非線形フィードバックシステムのロバスト安定性: University of the Ryukyus Repository

Title

非線形フィードバックシステムのロバスト安定性

Author(s)

山下, 勝己; 山川, 敦; 宮城, 隼夫

Citation

琉球大学工学部紀要(42): 79-84

Issue Date

1991-09

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12000/5492

Rights

79

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Robust Stability of Nonlinear Feedback Systems

Hayao

MIY AGI·

Atsushi Y

AMAKA WA··

and

Katsumi

YAMASHITA·

Summary

The robustness of

a

nonlinear feedback

system

subject

to

plant

variations is studied through the direct method of Lyapunov. Robust

stability results developed in this paper give bounds of parameter

devia-tions of the system, which may

be

tolerated without losing stability.

The proposed method is illustrated by using an example.

Key Words: Robust Stability, Nonlinear Feedback Systems, Lyapunov's

Direct Method

1 . (;tl:.t6Ii:

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Dept. of Electronics and Information Eng., Fac. of Eng. Nippon Telegraph and Telephone Corp.

非線形フィードバックシステムのロバスト安定性：宮城・山川・山下 8０ パラメーター変動分△Ａ，ム６を用いて表現する このとき，実システムは次式のように記述される． ２．システム股定 次の非線形フィードバックシステムを考える． エー』工－６'（ｏ） ０＝ＣＴ工 (3) ｆ＝Ａｒ－ｂ'（ｏ） ◎＝Ｃ「工

Ｉ

(1) ここで， ただし’（１）式のブロック線図は，Fig.１で示され， その伝達関数Ｗ(s）は次式を満足するものとする． Ａ＝二Ａ＋ＡＡ，６＝６＋Ａｂ～ へＰ (4) Ｗ（｡｡）＝０ である．また，（１）および(3)式の平衡点は，それぞ れ,エー０，瓦＝０，であるものとする． ３．ノミナルなシステムの安定性 (1)式のシステムの線形部分の伝達関数は， Ｗ〔ｓ Ｗ(s）＝ｃＴ（ｓＩ－Ａ）－’６ (5) で与えられる．

そこでAndersonの結果(6)にしたがい，次の定

理が得られる〈7)－(8)

【（グ ＜定理１＞ （ムムｃ）がＷ(s)の最小実現とする．このとき， もし Ｚ(s）＝（、＋ｑｓ）Ｗ(s） FiglNonlinearfeedbacksystem が正実であるならば，次式を満足する実行例Ｐｂベク トルＴ，スカラ②０が存在する． さらに，非線形関数ｆ（｡）は次の性質を満足する

ものとする(8)．

ＰＡ＋ＡＴＰ＝￣ＴＴＴ Ｐｂ＝ｎｃ＋ｑＡＴＣ－Ｔ②０ 山02＝ｑ（Ｃ７６＋ｂＴＣ） 灯印９ ！ＩＩ (ｉ）ｆ（ｏ）は連続で，微分可能である． (ii）すべてのびに対して，ｏｆ（。）≧０，かつ， ｆ（Ｏ）＝Ｏである． ただし．ｎは非負の定数であり，ｑは正の定数であ る．また，Ｐは正定な対称行列である．さらに，極． 零点消去をさけるため，ｓ＝（－n／q）は，Ｗ（s）の 極ではないものとする．■ 次にルーリエ形リアプノフ関数を基盤とする安定定 理が導かれる． （１）式のシステムはノミナルな状態での動的システ ムを表現している．しかしながら，（１）式のンステム と実際のシステムとの間には何らかの誤差があるもの と考えられる．そこで木論文においては，その誤差を

