電磁気学

電磁気学 Ⅱ

Electromagnetics Ⅱ

山田 博仁

電磁場のエネルギー

5/9 講義分

今後の講義スケジュー ル

・ 5/9( 木 )( 第 5 回目 ) 電磁場のエネルギー、波動方程式

・ 5/16( 木 )( 第 6 回目 ) 電磁波の性質　 (第 1 回レポート〆切 )

・ 5/23( 木 )( 第 7 回目 ) 電磁場の運動量

・ 5/30( 木 )( 第 8 回目 ) 電磁波の反射と透過　 (第 2 回レポート出題 )

・ 6/6( 木 )( 第 9 回目 ) 電磁波の反射と透過、偏波

・ 6/13( 木 )( 第 10 回目 ) 電磁波の共振器と導波路　 (第 2 回レポー ト〆切 )

・ 6/20( 木 )( 第 11 回目 ) 光導波路と光共振器

・ 6/27( 木 )( 第 12 回目 ) 電磁ポテンシャルとゲージ変換　 (第 3 回 レポート出題 )

　　 7/4( 木 ) 休講

・ 7/11( 木 )( 第 13 回目 ) 電気双極子による電磁波の放射　 (第 3 回 レポート〆切 )

・ 7/18( 木 )( 第 14 回目 ) 点電荷による電磁波の放射

・ 7/25( 木 )? 定期試験

静電エネル

ギー

電荷 Q を与えた半径 a の孤立導体球の静電エネルギーを求める 導体上に既に電荷 q が分布している場

合、導体の電位  _q は、

a q

q

40

 

この状態から、さらに微小電荷 dq を無限遠方 から導体上に運ぶために必要な仕事 dW は、

dq dW _q

従って、導体上に電荷を少しずつ運び最終的に Q とするために要する仕事 W は、

a dq Q

a q dq dW

W

Q Q

q

0 2 0 0

0

8 4

1

















 

従って、導体球は上記の静電エネルギー W を有すると考えられる ( 遠隔作用の観点 )

_q a q

dq

∞遠方 dW

dr

帯電した導体球の周りの電場のエネル ギー

帯電した導体球の周りには電場 E(r) が存在する。 ₂ 4 0

)

( r

r Q

E  

電場の静電エネルギー密度 u_e は、教科書

p69 式 (5.41) に依れば以下の式で与えられ

る。

D E

 2 1 ue

従って、導体球の周りの空間に存在する電場 の全エネルギーは、

a dr Q

r Q

r dr r Q

dr r E r

dr u r U

a a

a

a e

e

0 2 2

0 2

4 2 0 2

2 2

0

2 0 2 2

8 1

8 2 16

) 2 (

4 1 4







 

































近接作用の観点では、電場のエネ ルギーは空間に蓄積されていると 考える

a Q

E(r)

2

2 1 E

 ( 等方性媒質なら )

電磁場のエネル

磁場の磁気エネルギー密度 u_m は、教科書

ギー

の式で与えられる。 ₂

2 1 2

1 H

u_m  BH  

従って、単位体積あたりの電磁場のエネルギー密度 u は、以下の式で与えられる )

2(

1 ED BH





u_e u_m u

ある空間 V 内の電磁場エネルギーは、それをその空間内で体積積分した もので、

dV U

U

U ^ e ^ m ^ ₂¹



物質中 ( 真空中 ) に時間的に変動しない電磁場が存在する場合、空間に蓄 えられる電磁場のエネルギー

ここで、 u_e は電場によるエネルギー密度、 u_m は磁場によるエネルギー密度

2

2 1 2

1 E

u_e  E D   ²

2 1 2

1 H

u_m  BH   )

2(

1 _{2 2}

H

E 

 

 ( 等方性媒質の場合 )

時間的に変動する電磁場のエネルギ ー

次に、時間的に変動する電磁場のエネルギーを表す式を導出してみる

H E

E H

H

E ) rot rot

(

div     

以下のベクトル恒等式 ( 教科書 p228 の一番上の式 ) からスタート

上式に Maxwell の方程式を代入

t t t



 

 ( , ) )

