入= 筈((),

を得る.ここで,

であるから, (3.13)より,

注意3･13･ (i)Rn上の関数v(x)がv(x) ‑v(lxJ)であるとき,関数vは球対称である

という.

(ii)(3.14)‑(3.17)を満たすような関数γ*をγの対称減少再配分という.

定義3･14･ _m∈N, 1≦q≦∞に対して,関数空間H,m(Rn)とL,q(Rn)を次のように定める:

H,m(Rn) ^‑ (v^∈Hm(Rn); v(I) ‑v(Ixl)), Lぎ(Rn)^‑ (v^∈Lq(Rn); v(x) ‑v(lx()).

補題3･15･ n≧2とし, v∈H,1(Rn)と仮定する･このとき,次の不等式が成立する:

JIvllL‑(lxl,R)^≦CR‑(n‑1)/2IIvLIHl(Rn),^{R > 0･}

ただし,正定数CはRとvには依存しない.

証明･ v∈Cou(Rn)かつv(I)‑v(lxI)とする･このとき, lv(r)f2^‑

‑/∞孟Fv(r,)I2dr,

‑

‑2J∞Re[v(r,)孟"r,)]

^dr,

v(r')‑ul+iu2, VL(r')‑ul‑iu2とおくと,

J∞ (ulS+u22)

^dr′

･ ²

[(J∞ ･ul･2dr,)1/2(J∞恩l2dr,)1/2. (J∞ ･u2･2dr,)1/2(JWdr,)l/2]

･

c(J∞.v(r,,.2dr,)

1/2

(Ju(r,,l2dr,)1/2

ここで, 1=r'n‑1r'‑(nll)と考えると, r<r′<∞より1<rln‑1r‑(n‑1)であるから,

･ ･ ･

≦^cr‑(n‑l,

(J∞

･v(r,,･2r,(n‑i,

dr,)1/2 (J∞l孟v(r,,I2r,(n‑1, dr,)1/2

≦cr‑(nll)llvl(L2(a‑)ll∇vl[L2(Rn)･

よって,

Iv(r)l^≦

Cr‑(nll)/2Ifvlli/22(Rn)H∇vllL/,2(Rn)

≦

cR‑(n‑1)/2JIvl[L/,2(Rn) ll∇v[[i/22(Rn)

≦cR‑(n‑1)/21lvlrHl(a‑), ^{r > R > 0･}

Cocx'(Rn)はH,1(Rn)で桐密であるので,このことから証明すべき不等式が結論される. 口

補題3･16･ n≧2とし, 2<q<p*(n)+1と仮定する･このとき, H,1(Rn)からL,q(Rn)‑の埋

め込みはコンパクトである･すなわち, H,i(Rn)の任意の有界列(vm)から適当に部分列(vmk)を 選び,その列(vmh)がL,q(Rn)における収束列となるようにできる.

証明･ H,1(Rn)の任意の有界列を(vm)とし,

Bk‑(x∈Rn; lxl<k) (k‑1,2,3,…) とおく･このとき,関数pl(I)∈Con(Rn)を

pl(I,‑(三::;:;;),2,

であるようなものとすれば,

pIVm∈Hol(B2)となる.また,

llpIVmllHl(B2)^≦C

(JIvmllL2(Rn)

⁺

II∇vml(L2(Rn))

であるから, (plum)はHol(B2)における有界列となる.したがって,レリッヒのコンパクト性定

理より, L2(B2)で収束列となるような部分列(pIVmk)がとれる.次に,ソボレフの埋蔵定理を用

いれば, (pIVmk) ⊂Hol(B2)であることと,(pIVmh)がL2(B2)における収束列であることにより, HpIVmk ^‑ PIVmllLLq(B2)

≦cIIpIVmk

‑PIVmlll訪(aB2)lI∇(pIVmk

^‑ PIVml)f[呈2(B2)^{‑0 (k,l→} ∞)･

したがって, (pIVmk)はLq(B2)のコ‑シー列であり,完備性により収束列であることがわかる.