琉球大学工学部紀要第42号，1991年 ８１ （証明） 定理３は次のように証明することができる．まず， (3)式のシステムに対するリアブノフ関数の候補として， ＜定理２＞ もし伝達関数Ｚ(s）が正実であるならば（１）式によ り与えられるシステムの平衡点はｆ（｡）の性質（ｉ）， (ii）のもとに安定である.■ （証明） 定理２は次のルーリエ形リアプノプ関数の存在によ り証明される． へ－ ０．～～ 『（ｏ）。｡

v(蕊)-÷汀肝

～

/；

⑬ を考える．また，Ｐが３章においてすでに求められて いることを考慮に入れると，胸式の時間導関数は，

v(嚢)-÷…+/Ｉ

o f（｡)ｄｏ ⑩ ⑩式の時間導関数をもとめⅡ(7)～(9)式の関係を用 いて整理すれば

v(灘)一十[ｗ'十凶江(｡)]。

●～

＊［Ｔ，Tえ＋cKjo，『（｡）］

１ － ２ ● Ｖ(』E） ［エアＴ＋⑳ｏｆ（Ｏ）］＊ *[Ｔ７Ｊｒ＋⑳０『（◎）］ －，ｏｆ（Ｏ）≦0 ～へ－ －，ｏｆ（｡）≦０ ＩＤ _{となるここで，Ｔ,,②０，は⑫～⑭式の連立行列方}

程式の解である．したがって，Ｖは半負定値となり，

リアプノフの安定定理にしたがい(3)式のシステムは， 原点近傍において安定であることが保証される．■ が得られる．したがって，リアプノフの安定定理に基 づきシステムは安定である．■ ４．１行列方程式の解の存在条件 連立行列方程式⑫～０４式は，次式で置き換えるこ とができる ４．システムのロバスト安定性 システムのロバスト安定性を保証するために，まず ノミナルなシステムの安定性を保証し，次にパラメー タ変動まで考慮にいれたシステムの安定性を保証する すなわち，ＡＡ，Ａ６のどのような条件のもとにおい て(1)式のシステムの安定性が，(3)式のシステムの安 定性を保証できるかについて考察する． そこで，次の定理を導く． ⑰ ｙＹ７＝， ここで，Ｙ，Ｄはそれぞれ

］

][7,Ｍ

ｒｌＬｒｌＬｒ－Ｌ ｌｌ｜’一 ｙ， ？ ‘０一

丁⑳〒・巴⑳

色巳 ⑬ ＜定理３＞ もし，次の連立行列方程式を満足するベクトルＴ，． およびスカラ②｡,が存在するならば，(3)式で与えら れるシステムの平衡点はⅢｆ（ｏ）の性質（ｉ）！およ び，（ii）のもとに安定である． (ムＡ７Ｐ＋ＰＡＡ） (ＰＡ６－ｑムＡ７ｄＴ （ＰＡ６－ｑＡＡ『ｄ －ｑにアム６＋ｂ７Ａｃ）

］‘，

ＴＴ『－［ＡＡ７Ｐ＋ＰＡＡ］＝Ｔ，Ｔ'Ｔ⑫

ＴＬＵｏ－（ＰＡｂ－ｑＡＡ７Ｃ)＝Ｔ'②０，⑬ ⑳０，＋ｑ（Ｃ『△６＋６７ＡＣ）＝（②。,)２（1０ である．_{このとき，もし対称行列Ｄが非負定値行列である} ならば，Ｄは，ｒａｎｋ（Ｇ）＝rank（Ｄ）を満足する， ■

非線形フィードバックシステムのロバスト安定性：宮城・山川・山下 8２ 圏燭 ある行列ＧによりＤ＝ＣＧ『と分解できることが知

られている⑨．したがって，もしＤが非負定値行列

であるならば，⑫～⑭式の行列方程式は解をもつこ とが確かめられる．以上のことから次の定理が導かれ る． ハ≧RII RM（ｉ≠ｊ）＝0 ここで，ＲｉＯ，および，ＲＩｊは ⑰ Ｒ＝Ｔ７ＤＰＴ ＜定理４＞ もし，⑲式で与えられる対称行列Ｄが非負定値行 列であるならば，(3)式のシステムの平衡点は安定で ある．■ の各要素である． ５．例題システム ４．２ロバスト安定条件 ⑬式で与えられる対称行列Ｄは 次式の例題システムについて考察する． ⑪ Ｄ＝Ｄｃ－Ｄｐ

