電磁気学

電磁気学 Ⅱ

Electromagnetics Ⅱ

山田 博仁

電磁波の反射と透過

6/5 講義分

界面

₁

₂

異なる媒質の界面における境界条

件

誘電率  ₁, ₂ の異なる媒質が接している界面

電場に関する Gauss の法則を、界面に 存在する高さが無限小の円柱に適用







D₁

D₂ S

e





 D n

D )

( _{1 2}

上式は、任意の面 S に対して成り立つことから、

Gauss の定理

界面には真電荷が面密度  _e にて存在

表面電荷  _e が存在しなければ、D₁n  D₂ n 界面での電束密度 D に対して、どの

ような条件が満たされなければならな いか ?

n

-n

単位法線ベクトル

+ + + + + +

界面での真電荷密度

_e +

S S _e



 D n

D )

( _{1 2}

従って、

異なる媒質の界面における境界条

誘電率  ₁, ₂ の異なる媒質が接している界面

件







 



 S

S d

d Bt S

S E rot

Faraday の電磁誘導の法則を、図のよう

に界面の一部を囲む高さ  h が無限小 の長方形  S に適用

ここで、 Bt は境界面の近くで有限であるから、 S→0 の極限で右辺の 積分はゼロになる

一方、 Stokes の定理を用いると左辺は、

l d

d C

S  





E₁

₁

₂ 界面

h

l

t E t

E₁  ₂  上式は、任意の  l の長方形に対して成り立つことから、

界面での電場 E に対して、どのよ うな条件が満たされなければならな

いか ? C E₂ S

t: 単位接線ベクトル t

t

0 )

(E₁t  E₂ t l  従って、

異なる媒質の界面における境界条

件

透磁率  ₁, ₂ の異なる媒質が接している界面

磁場に関する Gauss の法則を、界面に 存在する高さが無限小の円柱に適用

0

div 





S

₁

₂ 界面

0 )

(B₁ B₂ n S  従って、

Gauss の定理

n B n

B₁  ₂ 

界面での磁束密度 B に対して、どの ような条件が満たされなければならな

いか ? B₁

B₂ n

-n

単位法線ベクトル

0 )

(B₁ B₂ n 

上式は、任意の面 S に対して成り立つことから、

よって、

異なる媒質の界面における境界条

透磁率  ₁, ₂ の異なる媒質が接している界面

件









 

 S S e

S d d

d Dt S i S

S H rot

Ampere-Maxwell の方程式を、図のよう

に界面の一部を囲む高さ  h が無限小 の長方形  S に適用

ここで、界面に表面電流が存在しない限り、 i_e も  Dt も境界面の近く で有限であるから、 S→0 の極限で右辺はゼロになる

一方、 Stokes の定理を用いると左辺は、

l d

d C

S  





H t

H₁  ₂  従って、

H₁

₁

₂ 界面

t: 単位接線ベクトル t

t

h

l i_e: 界面での 伝導電流密度

i_e 界面には伝導電流が面密度 i_e にて存在

界面での磁場 H に対して、どのよ うな条件が満たされなければならな

いか ? C H₂ S

異なる媒質の界面における境界条 件

t E t

E₁  ₂

E₁

E₂

₁

₂

t E₁

t E₂ 電場の接線成分は連続

t H t

H₁  ₂ 

H₁

H₂

₁

₂

t H₁

t H₂ 磁場の接線成分は連続

n D n

D₁  ₂ 

電束密度の法線成分は連続

D₁

D₂

₁

₂

n D₁

n D₂ 

n B n

B₁  ₂ 

磁束密度の法線成分は連続

B₁

B₂

₁

₂

n B₁

n B₂

表面電荷が 存在しない場 合

表面電流が 存在しない場 合

t は界面に平行 な単位接線ベク トル

n は界面に垂直 な単位法線ベク トル

界面での反射と透

2 種類の媒質が x-y 平面 (z = 0)

