微積 I.exm15-2.1
微積分及び演習 I (2015 年度 前期 ) 小テスト 2 2015.07.20
【1】 次の極限を求めなさい。
(1) lim
x → 0
e 5x + e − 5x − 2
x 2 (2) lim
x →∞
2x x + 2 log (1 + x 2 )
【2】 次の関数 f (x) の x = a についてのテイラー展開を
f (x) =
∑ ∞ n=0
c n (x − a) n
とするとき， c n を求めなさい。
(1) f (x) = e 3x , a = 1 (2) f (x) = 7
x , a = 3 (3) f (x) = 2e 3x − 3e 5x a = 1
【3】 次の関数
f (x) = x + 2 log ( 1 + x 2 )
の 1 次および 2 次の導関数を求めなさい。また，− ∞ < x < ∞ での増減，凹凸を調べ，結果を下の例のよ うにまとめなさい。グラフは描く必要はありません。
(
例)
−∞ < x < −1 ;
減少，下に凸x = − 1 ;
極小−1 < x < 0 ;
増加，下に凸x = 0 ;
変曲点0 < x < 1 ;
増加，上に凸x = 1 ;
極大1 < x < ∞ ;
減少，上に凸【4】
(1) 複素数 z = − 2 + 2 i を re iθ の形に表しなさい。ただし，r > 0，− π < θ ≤ π として下さい。
(2) 方程式，
z 3 = 8 i
を満たす複素数の解は 3 つあります。この 3 つの複素数を x + iy の形で求めなさい。
【5】 2 変数関数
f (x, y) = e − 4x 3 − 3xy 2 +12x について次の問に答えなさい。
(1) 1 次の偏導関数， ∂f(x, y)
∂x ， ∂f (x, y)
∂y ，と 2 次の偏導関数， ∂ 2 f (x, y)
∂x 2 ， ∂ 2 f (x, y)
∂x∂y ， ∂ 2 f (x, y)
∂y 2 ，を求
めなさい。
(2) f (x, y) の極値を求めなさい。極値と極値を与える座標，および極大か極小かの判定を理由を付けて書
いて下さい。
微積 I.exm15-2.2
微積分及び演習
I (2015
年度 前期)
小テスト２ 略解【
1
】 ロピタルの定理を用いた解答を書きます。ロピタルの定理を用いた等号をロピタル=
と書きます。(1)
x→0 lim
e 5x + e − 5x − 2 x 2
ロピタル
= lim
x→0
5e 5x − 5e − 5x 2x
ロピタル
= lim
x→0
25e 5x + 25e − 5x
2 = 25 . (exm15-2.1)
(2)
x lim →∞
2x x + 2 log (1 + x 2 )
ロピタル
= lim
x →∞
2 1 + 1+x 4x 2
= 2 . (exm15-2.2)
【
2
】ここでは(4.34) ∼ (4.38)
に与えた基本的な関数のテイラー展開に関係づけて∆x = x − a
のべき級数の形を求めてみます。
(4.26)
に従って高次の微分係数を計算してもかまいません。(1)
e 3x = e 3(x − 1)+3 = e 3 e 3∆x = e 3 X ∞ n=0
“
3(x − 1) ” n
n! = e 3
X ∞ n=0
3 n
n! (x − 1) n . (exm15-2.3)
従って，c n = e 3 3 n
n! , n = 0, 1, 2, · · · . (exm15-2.4) (2)
7
x = 7
3 + (x − 3) = 7 3
1
1 − (−∆x/3) = 7 3
X ∞ n=0
„
− ∆x 3
« n
= X ∞ n=0
(−1) n 7
3 n+1 (x − 3) n . (exm15-2.5)
従って，c n = (−1) n 7
3 n+1 , n = 0, 1, 2, · · · . (exm15-2.6) (3)
e 5x = e 5(x−1)+5 = e 5 e 5∆x = e 5 X ∞ n=0
“ 5∆x
” n
n! = e 5 X ∞ n=0
5 n
n! ∆x n (exm15-2.7)
と，
(1)
の結果より2e 3x − 3e 5x = 2e 3
X ∞ n=0
3 n
n! ∆x n − 3e 5 X ∞ n=0
5 n n! ∆x n =
X ∞ n=0
2e 3 3 n − 3e 5 5 n
n! (x − 1) n . (exm15-2.8)
従って，c n = 2e 3 3 n − 3e 5 5 n
n! , n = 0, 1, 2, · · · . (exm15-2.9)
【
3
】1
次および2
次の導関数は以下のようになります；df(x)
dx = 1 + 4x
1 + x 2 = x 2 + 4x + 1
1 + x 2 , (exm15-2.10)
d 2 f(x)
dx 2 = −4 x 2 − 1
(1 + x 2 ) 2 . (exm15-2.11)
1
