il(Rn)

n(p‑i)+2b

p+I

wIIpL:Il(Rn)

^‑ ⁰

となるように入(0<入<1)を選べば,入w∈Kであり, 0<入<1と(4.83)より, Jw(入w)ニス2Jw(w)^< JLJ(w)^≦^CLJ

となる･これは, cLJの定義式に矛盾する.したがって, T(w)‑0でなければならない. ^w∈Kであることをいうためには,あとw≠oであることを示せばよい･そこで, vmh∈Kであることと重み付きハ‑ディ型の不等式を用いて,

ll∇vmkll2L2(Rn)^‑ n(p‑1)+2b

2(p+1) ^lllw'x[‑b/(p'1)vmkumkLILp'1(Rn)

HpL:i

≦cllvmk

ll指ニ)(n

^1l

∇vmh雌((pR‑nl))+2b)/2 2)p‑2b)/2

いま, ^vmk

≠0であるので,上の不等式の両辺をIl∇vmkllま2(Rn)で割ると,

1 ≦

Cllv‑k雌芯)(n12)p

^1l∇vmk

Lliq((pR‑nl))+2b‑4)/2 2b)/2

ただし,右辺の定数Cはmkにはよらない.もし, w‑0とすると(4.82)より,

ll∇vmkllま2(Rn)

^‑ ^n(p‑1)+2b

→

2(p+1) ^Ill n(p‑i)+2b

2(p+1)

:r ‑b/(p'1)v‑A

llpL:il(Rn) xl‑b/(p'1)wIIpL:il(Rn)

(4.84)

‑0 (mkう∞)

となる･列(vmk)はH,1(Rn)での有界列であるので,列帥mkllL2(Rn))は有界となる･ここで, pの仮定から(n(p‑1)+2b‑4)/2>0であることに注意して,不等式(4.84)の両辺において

mk1∞のときの極限を考えると,右辺う0となり矛盾が生じる.したがって, w≠0が示された･以上より, w∈Kが結論される･さらに, (4.83)とcuの定義より,

cLJ ^‑ JLJ(w)^> ⁰ を得る.

(ステップ2)ステップ1で求めたw ∈KnH,1(Rn)が方程式(4.59)の弱解になっていること

を示す.

ステップ1で求めた関数w∈KnH,1(Rn)は,最小化問題(4･79)の解であるから, ^w ^∈Kは SwのK上の極値点である･よって定理3.ll(ii)を適用すると次の関係式を得る:

awsLJ(w)v一入awT(w)v‑0, v∈Hl(Rn),

入= Re[awSLJ(w)w]

Re[awT(w)w]

このとき,

auT(u)v ^‑ 2(∇v,∇u)^‑

である.ここで, _w∈Kより,

21lVwl[2L2(Rn)^‑

であるので,

n(p‑1)+2b

p+1

Re[∂wT(w)w]^‑

2II∇wLlま2(Rn)

^‑

(v,lx｢blulp 1u)

叶b/(p'1)wIIpL:il(Rn)

^‑ ⁰

n(p‑1)+2b

n(p‑1)(p‑1+普)

2(p+1)

xl^‑b/(p'1)w

llpL:Il(Rn) lllxrb/(p'1)wllpL:il(Rn)

^< ^0･

(4.87)

したがって, wはRe[awT(w)w] ≠0となるHl(Rn)の元であり定理3･11(ii)の仮定はすべて満た

されていることに注意しよう.

次に,A‑0であることを示す.関数wに対して, rl‑(2‑a)/(p‑1)とした(3･30)によって与えられる関数をw入とする･このとき, (3.31卜(3.32)と(4.76)より,

llw入Ili2(Rn)

^‑A 4‑n(p‑1)‑2b

p‑1

llwllま2(Rn), ll∇w入IIま2(Rn)

^‑A

IIw入IIpL:Il(Rn)

^‑A

T(w^) ^‑ ^A

n+21(n12)p12b

p‑1

n+2‑(n12)p12b

p‑1

n+2‑(n‑2)p12b

p‑1

lI∇w恨2(Rn),

lL Ixl‑a/(p'l)w]lpL:il(Rn)･

T(w)‑0, ^{^>0}

よって,

となり,すべての入>0に対して, w入∈Kとなる. wはJwのK上での最小値を達成する関数であるので,

JLJ(w入)≧JLJ(w), ^入>0

でなければならない.したがって,次の関係式を得る:

n+2‑(n‑2)p‑2b

p‑1 n(p‑1)+2b‑4

n(p‑I)+2b

∇wIIi2(Rn)

^+A

n(p‑1)+2b‑4 n+2‑(n‑2)p‑2b n(pll)+2b ^p‑1

=0.

