状態平均化法による矩形波 コンバータの動作特性解析

状態平均化法による矩形波

コンバータの動作特性解析

2015年08月17日

群馬大学 客員教授

落合政司

1

1.

状態方程式

2.

状態平均化法と状態平均化方程式

内容

2 DC-DCコンバータ等のスイッチを含む回路は、非線形であるためにその動作解析は非常に困難 で複雑になる。しかし、スイッチング周波数が十分に高いと電圧や電流の一周期間の平均値を 変数にすることにより、線形的な取り扱いをすることができる。 このような線形解析を状態平均 化法という。ここでは状態平均化法によってコンバータの状態平均化方程式を求める。 0 on T T_off L I L i i_Q i_D t T eo Ei _{D C} Ro Q _L ＋ 図５．１ 降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータ

3.

DC-DCコンバータの静特性（定常状態）の求め方

4.

DC-DCコンバータの動特性（動作状態）の求め方

5.

DC-DCコンバータの状態平均化方程式

6.

DC-DCコンバータの定常状態における静特性

7.

DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数

8.

DC-DCコンバータの制御特性

8.1 レギュレーション機構と出力電圧

8.2 出力電圧の微小変動と減衰時定数

8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性

8.4 出力インピーダンスの周波数特性

8.5 出力電圧の変動率

8.6 制御系の安定性

9.参考・引用図書

内容

3

１．状態方程式

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t dt t d Cx y Bu Ax x    一般にR、L、Cによって構成される回路を解析する一つの方法として、式(1.1)に示す一階微 分方程式が使われる。式中のそれぞれは、uが入力を表す列ベクトル、yが出力を表す列 ベクトル、x(t)が状態変数（状態ベクトル）、A、B、Cが定数行列（係数行列）を示している。こ れを状態方程式_{というが、 式(1.1)を解いてxを求めると、次にyも求めることができる。}

（1.1）

（1.2）

u(t):入力を表す列ベクトル、y(t):出力を表す列ベクトル x(t):状態変数（状態ベクトル）、A、B、C:定数行列 一階微分方程式である式(1.1)の解は以下のように求めることができる。 このような手法で解析を行うのを状態変数解析_という。 例として図1.1及び図1.2に示す回路の状態方程式を求めてみる。



( )



:積分定数 ) (t  eAt



eAtBu t dt  D D x

（1.3）

4 この二つの方程式を状態方程式という。

１．状態方程式

E C V_C R₂ 1 R ＋ i 図１．１ ＲＣによる回路網例 E CR V R R R R C CR E R R C V R V E C CR V dt dV R V E i V iR E C i CR V dt dV V R V i C C C C C C C C C C C C                                          



1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 ) 4 . 1 ( ) 5 . 1 ( ) ( 1 態方程式が得られる。 に代入すると以下の状 これを式 が求められる。 より、 式 立つ。 上図において次式が成

（1.4）

（1.5）

（1.6）

ｘ（ｔ）／ｄｔ ｘ（ｔ） ｕ（ｔ） A B 5

１．状態方程式









                                                                                           





CR t C CR t C C CR t CR t CR t CR t CR t C C At At C e R R R R E V E R i i R R R R R e E R R R V E R R R D V t De E R R R D e E CR CR e D dt CR E e e V E CR t CR R R R R C V t D dt t e e t V 1 1 1 1 0 ) 0 ( 0 1 ) ( , 1 1 , ) ( ) ( ) ( ) 3 . 1 ( 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 。 を求めると以下となる 次に、 となる。ただし、 となる。したがって、 とすると で を代入する。 に 式 について求める。 先ず Bu A x Bu x 6

（1.7）

（1.8）

E L V i CR C L L R dt dV dt di C i CR V dt dV V R V i C L E L V i L R dt di V E i R dt di L C C C C C C C C                                                                



0 1 1 1 1 ) 1 . 1 ( ) ( 1 2 1 2 2 1 1 。 態方程式が求められる に当てはめると次の状 これらを式 り立つ。 上図において次式が成