, (

rot B x

x E

t t t

t _e



 

 ( , )

) , ( )

, (

rot D x

x i x

H



 







 



 







 t ^e t

i D B E

H H

E ) (

div

t e

t B E i

D H

E  



 









 





 D  E B   H

 

t ED H B E i



 

 2

1

 

t t

t 





 

 

 

 D

E E D

D E

媒質が等方性であるとして、

時間的に変動する電磁場のエネル ギー

 

2

1 ED H B  E i  EH



  _e

従って、 t

上式を、ある領域 V で積分すると、

   





 

V V

e V

dV dV

t dV div ( )

2

1 E D H B E i E H

dS

S=E×H

V S

n

U

E ･ i_e 領域 V 内の電磁 U

場エネルギー ジュール熱によ るエネルギー損 失

   





 

S V

e V

dS dV

t E D H B dV E i (E H) n

2

1 Gauss の定理

領域 V を囲む閉曲面 S から単 位時間に外部に流出するエネル S = E×Hギー

Poynting ベクト

ル は、

電磁場のエネルギーの流れを表す

E

S H

電磁場に関するエネルギー保存則

※ Poynting ベクトルがあるからと言っ

て、　　必ずしもエネルギーの流れがあ る訳　　ではない

Poynting ベクト ル

S = E×H を、

時間的に変動する電磁場のエネル ギー





 

 

S V

e dV dS

tU E i S n

電磁場のエネルギー保存則

電磁場エネルギー

の時間的減少 = 熱になって消失 する電磁エネル ギー

+ 単位時間に外部に流 出する電磁エネル ギー

S

U E ･ i_e S

u と S との関係は ?

電磁波は、単位時間に光速度 c だけ進む c

S = E×H

H E

 cu

単位時間に単位面積を通過す る電磁場のエネルギー、即ち 単位面積を通過する電磁場の 電力 P

u

単位体積当たりの 電磁場エネルギー : u

従って、

の関係がある S = E×H を Poynting ベクトルと呼ぶ

電磁気学 Ⅱ

Electromagnetics Ⅱ

山田 博仁

電磁場の波動方程式

自由空間での Maxwell 方程 式

t t t



 

 ( , ) )

, (

rot B x

x

E ファラデーの電磁誘導則

アンペール・マクスウェルの法則 電場に関するガウスの法則

磁場に関するガウスの法則

Maxwell 方程式

t t t

t _e



 

 ( , )

) , ( )

, (

rot D x

x i x

H

) , ( )

, (

div D x t  _e x t 0

) , (

div B x t  変位電流

自由空間での Maxwell 方程式 ( 自由空間では、真電荷 ρ_e および伝導電流 i_e がゼロ ) t

t t



 

 ( , ) )

, (

rot B x

x E

t t t



  ( , ) )

, (

rot D x

x H

0 ) , (

div D x t  0 ) , (

div B x t 

) , ( )

,

(x t E x t D 

) , ( )

,

(x t H x t B  

等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中

真空中

) , ( )

,

(x t ₀ E x t D 

) , ( )

,

(x t ₀ H x t B  

波動方程式の導 出

t t t









 ( , )

) ,

( B x

x E

) , ( )

,

( t

t t B x

x

E 



 











t t t



 



 ( , )

) ,

( D x

x H

) , ( )

,

(x t H x t B  

) , ( t t H x



 

 

2

2 ( , )

t t



 

  D x

) , ( )

,

(x t E x t D 

2

2 ( , )

t t



 

  E x ベクトル恒等式

第 1 式

第 2 式 E

E

E   







 ( ) ( )

) , ( ))

, (

(E x t E x t



0 ) , ( )

,

(   



 D x t  E x t 0 

従って、 ( , ) 0 )

,

( ₂

2 



 

 t

t E x t

x

E  波動方程式

練習のため、第 2 式の rotation をとり、磁場に対する式を求めてみよう ) 0

, ) (

,

( ₂

2 



 

 t

t B x t

x

B 

両辺の rotation をとる

ここで媒質は、等方性かつ線形かつ非分散性と仮定している

第 3 式

波動方程式導出においての変位電流の役 割

t t t





 ( , ) )