[:]-[:_川;]-[I］

｡-口O][二］

f（ｏ）（２８a） と変形することができる．ここでＤＣおよびＤＰは ＴＴＴ ②OＴＴ Ｔ（４）0 ６００８

］

ＬＬ (28.b） CO ＤＣ＝ （ＡＡ７Ｐ＋ＰＡＡ） (ＰＡｂ－ｑＡＡ『ｃ）で ただしｐａは正の定数とする．最初に，㈱式のシス テムの安定性について，伝達関数Ｚ(s)の性質から鏑 じる働式に対するＺ(s)は ＤＰ＝ （ＰＡ６－ｑＡＡ７ｃ） －ｑ（ｃ『Ａ６＋６ＴＡＣ）

］鰯

_１

］燭

Ｚ(s）＝（、＋ｑｓ） _{ｓ（ｓ＋ａ）} であり，ＤＣは定数項，ＤＰはパラメータ変動にとも なう不確定項を意味している．このとき，ＤＣは実対 称行列であることから，その固有値ス（ＤＣ）はすべ て実数であり，かつ，ＤＣを対角化する直交行列Ｔが 存在する．すなわち，ＤＣは となる．ただし，極，零点消去をさけるため，ここで は，、≠Ｏかつａ≠、／ｑとする．Ｚ(s）は次の３つ

の条件が満たされるとき正実となるOq．

（ｉ）Ｚ(s)の要素はＲｅ(s）＞Ｏに対し解析的であ る． （ii）Ｚ＊(s）＝Ｚ（s*） （、）Ｚ（s）＝Ｚで（s*）はＲｅ(s)＞Ｏに対し半正 定値である． ここで，＊は共役を表している 結果的に，Ｚ(s)が正実であるための十分条件は， ② ＴアＤＣＴ＝ｄｉａｇｕＩ） のように対角化することができる．したがって，、 が非負定値行列であるならば， ㈱ diagQI）≧ＴアＤＰＴ Gｄ ｑａ－ｎ＞0 の関係を満足しロ(3)式のシステムの安定性が保証さ れる．また，次に示す関係を用いれば，い式の結果よ り少を厳しくはなるが計算は容易となる． となる．Ｇｄ式の条件のもとにＺ(s)は正実であること から，(7)～(9)式を満足する行列Ｐ，ベクトルＴ，ス カラ⑳,，が存在する実際にこれらの値を求めれば

琉球大学工学部紀要第42号,1991年 8３ ｏ［ｍ『（ｏ）］＞0 ㈱ 次式のような結果を得る． すなわち

[、:a-n）

］

P-[:。；］

Ｔ＝ ｍ＝（１＋Ａｂ２）／（１＋ＡＡ２２）＞0⑬ ､リ ⑳ｏ＝0 となる条件と等価であることがわかる．また，、＝０ としたので，本例題においてはリアプノフ関数として

エネルギー関数が選ばれる00.

ここで１ＡＡ，Ａ６を次式のように定義する．

[1b］鰯

“-[I::。

△６＝ ６．おわりに ことのき，ＤＣ，ＤＰはそれぞれ 本論では，非線形フィードバックシステムのロバス ト安定性をAndersonの定理に基づくリアプノフー ポポフ法を用いて考察した．まず,ノミナルなシステ ムの安定性について考え，ルーリエ形リアプノフ関数 の存在を保証した．次に，ノミナルなシステムに対し て得られたリアプノフ関数を基盤として摂動システム の安定条件を導出した．さらに，パラメータ変動によ る摂動の許容範囲を与えるロバスト安定条件について， 一つの提案を行った．この方法によればノルム表現を 用いなくても，ロバスト安定条件を与えることができ る．また，本論において提案した手法をルーリエ形非 線形システムに適用しその有効性を示した．最後に， この研究は，文部省科学研究費一般研究Ｃの補助を 受けたことを付記する． ０００ ０００ 0 ２（ｑａ－ｎ） 0

］

ⅡⅢ (漣．ｂ） ＤＣ＝ ０ ，（ａＡＡｌ２＋ ｎＡｂ２ ムＡ２２） ＤＰ＝ 、（ａＡＡ１２＋ＡＡ配）ｎＡｂ２ ２（ｎＡＡｌ２＋ｑＡＡ２２）Ａｂ２－ＡＡＩ２ Ａｂ２－ＡＡＤ２０

