電磁気学

電磁気学 C

Electromagnetics C

山田 博仁

電磁波の反射と透過

5/28

電磁波における重要な関係 式

k v



 

 2

波数 : k

 f  v

波長 : λ 周波数 : f 角周波数 : ω 周期 : T 伝搬速度 : v

T  1f

 f

  2

電界振幅 : |E|

) 2(

1 ED  BH





 u_e u_m

u ( )

2

1 _{2 2}

H

E 

 

 ( 等方性媒質の場合 )



 1

v 1 2.998 10₈ m/s

0 0





   c



 

 H

Z E 377[ ]

0 0

0   

 Z 

) 1 (

),

( k

E k k H

H k

E     

Z Z

k H k

E

S   vu

v u Sv EH



 ₀² ₀²

2 1 2

1v E v H

u v

S      



S H

E S

g     1₂ u  v g

電場 ( 電界 ) ベクトル : E 磁場 ( 磁界 ) ベクトル : H 波数ベクトル : k インピーダンス : Z 真空のインピーダンス : Z₀

真空中の光速度 : c

磁界振幅 : |H|

ポインティングベクトル : S 電磁場のエネルギー密度 : u

電磁場の運動量密度 : g

正弦波

) sin(kxt

+x 方向に伝搬する正弦波

波数 角周波数

) 2 2

sin( x  f t



 

 1 )

2 2

sin( t

x T



 

 sin2 ( )

T t x 

  

位相角

x = 0 x = λ x₁

t = T t = 0 t₁

もし、時間を止めて (t = t₁) 見てみると、 もし、場所を決めて (x = x₁) 見てみると、

-x +x

0 -t +t

0 v  k

波の伝搬速度

従って、波数と角周波数の比は、

参考 ) 伝送線路上の電圧波の伝 搬

) (

0 ) (

0

x t j x x

t j x t

j

xe V e e V e e

V ^  ^{   }  ^{   }

-x 方向に位相速度 ω/β で進む電圧波。 α > 0 なら、伝搬に伴い振幅が指数関数的 に減衰+x 方向に位相速度 ω/β で進む電圧波。 α > 0 なら、伝搬に伴い振幅が指数関数的 に減衰

Z_L E

x

入射波 反射波

e^j(ωt±βx) = cos(ωt±βx)+j sin(ωt±βx) は、∓x 方向に進む角周波数 ω, 位相定数 β の正弦

波

x

) ( v_p



 v_p: 位相速度 ここで、

e x

V₀^は波の振幅を表し、^ α > 0 (α < 0) なら、 x が増大する方向に振幅が増大 ( 減少 ) する



 d v_g  d 因みに、波の包絡線 の形状が伝わる速度 を群速度 : v_g という

界面

₁

₂

異なる媒質の界面における境界条

件

誘電率  ₁, ₂ の異なる媒質が接している界面

電場に関する Gauss の法則を、界面に 存在する高さが無限小の円柱に適用







S e S

V

dS dS

dV D n 

D div

D₁

D₂ S

e





 D n

D )

( _{1 2}

上式は、任意の面 S に対して成り立つことから、

Gauss の定理

界面には真電荷が面密度  _e にて存在

表面電荷  _e が存在しなければ、D₁n  D₂ n 界面での電束密度 D に対して、どの

ような条件が満たされなければならな いか ?

n

-n

単位法線ベクトル

+ + + + + +

界面での真電荷密度

_e +

S S _e



 D n

D )

( _{1 2}

従って、

異なる媒質の界面における境界条

誘電率  ₁, ₂ の異なる媒質が接している界面

件







 

 





S S

t d

d B S

S E rot

Faraday の電磁誘導の法則を、図のよう

に界面の一部を囲む高さ  h が無限小 の長方形  S に適用

ここで、 Bt は境界面の近くで有限であるから、 S→0 の極限で右辺の 積分はゼロになる

従って、 Stokes の定理を用いると左辺は、

l d

d

C S























) (

rot E S E r E₁ t E₂ t

E₁

₁

₂ 界面

h

l

t E t

E₁  ₂  上式は、任意の  l の長方形に対して成り立つことから、

界面での電場 E に対して、どのよ うな条件が満たされなければならな

いか ? C E₂ S

t: 単位接線ベクトル t

t

0 )