, (

rot B x

x E

0 ) , (

rot H x t  0 ) , (

div D x t  0 ) , (

div B x t 

変位電流は、 Maxwell 第 Ampere の式に理論的考察を行って付加したものであるが、

仮に、この変位電流の項が無かったとしたら、どんな方程式が導かれるだろうか ? 変位電流が無い場合の、自由空間での Maxwell 方程式は、以下のようになる。

第 1 式の rotation をとると、

) , ( )

,

( t

t t B x

x

E 



 









 ( ,t)

t H x



 

 

0 ) ,

( 



 H x t

0

第 2 式 )

, ( ))

, (

(E x t E x t



0  D(x,t)  E(x,t) 0

0 ) ,

( 

E x t 従って、

となり、静電場の場合のラプラスの方程式となってしまう。

波動方程式の意 味

) 0 , ) (

,

( ₂

2 



 

 t

t E x t

x

E 

) 0 , ) (

,

( ₂

2 2

2 2

2 2

2 



 











 



 





t t t

z y

x

x x E

E 

ここで簡単のため、 E(x, t) は x と y には依存せず、 z と t のみの関数であると仮定

) 0 , ( )

, (

2 2 2

2 



 





t t z z

t

z E

E 

0 ) ,

2 (

2  

 







 

 t

t E x



今ここで、 

 1

v と置くと、 ( , ) 1 ( , ) 0

2 2 2 2

2 



 





t t z v

z t

z E

E

後で分かるように、 v は電磁波が物質中を伝わる速度、真空中の場合には 第 v は光速度 c で与えられ、

m/s 10

998 .

1 2 ₈

0 0





   c

つまり、 E(x, t) 　→　 E(z, t)

波動方程式の 解

) 0 , ( 1

) , (

2 2 2 2

2 



 





t t z v

z t

z E

E の解は、E(z,t)  X₁(vt z) X₂(vt  z) 波動方程式

で与えられる。

( 教科書 p.200 参照 )

+ z 方向に速度 v で進む波

- z 方向に速度 v で進む波 x

y

z

( 進行波 )

( 後退波 )

より一般的には、波動方程式 1 ( , ) 0 )

,

( ₂

2

2 



 

 t

t

t v E x

x

E の解は、

) (

) (

) ,

(x X₁ k x X₂ k x

E t  t    t  で与えられる。

k は波の伝搬方向を示す波数ベクトル

+ k 方向に進む波 - k 方向に進む波

 は波の角周波数

参 )　 伝送線路と電信方程 式

x=0

Z_L 受電端 送電端

E

R: 線路単位長当りの抵抗 (/m)

L: 線路単位長当りのインダクタンス (/m) C: 線路単位長当りの容量 (F/m)

G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m) x

2 2 2

2

2 2 2

2

) (

) (

t LC i t

GL i RC

x RGi i

t LC v t

GL v RC

x RGv v



 



 



 





 



 



 



電信方程式あるいは伝送方程式 上記の伝送線路に対して、以下の線路方程式が得られる

線路上での電圧波と電流波 の伝搬速度 v は、

v  1 LCであることが分かる 無損失線路 (R = G = 0) の場合、

2 2 2

2

2 2 2

2

t LC i x

i

t LC v x

v



 







 





参 ) 伝送線路上の電圧波の伝 搬

) (

0 ) (

0

x t j x x

t j x t

j

xe V e e V e e

V ^  ^{   }  ^{   }

-x 方向に位相速度 ω/β で進む電圧波。 α > 0 なら、伝搬に伴い振幅が指数関数的 に減衰+x 方向に位相速度 ω/β で進む電圧波。 α > 0 なら、伝搬に伴い振幅が指数関数的 に減衰