１．状態方程式

E

C V_C R₂

L

1 R ＋ 図１．２ ＲＬＣによる回路網例

（1.9）

（1.10）

（1.11）

7 i ｕ（ｔ） ｘ（ｔ） ｘ（ｔ）／ｄｔ A B 別な回路網についても状態方程式を求めてみる。 7

DC-DCコンバータ等のスイッチを含む回路は、非線形であるためにその動作解析は非常に 困難で複雑になる。しかし、スイッチング周波数が十分に高い場合は、電圧や電流のス イッチング素子の一周期間の平均値を変数にすることにより線形的な取り扱いをすること ができる。このようなDC-DCコンバータの線形近似による動作解析法として状態平均化法 （State-Space-Averaging Method）がある。 8

２．状態平均化法と状態平均化方程式

いま、DC-DC コンバータのスイッチが図1.2 のようにオン･オフを繰り返したとき、各々の状 態に応じた回路の電圧、電流を要素とする_{状態変数（状態ベクトル）X(t)}は次の状態方程 式で表されることができる。 ここで、状態変数x(t)の各要素になるのはリアクトル電流や出力コンデンサ電圧などの連 続量が選ばれる。 尚、式中のA₁ 、 A₂ 、 B₁ 、 B₂、C₁、C₂は回路のパラメータによって決まる定数行列（係数行 列）であり、また、_{Ei は入力電圧を意味する。}

T on T Toff 9 DT DT kT t  _t 



_k ₁



_T T T D T T D  _on ,   _off 図１．２ スイッチの状態とコンバータの状態変化

)

(t

x

)

(t

x

x(t):電圧、電流を 要素とする状態変数 DT DT DT



k



T t  1

 

kT x







k T



x 1







k T



x 1







k T



x 1







k T DT



x 1 

 

kT x







k T



x 1



kT DT



x 

S

)

(

),

(

t x

t

x

２．状態平均化法と状態平均化方程式

戻る

次にDC-DCコンバータの一周期間の平均値を求め、これを新たな状態変数として線形近 似をしてみよう。このとき、状態平均化法によって求められる状態平均化方程式は以下と なる。

（2.5）

) ( ) ( ) ( ) ( t t E t dt t d i x C y B x A x   

（2.6）

２．状態平均化法と状態平均化方程式

■状態2（スイッチ･オフ期間：Toff期間） ) ( ) ( ) ) 1 ( ( ) ( ) ( 2 2 2 t t T k t T kT E t dt t d on i x C y B x A x       

（2.3）

（2.4）

■状態１（スイッチ・オン期間：Ton期間） ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 t t T kT t kT E t dt t d on i x C y B x A x      

_（2.1）

（2.2）

10 入力u(t)はEiになる。 ここで、状態方程式を求める。 (降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータ) eo Ei D C Ro Q _L ＋ i_L

11















 





C C



x y B B x A A x C C C C C C C C C B B B B B B B B B A A A A A A A A A 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 D D t E D D D D dt d D D D D T T D DT T T T D D D D T T D DT T T T D D D D T T D DT T T T i off on off on off on                                           ) ( 1 1 1

（2.7）

（2.8）

となる。これらを式(2.5)、式(2.6)に代入すると次の状態平均化方程式_{が得られる。} 式(2.10)及び式(2.11)がDC-DCコンバータの動作解析を行う時の基本式になる。

（2.10）

ここで式(2.5),(2.6)の中の定数行列A、B及びCは

（2.9）

（2.11）

２．状態平均化法と状態平均化方程式

戻る

３．DC-DCコンバータの静特性（定常状態）の求め方

ここでは、ＤＣ－ＤＣコンバータの定常特性（静特性）の求め方を説明する。 定常状態においてはリアクトルの電流や出力コンデンサの電圧に変化はなく、_x(t)は 直流値Xとなる。したがって、次式が成り立つ。 上式を用いれば、定常状態におけるリアクトルの電流や出力コンデンサの電圧は次式で 求められる。 また、コンバータの出力は式(3.2)より、以下となる。 式(3.2)、式(3.3)よりコンバータの電圧変換率、負荷特性、リプル率などの静特性を求める ことができる。 i i i i E E E E t dt t d B CA CX Y B A A B X B x A x 1 1 0 ) ( ) (            

（3.3）

（3.2）

（3.1）

12

４． DC-DCコンバータの動特性（動作状態）の求め方

定常状態において、入力電圧、時比率、負荷抵抗などが微小変動したときの低周波小信号 動特性は以下のように求められる。 入力電圧Ｅi、時比率Ｄ、負荷抵抗Ｒoなどに微小変動ΔＥi、時比率ΔＤ、負荷抵抗ΔＲoを与え ると、状態変数 に微小変動ΔXが生じる。 13 ) (t x