この関係式と(4.87)より,

LJIIwLIま2(Rn)

^‑

lI Ix｢b/(p'1)wll

4‑n(p‑i)‑2b

p‑1

LJllw11ま2(Rn)

∇w[[ま2(Rn)

⁺

n+2‑(n‑2)p‑2b n(p‑1)+2b

p+1 2(p+ 1)

41n(p‑1)‑2b

p‑1

Vwll2L2(Rn),

Lp'l(Rn) ^‑

n(p‑ 1)^+2b

∇wllま2(Rn)

LJIIwlli2(Rn)

これらを用いて,

awSLJ(w)w ^‑ ⁰

が示される･したがって, (4.86)から入‑0が結論できる.

入‑0が示せたので, (4.85)から,

awsw(w)v‑o, v∈Hl(Rn)

を得る･これは,関数w∈KnHrl(Rn)が方程式(4.2)の弱解であることを示している. 口

定理4･18で求めた方程式(4.59)の解から,(4.60)によってつくられる方程式(4.58)の定在波解 γが不安定であることを示す.その証明の前に,補題を3つ準備しておく.

補題4･19･n≧3, 0<b<2, 1+(4‑2b)/n<p<1+(4‑2b)/(n‑2), LJ>0とし,関数uは, T(u)<0,

Su(u)<cw

を満たすような任意のHl(Rn)の元とする.このとき,次の不等式が成立する:

T(u) ^≦SLJ(u)^‑ ^CLJ.

証明.入>0とする･関数uに対して,

17‑n/2とした(3.30)によって与えられる関数をu入とす

る･このとき, (3.31)‑(3.32)と(4.76)より, llu入Il2L2(Rn)^‑

llullま2(a‑),

JIVu^112L2(Rn)^‑ ^21lVufl2L2(Rn),

ll

lxI‑b/(p'1)u^

IIpL:il(R‑)

‑A(n(p‑1)+2b)/2

ll lxl‑b/(p'1)ul[pL:il(Rn)

であるから,次が成立する:

T(u^) ^‑ ^{^2}

[ 2H∇ullま2(Rn)一入†n(p‑1)'2b14)/2

^n(p‑1)+2b

p+1

l叶b/'p･1)uIIpL:il(Rn)],

^(4･88)

sw(u入)

‑入2‖∇u[1i2'Rn'･

wLluII2L2(Rn'一入{n'p11)+2b'/2

pTLIIlx[‑b/'p'1)uIIpL:il(a‑)･

(4･89)

仮定より, T(u)<0, n(pll)+2b‑4>0であることと(4.88)から,

0<^*<1, T(u^･)‑0, T(u入)<0 (入*<入≦1) を満たす定数入*がただ1つ存在することがわかる.一方,

孟sw(u入)

^‑

2入‖∇ulli2(Rn,

^‑ ^n(p‑1)+2b_p+1 A(n(p‑1)+2b‑2)/2

1I IxI‑b/(p+1)uIIpL:ll(Rn),

孟su(u入)

^‑

2‖∇uIIi2(Rn,

(n(p‑1)+2b)(n(pll)+2b‑2) 2(p+1)

である･ここで, h(A)‑SLJ(u入)とおくと,

A(n(p‑1)+2b‑4)/2

I1 1x[‑b/(p'1)ullpL:il(Rn)

h'(1)‑T(u).

pの仮定から, (n(p‑1)+2b‑2)/2>1であるので,入*≦入≦1のときT(u入)≦0より, h′′(A)^≦ n(p‑1)+2b‑2 n(p‑i)+2b

p+1

A(n(p‑1)'2b‑4)/2

ll lxrb/(p'1)uIIpL:il(Rn)

したがって,テイラーの定理より,ある定数β(o<β<1)に対して,次式が成立する:

h(m‑h(1)I("‑i)h'(1)･;("‑1)2h"(1･0(*‑1))･

ゆえに, (4.90)と(4.91)より,

SLJ(u入*)^≦SLJ(u)⁺ (入*^‑ 1)T(u).

(4.90)

<0.

(4.91)

u入* ∈Kであるので, cw≦SLJ(u入*)とo<入*<1に注意すると,

･(u)

≦去札(u)

‑Sw(u"))

･

i去札(u)

^‑cw)

≦Sw(u)^‑cw が結論される.