Z_L E

x

入射波 反射波

e^j(ωt±βx) = cos(ωt±βx)+j sin(ωt±βx) は、∓x 方向に進む角周波数 ω,　 位相定数 β の正弦

波

x

) ( v_p





v_p: 位相速度 ここで、

e x

V₀^は波の振幅を表し、^ α > 0 (α < 0) なら、 x が増大する方向に振幅が増大 ( 減少 ) する

x 

 d v_g  d 因みに、波の包絡線 の形状が伝わる速度 を群速度 : v_g という 線路上の位置 x での電圧

進行する正弦 波

) sin(t kx

+x 方向に伝搬する正弦波

波数 角周波数



 



 

 f t x



 2 2

sin 



 



 

 t x

T 

 1 2 2

sin 



 

 

  x

T 2 t sin

位相角

t = 0 t = T t₁

x = λ x = 0 x₁

ある時刻 (t = t₁) について見てみると、 ある場所 (x = x₁) について見てみると、

-x +x

0 -t +t

0 v  k

波の伝搬速度

従って、波数と角周波数の比は、

電磁気学 Ⅱ

Electromagnetics Ⅱ

山田 博仁

波動方程式から導かれる電磁波の性質

自由空間での Maxwell 方程

自由空間での Maxwell 方程式 ( 自由空間では、真電荷および伝導電流がゼロ

式

t t





 ( , ) )

, (

rot B x

x E

t t t



  ( , ) )

, (

rot D x

x H

0 ) , (

div D x t  0 ) , (

div B x t 

) , ( )

,

(x t E x t D 

) , ( )

,

(x t H x t B  

等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中

真空中

) , ( )

,

(x t ₀ E x t D 

) , ( )

,

(x t ₀ H x t B  

等方性かつ線形かつ非分散性の媒質中として上の方程式を解くと、以下の波動方程式 ) 0

, ) (

,

( ₂

2 



 

 t

t E x t

x

E  ( , ) 0 が得られる

) ,

( ₂

2 



 

 t

t B x t

x

B 

ε, μ は、異方性媒質ならテンソル　　　　　　　 , 　　　　　

　　　　　　　になる

非線形媒質なら電場や磁場の強さの関数 ( ε(E), μ(H) ) になる ( 非線形光学で扱う ) 分散性媒質なら電磁波の周波数の関数 ( ε(ω), μ(ω) ) になる

















33 32

31

23 22

21

13 12

11



































33 32

31

23 22

21

13 12

11



















波動方程式とその 解

) 0 , ) (

,

( ₂

2 



 

 t

t E x t

x

E  ( , ) 0

) ,

( ₂

2 2

2 2

2 2

2 



 











 



 





t t t

z y

x

x x E

E 

0 ) , 1 (

2 2

2  

 







 

 t

t

v E x

ここで、 

 1

v と置くと、

v は電磁波が物質中を伝わる速度

m/s 10

998 .

1 2 ₈

0 0





   c

) 0 , ( ) 1

,

( ₂

2

2 



 

 t

t

t v E x

x E 波動方程式

波動方程式の解は、 E(x,t)  X₁(t kx) X₂(tk x)で与えられる。

k は波の伝搬方向を示す波数ベクトル + k 方向に進む波 - k 方向に進む波

 は波の角周波数



 1 v

真空中の場合に v は通常 c で表記さ れ、

2 2 2

1 t v 

 





□

ダランベルシアン 0

) , (x t 

□E

X₁, X₂ は任意のベクトル関数

( 真空中の光速度 )

括弧の中は波の位相を表わす

平面電磁 波

波面が平面からなる波が、波面に垂直方向に伝搬していく

x

y z

0



t₁ kx₁ 



t₂ kx₂ 



t₃ k x₃  波面

( 等位相面 )

x₁ k



t kx   t –　k ・ x を波の位相と呼 ぶ。これがある一定値  を 保持したまま ( 等位相 ) 、時 間発展して

いく様子は、等位相面 ( 波 面 ) が平面からなる波が波 面に垂直方向に伝搬する様 子を表す

x₂ x₃

k: 波数ベクトル ( 波の進行方向を向いている )

平面電磁 波

自由空間を、角周波数  で振動しながら、 + z 方向に伝搬する電磁波の 中で、波形が正弦波で表される電磁波を取り上げる。

)

0sin( t kz E

E_x  _x   )

0sin( t kz

E

E_y  _y   )