さらに,

llpIVmk_‑ PIVmlIILq(Bl)^≦llpIVmk^‑ PIVmll[Lq(B,)

であるから, (pIVmk) ‑(vmk)(x∈Bl)はLq(Bl)における収束列となる.

以上のようにして, (vm)から, Lq(Bl)で収束列となるような部分列(vlm)がとれる.同様の 操作を行えば,ふたたびレリッヒのコンパクト性定理とソボレフの埋蔵定理を用いて, (vlm)か

らLq(B2)で収束列となるような部分列(v2m)がとれる.この操作を繰り返すことにより, (vkm); Lq(Bk)における収束列,

(vm)⊃(vlm)⊃‑･⊃(vim)⊃･･･

となる部分列(vkm)が各k∈Nに対してとれる.ここで対角論法を用いる.各k∈Nに対して, 部分列(vkm)の元(vkk)をとり出して石k‑Vkkとおき, (vm)の部分列(bk)をつくる.このよう にしてつくられた部分列(bk)は各j ∈Nに対してLq(Bj)での収束列となっている.

次に,こうして構成された(vm)の部分列(bk)がL,q(Rn)でコ‑シー列となっていることを示

す･仮定より(i)k)はH,1(Rn)の有界列であるので,条件1/∞+1 ^‑ 1のもとで‑ルダーの不等式 と,補題3.15を用いて次が成り立つ:

･bk..Lq(･x.,R,^‑

(/I.,R ‑k･2dx)

1′q

≦

(‖石kF[qL13(.I.,R,=bklli2(.x.,R,)

^1′q

‑ llbk

I(iq=2l)I/lq,R)

^]Ibk

lly2q(lxl,R)

≦

cR一群116k II望T(2i/nq,

^l[bkll2H'1q(Rn,

‑

cR一也二皆丑IlbkHHl(Rn),

^{R , 0･}

よって,任意のE>0に対して,十分大きなR>0をとれば,次の不等式が成立する:

E

llbk=Lq(lxl,R)<互･

一方, j>Rとなるようなj∈Nに対して列(6k)はLq(Bj)で収束列であるから,次の関係が 成立するようなⅣ∈Nが存在する:

ll石k‑blIILq(Bj)<妄(k,l≧Ⅳ)･

したがって,

llbk‑ill(Lq(Rn)^‑ l挿k‑bllILq(Bj)⁺ ll石k^‑ blllLq(Ixl'j)

≦ll石k^‑ bllILq(Bj)⁺ ll6k=Lq(lxl'j)⁺ llbl=Lq(I叫'3･)

･妄･言+芸‑E

^(k,l≧N)･

Eは任意の正数であるので,この不等式は列(i)k)がLq(Rn)でのコ‑シー列であることを示して

いる･ゆえに,完備性により列(i)k)はLq(Rn)における収束列である. ^□

3･4 定在波解の存在と安定性(1<p<1+4/nの場合)

LJ>0とする.任意のα>0に対して,次のような最小化問題を考える:

bα^‑

uiEnKfaSw(u)･ (3.20)

ただし,

Ka‑(u∈Hl(Rn); ‖uLIL2(Rn)‑v石), α>o･

b｡が有限な値でb｡‑Sw(u)となるu ∈Kaが存在するとき, b｡とuをそれぞれ最小化問題(3.20) の最小値と解という･この最小化問題を考えることは,汎関数SLJの定義式(3.4)から次の最小化 問題を考えることと同じである:

cα‑ inf E(u).

u∈Kα

(3.21)

ただし,別ま方程式(3.1)のエネルギー汎関数である.このとき,

bα^‑ 2cα+LJα

という関係が成立する.最小化問題(3.21)で最小値cαを達成するw^∈Kαが存在すれば,それが 方程式(3.2)の解の候補となる.

方程式(3.2)の解が存在することを証明するために,まず次の補題を準備する.この補題は,非 常に重要である･成立を認めてしまえば,方程式(3.2)の解の存在,さらには定在波解の安定性を

示すことができる.

