R(i) R(i)
lう0,tER i
= 1iI11
ト十0,t∈R
t
･ i
(‖∇vlli2'Rn) ･ullv]は2(Rn)))
2Re
[(∇v,∇u)
+LJ(v,u)‑(v,lulp‑1u)]
‑ausLJ(u)v+砧SLJ(u)磨, u,v ∈Hl(Rn)
が示せた.
また,各u ∈ Hl(Rn)に対して,作用素auSw(u),ahSw(u) :Hl(Rn)うCが線形作用素である ことは明らか.有界性については,シュワルツの不等式,条件
1
pTTfT
I
のもとでヘルダーの不等式,および(3.6)を用いて,
pit
=1
lauSw(u)vl≦I(∇v,∇u)I+LJl(v,u)l+ l(v,Julpllu)l
5;lJ∇vflL2(Rn)ll∇ullL2(R‑)+ LJ[lvllL2(Rn)llullL2(Rn)+ llvHLP.1(Rn)llulfpLp.1(Rn)
≦c
([lv[rHl(Rn'Jlu‖Hl'Rn)
+ llvFIHl(Rn'Llu‖Hl(Rn)+llvlrHl(Rn)IIuIIpHl(Rn,)
‑<
c(llulIHl(Rn)
I‖ulfpHl(Rn))
llvIIHl(Rn),u,V ∈Hl(Rn)･同様にして,
labSu(u)vl≦C
(IIulfHl(Rn)
･‖uIIpHl(a‑))
llvIIHl(Rn),u,V ∈Hl(Rn)･ゆえに, uをとめるごとにauSLJ(u)とahSLJ(u)lj:,Hl(Rn)からC‑の有界線形作用素である･口 定義3･4･すべてのv∈Hl(Rn)に対して, dSw(u,v)‑0となるu∈Hl(Rn)をSLJの臨界点とい い,このときのSLJの値Sw(u)を臨界値という.
定義3･5･ n≧1, 1<p<p*(n)とする･ w∈Hl(Rn)が超関数の意味で(3.2)を満たすとき,す
なわち
(∇v,∇w)+LJ(v,W)‑ (v,Iwlpllw)‑o, v ∈ cocx3(Rn)
が成立するならば,
wは(3.2)の弱解であるという.
(3･10)
注意3･6･ 1<p<p*(n)の仮定のもとでは, (3.10)でテスト関数vの属するクラスを Cocx3(Rn)からHl(Rn)に置き換えることができる.
定理3･7･ n≧1, 1<p<p*(n)とする･ u∈Hl(Rn)がSwの臨界点であることと, u∈Hl(Rn) が(3･2)の弱解であることは同値である･また,u∈Hl(Rn)に対して,次の関係が成立する‥
dSLJ(u,V)‑0, v∈Hl(Rn) ⇔ auSw(u)v‑0, v∈Hl(Rn).
証明･定理3･3のauSLJ(u)vの定義より, (3.10)の左辺とauSw(u)vは等しいことに注意してお
く.
u∈Hl(Rn)がSLJの臨界点ならば,定理3.3の(3.5)より,
dSu(u,v)‑ 2Re[auSw(u)v]‑ 0, v ∈ Hl(Rn).
このとき, auSw(u)の線形性により,
Im[auSw(u)v]‑ Re[‑iauSw(u)v]‑ ‑Re[auSLJ(u)(iv)]‑ 0, v ∈Hl(Rn).
このことから, uは(3.10)を満たし, (3.2)の弱解であることが結論できる.
逆に, u∈Hl(Rn)が(3･2)の弱解ならば,注意3.6の事実と定理3.3により, u∈Hl(Rn)は
SLJの臨界点である. □
(3.2)の弱解がもつ性質をまとめた命題を述べておく.
命題3･8･ n≧1, 1<p<p*(n)とする･関数u∈Hl(Rn)が(3.2)の弱解ならば,次の(i)(ii)が
成立する:
∈ c2(Rn) nL∞(Rn).
2つの正定数17とrcが存在して,
Ju(I)I≦Tle‑KIxI, x∈Rn.
3.3 極値問題
定義3･9･
u∈Hl(Rn)とする.ある正定数Eが存在して,
Sw(v)>Sw(u) (0<llu‑vIIHl(Rn)<E) (3.ll)
が成立するとき, uはSLJの極小点であるといい,その値SLJ(u)を極小値という. (3.ll)において Sw(v)とSLJ(u)に関して逆向きの不等式が成立するとき,uはSwの極大点であるといい,その値
Sw(u)を極大値という.極小点･極大点と極小値･極大値を総称して,それぞれ極値点と極値と
よぶ.