0sin( t kz E

E_z  _z  

k は波数で、

k v



 

 2 x

y

z E

E_x0

E_y0 E_z0

電場の波は、

で表わせる。

x, y 方向には一様とする。

平面電磁 波

)

0sin( t kz E

E_x  _x   )

0sin( t kz

E

E_y  _y   )

0sin( t kz

E

E_z  _z  

)

0 sin(  

 H t kz

H_{x x}

)

0sin(  

 H t kz

H_{y y}

)

0 sin(  

 H t kz

H_{z z} t

t t





 ( , ) )

, (

rot B x

x

E に代入、

電場の波

z z y

y x

x z

y x y

z x

x z y

t B t

B t

B y

E x

E x

E z

E z

E y

E e e e e e e



 



 



 

 



 







 



 



 







 



 



 







 





0 0 0 0

t B z

E_{y x}



 





t B z

Ex y



 

 



0



 t B_z

) cos(

)

cos( ₀

0       

kE_y t kz H_x t kz kE_y0  H_x0 )

cos(

)

cos( ₀

0       

kE_x t kz H_y t kz kE_x0  H_y0 0

)

0cos(   

H_z t kz H_z0 0

電場の波と磁場の 波の間には位相差 φ があると仮定して いる

φ はゼロでなければならない 磁場の波

平面電磁 波

t t t



  ( , ) )

, (

rot D x

x

H に代入、

同様に、

z z y

y x

x z

y x y

z x

x z y

t D t

D t

D y

H x

H x

H z

H z

H y

H e e e e e e



 



 



 



 







 



 



 







 



 



 







 





0 0 0 0

t D z

H_{y x}



 



 

t D z

Hx y



 





 0



 t D_z

) cos(

)

cos( ₀

0 tkz E tkz

kH_{y x} kH_y0 E_x0

) cos(

)

cos( ₀

0      

kH_x t kz E_y t kz kH_x0  E_y0 0

)

0cos( t kz 

E_z 

 E_z0 0

以上の関係より、



 





x y y

x

H E H

E E_z  H_z  0

ここで、



 

 v

k の関係を用いた となる

φ = 0

平面電磁 波



 





x y y

x

H E H

E E_z  H_z 0 x

y

z E

H E_x

H_y E_y

E と H ( ベクトル ) は、波の進行方向に垂直 な平面内に存在 ( つまり横波 ) し、互いに直交 する。また、 E と H の大きさの比は一定

 Z

 

 H

E

媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質 のインピーダンスという

真空中のインピーダンス Z₀ は、

] [ 10 377

854185 .

8

10 2566371 .

1

12 6

0 0

0  



 

 _^

 Z 

平面電磁 波











 



 











 

 k

E k k H

H k

E Z Z1

,

インピーダンス Z の媒質中を伝搬する電磁波に関して、 E と H との間には以下の関係が成り立つ

x

y

z E

H

k

電場の波と磁場の波は同相 ( 同じ時刻に共に節や腹となる )

平面電磁 波

 f

  2





 2 k )

sin(

) ,

(x e⁽¹⁾ ₀ k x

E t  E t  

電場が e⁽¹⁾ 方向に偏り ( 直線偏波 ) 、正弦関数的に振動する平面電磁波を考える

) 0 , ( ) 1

,

( ₂

2

2 



 

 t

t

t v E x

x

波動方程式 E に上式を代入すると、

0 ) , ( )

( ^{2 2 2}

2

2 







  k k k t

v ^{x y z} E x



上式が、任意の場所 x 、任意の時刻 t で成立するためには、 ₂

2 2

v

  k

角周波数  を、正の値と定義すると、 vk k  k  k_x² k_y² k_z² これを分散 (dispersion) 関係という。

f

 v

 T  1f と置けば、

0

つまり、

f は周波数 ( 振動数 )

T は周期

平面電磁 波

) sin(

) ,

(x e⁽¹⁾ ₀ k x

E t  E t  

電場が e⁽¹⁾ 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波

0 ) , (

div E x t 

0 ) cos(

) (

) cos(

) (

) sin(

) , ( div

0 ) 1 (

0 ) 1 ( )