補題3･17･ n≧2, 1<p<1+4/nとする.任意のα>0に対して, cαは有限な負の値をとると 仮定する･さらに,正定数αとH,1(Rn)の列(um)に対して,次が満たされているとする:

llumllL2(Rn)→J& (m→∞), E(um)→cα (mう∞).

このとき,列(um)のある部分列(umk)とH,1(Rn)の元wが存在して,次が成立する‥

umh→w inHl(Rn) (mk→∞),

cα‑E(w), flwIIL2(Rn)‑v石･

さらに,あるLJ>0に対して,関数wは方程式(3.2)の弱解となっている.

補題3.17の証明で必要となる次の補題から示す.

補題3･18･ _n≧2, 1<p<1+4/nとする･正数αに対して, H,1(Rn)の列(um)は,

lim llumrlL2(Rn)^‑ _vG

m 1(X)

を満たすものと仮定する.このとき,

liminfE(um) ^≧cα

rnう(X)

が成立する.

証明･ 1iminfE(um) ‑+∞のときは明らかに成立するので, liminfE(um) ^{< +∞として背理法}

mうoo m1(x)

で示す･ liminfE(um) ^‑

ml恵まn,flE(um･n)に注意して,

mう(X)

まn,flE(um･n)

^{‑ αm,}

ml曳αm

‑ i

とおく.もし補題3.18が成立しないとすると, l<cαであるから,ある正定数Eoが存在して,

l+2Eo<cα

が成り立っ･一方, αmは単調増加であるから,任意のE>0に対して, mを十分大にとれば, l‑E<αm≦l.

さらに,

αm‑まn,flE(um･n)であることから,このEに対して,

]n∈N; E(um+n) ^<αm+E.

したがって,

cα>cα‑Eo>l+Eo≧αm+Eo>E(um+n)

であり,

∃Eo, ](umh) ⊂(um); E(umk) ^≦cα‑Eo

が成り立つとしてよい.ここで,

u51k‑(1+A)umk,A‑

llumkllL2(Rn)^{〜応 ‑1}

(3.22)

とおく,このとき,

lfuたhlIま2(Rn)

^{‑ α}

となり, u2tk∈Kα であることに注意する･

一方, pの仮定より,ソボレフの埋蔵定理を用いて,

llu‑k

IIpL:il(Rn)

^≦

CIIu‑k雌芯)(n‑2)p)/2

^1l∇umk

llnL(,TRln))/2

が成り立っことから,

E(u‑k)

‑去1l∇u‑hlFま2(Rn)

^‑

p77‖u‑kHpL:il(Rn)

1

･芸‖∇umk‖ま2(Rn, ‑CHumhl綜,'n‑2'p}/2‖∇umkIInL'2%1n',/2･

^(3･23)

仮定からn(p‑1)/2 ^{< 2となるので,} (3･22)と上の不等式より列(Il∇umhllL2(Rn))は有界となる ことがわかる･よって,列(umk)はH,1(Rn)で有界である.ゆえに,

Hunk ^‑

uたkllHl(Rn)

^‑ IIumkIIHl(Rn)→0 (mk1∞) を得る･したがって,自然数Ⅳを適当に選べば, (3.22)より,

1

E(uたk)≦E(u‑A)･喜Eo≦cα一亘E.

^{(‑k≧N)･}

これは, cαの定義式に矛盾する.したがって補題3.18が証明された. ^[コ

補題3.18を用いて,補題3.17を証明する.

補題3.17の証明.証明を4つのステップに分ける.

(ステップ1)列(llumIIL2(Rn))は有界であり,pの仮定よりn(pll)/2<2であることと(3･23) から,列(um)はH,1(Rn)における有界列であることがわかる.よって,補題3.16を用いると,

](umh) ^⊂ (um), ^{]w ∈} LP+1(Rn); ^umk ‑→w inLP+1(Rn)

がいえる･さらに, (umk)はH,1(Rn)における有界列であるから,

](umk′)^⊂ (umk), ^{]a ∈}H,1(Rn); ^{umk, →a} weakly inH,1(Rn).