_

_

_

_













より得られる。 ～式 の偏微分は式 に対する定数行列 ここで、時比率 つ。 とすると次式が成り立 に対し ) 9 . 2 ( ) 7 . 2 ( ) ( , ) ( , , C B, A, X X C C C Y Y B B X X Α A A B B B X X Α A A X X Y Y y X X x D R R D D E E D D R R D D E E R R D D R R D D dt d t t R R R D D D E E E o o i i o o i i o o o o o o i i i                            _                                                                        

（4.1）

（4.2）

負荷抵抗が変化してもBは変化しない。 δB/δR=0 式（2.7）～（2.9）









2 1 2 1 B B B A A A D D D D       1 1 注）





























_

_

_

_

_

_

_

_

_

_



 







 

 









































o i o i i o o i i i o o i i i i i o o i i o o E R R D E dt d E R R D E dt d D E E R R D E D E E E E R R D E E D R R D dt d D D D D D D D D D D D D                                                                                                                      B X Α B B X A A X A X B X Α B B X A A X A X B B B X Α X A A X A B AX B B B X X Α X X A A X X A B B B X X Α A A A X X C C C C C B B B B B A A A A A 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) 2 . 4 ( ) 1 . 4 ( ) 3 . 4 ( 1 1 1 項を無視し整理する。 に代入し、２次の微小 と式 を式 式 14

（4.3）

（4.4）

４． DC-DCコンバータの動特性（動作状態）の求め方































 











す。 動特性が正確になりま 以下の場合），小信号 分 低い場合（一般的には グ周波数よりも十分に ッチン 小変動の周波数はスイ められます。なお，微 バータの伝達関数が求 変動に着目するとコン を代入し，出力電圧 ， ， ， 応する定数行列 ンバータの各回路に対 これらの式に降圧形コ より が得られる。 動に対して以下の結果 れば，平均値の微小変 以上をラプラス変換す 1 10 ) 7 . 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 . 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 . 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 B B A A X C X C C X C Y B X Α B B X A A A X B X Α B B X A A X A X X C X C C X C Y X C X C C X C Y X C X C C X C CX X X C X X C C X X C X X C C C C Y Y s R R s D s s s E s R R s D E s s s E s R R s D E s s s R R D R R D R R D R R D R R D o o i o o i i o o i o o o o o o o o o o                                                                                                                

４． DC-DCコンバータの動特性（動作状態）の求め方

15







 











( ) ( ) ( ) (4.6) ) ( 1 1 0 0 1 ) 6 . 4 ( 2 1 2 1 1 1                               s E s R R s D E s s s i o o i X B Α B B X A A A I X I I A ます。 に書き直すことができ とすると，以下のよう を は単位マトリックス および式中の なお，式

４． DC-DCコンバータの動特性（動作状態）の求め方

16

５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式

５．１ 降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの状態平均化方程式 eo Ei _{D C} Ro Q _L ＋ 図５．１ 降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータ 降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータのスイッチ・オン期間とスイッチ・オフ期間の等価回路を 図５．２に示す。 17

５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式

IＬ ＋ Ei C Ro L eo r₁ ＋ eo C Ro L IＬ r₂ 図５．２ 降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの各動作状態における等価回路

(a)状態１ （スイッチ・オン期間：Ton期間） (b)状態２ （スイッチ・オフ期間：Toff期間） e_o：出力電圧 、 i_L：コイルを流れる電流 r₁：スイッチ素子オン時の等価抵抗 （ 入力電源の内部抵抗、ｽｲｯﾁ素子のｵﾝ抵抗、コイルの抵抗などの損失抵抗 ） r₂：スイッチ素子オフ時の等価抵抗 （ ﾀﾞｲｵｰﾄﾞのｵﾝ抵抗、コイルの抵抗などの損失抵抗 ） 図５．２の等価回路より次式が成立つ。 18

動作状態１（スイッチ・オン期間）に対して 動作状態２（スイッチ・オフ期間）に対して

 

 

 

 

