電磁気学
B 第 7
回講義(2005.01.07)0024
番教室 教員名：佐藤勝昭HP: http://www.tuat.ac.jp/~katsuaki E-mail: [email protected]
第
7
回に学ぶこと 保存場の回転rot
ベクトルポテンシャル アンペアの法則の微分形ベクトル場
A
に対して微小な矩形の周に沿って線積分を計算
x z y x y
y x
y y
x y x
x
y y
y y y
x
x x x x
y x
NK MN
LM S KL
S
x A y y A y x
x A x y
A y x
y y x x A y x A x
y y x A y x y A
x
x y y
y A x x A y
y y y A x y A
x
x x x
y A y x A x
x x y A x y A
x
F F
F S F
S d F
) rot 1 (
, 2
, 2 2
, 1 2 , 2 2
1 1
, 2 2
, 1 2 2
1 1
, 2 2
, 1 2 2
1 1
) 1 (
1
lim lim lim lim lim
lim
0 0 0 0 0
0
A s
A
電場や薄板磁石の作る磁場のような保存場はスカラーポテンシャルの
grad
として求められる。 x , y , z
grad
C
このような場合、場の回転はゼロになる。なぜなら、たとえばｚ成分について
0
x y y x y
C x
C
y xz
C
rot
同様にして、x成分、y成分も０になる。
ベクトル場に任意の保存場を付け加えてもその回転は変わらない。すなわち
C grad rot C
rot
ベクトルポテンシャル：あるベクトル場（たとえば磁束密度
B）がベクトル A
の回転(rot)として与えられるとき、A
をB
を生成するベクトルポテンシャルという。スカラーポテンシャル(磁位)は、電流の流れていない場合に位置の関数として定義できるが、電流が流れているときは 、 電流の作る磁束線に沿ってポテンシャルを計算すると一周しても元に戻らず、位置の多価関数になってしまう。磁束密 度
B
をベクトルポテンシャルにより定義するときは、任意の保存場の分だけ任意性が残される。問題
ｚ軸の方向を向いた一様な磁場(正確には磁束密度)B=(0,0,B)を生成するベクトルポテンシャルは無限個ある。次に示 す
A
1, A
2, A
3のいずれからも同じ磁場が生成できることを示せ。
, 0 )
2 , 1 2 ( 1
) 0 , , 0 (
) 0 , 0 , (
3 2 1
Bx By r
A
Bx r
A
By r
A
また、これらのベクトルポテンシャルの差が、スカラーポテンシャルから
grad
によって生成される保存場であること を示せ。ベクトルポテンシャル
A
の電流密度j(r)による定義
' ' ) ' ( ) 4
(
0j dV
A r r r r
これよりビオサバールの法則を導く
x x x
y z
y z
z y x
B H dV
r r
r r dV j
r r
z j z
r r
y j y
r dV r j z
r r j y
z A y r A
rotA
3 0 0
3 3
0
0
' '
' ' 4
' ' '
' 4
' ' 1 '
1 ) 4
(
磁束密度
B
を用いれば、磁性体が存在する場合にも適用できる。A B rot
磁束密度は湧き出しがない
0
div rot A divB
このことは単極磁荷が存在しないことと同等である。
アンペアの法則の微分形
j
H rot
教科書ミスプリ訂正：