このとき, umk′‑w weaklyinH,i(Rn)でもあるから, w‑aである.ゆえに,改めて次が成 立するようにできる:

](umk) ^⊂(um), ^{]w ∈}H,1(Rn);

umk →w weakly in H,1(Rn),

umk →w inLP+1(Rn).

llwllL2(Rn)^≦1iminf HumkFIL2(Rn)^‑ _ヽ応,

mk一寸(X)

ll∇umkIIL2(Rn)_→β (β≧0)･

(3.24)より,次も成り立っ:

ここで, w≠0であることを背理法によって示す･もしw‑0とすると, (3.25)と(3.27)より, E(u‑k)

‑妄‖∇u‑kllま2(Rn'‑ pT77[Iu‑kFIpL:il(Rn,

1

1

一三β2

^‑

pTTT7‖wflpL:il(Rn, ‑喜β2

^{(‑k ‑ ‑)･}

一方, (umk)⊂(um)であるから,仮定より,

E(umk)→cα (mkう∞). (3.28)

したがって,

cα‑去β2≧o

でなければならない.これは, cαが負の値をとるという仮定に矛盾する.したがって, w≠0が

示せた.

(ステップ2)

7‑llwIIi2(Rn)とおくと,

(3･26)より7≦αである･このステップでは,7‑α

かつumkうw inL2(Rn)であることを示す･まず, 7‑αを背理法によって示す. 7<αと仮定 する.このとき,

umk =umk‑W

とおくと, (3･24)と(3.25)より,

崩mk ‑0 weakly ⁱⁿ Hl(Rn),

崩mた‑0 inLP+1(Rn).

さらに,

(滋mk,W)→(0,w)‑0 (mkう∞),

HumkHi2(Rn)

^{‑ lI&‑A}

+wHま2(a‑)

‑

H&mhlli2(Rn)

⁺

lJwlは2(Rn)

⁺ 2Re(滋mk,W)

→α (mkう∞)

であるから,

ll&mklli2(Rn)

^{‑α‑7 (mk→∞)}

を得る･ここで･次のような事実に注意しておく･もし,

u∈Hl(Rn)に対して, u入(I)‑入りu(入x),^入>0, r7∈R

とおくと,次が成立する:

llu入Iri2(Rn) ‑入2り‑nllulは2(Rn),

IJ∇u入Ili2(Rn)ニス2叩In+2H∇ulIま2(Rn), Jlu入IIpL:il(Rn)

^‑

M(p+1)‑nlluJIpL:il(Rn)･

いま, (3･30)でり‑2/(p‑1)とおくと, (3.31)‑(3.33)より,入>0に対して,

lfu入Iは2(氏‑) ‑入響IIuHi,(Rn),

n+2‑

E(u^) _‑A

ゆえに, 0<7<αなる7に対して,

とおくと,

(n12)p

p‑I

A‑(=)

E(u)

̲｣L4‑n(pll)

llu^lri2(Rn'‑三IIulJi2(Rn',

^{E(u^) ‑}

(≡)

n+2‑ (n‑2)p 4‑n(pll)

E(u)

(3.29)

(3.30)

であるから, cαの定義式より

c7‑

(≡)

^{n+21(n‑2)p4‑n(p‑1)}

が結論される･ここで,

7をα‑7で置き換えると,

Cα‑7 ^‑

LE:t'≡

^Cα

ラ

Cα

n+21(n‑2)p 4‑n(pll)

を得る･もし, q>1ならば, s>oに対してsqは下に凸な関数であるので,

Oq+(1‑0)q<1 (0<0<1)

が成立することに注意すると, pの仮定より

n+21(n‑2)p 4‑n(p‑1)

であることと,仮定よりcα<oであることから,

c7+cα‑7 ^‑

>1

n+2‑(n‑2)p

]

^cα>c｡ (0<7<α)･ (3.34)

一方,

E(umk) ^‑ E(崩mk+w)

‑喜‖∇&‑hr･i2(Rn'+

Re(∇崩‑k,∇w,

･喜‖∇w.･i2(Rn,

^{‑ pTTf7･.i‑kI}

wJIpL:il(Rn)