_o o L CR t o o L o CR t o L o o L L o L L o o L CR t o o L o CR t o L o i o L L o L L i e CR i C e CR i C dt de e dt i C e e L i L r dt di e i r dt di L e CR i C e CR i C dt de e dt i C e E L e L i L r dt di e i r dt di L E o o o o 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1                             





    より より より より

（5.1）

（5.2）

（5.3）

（5.4）

５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式

I_{Ｌ ＋} Ei C Ro L eo r₁ ＋ eo C Ro L I_Ｌ r₂ 19

以上より、状態変数Xをi_Lとe_oの関数として係数行列を求めると以下となる。 スイッチ・オン期間：Ton期間 スイッチ・オフ期間：Toff期間 これより、AとBを求めると次のようになる。                                                                                                                                  o i o L o i o L o L i o L o i o L o L CR C L L r D Dr D D E e i CR C L L r E e i dt de dt di dt d E L e i CR C L L r E e i dt de dt di dt d 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 A A A B A x Β A x B2 20

（5.5）

（5.6）

（5.7）

A1 A2 B1

５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式

Ｐ68に戻る o o L o o L L o o L o i o L L e CR i C dt de e L i L r dt di e CR i C dt de E L e L i L r dt di 1 1 1 ) 4 . 5 )( 3 . 5 ( 1 1 1 1 ) 2 . 5 )( 1 . 5 ( 2 1            式 式

i o L o i o L i o L E L D e i CR C L L r D Dr E e i E dt de dt di dt d _                                                          0 1 1 1 2 1 B A B x A x したがって、最終的に式(5.9)が得られる。 これが降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの状態平均化方程式_になる。

（5.9）

５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式

            0 L D D DB₁ B₂ B

（5.8)

21

n：1

５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式

５．２ 昇降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの状態平均化方程式 Ei C Ro eo n2_{L L} Q 昇降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータのスイッチ・オン期間とスイッチ・オフ期間の等価回路を 図５．４に示す。 図５．３ 昇降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータ（絶縁形） Ｔ 22

23 図５．４ 昇降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの各動作状態における等価回路 Ei n2L r₁ C Ro L C Ro r₂ e_o e_o

(a)状態１ （スイッチ・オン期間：Ton期間） (b)状態２ （スイッチ・オフ期間：Toff期間）

図５．４の等価回路より次式が成立つ。 i_L i_L/n n：1 e_o：出力電圧、i_L：二次巻線（ ｺｲﾙL ）を流れる電流、r₁：スイッチ素子オン時の等価抵抗 （ 入力電源の内部抵抗、ｽｲｯﾁ素子のｵﾝ抵抗、一次巻線の抵抗などの損失抵抗 ） r₂：スイッチ素子オフ時の等価抵抗（ 二次巻線の抵抗、ﾀﾞｲｵｰﾄﾞのｵﾝ抵抗などの損失抵抗 ）

５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式

Ei/n L r₁/n2 C Ro e_o (c)状態１ の二次換算等価回路 i_L 1：1

 

 

 

 

_o o L CR t o o L o CR t o L o o L L o L L o o CR t o o o CR t o o i L L L L L L i e CR i C e CR i C dt de e dt i C e e L i L r dt di e i r dt di L e CR e CR dt de e e E nL i L n r dt di n i r dt di nL n i r n i dt d L n E o o o o 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 2 2 2 1 1 1 2                                  



    より より より より ■動作状態１に対して ■動作状態２に対して L i_L r₂ C Ro _e o Ei n2L C Ro _e o i_L/n n：1 r₁

（5.10）

（5.11）

（5.12）

（5.13）

５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式

24 戻る

５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式

■動作状態１の二次換算等価回路に対して Ei/n L r₁/n2 C Ro eo i_L 1：1

 

 

_o o CR t o o o CR t o o i L L L L i e CR e CR dt de e e E nL i L n r dt di i n r dt di L n E o o 1 0 1 0 1 2 1 2 1               より より

（5.10）

（5.11）

動作状態１に対して一次等価回路、二次等価回路のどちらでも同じ結果が得られる。 25

26                       _{ }                                                                                                                 o i o L o i o L o L i o L o i o L o L CR C D L D r D n r D L D D E e i CR C L L r E e i dt de dt di dt d E nL e i CR L n r E e i dt de dt di dt d 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 A A A B A x Β A x 以上より、状態変数Xをi_Lとe_oの関数として係数行列を求めると以下となる。 スイッチ・オン期間：Ton期間 スイッチ・オフ期間：Toff期間 これより、AとBを求めると次のようになる。