(E₁t  E₂ t l  従って、

異なる媒質の界面における境界条

件

透磁率  ₁, ₂ の異なる媒質が接している界面

磁場に関する Gauss の法則を、界面に 存在する高さが無限小の円柱に適用

0

div 





V

dS dV B n B

S

₁

₂ 界面

0 )

(B₁ B₂ n S  従って、

Gauss の定理

n B n

B₁  ₂ 

界面での磁束密度 B に対して、どの ような条件が満たされなければならな

いか ? B₁

B₂ n

-n

単位法線ベクトル

0 )

(B₁ B₂ n 

上式は、任意の面 S に対して成り立つことから、

よって、

異なる媒質の界面における境界条

透磁率  ₁, ₂ の異なる媒質が接している界面

件













 

 



S e S

S

d t d

d D S i S

S H rot

Ampere-Maxwell の方程式を、図のよう

に界面の一部を囲む高さ  h が無限小 の長方形  S に適用

ここで、界面に表面電流が存在しない限り、 i_e も  Dt も境界面の近く で有限であるから、 S→0 の極限で右辺はゼロになる

従って、 Stokes の定理を用いると左辺は、

l d

d

C S























) (

rotH S H r H₁ t H₂ t t

H t

H₁  ₂  従って、

H₁

₁

₂ 界面

t: 単位接線ベクトル t

t

h

l i_e: 界面での 伝導電流密度

i_e 界面には伝導電流が面密度 i_e にて存在

界面での磁場 H に対して、どのよ うな条件が満たされなければならな

いか ? C H₂ S

異なる媒質の界面における境界条 件

t E t

E₁  ₂

E₁

E₂

₁

₂

t E₁

t E₂ 電場の接線成分は連続

t H t

H₁  ₂ 

H₁

H₂

₁

₂

t H₁

t H₂ 磁場の接線成分は連続

n D n

D₁  ₂ 

電束密度の法線成分は連続

D₁

D₂

₁

₂

n D₁

n D₂ 

n B n

B₁  ₂ 

磁束密度の法線成分は連続

B₁

B₂

₁

₂

n B₁

n B₂

表面電荷が 存在しない場 合

表面電流が 存在しない場 合

t は界面に平行 な単位接線ベク トル

n は界面に垂直 な単位法線ベク トル

界面での反射と透

2 種類の媒質が x-y 平面 (z = 0)

過

を境に接しており、 z > 0 を媒 質Ⅰが、 z < 0 を媒質Ⅱが満たし ている。平面電磁波が媒質Ⅰから 媒質Ⅱに入射角  _i で斜め入射し

、その一部が反射角  _r で反射 され、またその一部が透過角  _t で媒質Ⅱ内に透過する場合を考え る。

t z

k x

k

t _{i i i i i}

i

i r   sin  cos 

入射波 k

反射波 k_r r _rt  k_rxsin_r k_rzcos_r _rt 透過波 k_t r _tt  k_txsin_t k_tzcos_t _tt 入射波、反射波および透過波の

波数ベクトルと角周波数をそれ ぞれ (k_i, _i), (k_r, _r) および (k_t,

_t) とし、電場ベクトルは図の様 に x-z 平面上にあり、磁場は y 成分のみとする。

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ E_i

H_i

E_r H_r

k_i k_r k_t

H_t E_t

y

_i _r

_t 波の位相は、

界面での反射と透

境界面 (z = 0) 上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、

過

t r

i  

  

t t

r r

i

i k k

k sin  sin  sin

i

r k

k 

i

r 

 

