電磁気学

電磁気学 C

Electromagnetics C

山田 博仁

静電場、静磁場における

の式

4/17 講義分

Maxwell

の方程 式

t t t



 

 ( , ) )

, (

rot B x

x

E ファラデーの電磁誘導則

アンペール・マクスウェルの法則 電場に関するガウスの法則

磁場に関するガウスの法則

0 ) , (

) , ( )

, (

) , ) (

, ( )

, (

) , ) (

, (















 









 







t

t t

t t t

t

t t t

e e

x B

x x

D

x x D

i x

H

x x B

E



E(x, t): 電場 (V/m) SI 国際単位系 H(x, t): 磁場 (A/m)

D(x, t): 電束密度 (C/m²)

B(x, t): 磁束密度 ( 磁場 ) (Wb/m²) i_e(x, t): 伝導電流密度 (A/m²)

_e(x, t): 真電荷密度 (C/m³) 物質中の電磁場を規定する基本法則

変位電流 t t t

t _e



 

 ( , )

) , ( )

, (

rot D x

x i x

H

) , ( )

, (

div D x t  _e x t 0

) , (

div B x t 

Maxwell

方程式の意 味

t t t





 ( , ) )

, (

rot B x

x E

1. ファラデーの電磁誘導則

磁場 ( 磁束密度 ) の時間的減少が、その周りに電場の渦を右ネジ方向に作る

変化する磁場の周りの電界は、そこに導線 ( コイル ) が有る無しに関わらず生じる たまたま導線が有ると、導線内の自由電

子が電界により動き、電流 I が流れる I

コイル B(x, t₂)

E(x, t₂)

B(x, t₃)

E(x, t₃) B(x, t₁)

E(x, t₁)

Maxwell

方程式の意

2. アンペール・マクスウェルの法則

味

さらに、電場 ( 電束密度 ) の時間的増加が、その周りに磁場の渦を右ネジ方向に作る t

t t

t _e



 

 ( , )

) , ( )

, (

rot D x

x i x

H

定常電流が、その周りに磁場の渦を右ネジ方向に作る

i_e(x, t)

H(x, t)

E(x, t₁)

H(x, t₁)

E(x, t₂)

H(x, t₂)

E(x, t₃)

H(x, t₃)

Maxwell

方程式の意

3. 電場に関するガウスの法則

味

4. 磁場に関するガウスの法則

電荷密度が電場 ( 電束密度 ) の発散を引き起こす )

, ( )

, (

div D x t  _e x t

0 ) , (

div B x t 

磁場 ( 磁束密度 ) の発散源 ( 磁荷 ) は存在しない

D(x)

_e(x)

B(x)

_m(x)

1

2

電磁気学のパラドッ クス

磁場

同一方向に電流が流れてい る導線間には引力が働く

電流

電流

力

1

2 -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

電子と一緒に動いている座標 系から見るとこのように見え る

二本の導線間には、クーロン力による反発力が働く

ファインマン物理学Ⅲ13-6

磁場は存在しない ? 一本目の導線を流れる電流

が作る磁場により、二本目の 導線を流れる電流 ( 電子 ) が 力を受ける (F=q v×B)

ローレンツ力と相対運 動

B_z

q+

E

-v

x’

y’

z’

K’

x y

z K

v

F_y’ = q v×B_z

F_y’

静電場、静磁 場

全ての物理量が時間 t に依存しない時、 Maxwell 方程式は以下のように電場、

磁場に対して各々独立な方程式系に分離できる

) ( )

(

) ( )

(

0 ) (

x E x

D

x x

D x E



















e 静電場に関する基本法則

定常電流による静磁場の基本法則

電荷も電流も時間的に不変である限り、電気と磁気とは別々の現象である 当初は、電気力 ( クーロン力 ) と磁力とは全く別のものだと考えられていたが、

Maxwell がこれら二つの力を電磁力として統一した。 ( 力の統一理論 )

) ( )

(

0 ) (

) ( )

(

x H x

B

x B

x i x H















 _e

媒質中での電磁場を扱うため の構造関係式

力の統一理 論

電磁力

重力

強い相互作用

弱い相互作用

物質間に働く 4 つの基本的な力 ( 相互作用 )

ローレンツ力

慣性力

摩擦力 強い

弱い 10²

1

10^-40

力の強さ

長距離 短距離

10^-15m

力の働く距離

1m

10¹⁰m

核力

核力

大統一理論

電弱統一理論

超弦 ( ひも ) 理論 ? 量子色力学

電気力 ( クーロン力 ) と磁力の統一 ( マクスウェル )

一般相対性理論 ( アインシュタイン )

静電場

) 3 ( )

( )

(

) 2 ( )

( )

(

) 1 ( 0

) (











 x

E x

D

x x

D x E



















e

静電場の基本方程式

第 (1) 式より、静電ポテンシャル (x) が定義できる )

4 ( )

( )

(x x 

E  

第 (3) 式の関係を用いて、上式を第 (2) 式に代入すると、以下のポアソン方程式を得る



  ( )

)

( x

x   ^e



上記ポアソン方程式の無限遠方でゼロとなる解は、

 _



V

e

' x' '

x x

x (x )

4 d ) 1

( ³ 

 

上式を (4) 式に代入することにより、電場 E(x) が求まる

 ^ _



V

e

' '

x' ' ₃

3 ( ) ( )

4 d ) 1

( x x

x x

x x

E 



( 局所的な電荷密度分布とその周りの電位を関係付 ける )