（5.14）

（5.15）

（5.16）

５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式

戻る o o L o o L L o o o i L L e CR i C dt de e L i L r dt di e CR dt de E nL i L n r dt di 1 1 1 1 1 2 2 1           式(5.10),(5.11) 式(5.12),(5.13) A1 A2 B1 B2

i o L o i o L i o L E nL D e i CR C D L D r D n r D L E e i E dt de dt di dt d _                                       _{ }                          0 1 1 2 2 1 B A B x A x したがって、最終的に式(5.18)が得られる。 これが昇降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの状態平均化方程式_になる。

（5.18）

５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式

            0 nL D D DB₁ B₂ B

_（5.17）

27

５章 演習問題

５．１ 降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータ及び昇降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの状態平均化 方程式を示せ。また、それを以下の形に展開せよ。 i o L o i o L L _{A i A e B E} dt de E B e A i A dt di 2 22 21 1 12 11   ,     28 o o L o i o L L i o L o i o L i o L o o L o i o L L i o L o i o L i o L e CR i C D dt de E nL D e L D i r D n r D L dt di E nL D e i CR C D L D r D n r D L E e i E dt de dt di dt d e CR i C dt de E L D e L i L r D Dr dt di E L D e i CR C L L r D Dr E e i E dt de dt di dt d 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1             _{ }                                          _{ }                                                                                            B A B x A x B A B x A x 昇降圧形 降圧形

29                                                       _{ }                             _{ }              _{ }                  a c b d bc ad bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d A d c b a A r D n r D L C D L D CR R n D r D n Dr LCR n r D n r D L C D L D CR LC D r D n r D LCR E e i E dt d o o o o o i o L i 1 , ) 1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 逆行列 注 ようになる。 の逆行列であり以下の は ここで、 が求められる。 より A A A B A x B x A x ここでは昇降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータを例にして静特性を求める。 定常状態では式(3.1)に示すように が0になる。 dt dx

（6.1）

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

                      _{ }   o CR C D L D r D n r D L 1 1 2 2 1 A 実際の













いう。 これを平均損失抵抗と ただし、 直流値 直流値 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 / : / 1 1 / 1 1 : / 1 1 / 1 1 / 1 0 1 1 r D n Dr r E E R D r D n DE R D r D n Dr D n DE E nL D C D R n D r D n Dr LCR n e I I R D r R D n DE R D r D n Dr R D n DE R D r D n Dr n DE E nL D CR R n D r D n Dr LCR n i E nL D r D n r D L C D L D CR R n D r D n Dr LCR n E e i o o o i o i i o o o L L o o i o o i o i i o o o L i o o o i o L                                                                                   _{ }                    _ B A 30 次にi_L、e_oについて求める。

（6.2）

（6.3）

1  A B

（6.4）

（二次側換算値） 二次側換算値 （変化がないためi_Lは直流値になる。）

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性













が求められる。 より 上式と式 下の等式が成立つ。 先ず、図１．２より以 は直線的に近似する。 と 尚、 る。 電圧のリプル率を求め 次にコイル電流と出力 る。 は次のように定義され ダンス ただし、出力インピー 。 を求めると以下となる また、電圧の昇降圧比 る。 をかけた値に等しくな に 、コイル電流 を求めると以下となり 出力電流 L kT t o L o o o o o o o o o o i o L o o i o o o L o i DT dt d kT DT kT e i D r Z Z R Z D n D Z R R D n D D r R R D n D R D r D n D E E G G I D R D r R D n DE R E I D I I                                         ) 1 . 5 ( ) ( / 1 1 / / 1 1 / 1 1 / 2 2 2 2 x x x 31

（6.5）

（6.6）

（6.7）

（6.8）

図１．２ x 





を代入する。 、 式 o i o R D r D n DE E ₂ / 1 1 ) 3 . 6 (     

0

on

T

T

_off L I L i i_Q i_D t T o I

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性





(6.2) / 1 1 ) 2 . 6 ( ) 9 . 6 ( 2 1 ) 8 . 6 ( ) 2 . 5 ( 2 ) 1 . 5 ( 1 ) 1 . 5 ( 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 o o i L L L o o o o o o o o o o o i L i L L i L L i L L L L R D r R D n DE I I i e E CR DT DT CR e DT dt de e e CR dt de e DT nL E I L n r DT nL E i I L n r DT nL E i L n r i E nL i L n r dt di DT dt di i                          _{ }                      _{ }        を代入する。 と式 ここに、式 になる。 を求めると以下のよう 流のリプル率 これらより、コイル電 は以下となる。 から、 と式 また、式 を代入する。 ここに、式 Ｌ Ｌ   32

