電磁気学

電磁気学 C

Electromagnetics C

山田 博仁

波動方程式から導かれる電磁波の姿

5/14 講義分

自由空間での Maxwell 方程

自由空間での Maxwell 方程式 ( 自由空間では、真電荷および伝導電流がゼロ

式

t t





 ( , ) )

, (

rot B x

x E

t t t



  ( , ) )

, (

rot D x

x H

0 ) , (

div D x t  0 ) , (

div B x t 

) , ( )

,

(x t E x t D 

) , ( )

,

(x t H x t B  

等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中

真空中

) , ( )

,

(x t ₀ E x t D 

) , ( )

,

(x t ₀ H x t B  

等方性かつ線形かつ非分散性の媒質中として上の方程式を解くと、以下の波動方程式 ) 0

, ) (

,

( ₂

2 



 

 t

t E x t

x

E 

が得られる ) 0

, ) (

,

( ₂

2 



 

 t

t B x t

x

B 

ε, μ は、非等方性媒質ならテンソルになる

非線形媒質なら電場や磁場の強さの関数 ( ε(E), μ(H) ) になる ( 非線形光学で扱う ) 分散性媒質なら電磁波の周波数の関数 ( ε(ω), μ(ω) ) になる

波動方程式の 解

) 0 , ) (

,

( ₂

2 



 

 t

t E x t

x

E  ( , ) 0

) ,

( ₂

2 2

2 2

2 2

2 



 











 



 





t t t

z y

x

x x E

E 

0 ) , 1 (

2 2

2  

 







 

 t

t

v E x

ここで、 

 1

v と置くと、

v は電磁波が物質中を伝わる速度

m/s 10

998 .

1 2 ₈

0 0





   c

) 0 , ( ) 1

,

( ₂

2

2 



 

 t

t

t v E x

x E 波動方程式

波動方程式の解は、 E(x,t)  X₁(kxt) X₂(kxt)で与えられる。

k は波の伝搬方向を示す波数ベクトル + k 方向に進む波 - k 方向に進む波

 は波の角周波数



 1 v

真空中の場合に v は通常 c で表記さ れ、

2 2 2

1 t

v 

 





□

ダランベルシアン 0

) , (x t 

□E

X₁, X₂ は任意のベクトル関数

( 真空中の光速度 )

参考 ) 伝送線路と電信方程 式

x=0

Z_L 受電端 送電端

E

C G

R L

R: 線路単位長当りの抵抗 (/m)

L: 線路単位長当りのインダクタンス (/m) C: 線路単位長当りの容量 (F/m)

G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m) x

2 2 2

2

2 2 2

2

) (

) (

t LC i t

GL i RC

x RGi i

t LC v t

GL v RC

x RGv v



 



 



 





 



 



 



電信方程式あるいは伝送方程式 上記の伝送線路に対して、以下の線路方程式が得られる

右辺の最後の項に着目すると、この波 ( 線路上での電圧と電流 ) の伝搬速度 v は、

v  1 LC であることが分かる ← 無損失線路 (R = G = 0) の場合はこれで良い

平面電磁 波

波面が平面からなる波が、波面に垂直方向に伝搬していく

x

y z

0



 



x₁ t₁ k



 



x₂ t₂ k



 



 x₃ t₃ k

波面

( 等位相面 )

x₁ k



 



x t

k k ・ x –  t を波の位相と呼

ぶ。これがある一定値  を 保持したまま ( 等位相 ) 、時 間発展して

いく様子は、等位相面 ( 波 面 ) が平面からなる波が波 面に垂直方向に伝搬する様 子を表す

x₂ x₃

k: 波数ベクトル ( 波の進行方向を向いている )

平面電磁 波

今、自由空間を伝搬する電磁波 ( 進行波 ) の中で、特別な場合として正弦波

で表される電磁波を取り上げる。角周波数  で振動しながら、 + z 方向に伝搬する電磁波

)

0sin(kz t

E

E_x  _x  )

0sin(kz t

E

E_y  _y  )

0sin(kz t

E

E_z  _z 

)

0 sin(  

 H kz t H_{x x}

)

0 sin(  

 H kz t H_{y y}

)

0 sin(  

 H kz t H_{z z}

k は波数で、

k v



 

 2 x

y

z E

E_x0 E_y0

E_z0

平面電磁 波

)

0sin(kz t

E

E_x  _x  )

0sin(kz t

E

E_y  _y  )

0sin(kz t

E

E_z  _z 

)

0 sin(  

 H kz t H_{x x}

)

0sin(  

 H kz t H_{y y}

)

0 sin(  

 H kz t H_{z z}

t t t





 ( , ) )

, (

rot B x

x

E に代入、

+ z 方向に伝搬する電磁波

z z y

y x

x z

y x y

z x

x z y

t B t

B t

B y

E x

E x

E z

E z

E y

E e e e e e e



 



 



 

 



 







 



 



 







 



 



 







 





0 0 0 0

x, y 方向には一様

t B z

E_{y x}



 





t B z

Ex y



 

 



0



 t B_z

) cos(

)

cos( ₀

0 kzt  H kzt

kE_{y x} kE_y0  H_x0

) cos(

)

cos( ₀

0 kzt  H kzt 

kE_{x y} kE_x0  H_y0

0 )

