波動方程式の初期値境界値問題

(1)

. . . .

.

波動方程式の初期値境界値問題

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

現象の数学

B L11(2010-12-21 Tue)

今日の目標

.

1 霊感を使って

,

初期値境界値問題が解ける

.

2 積分を使って

,

初期値境界値問題が解ける

.

http://hig3.net

樋口さぶろお (数理情報学科) L11波動方程式の初期値境界値問題現象の数学B(2010) 1 / 16

(2)

前回の復習 Quiz略解

Quiz 略解 I

Quiz

^略解

: u(x, t) = f(x)g(t)

^{を代入すると}

, 1

v

²

g

⁰⁰

(t)

g(t) = f

⁰⁰

(x) f(x) .

左辺は

x

に関して定数

,

右辺は

t

に関して定数

.

よって両辺は定数

.

これを

− p

² ^とおく

(

この量が負でないと振動にならない

).

まず右辺より

f

⁰⁰

(x) = − p

²

f(x).

よって

,

f (x) = Ae

^ipx

+ Be

⁻^ipx すなわち

f

⁰

(x) = ip(Ae

^ipx

− Be

⁻^ipx

).

ここで

,

∂u

∂x (x, t) = f

⁰

(x)g(t)

(3)

に注意する

.

境界条件 _∂x

(0, t) = 0

より

g(t) = 0

または

f (0) = 0

だが

, g(t) = 0

^だと

u(x, t) = 0

となって意味がないので

f

⁰

(0) = 0

^{である必要} がある

.

よって

f

⁰

(0) = ip(Ae

^ip0

− B e

⁻^ip0

) = 0

より

A = B .

すなわち

f (x) = 2A cos(px), f

⁰

(x) = ipA(e

^ipx

− e

⁻^ipx

) = − 2Ap sin(px).

境界条件 ^∂u_∂x

(L, t) = 0

^より

,

^同様に

sin(pL) = 0.

^よって

. p =

^`π_L

(` ∈ Z )

意味があるのは

` = 0, 1, 2, 3, . . ..

一方左辺より

g

⁰⁰

(t) = −(vp)

²

g(t).

よって

, g(t) = Ce

^ipvt

+ De

⁻^ipvt

= E cos(pvt − θ).

^{固有周波数は}

ω = pv.

固有モードは

u

^(`)

(x, t; θ

_`

) = cos(p

_`

x) cos(ω

_`

t − θ

_`

)

ただし

ω

_`

= vp

_`

, p

_`

=

^`π_L

(` = 0, 1, 2, . . .).

モード

` = 0

が含まれるのは

,

自由境界条件なので

, u

⁽⁰⁾

(x, t) =

定数

6 = 0

というモードがあるため

(

^実は

, p = 0

は固有方程式の重根であるので

u

⁽⁰⁾

(x, t) = At + B

という形が許されるが

,

これは振動ではないので

,

含めるかどうかは場合による

).

(4)

波動方程式の変数分離法による解法波動方程式

波動方程式

.

波動方程式

.

. . .

.

u(x, t):

^時刻

t

^での

,

^弦の位置

x

^{における変位}

∂

²

u

∂t

²

(x, t) = v

²

∂

²

u

∂x

²

(x, t) v > 0:

速さの次元を持つ定数

有限区間

0 ≤ x ≤ L

^{で考えるとき}

, x = 0, L

で境界条件を課すことが必要

.

例

:

固定端

=

固定境界条件

u(0, t) = u(L, t) = 0.

例

:

^自由端

=

^{自由境界条件} ^∂u_∂t

(0, t) =

^∂u_∂t

(L, t) = 0.

さらに初期条件

u(x, 0) = F (x),

^∂u_∂t

(x, 0) = G(x)

^{を定めると解が定まる}

.

(5)

波動方程式の変数分離法による解法波動方程式の固有モード

波動方程式の固有モード

固定境界条件の波動方程式の固有モード .

.

. . .

.