過

を境に接しており、 z > 0 を媒 質Ⅰが、 z < 0 を媒質Ⅱが満たし ている。平面電磁波が媒質Ⅰから 媒質Ⅱに入射角  _i で斜め入射し

、その一部が反射角  _r で反射 され、またその一部が透過角  _t で媒質Ⅱ内に透過する場合を考え る。

i i

i i

i i

it t k x  k z 

 k r   sin  cos 入射波

反射波 _rt k_r r _rt k_rxsin_r k_rzcos_r 透過波 _ttk_t r _ttk_txsin_t k_tzcos_t 入射波、反射波および透過波の

波数ベクトルと角周波数をそれ ぞれ (k_i, _i), (k_r, _r) および (k_t,

_t) とし、電場ベクトルは図の様 に x-z 平面上にあり、磁場は y 成分のみとする。

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ E_i

H_i

E_r H_r

k_i k_r k_t

H_t E_t

y

_i _r

_t 波の位相は、

界面での反射と透

境界面 (z = 0) 上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、

過

t r

i  

  

t t

r r

i

i k k

k sin  sin  sin

i

r k

k 

i

r 

 

2 1

sin sin

v v k

k

i t t

i  





v₁ と v₂ は、それぞれ媒質Ⅰ

、Ⅱ内を進む電磁波の速度 従って、

i

r 

 

k  vの関係より、媒質Ⅰ内で電磁波の速度 v₁ は入射波、反射波に共通なので、

ならば、

( 反射の法則 ) (Snell の法則 )

v₁

v₂ 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

_i _r

_t

k_i k_r

k_t

この条件が成立しなければならない

2 1

sin sin

v v

t

i 





2 2

1 1

1 1







 

1 1

2 2







 

1 2



 

0 2

1  

   磁性体でなければ、



0 1

0 2









r

 r

1 2 r r



 

1 2

n

 n

n₁, n₂ は各々、媒質

Ⅰ , 媒質Ⅱの屈折率 比誘電率

界面での反射と透 過

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

( _{ix iz i i i i}

i  E E  E  E 

E



 



 

(0, , 0) 0, ,0 Z1

H_iy Eⁱ Hi

入射波

反射波

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

( _{rx rz r r r r}

r  E E  E  E 

E



 



 



 (0, , 0) 0, ,0 Z1

H_ry E^r Hr

透過波

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

( _{tx tz t t t t}

t  E E  E  E 

E



 





 (0, ,0) 0, ,0 Z2

H_ty E^t Ht

Z₁, Z₂ は、それぞれ媒質 1, 2 の電磁インピーダンス

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

E_i

H_i E_r

H_r k_i k_r

k_t

H_t E_t y

_i _r

_t

i

r 

 

界面での反射と透 過

tx rx

ix E E

E  

次に、電磁波の振幅について考えると、界面での電場 E および磁場 H の 接線成分の連続性より、

ty ry

iy H H

H  

t t

r r

i

i E E

E cos  cos   cos



2 1

1 Z

E Z

E Z

E_i  _r  _t Z₂E_i Z₂E_r  Z₁E_t

t t

i r

i

i E E

E cos  cos  cos

t i

i t

i r

Z Z

Z Z

E r E









cos cos

cos cos

2 1

1 2



 



t i

i i

t

Z Z

Z E

t E





 cos cos

cos 2

2 1

2

 



上式から E_t を消去すると、

上式から E_r を消去すると、

( 電界反射係数 )

( 電界透過係数 ) 従って、

ここで、 θ_i = θ_r の関係を用いている

界面での反射と透 過

E r E E Z

E Z H

H

i r i

r

i

r    





1

1 t

Z Z E

E Z

Z E Z

E Z H

H

i t i

t

i t

2 1 2

1

1

2  



因みに、磁界に対する反射係数および透過係数を求めてみると、

特に媒質が非磁性の場合には、 μ = μ₀ 、即ち μ_r = 1 が成り立ち、上式は

r r r

r

v

c  























   



0 0

0 0

0 0 0

0

1 1

2 0 2

2 0 0 2

2

2 Z

Z v

n  c  _r  







 