命題3･10･ n≧ 1, 1 <p<p*(n)とする･ u∈Hl(Rn)が汎関数SLJの極値点ならば, auSw(u) ‑0 である.すなわち,次が成立する:
(∇v,∇u)+LJ(v,u)‑ (v,JuJpllu)‑o, v∈ Hl(Rn).
証明･いま, uが汎関数Swの極小点であるとする･このとき, ∀v∈Hl(Rn)と絶対値が十分小さ
いt∈Rに対して,
]E >0; llu‑(u+Lv)IIHl(Rn)‑ lilllvllHl(R‑)<E
が成り立っから,極小点の定義より,
SLJ(u+iv)‑ Sw(u)> 0
である.ここで, i>0ととると,
Sw(u+iv) ‑ Sw(u)
>0.
tぅ+0とすると,定理3.3により,
dSw(u,v) ≧0, v∈Hl(Rn).
一方, t<oととって,両辺をtで割り, tう10とすると,
dSw(u,v)≦0, v∈Hl(Rn).
よって,
dSLJ(u,V)‑0, v∈Hl(Rn)
を得る.したがって,定理3.7から,
ausLJ(u)v‑0, v∈Hl(Rn) が結論できる. uが極大点であるときも,同様にして証明できる.
次の定理は,条件付き極値問題を解くときに役立っ定理である.
定理3.ll.n≧1, 1<p<p*(n)とし,
T(u) ‑
all∇ullま2(Rn)
+bllull2L2(Rn)+cIFullpL:Il(Rn),
u ∈ Hl(Rn)とおく.ただし, a, b, cは実定数とする.
(i)T(u)をH,1eal(Rn)上の汎関数とみなすと,すべてのu∈ H,1eal(Rn)に対しガトー微分dT(u,v)(v∈ H,1eal(Rn))が存在し,次のように表せる‥
dT(u,v)‑ auT(u)v + aJ(u)v‑
‑2Re[auT(u)v], v ∈ Hl(Rn).
ここで,各u∈Hl(Rn)に対してauT(u)とad(u) tj:,Hl(Rn)からC‑の有界線形作用素で次
のようなものとする:
auT(u)v ‑ a(Vv,Vu) +a(v,u) + aJ(u)v ‑ auT(u)v‑,
c(p+ 1)
v ∈Hl(Rn).
(v,Iulp‑1u), v∈Hl(Rn),
(ii)実数αに対して, Hl(Rn)の部分集合Kを次のようにおく:
K‑(v∈Hl(Rn); T(v)‑α).
もしu∈KがSLJのK上の極値点で, auT(u)≠0ならば,次が成立する:
auSw(u)‑ ^auT(u) ‑ 0,
入= Re[auSLJ(u)v]
Re[auT(u)v]
ただし, vはRe[auT(u)v]≠0となるHl(Rn)の元とする.
証明･ (i)の部分については,定理3･3と同様にして示せるので,証明は省略する.(ii)を示す.
まず,仮定よりauT(u)≠0であるから,
Re[auT(u)w] ≠0
となるw∈Hl(Rn)が存在する･そこで, v∈Hl(Rn)を任意に1つとり, F(i,a)‑ SLJ(u+sv+iw),
G(i,a)‑T(u+sv+iw)‑α
とおく･このとき,定理3･3と定理3･11(i)から,F,G∈Cl(R2)である･さらに, F(0,0)‑Sw(u) に注意すれば,仮定よりu∈KはSLJのK上の極値点であるから,点(a,i)‑(0,0)は関数Fを 集合
k‑((a,i) ∈R2;a(a,i) ‑0) 上に制限したときの極値点である.また,
G(h,0)‑ a(0,0)
h
T(u+hw) ‑T(u)
hぅO h
芸(o,
o)‑Li.‑.
= 1iIIl ‑ dT(u,w) ‑ 2Re[auT(u)w] ≠0
したがって,通常の2変数関数のラグランジュの未定乗数法より,ある実定数入に対して,
芸(o,o)一入芸(o,o)
‑o,;(o,o)
‑^=(o,o)
‑oを得る.ここで,
であるから, (3.13)より,