（6.9）

t=kTのiL、次ページ参照 t=kTのeo、次ページ参照

（6.10）

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性





_                                                                                                                  _{ }    o o o o o o o o o o o i o i L i i L L L L R D r L T R D r D R D L T D r D n D R D n L n DT D r D n r D R D n r L n DT R D r D n Dr D R D n D R D n r L n DT R D r D R D n r L n DT R D r DE R D n E r L n DT DT I nE r L n DT nL E L n I r I I i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 / 1 1 1 1 Ｌ 

（6.11）

33

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

T on T Toff DT DT L i o e kT t  t 



k 1



T t 



k  2



T 2 ) ( _L L L i I kT i    2 ) ( _o o o e E kT e    図６．１ コイル電流と出力電圧の説明図 34

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

L L o o o o L C o o L off o o o on o on o off o C o C C o C o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I i e CR e CR i C i e CR i C dt de e CR dt de dt de dt de i dt de C i dt i C e i CR DT CR DT CR DT CR DT CR DT E e CR DT CR DT E e E e CR DT CR DT e E CR DT E E e                                                                                    



1 1 1 1 1 1 ) 13 . 5 ( ) 11 . 5 ( 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 ＋ Ｃ これを代入する。 が得られ、 、 より 及び式 となる。式 － Ｃ より は ル電流 平滑コンデンサのリプ なる。 を求めると次のように 出力電圧のリプル率   

（6.12）

35 式(5.11)(5.13) ここに式(6.10)を代入する

+ －

          2 o o o o e E CR DT e

（6.10）

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

36 ジに示す。 結果を表として次ペー きる。 いても求めることがで 昇圧形コンバータにつ 降圧形コンバータ 同様にして は以下となる。 を代入すると ここで式 を求める。 次に電力効率 は以下となる。 を代入すると さらに式 , , / 1 1 / 1 1 / 1 1 ), 6 . 6 ( / / ), 5 . 6 ( ' ' ' o o o o i o o o i o i o L i L o i i o o i o o o L C C L o o o R Z R Z D n D D nD D E D nE R Z D n D E E D E D nE n DI E I D E I E I E P P R D E I i i I D R E I                             

（6.14）

（6.13）

トランスの鉄損やスイッチ素子の スイッチング損失、ダイオードの りカバリー損失等をゼロとしたとき の電力効率を意味する。

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

37 降圧形 昇圧形 昇降圧形 昇降圧比 G 平均損失抵抗 r 出力インピーダンス Zo 出力電圧のリプル率 γo コイル電流のリプル率 γL 平滑コンデンサの リプル電流 Δic 電力効率 η o o R Z D n D / 1 1    2 D r  o CR DT 2 2 1/n Dr Dr   o o R Z D 1 / 1 1    2 D r  2 1 Dr Dr   o CR DT o o R Z D / 1 1   r 2 1 Dr Dr   LC T D 8 2  表６．１ DC-DCコンバータの静特性（定常状態）         o o R r L TR D ₂ 1 _          o o R D r r L TR D D 2 _{2 1} 1 _         o o R D r L TR D 2 ₂ 1         o o o R r L R TI D ₂ 1 D I_o  _D I_o  o o R Z / 1 1  1 Z /_o R_o 1  1 Z /_o R_o 1 

＝

＝

＝

＝

＝

＝

7章に戻る

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

L D L Q r r r r r r     2 1 L i_L r₂ C _Ro (a)降圧形コンバータ (ｂ)昇圧形コンバータ (d)昇降圧形コンバータ（絶縁形） Ei n2_{L C} i_L/n n：1 r₁ R_o L D

r

r

r

₂





（スイッチ・オン期間） 図６．２ 抵抗

ｒ

1、

ｒ

2の説明図 38 (ｃ)昇降圧形コンバータ（非絶縁形） L D L Q r r r r r r     2 1 L D L Q r r r r r r     2 1 （スイッチ・オフ期間） L Q r r r₁   E_o 　　Ei C _R o D Q _L ＋ Io Eo 　　Ei C _Ro D L ＋ Io Q E_o Ei C _R o L ＋ Io Q D C E_o E_i R_o D T ＋ Io Q