2 1

sin sin

v v k

k

i t t

i  





v₁ と v₂ は、それぞれ媒質Ⅰ

、Ⅱ内を進む電磁波の速度 従って、

i

r 

 

k  vの関係より、媒質Ⅰ内で電磁波の速度 v₁ は入射波、反射波に共通なので、

ならば、

( 反射の法則 )

(Snell の法則 )

v₁

v₂ 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

_i _r

_t

k_i k_r

k_t

この条件が成立しなければならない

2 1

sin sin

v v

t

i 





2 2

1 1

1 1







 

1 1

2 2







 

1 2



 

0 2

1  

   磁性体でなければ、



0 1

0 2









r

 r

1 2 r r



 

1 2

n

 n

n₁, n₂ は各々、媒質

Ⅰ , 媒質Ⅱの屈折率 比誘電率

界面での反射と透 過

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

( _{ix iz i i i i}

i  E E  E  E 

E



 



 

(0, , 0) 0, ,0 Z1

H_iy Eⁱ Hi

入射波

反射波

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

( _{rx rz r r r r}

r  E E  E  E 

E



 



 



 (0, , 0) 0, ,0 Z1

H_ry E^r

Hr

透過波

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

( _{tx tz t t t t}

t  E E  E  E 

E



 





 (0, ,0) 0, ,0 Z2

H_ty E^t Ht

Z₁, Z₂ は、それぞれ媒質 1, 2 の電磁インピーダンス

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

E_i

H_i E_r

H_r

k_i k_r k_t

H_t E_t y

_i _r

_t

i

r 

 

界面での反射と透 過

tx rx

ix E E

E  

次に、電磁波の振幅について考えると、界面での電場 E および磁場 H の 接線成分の連続性より、

ty ry

iy H H

H  

t t

r r

i

i E E

E cos  cos   cos



2 1

1 Z

E Z

E Z

E_i  _r  _t Z₂E_i Z₂E_r  Z₁E_t

t t

i r

i

i E E

E cos  cos  cos

t i

i t

i r

Z Z

Z Z

E r E









cos cos

cos cos

2 1

1 2



 



t i

i i

t

Z Z

Z E

t E





 cos cos

cos 2

2 1

2

 



上式から E_t を消去すると、

上式から E_r を消去すると、

( 電界反射係数 )

( 電界透過係数 ) 従って、

ここで、 θ_i = θ_r の関係を用いている

界面での反射と透 過

E r E E Z

E Z H

H

i r i

r

i

r    





1

1 t

Z Z E

E Z

Z E Z

E Z H

H

i t i

t

i t

2 1 2

1

1

2  



因みに、磁界に対する反射係数および透過係数を求めてみると、

特に、媒質 1 と2 が非磁性の場合には  ₁ = ₂ = ₀ が成り立ち、それぞれの 媒質の屈折率は真空の固有インピーダンス Z₀ を用いて、

r r r

r

v

n c  























   





0 0

0 0

0 0 0

0

1 1

2 0 2

2 0 0 2

2

2 Z

Z v

n  c  _r  







 

媒質の屈折率 n は、真空中での光の速度 c と媒質中での光の速度 v の比で表され、

1 0 1

1 0 0 1

1

1 Z

Z v

n  c  _r  







 

と表せる。

従って、反射係数と透過係数は、

i t

i t

n n

n r n









cos cos

cos cos

2 1

2 1



 

i t

i

n n

t n





 cos cos

cos 2

2 1

1

 

界面での反射と透

垂直入射の場合には、 _i = _t = 0 とすることにより反射係数と透過係数は、

過

2 1

2 1

n n t n

 

2 1

2 1

n n

n r n



 

n₁ n₂

t r i

入射波のエネルギー流に対する反射波と透過波のエネルギー流 の比をそれぞれ反射率 R および透過率 T という。

入射波、反射波、透過波のエネルギー流は、各々に対するポインティングベクトルの 大きさの界面に垂直方向成分であるから、

1 2

1

cos cos

cos Z

E Z

E E H

E_{i i} _i  _i ⁱ _i  ⁱ ⁱ

r r

r r

r r

r

r Z

E Z

E E H

E cos cos cos

1 2

1



 