真空中での光の速度 c と媒質中での光の速度 v の比は、で表され、

1 0 1

1 0 0 1

1

1 Z

Z v

n  c  _r  







  と表せる。

従って、反射係数と透過係数は、媒質の屈折率を用いて、

i t

i t

n n

n r n









cos cos

cos cos

2 1

2 1



 

i t

i

n n

t n





 cos cos

cos 2

2 1

1

  と表せる。

で表され、

また特に媒質が非磁性の場合には、 それぞれの媒質の屈折率は真空の固有 インピーダンス Z₀ を用いて、

v r

c   となり、これが媒質の屈折率 n である。

界面での反射と透

垂直入射の場合には、 _i = _t = 0 とすることにより反射係数と透過係数は、

過

2 1

2 1

n n t n

 

2 1

2 1

n n

n r n



 

n₁ n₂

t r i

入射波のエネルギー流に対する反射波と透過波のエネルギー流 の比をそれぞれ反射率 R および透過率 T という。

入射波、反射波、透過波のエネルギー流は、各々に対するポインティングベクトルの 大きさの界面に垂直方向成分であるから、

1 2

1

cos cos

cos Z

E Z

E E H

E_{i i} _i  _i ⁱ _i  ⁱ ⁱ

r r

r r

r r

r

r Z

E Z

E E H

E cos cos cos

1 2

1



 



 







Z₁

Z₂ 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

_i _r

_t

入射波 反射波

透過波

t t

t t

t t

t

t Z

E Z

E E H

E cos cos cos

2 2

2





S_i S_r S_t 入射エネルギー流

反射エネルギー流

透過エネルギー流

界面での反射と透 過

2 2

2 2

1 2

1 2

/ cos

/ cos cos

cos r

E E E

E Z

E

Z E

H E

H R E

i r i

r i

i

r r

i i

i

r r

r     

 







2 2

1 2

2 1 1

2

2 2

cos cos cos

cos /

cos / cos cos

cos t

Z Z E

E Z

Z Z

E

Z E

H E

H T E

i t i

t i t i

i

t t

i i

i

t t

t















   



R T 1

r

i 

   従って、反射率 R と透過率 T は、

屈折率 n₁, n₂ で表せば、反射率 R と透過率 T は、

 





2 2

1

cos cos

cos cos

i t

i t

n n

n R n











 





2 1

cos cos

cos cos

4

i t

t i

n n

n T n









 

反射係数と反射率、透過係数と透過率をしっかり区別して理解する こと !!

界面での電磁波の反射と透 過

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

E_i

H_i E_r

H_r Z₁

H_t E_t y

_i _r

_t Z₂

t i

i t

i r

p Z Z

Z Z

E r E









cos cos

cos cos

2 1

1 2



 



つまり、磁場 ( ベクトル ) が界面に平行に入 射した場合の電界反射係数として、

磁場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界透過係数として、

t i

i i

t

p Z Z

Z E

t E





 cos cos

cos 2

2 1

2

 



ただし、 Z₁, Z₂ は、それぞれ媒質 1, 2 の固有インピーダンス これまでは、入射波の電場ベクトルは

x-z 平面内にのみ存在し、磁場ベクトル は y 方向成分のみを有するとするとし て、電界反射係数および電界透過係数を 求めた。

p.210 (12.62 式 )

p.210 (12.62 式 )

界面での電磁波の反射と透

次に、図に示すように入射波の磁場ベク

過

トルが x-z 平面内に存在し、電場ベクト ルは y 方向成分のみを有する場合につい て考えると、

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

H_i

E_i E_r

H_r

H_t E_t y

_i _r

_t Z₁

Z₂ )

0 , ,

0 ( ) , ,

( _{ix iy iz i}

i  E E E   E

E



 



 



 _{ix iy iz} ⁱ _i ⁱ _i

i Z

E Z

H E H

H , , ) cos ,0, sin (

1 1

H 入射波

i

r 

  反射波

) 0 , ,

0 ( ) , ,

( _{rx ry rz r}

r  E E E  E

E



 



 



 _{rx rz rz} ^r _i ^r _i

r Z

E Z

H E H

H , , ) cos ,0, sin (

1 1

H 透過波

) 0 , ,

0 ( ) , ,

( _{tx ty tz t}

t  E E E   E

E



 



 



 _{tx ty tz} ^t _t ^t _t

t Z

E Z

H E H

H , , ) cos ,0, sin (

2 2

H

Z₁, Z₂ は、それぞれ媒質 1, 2 の電磁インピーダンス

界面での反射と透 過

t i

t i

i r

s Z Z

Z Z

E r E









cos cos

cos cos

1 2

1 2



 