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

I_O 出力電圧 Eo 入力電圧 Ei _{D C Ro} L ＋ IＬ （注）無負荷時の出力電圧：Eo´ それぞれの方式の昇降圧Gと出力インピーダンスは以下のように求めることができる。降圧 形は一周期間に渡って出力電流が流れ、昇圧形と昇降圧形はオフ期間にしか出力電流が 流れないために出力インピーダンスは異なってくる。 ■降圧形コンバータ 出力インピーダンス 平均値、 コイルに流れる電流の 出力電流、 生する逆起電力、 オフ期間にコイルに発 無負荷時の出力電圧、 出力電圧、 入力電圧、 やコイルの抵抗等 ダイオードのオン抵抗 おける等価抵抗 スイッチのオフ期間に の抵抗等 スイッチ素子やコイル おける等価抵抗 スイッチのオン期間に スイッチのオフ時間 スイッチのオン時間、 : : : : : : : ) ( : ) ( : : : 2 1 o L o L o o i off on Z I I E E E E r r T T  図６．３ 降圧形(buck形)コンバータと動作波形(次ページ) 39

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

i E o E VL 0 L i  D Q L i i i   o L I I  0 t t₁ T 1 2 VQ VD iL iQ iD 0 0 0 0 0 0 VG i E o E P I QP i t i QP E V  o i E E  1:スイッチオン期間 2:スイッチオフ期間 40

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

41

































_

_

) 16 . 6 ( / 1 1 / 1 ) 15 . 6 ( ) 15 . 6 ( , 1 2 _{1 2} 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 o o i o o o i o o o o i o o i o o off on o o o off on o i off on o on i o off on o on i o off o o off L on o o i o L off L o on o L i off L L o off L L on L o L i R Z D E E G R Z DE E Z R E DE Z I DE E G E r r D Dr T T r T r I E Z T r T r T I DE T T r T r I T E E T r T r I T E T E T r I E T V T E r I E I I T r I E T E r I E T I r I E T I V T I E r I E                                               が求められる。 ると の等式に代入し整理す を 次に式 上式より を代入する。 ここで、 。 等しく次式が成り立つ エネルギーに オフ期間に放出される えられるエネルギーは オン期間にコイルに蓄

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

■昇圧形コンバータ o off L I T T I  L i  D Q L i i i   i E 1 2 VL 0 0 t t_{1 T} VQ iL iQ iD 0 0 0 0 0 VG i L I I  P I t QP i i off QP E T T V  o E i o E E  Eo 　　E_{i C R} o D L ＋ Io Q 図６．４ 昇圧形(boost形)コンバータ と動作波形 1:スイッチオン期間 2:スイッチオフ期間 42

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

















) 18 . 6 ( / 1 1 1 / 1 1 ) 17 . 6 ( ) 17 . 6 ( 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 o o o o i o o o o i o o i o o off on off o o o o off on o off i off on o off i off o o off L o off L off on L i off L L i off on i L L i o L i off on L off L on L i R Z D G R Z D E E Z R E D E Z I D E E E D r r D Dr D r r D D D r r T T T T I E Z Z r r T T I T T D E r r T T I T T E T T E I T T I T I T I r r T T I E T T r I r I E T T E r I V E E r I E T T V T V T r I E                            _                                                                                  の等式に代入する。 を 次に式 が求められる。 これより する。 が求められこれを代入 より ここで、 ことができます。 降圧形と同様に求める 43

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

■昇降圧形コンバータ（非絶縁形） o E i E 0 VG VL 0 VQ iL iQ iD 0 0 0 o off L I T T I  L i  D Q L i i i   P I 1 2 0 t t_{1 T} 0 t i off QP E T T V  QP i o I L I Eo Ei C _R o L ＋ I_o Q D 図６．５ 昇降圧形(buck-boost形) コンバータと動作波形 1:スイッチオン期間 2:スイッチオフ期間 44

