2012年度・前期・数理解析・計算機数学２・第２回レポート問題 1
● 第２回レポート問題
(July 04 2012)
以下のC群の問題から１題, D群の問題から１題を選択してレポートとして提出すること.
★ 問題（C 群）
C-1 （１０点満点）段数s段の陽的Runge-Kutta法が３次となるための必要十分条件は,１次と ２次の条件式に加えて,
Xbiaijaik = 1 3, Xbiaijajℓ =1
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であることを示しなさい. さらに,この結果を用いて, ホインの３次公式と,ルンゲの３次公 式が,確かに３次公式であることを示しなさい.
C-2 （２０点満点）段数s 段の陽的Runge-Kutta法が４次となるための必要十分条件は,１次・
２次・３次の条件式に加えて,
Xbiaijaikaiℓ= 1 4, Xbiaijajkaiℓ= 1
8, Xbiaijajkajℓ = 1 12, Xbiaijajkakℓ = 1
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であることを示しなさい. さらに,この結果を用いて, Runge-Kutta法が,確かに４次公式で あることを示しなさい.
C-3 （１０点満点）オイラー・マクローリンの和公式を証明し,それを用いて,ニュートン・コー ツの公式のうち,台形公式とシンプソンの公式の誤差評価を行いなさい.
★ 問題（D 群）
すべての問題で,適切な例に対するプログラムを書くことと, 適切な図を作成することが必要で ある. また,すべての計算（議論）は倍精度浮動小数点数で計算すること.
D-1 （１０点満点）単振り子の微分方程式の初期値問題
x′′(t) =−sin(x(t)), x(0) = 2.0, x′(0) = 0.0
を Runge-Kutta法を用いて解くプログラムと, Symplectic Euler 法を用いて解くプログラ
ムを書き, その結果を, それぞれ,相平面上にプロットしなさい. さらに,系の全エネルギー E(t)がどのように推移するかを示す図を作成しなさい. ただし,h= 0.01として,t∈[0,20]
の範囲で解くこととする.
D-2 （２０点満点）単振り子の微分方程式の初期値問題
x′′(t) =−sin(x(t)), x(0) = 2.0, x′(0) = 0.0
Jul. 04, 2012, Version: 1.0 [email protected]
2012年度・前期・数理解析・計算機数学２・第２回レポート問題 2
を陰的中点法（１段２次のGauss-Legrandre法）を用いて解くプログラムを書き,その結果 を相平面上にプロットしなさい. さらに,系の全エネルギーE(t)がどのように推移するかを 示す図を作成しなさい. ただし,h= 0.01として,t∈[0,20]の範囲で解くこととする.
★ 締め切りと提出方法
締め切りは２０１２年８月８日（水）１３時までにメールで提出するか, または, 同じ時刻まで に内藤のメールボックスに投函すること.
その他の注意事項は第１回レポート問題と同じである.
以上
Jul. 04, 2012, Version: 1.0 [email protected]