電場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界反射係数として、

電場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界透過係数として、

t i

i i

t

s Z Z

Z E

t E





 cos cos

cos 2

1 2

2

 



が求まる。ただし、 Z₁, Z₂ は、それぞれ媒質 1, 2 の固有インピーダンス 例題 12.3 (p.212)

例題 12.3 (p.212)

ty ry

iy E E

E  

界面での電場 E および磁場 H の接線成分の連続性より、

tx rx

ix H H

H  

2 1

1

cos cos

cos

Z E Z

E Z

E_i _i  _r _i   _t _t

 従って、

t r

i E E

E  

界面での電磁波の反射と透 過

) tan(

) tan(

) cos sin

cos )(sin

sin sin

cos (cos

) sin sin

cos )(cos

cos sin

cos (sin

cos sin

cos sin

cos sin

cos sin

cos cos

cos cos

2 1

1 2

t i

i t

i t

t i

t i

t i

t i

t i

i t

t i

t t

i i

i i

t t

t i

i t

i r

p Z Z

Z Z

E r E



































































 







 





 



 



磁場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界反射係数は、

磁場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界透過係数は、

) cos(

) sin(

cos sin

2

cos sin

cos sin

cos sin

2 cos

cos

cos 2

2 1

2

t i t

i

i t

t t

i i

i t

t i

i i

t

p Z Z

Z E

t E

































 

 

 



12.57 式 (Snell の法則 ) 式 12.63 式より、

1

2 sin

sin Z Z

i t



  この関係を用いると、

2 1 2

1

sin sin

Z Z v

v

t

i  



 従って、

界面での電磁波の反射と透

電場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界反射係数は、

過

電場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界透過係数は、

) sin(

) sin(

cos sin

cos sin

cos sin

cos sin

cos cos

cos cos

1 2

1 2

i t

i t t

i i

t

t i

i t

t i

t i

i r

s Z Z

Z Z

E r E



































 



 



 



) sin(

cos sin

2 cos

sin cos

sin

cos sin

2 cos

cos

cos 2

1 2

2

i t

i t

t i

i t

i t

t i

i i

t

s Z Z

Z E

t E



























 

 

 



つまり、反射係数や透過係数は、入射角 θ_i と透過角 θ_t のみで表 わせる。これらは Fresnel の式と呼ばれている。

ここで、 p, s は光の媒質への入射状態を表し、電界成分が入射面 ( 入射 光線と反射光線が作る面 ) に平行 (parallel) な光を p 波、垂直 (senkrecht) なものを s 波と呼んでいる。

因みに地震波では、縦波であって早く到達する第一波を p 式 (primary

wave) 、横波で強い揺れを引き起こす第二波を s 式 (secondary wave) と

呼んでいる。

S 波と P 波

p 波 ( 光の場合は p 偏光 )

入射波

磁界 入射面 電界

入射波 反射波

電界

磁界

反射波 入射面

s 波 ( 光の場合は s 偏光 )

界面での電磁波の反射と透 過

以上で求めた r_p, r_s を、入射角  _i に対 して図示すると、右図のようになる。

2

 

_i  _t  1

i

2

 -1

Z₁ > Z₂ のとき

0 r_p

r_s

以上の結果から分かるように、磁場ベクトルが界面に対して平行に入射した場 合 (p波 ) の電界反射係数 r_p は、入射角  _i と透過角 ( 屈折角 ) _t の和がちょう ど直角になる時にゼロ、つまり無反射となる。この時の入射角度  _i のことを Brewster 角という。

2 2

) tan(

) tan(

t i

i t p

p r

R  







 

 反射率は、

2 2

) sin(

) sin(

i t

i t s

s r

R  







 



これを図示すると、

入射角 (θ_i) 反

射

率 R_s R_p

Brewster 角

界面での電磁波の反射と透

以上の結果から分かるように、磁場ベクトルが界面に対して平行に入射した場

過

合 (p 波 ) の電界反射係数 r_p ( 従って反射率も ) は、入射角  _i と透過角 ( 屈折 角 ) _t の和がちょうど直角になる時にゼロ、つまり無反射となる。この時の入 射角度  _i のことを Brewster 角という。