］

(麺．ａ） となるこのとき，倒式の不等式にしたがえば 参考文献 “ (３５．ａ） (35.ｂ） ｎ＝Ｏ ａ≧ＡＡ２２ Ａｂ２＝ＡＡＩ２ (1)Ｃ・ADesoer，Ｆ､Ｍ・ＣａｌｌｉｅｒａｎｄＷＳ,ｃｈａｎ： Robustnessofstabilityconditionsforlinear timeinvariantfeedbacksystemsIIEEE Trans・Automat､Contr.，ｖｏＬＡＣ－２２，ｎｏ､８， ｐｐ586-590,1977. (2)Ｒ､VPata１，Ｍ.ＴｏｄａａｎｄＢ､Sridhar： Robustnessof1inearquadraticstatefeedback desingsinthepresencｅｏｆｓｙｓtemuncertaintyo IEEETrans・AutomaLContr.，vol・ＡＣ－２２， ｎｏ､12,ｐｐ､945-94901977. (3)LPostlethwaite，Ｊ､Ｍ,ＥｄｍｕｎｄｓａｎｄＡＧ・ JMacFarlane：Principalgainsandprincipal phasesintheanalysisoflinearmultivariable が得られる．燭式が,(3)式で与えられる摂動システム が安定であるための十分条件である．ここで，（35.ｂ） 式の条件は厳しすぎるように思われるが，ある定数 ｍを導入して ⑬ １＋Ａｂ２＝、（１＋ＡＡＩ２） と変換すれば，

非線形フィードバックシステムのロバスト安定性：宮城・山川・山下 皿 Systems，ＩＥＥＥＴｒａｎｓ，Ａｕｔｏｍａｔ・Contr.，ｖｏＬ ＡＣ－２６，ｎｏ２，ｐｐ､32-46,1981. (4)Ｒ､Ｍ・Biemacki，ＨＨｗａｎｇａｎｄＳＰ・ Bhattacharyya：Robuststabilitywith structuredrealparameterperturbations， ＩＥＥＥＴｒａｎｓ､AutomaLContr.,vol,ＡＣ－３２， ｎｏ､６，pp495-50601987． (5)Ｌｊ.Ｔ､Grujic′andDjPetkovski：On robustnessofLuriesystemswithasingle nonlinearity，Control-TheoryandAdvanced Technology，ｖｏＬ２ｎｏ,４，ｐｐ､627-632,1986 （MitaPress，Japan)． (6)ＢＤ・OAnderson：Stabilityofcontrol systemswithmultiplenonlinearities，J FranklinlnsL，ｖｏＬ２８２，ｎｏ､３，ｐｐｌｌ５－１６０， １９６６． (7)Ｎ・ＭｉｙａｇｉａｎｄＨ､Miyagi：Stabilityof dynamica］systemswithmultiplenoか linearities，ＡＳＭＥＪＤｙｎａｍ・Syst.，Meas.， Contr.，ｖｏＬ１０９，ｎｏ､１２，ｐｐ､410-413,1987. (8)HMiyagiandKYamashita：Stability studiesofcontrolsystemsusinganon -LmbtypeLyapunovfunction,IEEETrans・ Automat・Contr,,ｖｏＬＡＣ－３１Ⅲ、0.10,ｐｐ,９７０－ ９７２，１９８６ (9)児玉，須田：システム制御のためのマトリクス理 論，計測自動制御学会（1978） (ｌｄＨ・ＭｉｙａｇｉａｎｄＡＲ､Bergen：Stability studiesofmultimachineｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈ ｔｈｅｅ｢｢ectsofautomaticvoltageregulators， ＩＥＥＥＴｒａｎｓ・AutomaLContr.，vol・ＡＣ－３１， ，．３，ｐｐ､210-215,1986． qDHMiyagi，Ｔ､OhshiroandKYamashita： GeneralizedLyapunovfunctionforLibnard-typenonlinearsystems,1,t.』・Contr.,ｖｏＬ４ａ ｎｏ２０ｐｐ､805-812,1988.