静電ポテンシャル

の意 味

) ( )

(x x

E  

山の等高線　 (x) 　スカラー量

山の斜面の勾配　 E(x) 　ベクトル量 {E_x(x), E_y(x), E_z(x)}

静電ポテンシャルはスカラーなので、スカラー・ポテンシャルとも呼ばれている

山の等高線 ( スカラー量 ) と斜面の勾配 ( ベクトル量 ) とは同じ情報 ( 地形 ) を伝えている 等高線に相当するのが静電ポテンシャル ( 電位 )  であり、電位の勾配が電

場 E ( ベクトル量 ) である

静電場

) ( )

(x x

D  _e





微分形式でのガウスの法則

両辺をある体積 V について積分する



^{ }

V e V

dV

dV ( )

)

(x x

D  dS

V S n D(x)

_e(x)

積分形のガウスの法則

( 局所的な電荷密度分布とその周りの電束密度の発散を関係付けている )

 ^

S

dS n x

D( ) Qe

Gauss の定理

e S

Q dS 

^D(x)ⁿ

球状電荷分布の周りの静電

誘電率が 、半径が a の球内に電荷が密度

場

a

O P



r

) ( )

(x x

D  _e





電場に関するガウスの法則

) ( )

(x E x

D 

( 局所的な電荷密度分布とその周り の電束密度の発散を関係付けてい る )



 ( ) )

( x

x

E  ^e



 ( 局所的な電荷密度分布とその周り の電場の発散を関係付ける式 )

構造関係式



^{ }

V e V

dV

dV 1 ( )

)

(x x

E 

 E(x)

ガウスの定理

 ^

S

dS n x E( ) 電荷分布が球対称だから、

電場は球の中心から放射状 

S

dS r) ( E



 

3 0 3

4

1 a

2 0

3

) 3

( r

r a



  E



 

3

3 4

1 r

(r>a)

(r<a)



 ) 3

( r

r  E

V S

dS n

静磁場

静磁場の基本方程式

第 (2) 式のガウスの法則から、磁場 B(x) はベクトル・ポテンシャル A(x) を用いて )

4 ( )

( )

(x A x 

B  

第 (3) 式の関係を用いて、上式を第 (1) 式に代入し、ベクトル公式を用いると以下の式を 得る

) ( )

( )

(x A x i_e x

A   





上式の解は、

 _



V

e x'

' ' ₃

) d ( ) 4

( x x

x x i

A 



上式を (4) 式に代入することにより、磁場 B(x) が求まる

 ^_ ^



V

e x'

' '

' ₃

3 ) d

( ) ( ) 4

( x x

x x x

x i

B 



) 3 ( )

( )

(

) 2 ( 0

) (

) 1 ( )

( )

(











 x

H x

B

x B

x i x H















 _e

ビオ・サバールの法則 A A

A    







 ( ) ( )

静磁場

微分形式でのアンペールの法則

両辺をある面 S について積分する )

( )

(x i x

H  _e





dS x dS

x

S e S

) ( ) ( )

( )) (

( H x n i x n

 ^{   }

積分形式でのアンペールの法則 I_e

H(x) dS

i_e(x)

S C dr

n(x)

H(x)

( 局所的な電流密度分布とその周りの磁場の回転を関係付けている )

 ^

C

dr x H( ) Stokes の定理

e C

I d 

 ^H(x) ^r

Ie

ベクトル解析の復 習

E E

E E

E E

E E

0







































































) (

) (

rot rot

ベクトル場) (

) (

スカラー場) (

) ( grad

div

0 ) (

rot div

ゼロベクトル) (

) ( grad

rot

2 









ガウスの定理



 ^{  }

V S

dV

dS F

n F

ストークスの定理



 ^{   }

S C

dS

dr F n

F ( )

dS F

V S n

dS

F S

C dr n 重要なベクトル恒等式

ベクトル解析の復 習



 







 



 



 













 















 



2 2 2

2 2

2

, ,

z y

x z y

x

演算子∇ ( ナブラ ) と 、、、、、、の意味

勾配 (gradient) 　‥ スカラー量に作用して、ベクトル量を導く演算子

z y

x y z

x z

y

x x e

x e x e

x x

x x

x 

 



 



 



 















 



 ( ) ( ) ( ) ( )

), , (

) ) (

( )

(

grad       

発散 (divergence) 　‥ ベクトル量に作用して、スカラー量を導く演算子

z E y

E x

Ex y _z



 



 



 





 ( ) ( ) ( )

) ( )

(

div x x x

x E x

E

ナブラ∇と E(x) のスカラー積

( ベクトルと見なせる )

( スカラーと見なせる )

ベクトル解析の復 習

回転 (rotation) 　‥ ベクトル量に作用して、ベクトル量を導く演算子

x z y

z y x x

z y

z y

x

z y

x

y E x

E x

E z

E z

E y

E

E E

E

z y

x

x e e x

x e x

x x

x x

x

e e

e x

E x

E



 







 



 



 







 



 



 







 



 











 







) ) (

) ( ( )

) ( ) (

(

) ( )

( )

( )

( )

( rot

ベクトル積 ( 外積 )

 y z z y x  z x x z y  x y y x z

z y

x

z y

x

z y

x

B A B

A B

A B

A B

A B

A B

B B

A A

A e e e

e e

e B

A       

ナブラ∇と E(x) のベクトル積