 







Z₁

Z₂ 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

_i _r

_t

入射波 反射波

透過波

t t

t t

t t

t

t Z

E Z

E E H

E cos cos cos

2 2

2





S_i S_r S_t 入射エネルギー流

反射エネルギー流

透過エネルギー流

界面での反射と透 過

2 2

2 2

1 2

1 2

/ cos

/ cos cos

cos r

E E E

E Z

E

Z E

H E

H R E

i r i

r i

i

r r

i i

i

r r

r     

 







2 2

1 2

2 1 1

2

2 2

cos cos cos

cos /

cos / cos cos

cos t

Z Z E

E Z

Z Z

E

Z E

H E

H T E

i t i

t i t i

i

t t

i i

i

t t

t















   



R T 1

r

i 

   従って、反射率 R と透過率 T は、

屈折率 n₁, n₂ で表せば、反射率 R と透過率 T は、

 





2 2

1

cos cos

cos cos

i t

i t

n n

n R n











 





T  





 

演習 : 界面での反射と透

図に示す様に、 2 種類の媒質が

過

x-y 平面 (z = 0) を境に接してい る。今、平面電磁波が媒質Ⅰから 媒質Ⅱに入射角  _i で斜め入射す る場合を考える。

t z

k x

k

t _{i i i i i}

i

i r   sin  cos 

入射波 k

反射波 k_r r _rt  k_rxsin_r k_rzcos_r _rt 透過波 k_t r _tt  k_txsin_t k_tzcos_t _tt 入射波、反射波および透過波の

波数ベクトルと角周波数をそれ ぞれ (k_i, _i), (k_r, _r) および (k_t,

_t) とし、電場ベクトルは図の様 に x-z 平面上にあり、磁場は y 成分のみとする。

波の位相は、

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

E_i H_i

E_r H_r

k_i k_r k_t

H_t E_t y

_i _r

_t

境界面 (z = 0) 上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、

t r

i  

  

t t

r r

i

i k k

k sin  sin  sin この条件が成立しなければならない

電場、磁場ベクトルの向きを教科書とは違えております

演習 : 界面での反射と透 過

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

( _{ix iz i i i i}

i  E E  E  E 

E



 



 



 (0, ,0) 0, ,0 Z1

H_iy Eⁱ

Hi

入射波

反射波

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

( _{rx rz r r r r}

r  E E  E  E 

E



 



 



(0, ,0) 0, ,0 Z1

H_ry E^r

Hr

透過波

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

( _{tx tz t t t t}

t  E E  E  E 

E



 



 



(0, , 0) 0, ,0 Z2

H_ty E^t

Ht

Z₁, Z₂ は、それぞれ媒質 1, 2 の電磁インピーダンス

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ E_i H_i

E_r H_r

k_i k_r k_t

H_t E_t y

_i _r

_t

i

r 

 

演習 : 界面での反射と透 過

tx rx

ix E E

E  

界面での電場 E および磁場 H の接線成分の連続性より、

ty ry

iy H H

H  

t t

r r

i

i E E

E cos  cos  cos

2 1

1 Z

E Z

E Z

E_i  _r  _t Z₂E_i Z₂E_r  Z₁E_t

t i

t i

i r

Z Z

Z Z

E r E









cos cos

cos cos

2 1

2 1



 



t i

i i

t

Z Z

Z E

t E





 cos cos

cos 2

2 1

2

 



上式から E_t を消去すると、

上式から E_r を消去すると、

( 電界反射係数 )

( 電界透過係数 ) 従って、

ここで、 θ_i = θ_r の関係を用いている

E r E E Z

E Z H

H

i r i

r

i

r   

1

1 t

Z Z E

E Z

Z E Z

E Z H

H

i t i

t

i t

2 1 2

1

1

2  

 磁界に対する反射係数および透過係数は、

反射係数や透過係数の値は、電界 や磁界ベクトルの取り方によって 異なる