0 cos(   

H_z kz t  H_z0 0 電場の波と磁場の 波の間には位相差 φ があると仮定して いる

φ はゼロでなければならない

平面電磁 波

t t t



  ( , ) )

, (

rot D x

x

H に代入、

同様に、

z z y

y x

x z

y x y

z x

x z y

t D t

D t

D y

H x

H x

H z

H z

H y

H e e e e e e



 



 



 



 







 



 



 







 



 



 







 





0 0 0 0

t D z

H_{y x}



 



 

t D z

Hx y



 





 0



 t D_z

) cos(

)

cos( ₀

0     

kH_y kz t E_x kz t kH_y0 E_x0 )

cos(

)

cos( ₀

0 kzt  E kzt

kH_{x y} kH_x0  E_y0

0 )

0 cos(  

E_z kz t E_z0 0 以上の関係より、



 





x y y

x

H E H

E E_z  H_z  0

ここで、



 

 v

k の関係を用いた となる

φ = 0

平面電磁 波



 





x y y

x

H E H

E E_z  H_z 0 x

y

z E

H E_x

H_y E_y

E と H ( ベクトル ) は、波の進行方向に垂直 な平面内に存在し、互いに直交する。また、

E と H の大きさの比は一定

 Z

 

 H

E

媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質 のインピーダンスという

真空のインピーダンス Z₀ は、

] [ 10 377

854185 .

8

10 2566371 .

1

12 6

0 0

0  



 

 _^

 Z 

平面電磁 波

) 1 (

),

( k

E k k H

H k

E     

Z Z

インピーダンス Z の媒質中を伝搬する電磁波に関して、 E と H との間には以下の関係が成り立つ

x

y

z E

H

k

電場の波と磁場の波は同相 ( 同じ時刻に共に節や腹となる )

平面電磁 波

 f

  2





 2 k )

sin(

) ,

(x t  e⁽¹⁾E₀ kxt E

電場が e⁽¹⁾ 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波を考える

) 0 , ( ) 1

,

( ₂

2

2 



 

 t

t

t v E x

x

波動方程式 E に上式を代入すると、

0 ) , ( )

( ₂

2 2

2

2 







    t

k v k

k_{x y z}  E x

上式が、任意の場所 x 、任意の時刻 t で成立するためには、 ₂

2 2

v

  k

角周波数  を、正の値と定義すると、 vk k  k  k_x² k_y² k_z²

これを分散 (dispersion) 関係という。

f

 v

 T  1f と置けば、

0

つまり、

f は波の周波数 ( 振動数 )

T は波の周期

平面電磁 波

) sin(

) ,

(x t  e⁽¹⁾E₀ k xt E

電場が e⁽¹⁾ 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波

0 ) , (

div E x t 

0 ) sin(

) (

) sin(

) (

) sin(

) , ( div

0 ) 1 (

0 ) 1 ( )

1 ( )

1 (

0 ) 1 ( )

1 ( )

1 (





























 



 







 



 



 

t z k y k x k E

t z k y k x k E

e k e

k e

k

t z k y k x k E

z e y e

x e t

z y

x

z y

x z

z y

y x

x

z y

x z

y x







e k x

E

上式が常に成り立つためには、 ke⁽¹⁾  0 でなければならない

即ち、電場の偏りの方向 e⁽¹⁾ は、その波の進行方向のベクトル k に直交する つまり、電場の波は横波である

を、

電場に関するガウスの法則 に代入する

k )

sin(

) ,

(x t e⁽¹⁾E₀ kxt e⁽¹⁾ E

平面電磁 波

) sin(

) ,

(x t  e⁽²⁾B₀ kxt B

磁場に対しても e⁽²⁾ 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波

0 ) , (

div B x t 

0 ) sin(

) (

) sin(

) (

) sin(

) , ( div

0 ) 2 (

0 ) 2 ( )

2 ( )

2 (

0 ) 2 ( )

2 ( )

2 (





























 



 







 



 



 

t z k y k x k B

t z k y k x k B

e k e

k e

k

t z k y k x k B

z e y e

x e t

z y

x

z y

x z

z y

y x

x

z y

x z

y x







e k x

B

上式が常に成り立つためには、 k e⁽²⁾  0 でなければならない

即ち、磁場の偏りの方向 e⁽²⁾ は、その波の進行方向のベクトル k に直交する つまり、磁場の波も横波である

を考え、

磁場に関するガウスの法則 に代入する

電磁波は横波　 !! k

) sin(

) ,

(x t  e⁽²⁾B₀ kxt B

e⁽²⁾ 従って、

平面電磁波の性質

) 1 (

),

( k

E k k H

H k

E     

Z Z

インピーダンス Z の媒質中を伝搬する平面電磁波に関して、 E と H と の間には以下の関係が成り立つ

E

H x

y

z k

つまり、電場および磁場の偏りの方向 ( 偏波方向 ) は、波の進行方向に対 して垂直。 ( 電場および磁場ベクトル E, B は、波の進行方向に対して垂 直面内に存在する。 ) また、電場および磁場の偏波方向 ( E, B の向き ) は互いに直交する。

媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質の電磁インピーダンスという

 Z

 

 H

E 真空中では、 377 [ ]

10 854185 .

8

10 2566371 .

1

12 6

0 0

0  



 

 _^

 Z 