1

‑ E(菰mk)⁺ E(w) +Re(∇滋mk,∇w)

‑

pit [･.滋‑k

⁺

w･･PL:il(Rn)

^{‑ ･･&‑A}

HpL:il(Rn)

^‑

‖w..PL:il(Rn)]

と変形して,

E(umk) ^‑ E(iimh)⁺ E(w) ⁺ A(菰mk,W), A(&mk,W) ^‑ Re(V&mk, Vw)

‑

pL [H&‑A

^I

wr･PL:il(Rn,

^‑

･fh‑k･･PL:ll(Rn,

^‑

Hw･,pL:ll(Rn)]

とする･このとき, (∇菰mk,∇w)→0 (mkう∞)であるから,次が成立する:

(3.35)

A(崩mk,W)→0 (mkう∞).

この事実,および(3･29)と補題3･18より, (3.35)の両辺において,mkう∞のときの下極限を とると,

cα

=恕jnufE(umh)

>恕IncnfE(&rnk)

^{+ E(w) +} 1iminfA(崩mk,W)mk1(X)

≧cα‑7+c7

を得る･これは, (3･34)に矛盾する･したがって,7‑αと結論される･さらに,このことと(3.24)

より,

llumk

‑WIIま2(Rn)

^‑

llumkHま2(a‑)

‑2Re(umk,W)+

IIwIIま2(Rn)

^{‑ 0 (mk →} ∞)･

ゆえに,

umkーw inL2(Rn).

(ステップ3)このステップでは,cα‑E(w), ^{umk ‑うw} inHl(Rn)であることを証明する.

(3･24),(3.25),(3.28)から,

cα‑ _rnkう∞lim E(umk)

>土1iminf^FfVumk

lli2(Rn)

^‑

p71 ^mlhiimu

llumk

llpL:il(R‑)

1

‑2mkう∞

･去II∇wffi2'Rn'‑ pT77‖wllpL:il(Rn,

‑ E(w)I

1

ところで,ステップ2よりIIwllL2(Rn)‑ヽ応であるので,_{cαの定義式より,} cα‑E(w)

でなければならない･これより,ふたたび(3.25)と(3.28)から次を得る‥

mlki.‑Jf∇u‑A ^lli2(Rn)

‑ 2

mlkii‑JE(u‑A

).

pL‑lu‑A ‖PL:il(Rn,]

‑ 2

(cα

⁺

pi7‖wJfpL:il(Rn,)

‑ 2

(E(w)

^･

pTL=wllpL:il(氏‑))

‑

‖∇wIJi2(Rn)･

したがって, (3.24)から,

ll∇umk^‑

∇wllま2(Rn)

^‑

ll∇umkllま2(Rn)

^‑ 2Re(∇umk,∇w) ⁺

ll∇wllま2(Rn)

→0 (mkう∞).

よって,ステップ2で得た11∇umk‑∇wlrま2(Rn)

^‑0 (mk→∞)と合わせて

umk ‑｣w inHl(Rn) が結論される.

(ステップ4)あるw>0に対して,関数wが方程式(3.2)の弱解となっていることを示す.そ のために,汎関数SLJを汎関数Eで置き換え, a‑c‑oかつb‑1として,定理3.ll(ii)を適用

する.つまり,

T(u) ^‑

llulli2(Rn),

_u∈Hl(Rn),

K‑(v∈Hl(Rn); T(v)‑α)

とする.このとき,

auT(u)v ^‑ (v,u), auE(u)v

‑去(∇v,∇u)一芸(v,

^JuFp‑1u)

である･これまでの議論から, w∈Hl(Rn)はw∈KでEのK上の極値点であり,

IIwIIま2(Rn)‑α≠0である･よって,

awE(w)v‑入awT(w)v‑0, ^v ∈Hl(Rn),

入= Re[awE(w)w]

Re[awT(w)w]

したがって,次を得る:

(∇v,∇w)‑(v,lwlp‑1w)‑2入(v,w)‑0, v∈Hl(Rn),

2入=

∇wIIま2(Rn)

^‑

1lwIIpL:il(Rn)

W 2

L2(Rn) ところで,

o ^{, cα ‑} E(w)

‑芸‖∇wlli2'Rn'‑ pTTT7‖wllpL:ll(Rn,

1

であるから,

‖∇wIli2'Rn'‑ 1Iw(lpL:il(Rn,

^<

pBfwllpL:Il(Rn,

< 0･

よって,入<0でなければならない.そこで,

LJ‑‑2入とおくと,関数wは方程式 (∇v,∇w)+LJ(v,W)

‑(v,lwlpllw) ^{‑o, v} ∈Hl(Rn) を満たす.これで,補題3.17の証明はすべて完結した.

定理3･19･n≧2かつ1<p<1+4/nとする.任意のα>0に対して, 0>cα>‑∞であり,

cαを達成するw∈KαnH,1(Rn)が存在する･この関数wは,あるLJ>0に対して方程式(3.2)の 弱解となっている.

証明.最初に, cαが有限な負の値となることを示す.

u∈Kckであるようにuを選び, (3.30)でrl‑n/2とおくと,任意の入>0に対して, E(u^)

‑入2[去=∇ulli2(R‑)

‑

1lu入ほ2(Rn)

^‑

IIulli2(Rn)

^{‑ α}

A;(p‑i)12

p+1

llul.pL:il(Rn,]

^,

を得る･仮定より,

p<1+4/nであるので,入を

0<入<

(

²

1IuHpL:il(Rn)

p+1

IF∇uHま2(Rn) )

1/(2‑;(p‑I)) ととれば,

u入∈KaかつE(u入)<0となる.したがって, cα<0である.

一方, pの仮定よりn(p‑1)/2<2であることと(3.23)から,次の関係が結論される:

o ^{, cα} ≧

si!f.[;s2

‑

cα{n'21'n‑2'p}/4s{n'p11'}′2]

^{, ‑‑･}

ゆえに, cαは有限な負の値となる.

次に,後半の主張を示す･ cαの定義式より, Kαの元の列(um)で, E(um)→cα (mう∞),

cα≦E(um) (m≧1)

を満たすものがとれる･列(um)の各元の対称減少再配分u㌫を考えると,補題3.12より, lI収IL2(Rn)^‑ IlumllL2(Rn)^‑ _vG

であるから,

(u㌫)^{⊂ Kα n} H,1(Rn).

また,

cα ≦E(u㌫)

‑吉‖∇舶2'Rn'‑ pTTlfumlil(Rn,

1

･喜‖∇u‑‖ま2(Rn)

^‑

pTTT7IIu‑‖pL:il(Rn,

1

‑E(um)

であるから,

E(u㌫)→cα (mヰ∞).

ゆえに,列(u㌫)は補題3･17の仮定をすべて満たすので,補題3･17より,列(u㌫)の部分列(u㌫k) とw∈Hrl(Rn)が存在して次が成立するようにできる:

u㌫h‑w inHl(Rn) (mk→∞),

cα ‑E(w), HwIJL2(Rn)‑㍉古･

すなわち,

cαを達成するw∈KanH,l(Rn)が存在する.さらに,補題3.17の後半より,ある

w>oに対して,関数w∈H,1(Rn)は方程式(3.2)の弱解となる. ^口

ここで, u>0を1つ固定したときの方程式(3.2)の解の一意性の問題について,少しだけまと

めておく.

注意3.20.関数w ∈ H,l(Rn)を定理3.19で与えられる,あるLJ ^{> 0に対する方程} 式(3･2)の弱解とする･このとき,同じく定理3.19で与えられる方程式(3.2)の弱解

v ∈H,1(Rn)で, llvJIL2(Rn)^‑ flwHL2(Rn)を満たすものは,同じu>0に対する方程式

(3.2)の弱解となる.すなわち,次のように表される:

v‑eiOw? OER.