Brewster 角 _i は、

2

 

_i  _t 

1 1 2 2

1 1 tan

tan n

n Z

Z

i



 

 

Snell の法則より、

1 2 2

1

sin sin

n n Z

Z

t

i  





従って、 Brewster 角 _i は、

直角 x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

E_i H_i E_r

H_r Z₁

H_t E_t y

_i _r

_t Z₂

Brewster 角

また、入射角と Brewster 角との大小関係により、電界反射係数の符号が反転する つまり、 Brewster 角を挟んで、反射波の電場ベクトルの向きが反転する

Brewster 角の物理的意

このような Brewster 角が存在する物理的意味は

味

E_i

x z

媒質Ⅰ

媒質Ⅱ y

_i _r

_t Brewster 角

この方向には

、電磁波を放 射できない

Brewster 角で媒質Ⅱに入射する電磁波は、媒質Ⅱ内の界面付近に分極を生じ

るが、その分極は反射角の方向には電磁波を放射できないため

電磁波が反射するメカニズムは、入射波によって界面に誘起された誘電分 極からの電磁波の放射と考えることができる

Brewster 角を利用して偏光を分け

る偏光ビームスプリッタ

演習 : 界面での反射と透

図に示す様に、 2 種類の媒質が x-y

過

平面 (z = 0) を境に接している。今

、平面電磁波が媒質Ⅰから媒質Ⅱに入 射角  _i で斜め入射する場合を考え る。

i i

i i

i i

it t k x  k z 

 k r   sin  cos 入射波

反射波 _rt k_r r _rt k_rxsin_r k_rzcos_r 透過波 _ttk_t r _ttk_txsin_t k_tzcos_t 入射波、反射波および透過波の

波数ベクトルと角周波数をそれ ぞれ (k_i, _i), (k_r, _r) および (k_t,

_t) とし、電場ベクトルは図の様 に x-z 平面上にあり、磁場は y 成分のみ (p 波 ) とする。

波の位相は、

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

E_i H_i

E_r H_r

k_i k_r k_t

H_t E_t y

_i _r

_t

境界面 (z = 0) 上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、

t r

i  

  

t t

r r

i

i k k

k sin  sin  sin この条件が成立しなければならない

電場、磁場ベクトルの向きを教科書とは違えております

演習 : 界面での反射と透 過

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

( _{ix iz i i i i}

i  E E  E  E 

E



 



 



 (0, ,0) 0, ,0 Z1

H_iy Eⁱ Hi

入射波

反射波

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

( _{rx rz r r r r}

r  E E  E  E 

E



 



 



(0, ,0) 0, ,0 Z1

H_ry E^r Hr

透過波

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

( _{tx tz t t t t}

t  E E  E  E 

E



 



 



(0, , 0) 0, ,0 Z2

H_ty E^t Ht

Z₁, Z₂ は、それぞれ媒質 1, 2 の電磁インピーダンス

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ E_i H_i

E_r H_r k_i k_r

k_t

H_t E_t y

_i _r

_t

i

r 

 

演習 : 界面での反射と透 過

tx rx

ix E E

E  

界面での電場 E および磁場 H の接線成分の連続性より、

ty ry

iy H H

H  

t t

r r

i

i E E

E cos  cos  cos

2 1

1 Z

E Z

E Z

E_i  _r  _t Z₂E_i Z₂E_r  Z₁E_t

t i

t i

i r

p Z Z

Z Z

E r E









cos cos

cos cos

2 1

2 1



 



t i

i i

t

p Z Z

Z E

t E





 cos cos

cos 2

2 1

2

 



上式から E_t を消去すると、

上式から E_r を消去すると、

( 電界反射係数 )

( 電界透過係数 ) 従って、

ここで、 θ_i = θ_r の関係を用いている

p i

r i

r

i

r r

E E E Z

E Z H

H   

1 1

p i

t i

t

i

t t

Z Z E

E Z Z E Z

E Z H

H

2 1 2

1

1

2  



この場合、磁界に対する反射係数および透過係数は、

反射係数や透過係数の値は、電界 や磁界ベクトルの取り方によって 異なる