補題4･20･n≧3, 0<b<2, 1+(412b)/n<p<1+(4‑2b)/(n‑2), w>0とする.ここで, d<cLJであるような実数dに対して,

Ad‑(u∈Hl(Rn); T(u) ^<0, Sw(u) ≦d)

とおく･ 0<T≦+∞とし,初期時刻i‑0でuo∈Adを初期値とする方程式(4.58)の解uが時間区間[0,T)上で存在し,

u E C([0,T);Hl(Rn)) ⁿ Lr([0,T);Lq(Rn)),

∇u∈Lr((0,T');Lq(Rn)), 0<Tl<T

を満たすものとする･ただし, qは補題4.3によって得られるqで, rは

;‑n(;‑;)

を満たす定数である.このとき,次が成立する:

u(i)∈Ad, i∈【0,T).

証明は, 3章補題3.27と同じのため省略する.

補題4･21･n≧3, 0<b<2, 1<p<1+(4‑2b)/(n‑2),LJ>0とする.このとき,方程式 (4.59)の球対称な弱解uは,ある正定数aに対して,

eaExlu ^∈ L2(Rn)

を満たす.

証明.補題3.15より,

u(rトう0 (r‑lxlう∞)

であるから,

V=u eXP , a,E>0

ドキュメント内ガ-方程式の初期値間切る考察 (ページ 103-125)

J11xrb/q(v‑A

‑V‑I)lILq(.xl≦R, <言(mk,

Il(xJ b/q(v‑k

V‑l)JJLq(Rn)

fllxI‑b/q(v‑A

V‑l)lILq(Ix15R). IJIxf‑b/q(v‑k

V‑l)IILq(lxI,R)

[JIxl‑b/q(v‑A

V‑l)JJLq'Ix15R'. HlxIJ/qv‑krlLq(.xl,R,. Illxl‑b/qv‑lllLq(lxl,R,

/Rn

/Rn

/Rn

/Rn

/Rn

VIILq2(Rn)JIJxl‑b/qpllLqら(Rn)

‑=qh11,‑I

石̀有=1"

/Rn

/Rn

/Rn

/Rn

lLmj&fE(um)

u51k‑(1+A)umk,A‑

鵬kll2L2(Rn)

ll

llpL:il(Rn)

lltq;nl)(n12)p‑2b)/21l∇umk Ill:((pR‑nl))'2b)/2

‑喜H∇u‑h

pT7711l叶b/'p'1'u‑A

llpL:il(Rn,

･吉Il∇u‑kEli2(Rn)

Cllumk‖綜,'n‑2'p‑2b''21l∇umh‖iy(pRTnl,'+2b}/2

u5tkIIHl(Rn)

E(uたk)≦E(u‑A)･吉Eo≦cα一言Eo

‑去‖∇u‑A l(i2(Rn'‑ pT77Jllxl‑b/'p'1)u‑A

IIpL:il(Rn,

一芸β2

p771I Ixrb/'p'1'wIIpL:il(Rn)

‑去β2

cα‑妄β2≧o

7‑llwIIま2(Rn)とおくと,

llumkほ2(R‑)

ll&mhlli2(Rn)

lJwlli2(Rn)

Fl什b/(p'1)u^ lEpL:il(Rn)

Ll lxrb/(p'1)ullpL:ll(Rn)･

llu^I佳2(Rn)

A‑(:)

ullま2(Rn),

ffu^lli2'Rn'‑芝‖uJli2'Rn',

(三)

(三)

(竺㌘)

去‖∇&‑klli2(Rn,

･喜l[∇wlli2'R‑'‑ p7TIIIxrb/'p'1'(崩‑k

w)llpL:Il(Rn,

pL [lllxI‑b/'p'1)(菰‑A

w)llpL:il(Rn,

lllxl‑b/'p'1)滋‑A llpL:il(Rn,

ll

lx1‑b/'p･1)wllpL:Il(Rn)]

pL [1IIxl‑b/'p･1)(滋‑A

w)LIpL:il(a‑,

1Hx[‑a/'p'1'滋‑k IIpL:il(Rn,

ll

1叶b/'p'l)wILpL::I(Rn)]

‑Wtlま2(Rn)

llumklli2(Rn)

mlhii‑Jl

l[pL:Il(Rn)

･喜Il∇wIIま2(Rn)

pT7711Ixl‑b/̀p'1'wllpL:il(Rn)

mlki,‑Jl∇u‑A lLi2(Rn'‑ 2忠[E(u‑k,

pLll

llpL:il(Rn,]

(cα.

pLLllx[‑b/'p･1'w[[PL:il(Rn))

(E(‑)

pLllLxl‑b/'p･1'wllpL:ll(Rn,)

‑去‖∇u‑A ^l(i2(Rn'‑ pT77Jllxl‑b/'p'1)u‑A

mlki,‑Jl∇u‑A ^lLi2(Rn'‑ 2忠[E(u‑k,

_pLll