このことは, Kwongによって与えられた｢方程式△u‑u+uP‑0 inRn (p>1)

の解uでu∈ H,1(Rn)かつu >0であるものは,存在すれば一意である(文献[9]参照 )｣を用いて,次のように説明ができる.

いま, lFwHL2(Rn)^‑ lla‖L2(Rn)^‑ J&を満たすw,滋をそれぞれ次の楕円型方程式の 弱解であるとし, LJ≠&を仮定する:

‑Aw+LJW‑ lwlpllw‑o,

‑△a+aa‑ larplla‑o.

これまでの議論より, u≧o, a≧0であるから,これらは,

‑Aw+LJW‑WP‑o,

‑△a+ゐ由一血P=o

としてよい･また,命題3･8によってw,滋∈C2(Rn)nL∞(Rn)であることがわかっ ている.ここで,スケール変換によりw,血の係数を1とする方程式‑の書き換えを 考える.

w^(I)‑入2/(p 1)w(入x),入>0

とおけば,

△w入(x)‑入2/(p 1)+2(△w)(入x),^{wP^} ‑入2/(p 1)+2(w(入x))P

であるから, w入は方程式

‑Awl +^2LJW^ ‑WP^ ^‑ o

を満たす･よって, u‑w入(A‑LJ 1/2),滋‑a入(A‑G'‑1/2)とおけば,次の方程式 を得る:

‑Au+u‑uP‑o,

‑A&+a‑&P=o.

このとき, u,滋∈H,1(Rn), u,滋≧0であることは明らかである･さらにu,崩∈C2(Rn) であることから,楕円型方程式に特有の強最大値原理を用いて,

u>0, &>0

であることがわかる･したがって, Kwongによる解の一意性定理よりu‑滋が従う.

ところが,

LJ≠G,を仮定しているから,

IlullL2(Rn)^≠llhlIL2(Rn)

となり矛盾する.ゆえにLJ=&である.

解の安定性を調べる前に言葉をいくつか定義しておく.

関数w ∈H,1(Rn)が方程式(3･2)の弱解であるとき,次の集合Gに含まれるような方程式(3.2) の弱解v ^∈Hl(Rn)は方程式(3.2)の基底状態解とよばれる.

G‑(v∈Hl(Rn);v(I)‑eiOw(I+a), ^o∈R, a∈Rn)

定理3･19によって与えられた方程式(3.2)の解は基底状態解であることが知られている.

定義3･21･ (i)定常方程式(3･2)の基底状態解wから, (3.3)によってつくられる発展方程式(3.1) の定在波解γを方程式(3.1)の基底状態解という.

(ii)方程式(3.1)の定在波解γが安定であるとは,次が成立するときにいう.すなわち,任意の∈_>0 に対してある∂>0が存在し,

uo ∈Hl(Rn), lluoIV(･,0)ffHl(Rn)^<6

→o∈RiTyfERnllu(･,i)‑eiOv(･

+y,i)‖Hl(Rn)^{<E, i'0}

が満たされる･ただし,関数u(I,i)は,初期時刻t‑oで初期条件u(I,o)‑uo(x)を満たす方程 式(3.1)の解である.定在波解γが安定でないとき,不安定であるという.

(3.1)の基底状態解の安定性を考えるとき,この定義の意味での安定性を示すのは証明がやや複雑 になる.そこで,ここでは,基底状態解が各iを固定するごとに球対称となっていることに着目

し,考える空間をH,i(Rn)に制限した場合の次の安定性の定義を採用する.

定義3.22.方程式(3.1)の基底状態解γが安定であるとは,次が成立しているときにいう.すな わち,任意のE>0に対してある6>0が存在し,

uo ∈H,1(Rn), Iluo‑v(0)llHl(Rn)^{< 6}

⇒oiEnilJu(i)

‑eiOv(i)‖Hl(Rn)^{< E, t'0}

が満たされる･ただし,関数u(I,i)は,初期時刻i‑0で初期条件u(x,o)‑uo(I)を満たす方程 式(3.1)の解である･

ドキュメント内 ガ-方程式の初期値間 切る考察 (ページ 47-73)