C

_`

u

^(`)

(x, t; θ

_`

) =C

_`

sin(p

_`

x) cos(ω

_`

t − θ

_`

)

= sin(p

`

x)[A

`

cos(ω

`

t) + B

`

sin(ω

`

t)].

2

^行目

:

^{三角関数の}

加法定理

p

`

:

^波数

. p

`

=

^`π_L

. ` ∈ Z

^{はモード番号}

. ω

_`

:

^{固有周波数}

.

^分散関係

ω

_`

= p

_`

v

^で定まる

. (C

_`

, θ

_`

)

または

(A

_`

, B

_`

):

任意定数

(6)

波動方程式の変数分離法による解法波動方程式の固有モード

固有モードで解はすべて ?

そんなはずない

!

u

⁽¹⁾

(x, t) = sin(

^π_L

x) cos(

^πv_L

t), u

⁽²⁾

(x, t) = sin(

^2π_L

x) cos(

2πv L

t − 0)

はともに解

.

このとき

,

線形結合 Au ⁽¹⁾ + Bu ⁽²⁾

も解

(

一般に解の線形結合は解

)

なぜなら

,

波動方程式は線形だから

.

∂

²

u

∂t

²

− v

²

∂

²

u

∂x

²

= (

A ∂

²

u

⁽¹⁾

∂t

²

+ B ∂

²

u

⁽¹⁾

∂t

²

)

− v

²

(

A ∂

²

u

⁽²⁾

∂x

²

+ B ∂

²

u

⁽²⁾

∂x

²

)

=A (

∂

²

u

⁽¹⁾

∂t

²

− v

²

∂

²

u

⁽¹⁾

∂x

²

)

+ B (

∂

²

u

⁽²⁾

∂t

²

− v

²

∂

²

u

⁽²⁾

∂x

²

)

=A · 0 + B · 0 = 0

数理モデル基礎の線形常微分方程式のところで聞いたような話…

(7)

波動方程式の変数分離法による解法波動方程式の一般解

波動方程式の一般解

実は

, (

^ある意味

)

固有モードの線形結合で解はすべて

.

つまり

,

一般解は固有モードの線形結合

.

待て

Fourier

級数変換

. 固定境界条件の波動方程式の一般解

.

. . .

.

∂

²

u

∂t

²

(x, t) = v

²

∂

²

u

∂x

²

(x, t) (0 ≤ x ≤ L) u(0, t) = u(L, t) = 0

の一般解は

,

線形結合

u(x, t) =

∑

∞

`=1

C

_`

u

^(`)

(x, t; θ

_`

) =

∑

∞

`=1

C

_`

sin(p

_`

x) cos(ω

_`

t − θ

_`

)

=

∑

∞

`=1

sin(p

`

x)[A

`

cos(ω

`

t) + B

`

sin(ω

`

t)]

(

どっちでも便利なほうを使ったらいい

)

ここで

u

^(`)

(x, t; θ

_`

)

は

` = 1, 2, 3, . . .

番目の固有モード

. C

_`

, θ

_`

:

任意定数定数

C

_` は

u

^(`) にはいってるはいってないどっち

?

ごめんなさい

(8)

現時点での霊感解法

.

Quiz ( 初期値境界値問題 )

.

. . .

.

波動方程式^∂²^u

∂t²

(x, t) = v

²^∂_∂x²^u2

(x, t)

^を

,

固定境界条件

u(0, t) = u(L, t) = 0,

初期条件

u(x, 0) = F(x),

^∂u_∂t

(x, 0) = G(x),

のもとで解け

.

一般解は

,

固有モード

u

^(`)

(x, t; θ

_`

)

を使って

u(x, t) = ∑

_∞

`=0

C

`

u

^(`)

(x, t; θ

`

).

^と書ける

.

^この時点で

波動方程式と境界条件

OK

ここからが霊感解法

霊感で

C

₁

= 3, C

₂

= 9, C

₃

= 370, . . . , θ

₁

= 0, θ

₂

= π, . . .

