２０１０年度・前期・数理解析・計算機数学２・第３回レポート問題 1
● 第３回レポート問題
(July 21 2010)
以下のE群の問題から最低１題, F群の問題から最低１題を選択してレポートとして提出する こと. 今回も,やる気があれば３題以上を解答してかまわない. （余分な得点はボーナス点とする.）
★ 問題（E 群）
以下のプログラムは倍精度浮動小数点数で計算すること. E-3 からE-6では,行列サイズを容易 に取り替えることができるプログラムであること. 最低でも, 20×20行列に対して動作すること.
また, E-3からE-6では,求める結果の誤差をどのように判定したかをプログラム内に明示するこ と. （当然,常識的な誤差の範囲で求める必要がある）
E-1 （１０点満点）
A=
2 2 1
1 1 2
0 1 1
, b1=
3 4 5
, b2=
3 4
−5
とおく. この時,AのLU分解を求めることで,連立一次方程式Ax=b1およびAx=b2 の 解求めるプログラムを書きなさい.
E-2 （１０点満点）
A=
2 1 1
1 2 1
1 1 2
のCholesky分解を求めるプログラムを書きなさい.
E-3 （１０点満点）
A=
−2 1
1 −2 1
. .. ... ...
1 −2 1
1 −2
, b=
1 1 ... 1 1
とする. この時, 連立一次方程式Ax=bの解をGauss-Seidel法で求めるプログラムを書き なさい.
E-4 （２０点満点）A をE-3と同じ行列とする. この時, Aの絶対値最小固有値と絶対値最大固 有値,および,それぞれの固有ベクトル（それぞれ１つ）を求めるプログラムを書きなさい.
この問題では, Aのすべての固有値は相異なると仮定してよく, Aに対してLU分解または 消去法を行う際には,枢軸選択を行わなくてもアルゴリズムが終了することは仮定してよい E-5 （２０点満点）A をE-3と同じ行列とする. この時, Aのすべての固有値を求めるプログラ ムを書きなさい. ただし,固有値は値の小さい順または大きい順にソートすること. この問題 では,固有ベクトルを求める必要はない. もし,すべての固有ベクトルを求めることができた ら,＋１０点とする. この時には,すべての固有ベクトルをL2内積に関して, 正規直交化し, それを直交行列として表示するプログラムであること. また, 最小固有値に対する固有ベク トルと最大固有値に対する固有ベクトルを「グラフ」の形に図示すること.
２０１０年度・前期・数理解析・計算機数学２・第３回レポート問題 2
E-6 （２０点満点）A を E-3と同じ行列とする. この時, (A+ 2I)2 のすべての固有値を求める プログラムを書きなさい. ただし,固有値は値の小さい順または大きい順にソートすること.
この問題では,固有ベクトルを求める必要はない.もし,すべての固有ベクトルを求めること ができたら,＋２０点とする. この時には, すべての固有ベクトルを L2 内積に関して, 正規 直交化し,それを直交行列として表示するプログラムであること.また,最大固有値に対する 固有ベクトルを「グラフ」の形に図示すること. なお,この問題は, E-5の結果を用いるので はないことに注意. (A+ 2I)2に対して,「実対称行列のすべての固有値を求めるアルゴリズ ム」を適用することが問題の主旨である.
★ 問題（F 群）
F-1 （１０点満点）任意の正則行列Aは,ある下三角行列Lと上三角行列U が存在して,A=LU と分解できることを証明しなさい.
F-2 （１０点満点）Aが対角優位な行列であるとき,連立一次方程式Ax=b を解くJacobiの反 復法は,任意の初期条件に対して収束することを証明しなさい. （要するに,Aが対角優位で あるとき, A からつくられたJacobiの反復法の行列の絶対値最大固有値の値が 1未満であ ることを示せば良い.）
F-3 （２０点満点）Strumeの定理と, Strumの二分法のアルゴリズムを証明し,実対称三重対角 行列のすべての固有値を求める方法を解説しなさい.
F-4 （２０点満点）実対称行列のすべての固有値を求める方法を,問題F-3 に帰着できるところ まで解説しなさい. ただし,必要な定理は証明すること.
F-5 （１０点満点）E-3の行列A のすべての固有値,固有ベクトルを求めなさい. そこで求めた 固有ベクトルが互いに直交することを示しなさい. さらに, (A+ 2I)2 の固有値をA の固有 値を使ってあらわし,互いに直交する固有ベクトルの組をAの固有ベクトルを使ってあらわ しなさい.
★ 問題（G 群）
G-1 数値計算に関連するプログラム,定理または例など,各自で問題を設定してそれに答えなさい.
問題の難易度により,ボーナス点を設定する. あまりに簡単な問題の場合には０点とするこ ともある.
★ 締め切りと提出方法
締め切りは２０１０年８月１９日（月）とする.
夏休み中に「紙」で提出するレポートは,内藤が在室の時はオフィスに提出し,不在の時には,研 究支援室に提出すること. 研究支援室に提出したときには,電子メールでレポートを提出した旨の 連絡をすること. その他の注意事項は第１回レポート問題と同じである.
以上