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

■昇降圧形

















) 20 . 6 ( / 1 1 / 1 1 ) 19 . 6 ( 1 1 2 1 0 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 o o o o i o o o o i o o i off on off i off on o off on off o o o off on off i off on off off on L i off on o o o off L o off L off L o off L on L i R Z D D G R Z E D D E Z R E E D D Z I E D D r r T T I T T E T T E D r r D Dr D r r D D D r T T r T T I E Z r r T T I T T E T T T r T r T I E T T E E I T T I T I T I T r I E T V T r I E                           _                                    _                                                         を求める。 となり、これを代入し より ここで、 45

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

46 また、昇降圧比 Gは無負荷時の昇降圧比 G´(各部品が抵抗分のない理想的な状態のときの 昇降圧比 G´)から求めることができる。各コンバータにおける G´は以下のようになる。









となる。 これより 　 されるエネルギーに オフ期間に負荷に放出 入するエネルギーは オン期間にコイルに流 すると、 無負荷時の出力電圧と を流れる電流， コイル 一周期間 オフ期間 オン期間 降圧形コンバータ 　 (6.21) , 等しく次の式が成立つ : : ), : , : , : conveter) (buck ) ( D E E G E D E T T E T I E T T I E T I E T I E T I E E E L I T T (T T T T a i o i i on o L o off on L o on L i off L o on L o i o L off on off on                     









となる。 は これより 　 エネルギーに に負荷に放出される エネルギーはオフ期間 蓄えられる オン期間にコイルに 昇圧形コンバータ 　 (6.22) 1 ) 1 1 ( 1 , 等しく次の式が成立つ conveter) (boost ) ( D E E G E D E D E T T E E T I E T T I E T I E E T I E b i o i i i off o o off L o off on L i off L i o on L i                   

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

C Eo E_i Ro D T ＋ Io Q となる。 これより 。 って、次の式が成立つ が放出される。したが エネルギー が流れ負荷に り、二次巻線電流 は順バイアスされてお 期間は整流ダイオード ッチ素子のオフ 電流は流れない。スイ ており、二次巻線には により逆バイアスされ となる。このとき、 エネルギーは 蓄えられる に 次巻線 一 オン期間にトランスの とすると、 を 一次巻線に流れる電流 昇降圧形コンバータ ) 23 . 6 ( ) 1 1 ( 1 conveter) boost -(buck ) ( 1 1 1 1 1 1 D n D E E G E D D n E D n D E T T n E T nI E T I E T nI E nI T I E I c i o i i i off on o off L o on L i off L o L on L i L                   巻線に発生する電圧 整流ダイオードは二次 47 n:1 図６．６ 昇降圧形(buck-boost形)コンバータの動作

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

47

48 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 昇圧形 昇降圧形 降圧形

   

i o E E G   D i o DE E  i o E D E    1 _o E_i D n D E    図６．７ 各方式におけるデューティレシオと昇降圧比（無負荷時） 0.5

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

負荷電流が流れると出力インピーダンスの電圧降下により出力電圧が下がり、昇降圧比G が小さくなる。このときのGは下図から求めることができる。 o Z o E o E Ro o I 図６．８ 出力回路の等価回路 ) 24 . 6 ( / 1 1 G R Z E R Z R E E G E R Z R Z I E E o o o o o o i o o o o o o o o o               式(6.２４)に式(6.２１)～式(6.２３)で与えられるそれぞれの方式のG´を代入すると表6.1の 昇降圧比Gが求められる。 49 圧 負荷がある時の出力電 無負荷時の出力電圧 : : o o E E

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

49

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

G

G



o o

R

Z

図６．９ （Ｚo／Ｒo）と（G/G´比） 50 表へ

６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性

となる。 り が求められる。これよ より 電荷に等しく、 流の電荷は出力電流の ダイオードを流れる電 オフ期間 スは次のようになる。 より出力インピーダン D r T T r I I I E I E Z I T T I T I T I I E Z Z I E Z I E E off o L L o o o off o off L o off L o o o o o o o o o o                               2 2 ６．１ 昇圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの出力インピーダンスが式（6.１７）で与えられることを 証明せよ。 51

６章 演習問題

L off o L on i L D L Q I T T I I T T I r r r r r r         , , ₂ 1

0

on

T

T

_off L I L i i_Q i_D t T o I Eo 　　Ei C _Ro D L ＋ Io Q