＞ 第１章 数 式 ＞ 第４節 集合 命題 ＞ 第５講：命題 証明

6 確認テスト

数

１ ２

確認テスト

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   無理数 用 ，次 命題

証明 。

は無理数である。

2

Tー２

n  ^{整数 。対偶 利用 ，次 命題}  

真 証明 。

が偶数ならば， は偶数である。

n² n

対偶は，

が奇数ならば， は奇数である。

n n²

が奇数なので，

n k ^{を整数とすると，} n = 2k − 1 n² = (2k −1)²

= 2(2k²− 2k) + 1

2k²− 2k ^{は整数なので，}n^{2は奇数である}

よって，対偶が真なので，もとの命題も真である。

（証明）

= 4k²− 4k + 1

1 + 5 2

（証明）

は無理数でないと仮定すると，

1 + 5 2

は有理数となる。

1 + 5 2

1 + 5 2 = r ^{とおくと，} 2 = r − 1 5

が有理数ならば，

r − 1 5 r

も有理数であるので，

この等式は 2 が無理数であることに矛盾する。

したがって，

1 + 5 2 ^{は無理数である。}