次および2
次の導関数の符号と0
となる点を表にまとめるとx −∞ · · · −2 − √
3 · · · −1 · · · −2 + √
3 · · · 1 · · · ∞
f 0 (x) + 0 − 0 +
f 00 (x) − 0 + 0 −
f(x) −∞ - ®
(
極大) © ? (
変曲点) - (
極小) ª 6 (
変曲点) - ® ∞
となります。微積 I.exm15-2.3
これから，
f(x)
の増減と凹凸は以下のようになります：−∞ < x < −2 − √
3 ;
増加，上に凸x = − 2 − √
3 ;
極大− 2 − √
3 < x < − 1 ;
減少，上に凸x = −1 ;
変曲点−1 < x < −2 + √
3 ;
減少，下に凸x = − 2 + √
3 ;
極小− 2 + √
3 < x < 1 ;
増加，下に凸x = 1 ;
変曲点1 < x < ∞ ;
増加，上に凸. (exm15-2.12)
なお，
y = f (x)
のグラフは以下のようになります：
x y
(参考図) y = f (x)
のグラフ。【
4
】(1) r = |− 2 + 2i | = √
4 + 4 = √ 8 = 2 √
2
なので，z = − 2 + 2i = 2 √
2 e iθ = 2 √ 2 “
cosθ + i sin θ ”
(exm15-2.13)
より，θ
はcos θ = − 1
√ 2 , sin θ = 1
√ 2 (exm15-2.14)
を満たします。
−π < θ ≤ π
よりθ = 3π/4
となります。以上よりz = 2 √
2 e i3π/4 . (exm15-2.15)
(2) z = r e iθ
とするとr 3 e 3iθ = 8i = 8e iπ/2 (exm15-2.16)
より
r 3 = 8 3θ = π
2 + 2nπ (exm15-2.17)
が成り立つ必要があります。ただし，
n
は整数を表します。r > 0
なのでr = 2 . (exm15-2.18)
また，
θ = π 6 + 2nπ
3 (n = 0, ±1, ±2, . . .) (exm15-2.19)
より，異なる解はn = 0, 1 , 2
から得られます。従って解をz 1
，z 2
，z 3
とするとz 1 = 2 “ cos π
6 + i sin π 6
”
= √
3 + i , (exm15-2.20)
z 2 = 2
„ cos 5π
6 + i sin 5π 6
«
= − √
3 + i , (exm15-2.21)
z 3 = 2
„ cos 3π
2 + i sin 3π 2
«
= − 2i (exm15-2.22)
となります。
微積 I.exm15-2.4
【
5
】(1)
∂f(x, y)
∂x = −3(4x 2 + y 2 − 4) e − 4x 3 − 3xy 2 +12x , (exm15-2.23)
∂f(x, y)
∂y = −6xy e − 4x 3 − 3xy 2 +12x , (exm15-2.24)
∂ 2 f(x, y)
∂x 2 = (−24x + 9(4x 2 + y 2 − 4) 2 )e − 4x 3 − 3xy 2 +12x , (exm15-2.25)
∂ 2 f(x, y)
∂x∂y = 6y(12x 3 − 12x + 3xy 2 − 1) e −4x 3 −3xy 2 +12x . (exm15-2.26)
∂ 2 f(x, y)
∂y 2 = 6x(6xy 2 − 1)e −4x 3 −3xy 2 +12x . (exm15-2.27) (2)
まず，偏導関数が0
となる条件から，極値をとる可能性のある点を求めます。e − 4x 3 − 3xy 2 +12x > 0
なので，条件4x 2 + y 2 − 4 , xy = 0 (exm15-2.28)
より，極値をとる可能性のある点は
(x, y) = (0, ±2) , (±1, 0) (exm15-2.29)
となります。それぞれの点でのヘッセ行列とその行列式は
H ( − 1 , 0) =
„ 24e − 8 0 0 6e − 8
«
, det H > 0 , f xx > 0 (exm15-2.30) H (1 , 0) =
„ −24e 8 0 0 − 6e 8
«
, det H > 0 , f xx < 0 (exm15-2.31) H (0 , − 2) =
„ 0 12 12 0
«
, det H < 0 (exm15-2.32)
H (0 , 2) =
„ 0 −12
− 12 0
«
, det H < 0 (exm15-2.33)
となります。以上より，
f(x, y)
は(x, y) = (1 , 0)
で極大値f (1 , 0) = e 8
をとることがわかります。また，(x, y) = (−1 , 0)
で極小値f (−1 , 0) = e − 8
をとることがわかります。なお，
(0, , ± 2)
は鞍点となります。