1 ( )

1 (

0 ) 1 ( )

1 ( )

1 (

































 



 







 



 



 

z k y k x k t E

z k y k x k t E

e k e

k e

k

z k y k x k t E

z e y e

x e t

z y

x

z y

x z

z y

y x

x

z y

x z

y x







e k x

E

上式が常に成り立つためには、 ke⁽¹⁾  0 でなければならない

即ち、電場の偏りの方向 e⁽¹⁾ は、その波の進行方向を表すベクトル k に直交する つまり、電場に関するガウス

の法則は、電場の波は横波で あるということを言っている

を、

電場に関するガウスの法則 に代入する

k )

sin(

) ,

(x e⁽¹⁾ ₀ k x

E t  E t   e⁽¹⁾

) , ,

( ^{(1) (1) (1)}

) 1 (

z y

x e e

 e e

平面電磁 波

) sin(

) ,

(x e⁽²⁾ ₀ k x

B t  B t  

磁場に対しても e⁽²⁾ 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波

0 ) , (

div B x t 

0 ) cos(

) (

) cos(

) (

) sin(

) , ( div

0 ) 2 (

0 ) 2 ( )

2 ( )

2 (

0 ) 2 ( )

2 ( )

2 (

































 



 







 



 



 

z k y k x k t B

z k y k x k t B

e k e

k e

k

z k y k x k t B

z e y e

x e t

z y

x

z y

x z

z y

y x

x

z y

x z

y x







e k x

B

上式が常に成り立つためには、 k e⁽²⁾  0 でなければならない

即ち、磁場の偏りの方向 e⁽²⁾ は、その波の進行方向を表すベクトル k に直交する 磁場に関するガウスの法則は

、磁場の波は横波であるとい うことを与える

を考え、

磁場に関するガウスの法則 に代入する

電磁波は横波　 !!

k )

sin(

) ,

(x e⁽²⁾ ₀ k x

B t  B t  

e⁽²⁾ 従って、

平面電磁波の性質

E

H x

y

z k

つまり、電場および磁場の偏りの方向 ( 偏波方向 ) は、波の進行方向に対 して垂直。 ( 電場および磁場ベクトル E, B は、波の進行方向に対して垂 直面内に存在する。 ) また、電場および磁場の偏波方向 ( E, B の向き ) は互いに直交する。

電磁波のエネル

ギー

2 1 2

1 E H

u    

媒質中の電磁場のエネルギー密度 u は、 で与えられるが、

2 2

2 1 2

1E  H

従って、 つまり、電場のエネルギーと磁場のエネルギーは等しい 従って、電磁波のエネルギー密度は、u E²  H ² で表せる。





E

E  ₀sin   ^{H  H}₀^sin





電場も磁場も正弦波関数的に振動している場合、

u は時間的にも空間的にも変動するが、 1 周期 (T=2/) について平均すれば、

2 0 2

0 0

2 2

0 2

1 2

) 1 (

1 sin

H E

dt kz T t

E

u  ^T      

 







電磁波の電場と磁場の大きさの間には　　　　　　の関係があるZ H

E  





平面電磁波の場合、 E と H は電磁波の進行方向 k に垂直な平面内にあ るので、

Poynting ベクトル S は、

と表せる。従って、

2 0 2

0 2

1 2

1v E v H

u v

S      



k H k

E

S   vu

また、 E = v B, Z = μv (Z₀ = μ₀c ) の関係も成り立つことが分かる

ベクトル解析の復 習

E E

E E

H E

E H

H E

E E

E E

0

















































































) (

) (

rot rot

rot rot

) (

div

ベクトル場) (

) (

スカラー場) (

) ( grad

div

0 ) (

rot div

) ( grad

rot

2 









ガウスの定理





V S

dV

dS F

n F

ストークスの定理





S C

dS

dr F n

F ( )

dS F

V S n

dS

F S

C dr n 重要なベクトル恒等式

2 2 2

2 2

2

z y

x 

 



 



 



2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2

1

1

t c

t c z

y x



 







 



 



 



 

□

ダランベルシアン ラプラシアン