などとうまく決めると

, u(x, t) = ∑

_∞

`=0

C

`

u

^(`)

(x, t; θ

`

)

^{は初期条件}

u(x, 0) = F (x),

^∂u_∂t

(x, 0) = G(x)

を満たすようにする

.

そうできれば

,

それが求める解

.

(9)

もうちょっと説得力のある霊感解法 . Quiz

.

. . .

.

固定境界条件の波動方程式を

,

次の初期条件のもとで解け

.

u(x, 0) = − 2 sin(

^π_L

x),

^∂u_∂t

(x, 0) = 3 sin(

_L^π

x).

のお告げ

: A

₂

= A

₃

= · · · = 0, B

₂

= B

₃

= · · · = 0. A

₁

=?, B

₁

=?

u(x, t) = sin(

_L^π

x)[A

₁

cos(

^πv_L

t) + B

₁

sin(

^πv_L

t)]

∂u

∂t

(x, t) = sin(

_L^π

x)[ − A

₁^πv_L

sin(

^πv_L

t) +

^πv_L

B

₁

cos(

^πv_L

t)]

(10)

もっと説得力のある霊感解法

.

Quiz

.

. . .

.

,

.

u(x, 0) = − 2 sin(

^π_L

x) − 3 sin(

^2π_L

x),

^∂u_∂t

(x, 0) = 0.

(11)

もっと説得力のある霊感解法 Quiz

.

. . .

.

,

.

u(x, 0) = − 2 sin(

^π_L

x),

^∂u_∂t

(x, 0) = − 3 sin(

^2π_L

x).

(12)

霊感解法卒業前夜

.

. . .

.

∫

_π

0

sin nθ sin mθ dθ =

^π₂

δ

nm

=

^π₂

×

{ 1 (n = m) 0 (n 6 = m)

クロネッカーの

δ

記号

(13)

変数変換

θ =

^π_L

x

= δ

_nm

h √

2 L sin nx i ^n=1,2,3, ···

は正規直交基底

.

(14)

もっと説得力のある霊感解法

.

Quiz

.

. . .

.

,

.

u(x, 0) = 1 − cos(

^2π_L

x),

^∂u_∂t

(x, 0) = 0.

u(x, t) =

∑

∞

`=0

sin(

^`π_L

x)[A

_`

cos(

^`πv_L

t) + B

_`

sin(

^`πv_L

t)]

=A

₁

sin(

^1π_L

x) cos(

^1πv_L

t) + A

₂

sin(

^2π_L

x) cos(

^2πv_L

t) + · · · + [B ] B

_` ^{はさっきののりで} ^∂u_∂x ^{を考えるとぜんぶ}

0

^とわかる

.

t = 0 ^とおく

両辺に

2 L

∫ L

0 dx cos( ^`π _L x) ×

(15)

(16)

波動方程式の変数分離法による解法 Quiz

Quiz

Quiz:

区間

[0, L]

で

,

波動方程式

∂

²

u

∂t

²

(x, t) = v

²

∂

²

u

∂x

²

(x, t)

を考える

(L, v > 0

^は定数

).

固定境界条件

u(0, t) = u(L, t) = 0,

初期条件

u(x, 0) = x

²

− Lx,

^∂u_∂t

(x, t) = 0

のもとで解を求めよう

.

^ただし

,

解は固有モードの和として書けばいい

.

しかも公式

∫

_π

0

θ sin nθ dθ =

⁽⁻¹⁾_nⁿ^π

,

∫

_π

0

θ

²

sin nθ dθ =

²⁽⁽⁻¹⁾_n2ⁿ⁻¹⁾⁾

−

⁽⁻¹⁾_nⁿ^π² ^{を使っちゃっていい}

.

今日の範囲に対応する教科書のお奨め問題

Fourier

級数変換

^¨ _§

小形§4.3

^¥ _¦ ,

自由端

^¨ _§

小形p.75-78)

^¥ _¦

初期値問題

^¨

§

¥

小形例題4.3(p.72)

¦

Fourier

^級数展開

^¨ _§

^{小形第}4章演習問題[1](p81),[6][8](p.82)

^¥ _¦